Analitik səviyyələşdirmə metodu sıra səviyyələrinin zaman dəyişənindən asılılığını xarakterizə edən reqressiya tənliyinin qurulmasından ibarətdir.
Xidmətin məqsədi. Xidmət sizə onlayn rejimdə birbaşa veb-saytda y t seriyasının analitik uyğunlaşdırılmasını həyata keçirməyə, Durbin-Watson testindən istifadə edərək qalıqların heteroskedastikliyini və avtokorrelyasiyasını yoxlamağa imkan verəcək (analitik düz xəttin düzülməsi nümunəsinə baxın).
Təlimatlar. Məlumatın miqdarını (sətirlərin sayını) göstərin, Next düyməsini basın. Nəticədə həll Word faylında saxlanılır.
Qeyri-xətti asılılıqları xətti istifadəyə gətirmək uyğunlaşdırma üsulu(xəttiləşdirmə).
| y = f(x) | Dönüşüm | Xəttiləşdirmə üsulu |
| y = b x a | Y = log(y); X = log(x) | Loqarifm |
| y = b e balta | Y = log(y); X = x | Birləşdirilmiş |
| y = 1/(ax+b) | Y = 1/y; X = x | Dəyişənlərin dəyişdirilməsi |
| y = x/(ax+b) | Y = x/y; X = x | Dəyişənlərin dəyişdirilməsi. Misal |
| y = aln(x)+b | Y = y; X = log(x) | Birləşdirilmiş |
| y = a + bx + cx 2 | x 1 = x; x 2 = x 2 | Dəyişənlərin dəyişdirilməsi |
| y = a + bx + cx 2 + dx 3 | x 1 = x; x 2 = x 2; x 3 = x 3 | Dəyişənlərin dəyişdirilməsi |
| y = a + b/x | x 1 = 1/x | Dəyişənlərin dəyişdirilməsi |
| y = a + sqrt(x)b | x 1 = sqrt(x) | Dəyişənlərin dəyişdirilməsi |
IN ümumi hal analitik uyğunlaşdırma üçün metoddan istifadə olunur ən kiçik kvadratlar:
Tipik tapşırıq. Analitik uyğunlaşdırma həyata keçirin və ifadə edin ümumi tendensiya müvafiq analitik tənliklə ticarət evinin pərakəndə ticarət dövriyyəsinin inkişafı. Zaman seriyalarının analitik (səviyyəli) səviyyələrini hesablayın və onları faktiki məlumatlarla birlikdə qrafikdə tərtib edin.
Misal. SD üçün yaşayış binalarının və yataqxanaların istifadəyə verilməsinə dair məlumatlar var, min m 2. Yaşayış binalarının və yataqxanaların istismara verilməsi sürətinin dinamikasını təhlil etmək üçün hesablayın:
- mütləq artım, artım templəri və artım templəri ilə və 1998-ci ilə qədər mütləq artımın yüzdə bir məzmunu. Alınmış göstəriciləri cədvəl şəklində təqdim etmək;
- orta illik göstəricilər - seriyanın səviyyəsinin dəyəri; artım və artımın mütləq artım tempi. Nəticə çıxarın.
Həll. Ən sadə riyazi model təmsil edir xətti tənlik y = bt + a formasının tendensiyası. Bu modelin parametrlərini tapmaq üçün ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edirik. Tənliklər sistemi aşağıdakı formada olacaq:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| t | y | t 2 | y 2 | t y |
| 1 | 186.9 | 1 | 34931.61 | 186.9 |
| 2 | 219 | 4 | 47961 | 438 |
| 3 | 257 | 9 | 66049 | 771 |
| 4 | 276.66 | 16 | 76540.2 | 1106.64 |
| 5 | 353.5 | 25 | 124962.25 | 1767.5 |
| 6 | 310.1 | 36 | 96162.01 | 1860.6 |
| 7 | 360.9 | 49 | 130248.81 | 2526.3 |
| 8 | 371.7 | 64 | 138160.89 | 2973.6 |
| 9 | 423.9 | 81 | 179691.21 | 3815.1 |
| 45 | 2759.66 | 285 | 894706.98 | 15445.64 |
9a 0 + 45a 1 = 2759,66
45a 0 + 285a 1 = 15445,64
Bu tənliklər sistemi bir neçə üsulla həll edilə bilər
Zaman seriyasını modelləşdirməyin ən geniş yayılmış üsullarından biri, seriya səviyyələrinin zamandan asılılığını xarakterizə edən trend və ya analitik funksiyanın qurulmasıdır. Bu üsul analitik zaman sıralarının uyğunlaşdırılması adlanır. Analitik düzülmə üçün aşağıdakı funksiyalardan istifadə edilə bilər: · xətti · hiperbolik; · eksponensial · ikinci və daha yüksək dərəcəli güc polinomları  Yuxarıda göstərilən tendensiyaların hər birinin parametrləri müstəqil dəyişən kimi zamandan və asılı dəyişən kimi yt zaman seriyasının faktiki səviyyələrindən istifadə etməklə adi OLS ilə müəyyən edilə bilər. Qeyri-xətti meyllər üçün əvvəlcə yerinə yetirin standart prosedur onların linearlaşması. Trendlərin növünü müəyyən etməyin bir neçə yolu var. Ən çox yayılmış olanlara tədqiq olunan prosesin keyfiyyət təhlili, sıra səviyyələrinin zamandan asılılığının qrafikinin qurulması və vizual təhlili, dinamikanın bəzi əsas göstəricilərinin hesablanması, seriya səviyyələrinin avtokorrelyasiya əmsalları daxildir. Trend tipini seriyanın ilkin və çevrilmiş səviyyələrindən hesablanmış birinci dərəcəli avtokorrelyasiya əmsallarını müqayisə etməklə müəyyən etmək olar. Əgər zaman seriyası xətti bir tendensiyaya malikdirsə, deməli, onun qonşu səviyyələri sıx əlaqədədir. Bu zaman ilkin seriyanın səviyyələrinin birinci dərəcəli avtokorrelyasiya əmsalı yüksək olmalıdır. Əgər zaman seriyası qeyri-xətti tendensiyanı, məsələn, eksponensial formada ehtiva edirsə, onda ilkin seriyanın səviyyələrinin loqarifmlərinə əsaslanan birinci dərəcəli avtokorrelyasiya əmsalı, səviyyələrdən hesablanan müvafiq əmsaldan yüksək olacaqdır. seriyası. Öyrənilən zaman seriyasında qeyri-xətti tendensiya nə qədər aydın olarsa, göstərilən əmsalların dəyərləri bir o qədər çox fərqlənəcəkdir. |
Doğrulama
| Əgər seriya qeyri-xətti tendensiyaya malikdirsə, ən yaxşı tənliyin seçimi tendensiyanın əsas formalarını sadalamaqla, hər bir tənlik üçün düzəliş edilmiş təyin əmsalını hesablamaqla həyata keçirilə bilər. R 2, əhəmiyyəti Fisher meyarından istifadə edilməklə qiymətləndirilir və tənzimlənən təyin əmsalının maksimum dəyəri ilə trend tənliyinin seçimi. Bu metodun tətbiqi kompüter məlumatlarının emalında nisbətən sadədir. Gizli mövcudluğunda qeyri-xətti tendensiyaən yaxşı trend tənliyini seçmək üçün yuxarıda təsvir edilən üsullar, trend növünü seçərkən spesifikasiya səhvlərinin qarşısını almaq üçün tədqiq olunan göstəricinin dinamikasının keyfiyyət təhlili ilə tamamlanmalıdır. Keyfiyyət təhlili problemlərin araşdırılmasını nəzərdə tutur mümkün mövcudluq bir sıra amillərin təsiri altında müəyyən zaman nöqtəsindən (dövründən) başlayaraq, dönüş nöqtələrinin və artım templərinin dəyişmələrinin öyrənilən zaman sıralarında. Əgər tendensiya tənliyi böyük nümunə dəyərləri üçün səhv seçilərsə (spesifikasiya xətası), seçilmiş tənlikdən istifadə edərək zaman sıralarının dinamikasının təhlili və proqnozlaşdırılmasının nəticələri etibarsız olacaqdır. |
Çünki ən yüksək dəyərƏgər 0,98 təyin əmsalı kub polinomu ilə müəyyən edilmiş tənliyə malikdirsə, bu tənlikdən model kimi istifadə etmək olar (Şəkil 16). Bununla belə, xətti trendin təyini əmsalının qiyməti 0,96-dır ki, bu da ondan proqnozlaşdırma üçün istifadə etmək hüququ verir. Bir qayda olaraq, proqnozlaşdırarkən, keyfiyyəti qeyri-xəttidən bir qədər aşağı olarsa, xətti tendensiyaya üstünlük verilir.
|
|
Şəkil 16 – Trend xətti seçimi
Proqnozlaşdırma
Trend xəttindən (kub polinomundan) istifadə etməklə hasilatın həcmi proqnozlaşdırılır ki, bu da 2011-ci ildə 44208 ədəd təşkil edəcək. Xətti tendensiyaya görə hasilat proqnozu 38 214,5 ədəd təşkil edəcək. Qeyd edək ki, polinom mövcud nümunəni daha yaxşı təsvir edir, lakin proqnozlaşdırılan dəyər müşahidə edilən qiymətlərlə müqayisədə kəskin şəkildə artır. Xətti trendə əsaslanan proqnoz daha etibarlıdır.
Özünə nəzarət üçün suallar
1. Zaman seriyası modelinin tərifi nədir?
2. Zaman sırasının məlum əsas komponentləri hansılardır?
3. Zaman sıralarının tədqiqatının əsas məqsədləri hansılardır?
4. Zaman sırasının strukturunu təhlil edərkən avtokorrelyasiya funksiyasından necə istifadə etmək olar?
5. Beşinci dərəcəli avtokorrelyasiya əmsalı necə hesablanır?
6. Korreloqram necə qurulur?
7. Nədir ümumi forma multiplikativ və əlavə zaman seriyası modelləri?
8. Zaman seriyasında mövsümi tərəddüdlərin strukturunun təhlilinin məqsədi nədir?
9. Zaman seriyasının struktur sabitliyi haqqında fərziyyəni yoxlamaq üçün hansı testlərdən istifadə olunur?
10. Zaman sırasının struktur dayanıqlığı hansı halda pozulur?
11. Zaman seriyasının analitik düzülüşü dedikdə nə başa düşülür?
12. Zaman sıralarının analitik düzülüşü üçün ən çox istifadə olunan modellər hansılardır?
13. Xətti çevrilmələr dedikdə nə başa düşülür? Onlar MNE-lərdə necə istifadə olunur?
14. Qurulmuş modelin keyfiyyəti necə qiymətləndirilir?
15. Zaman seriyası modelindən istifadə etməklə nöqtə proqnozu necə hazırlanır?
Fərdi tapşırıq
Müəyyən bir müəssisənin məhsul buraxılışının dinamikası Cədvəl 25-də təqdim olunan məlumatlarla xarakterizə olunur (hər variantda
məhsulun həcminə 120 × rəqəmi əlavə edilməlidir k, Harada k– qrup jurnalında tələbənin seriya nömrəsi). Aşağıdakıları edin:
· zaman seriyalarının strukturunu təhlil etmək;
· silsilənin struktur sabitliyi haqqında fərziyyəni yoxlamaq;
· zaman seriyasının analitik uyğunlaşdırılmasını həyata keçirmək;
· 2011-ci il üçün proqnoz vermək;
· hesabat doldurmaq.
Zaman sırasının analitik uyğunlaşdırılması analitik funksiyanın, trend modelinin qurulmasıdır. Bu məqsədlə istifadə edirlər müxtəlif növlər funksiyaları: xətti, çöl, parabolik və s.
Trend parametrləri vəziyyətdə olduğu kimi müəyyən edilir xətti reqressiyaən kiçik kvadratlar metodu, burada zaman müstəqil dəyişən, zaman sıralarının səviyyələri isə asılı dəyişəndir. Seçim meyarları ən yaxşı forma Trend determinasiya əmsalının ən böyük dəyəri, Fisher və Student testləri ilə müəyyən edilir.
Tutaq ki, bəziləri nəzəri model güman edir xətti asılılıq digər sistem xüsusiyyətlərindən biri:
y= Y i k i · x i
(i- müstəqil dəyişənlərin sayı). Tapşırıq aşağıdakı kimidir: sabit parametrlərlə x və ölçülmüş dəyərlər y parametrlərin vektorunu hesablayın k , bəzi optimallıq meyarına cavab verir.
Ən kiçik kvadratlar metodunda bu meyar hesablanmış dəyərlərin kvadratik sapmalarının minimum cəmidir. y müşahidədən (eksperimental):
dəq У i (y s, i - y i)І.
Funksiyanın minimumunu tapmaq üçün bu ifadə parametrlərlə diferensiallaşdırılmalı və sıfıra bərabər qoyulmalıdır (minimum şərt). Nəticədə, kvadratların minimum cəminin axtarışı azalır sadə əməliyyatlar matrislərlə.
Əgər nəzəri model bir parametrdən xətti asılılığı təmsil edirsə ( y = a + b· x), onda həll sadə düsturlar şəklində ifadə edilir:
Z = n U x i Mən - (U x i)І;
a= (U y i U x i I - Ü y i x i U x i) / Z; S a І = S y Mən Ü x i І / Z;
b = (n U y i x i- Ü y i U x i) / Z; S b І = S y І n / Z;
S y I = Y( y s, i - y i)І / ( n - 2)
(y s, i- hesablanmış dəyər, y i- eksperimental olaraq ölçülmüş dəyər)
Səhvləri hesablayarkən, x dəyərlərinin düzgünlüyünün ölçülmüş dəyərlərin düzgünlüyünü əhəmiyyətli dərəcədə üstələdiyi güman edilir. y, ölçmə xətası normal paylanmaya uyğundur.
Qalıqlarda avtokorrelyasiya, cari və əvvəlki zaman nöqtələri üçün qalıqların dəyərləri arasındakı korrelyasiyadır.
Homoskedastik və heteroskedastik, müstəqil və avtokorrelyasiyalı qalıqlarla xətti reqressiya modelləri. Yuxarıda göstərilənlərdən göründüyü kimi, əsas odur ki, zaman seriyasını təsadüfi sapmalardan "təmizləmək" lazımdır, yəni. riyazi gözləntilərin qiymətləndirilməsi. Buradan təbii olaraq daha mürəkkəb modellər meydana çıxır. Məsələn, variasiya zamandan asılı ola bilər. Belə modellərə heteroskedastik, zamandan asılılığı olmayanlara isə homosedastik deyilir. (Daha dəqiq desək, bu terminlər təkcə “zaman” dəyişəninə deyil, həm də digər dəyişənlərə aid ola bilər.) Əgər xətalar bir-biri ilə heç bir əlaqəsi yoxdursa, avtokorrelyasiya funksiyası degenerativ olmalıdır – arqumentlər 1-ə bərabərdir. bərabər və qeyri-bərabər olduqda 0. Aydındır ki, real vaxt seriyaları üçün bu həmişə belə deyil. Əgər müşahidə olunan prosesdə dəyişikliklərin təbii gedişi ardıcıl müşahidələr arasındakı intervalla müqayisədə kifayət qədər sürətli olarsa, o zaman avtokorrelyasiyanın “çürüməsini” proqnozlaşdırmaq və praktiki olaraq müstəqil qalıqlar əldə etmək olar, əks halda qalıqlar avtokorrelyasiya olunacaq.
Modelin identifikasiyası adətən onların strukturunun müəyyən edilməsi və parametrlərinin qiymətləndirilməsi deməkdir. Struktur həm də rəqəmsal olmasa da, parametr olduğu üçün söhbət onlardan birindən gedir tipik vəzifələr ekonometrika - parametrlərin qiymətləndirilməsi.
Qiymətləndirmə məsələsi homosedastik müstəqil qalıqları olan xətti (parametrlər baxımından) modellər üçün ən asan həll edilir. Zaman sıralarında asılılıqların bərpası ən kiçik kvadratlar və ən kiçik modullar metodları əsasında həyata keçirilə bilər, tələb olunan reqressorlar toplusunun qiymətləndirilməsi ilə əlaqəli nəticələr, xüsusən də vaxt seriyası vəziyyətinə köçürülür; hədd həndəsi paylama Triqonometrik polinomun dərəcəsinin qiymətləndirilməsi.
Lakin, daha çox üçün ümumi vəziyyət Belə sadə bir köçürmə etmək tövsiyə edilmir. Məsələn, heteroskedastik və avtokorrelyasiya qalıqları olan zaman seriyası vəziyyətində, siz yenidən istifadə edə bilərsiniz. ümumi yanaşmaən kiçik kvadratlar üsulu, lakin ən kiçik kvadratlar tənlikləri sistemi və təbii olaraq onun həlli fərqli olacaq. Formulalar fərqli olacaq. Bununla əlaqədar olaraq bu üsul"ümumiləşdirilmiş ən kiçik kvadratlar (GLS)" adlanır.
İstehlak qiymətləri indeksinin (inflyasiya indeksi) artımını təsvir edən zaman seriyasının ekonometrik modelini təhlil edək. I(t) t ayında qiymət artımı olsun. O zaman, bəzi iqtisadçıların fikrincə, belə güman etmək təbiidir:
I(t)=cI(t-1)+a+dS(t-4)+
Burada I(t-1) əvvəlki aydakı qiymət artımıdır (və c müəyyən bir sönüm əmsalıdır, bu, olmadıqda xarici təsirlər qiymət artımı dayanacaq), a sabitdir (zamanla I(t) dəyərinin xətti dəyişməsinə uyğundur), bS(t-4) pul emissiyasının təsirinə uyğun gələn termindir (yəni artım həyata keçirilən ölkə iqtisadiyyatında pul həcmində Mərkəzi Bank) S(t-4) miqdarında və b əmsalı ilə emissiyaya mütənasibdir və bu təsir dərhal deyil, 4 aydan sonra yaranır; Nəhayət, bu qaçılmaz bir səhvdir.
Model, hətta sadəliyinə baxmayaraq, çoxlarını nümayiş etdirir xarakter xüsusiyyətləri daha mürəkkəb ekonometrik modellər. Əvvəlcə qeyd edək ki, bəzi dəyişənlər model daxilində I(t) kimi müəyyən edilir (hesablanır). Onlara endogen (daxili) deyilir. Digərləri kənardan təyin olunur (bunlar ekzogen dəyişənlərdir). Bəzən, idarəetmə nəzəriyyəsində olduğu kimi, ekzogen dəyişənlər arasında idarə olunan dəyişənlər fərqləndirilir - menecer onların köməyi ilə sistemi ehtiyac duyduğu vəziyyətə gətirə bilər.
İkincisi, əlaqələrdə yeni tipli dəyişənlər görünür - geriləmələrlə, yəni. dəyişənlərdəki arqumentlər zamanın indiki anına deyil, bəzi keçmiş anlara aiddir.
Üçüncüsü, bu tipli ekonometrik modelin qurulması heç bir halda adi əməliyyat deyil. Məsələn, pul emissiyası ilə bağlı müddətdə düz 4 ay gecikmə kifayət qədər mürəkkəb ilkin statistik emalın nəticəsidir.
Ən kiçik kvadratlar prosedurunun konkret həyata keçirilməsi bu məsələnin həllindən asılıdır.
Digər tərəfdən, (1) modelində cəmi 3 naməlum parametr var və ən kiçik kvadratlar metodunun ifadəsini yazmaq çətin deyil:
Sonra, bu tip bir modeli nəzərdən keçirin böyük rəqəm gecikmələr və kompleks ilə endogen və ekzogen dəyişənlər daxili quruluş. Başqa sözlə, heç bir yerdən belə bir sistemin ən azı bir həlli olduğu nəticə çıxarmır. Bu, bir yox, iki problem yaradır. Ən azı bir həll varmı? Əgər belədirsə, mümkün olan ən yaxşı həlli necə tapa bilərik? (Bu, statistik parametrlərin qiymətləndirilməsi problemidir.)
Hər iki vəzifə olduqca çətindir. Hər iki problemi həll etmək üçün bir çox üsullar hazırlanmışdır, adətən kifayət qədər mürəkkəbdir, yalnız bəzilərinin elmi əsası var. Xüsusilə, çox vaxt ardıcıl olmayan statistik qiymətləndirmələrdən istifadə edirlər (doğru desək, onları hətta təxmin adlandırmaq olmaz).
Xətti ekonometrik tənliklər sistemləri ilə işləyərkən bəzi ümumi texnikaları qısaca təsvir edək.
Xətti sinxron ekonometrik tənliklər sistemi. Sırf formal olaraq, bütün dəyişənlər yalnız zamanın cari anından asılı olan dəyişənlər vasitəsilə ifadə edilə bilər. Məsələn, yuxarıdakı tənlik vəziyyətində qoymaq kifayətdir
H(t)=I(t-1), G(t)=S(t-4)
Sonra nümunə tənliyi belə görünür
I(t)=cH(t)+a+bG(t)+
Dərhal istifadə etmək imkanını qeyd edək reqressiya modelləri dummy dəyişənləri təqdim etməklə dəyişən strukturu ilə. Bu dəyişənlər bəzi vaxt dəyərləri (məsələn, ilkin olanlar) nəzərə çarpan dəyərlər alır, digərlərində isə yox olur (əslində 0-a bərabər olur). Nəticədə, formal (riyazi) eyni model tamamilə fərqli asılılıqları təsvir edir.
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, ekonometrik tənlik sistemlərinin evristik təhlili üçün çoxlu üsullar yaradılmışdır. Bu üsullar tənliklər sistemlərinin ədədi həllərini tapmağa çalışarkən ortaya çıxan müəyyən problemləri həll etmək üçün nəzərdə tutulmuşdur.
Problemlərdən biri təxmin edilən parametrlərdə a priori məhdudiyyətlərin olmasıdır. Məsələn, ev təsərrüfatlarının gəlirləri istər istehlaka, istərsə də yığımlara xərclənə bilər. Deməli, bu iki növ məsrəflərin paylarının cəmi apriori 1-ə bərabərdir. Və ekonometrik tənliklər sistemində bu paylar müstəqil şəkildə iştirak edə bilər. Bu, apriori məhdudiyyətdən asılı olmayaraq ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə edərək onları qiymətləndirmək və sonra onları düzəltmək fikrini doğurur. Bu yanaşma dolayı ən kiçik kvadratlar metodu adlanır.
İki addımlı ən kiçik kvadratlar metodu ondan ibarətdir ki, verilmiş metodda sistemi bütövlükdə nəzərə almaqdansa, sistemin fərdi tənliyinin parametrləri təxmin edilir. Həm də bütövlükdə eyni vaxtda tənliklər sisteminin parametrlərini qiymətləndirmək üçün üç addımlı ən kiçik kvadratlar üsulundan istifadə olunur. Əvvəlcə hər bir tənliyin əmsallarını və səhvlərini qiymətləndirmək və sonradan səhvlərin kovariasiya matrisi üçün qiymətləndirmə qurmaq məqsədi ilə hər bir tənliyə iki addımlı bir üsul tətbiq edilir. Daha sonra bütün sistemin əmsallarını qiymətləndirmək üçün ümumiləşdirilmiş ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə olunur.
Menecer və iqtisadçının hətta xüsusi proqramlardan istifadə etməklə belə ekonometrik tənliklər sistemlərinin tərtibi və həlli sahəsində mütəxəssis olması tövsiyə edilmir. proqram təminatı Bununla belə, istehsal ehtiyacı olduqda, ekonometrika mütəxəssisləri üçün tapşırıqları məharətlə tərtib etmək üçün ekonometriyanın bu sahəsinin mümkünlüyü barədə məlumatlandırılmalıdır.
Trendin qiymətləndirilməsindən (əsas tendensiya) biz zaman seriyası ekonometrikasının ikinci əsas vəzifəsinə - dövrün (dövrün) qiymətləndirilməsinə keçirik.
Heteroskedastiklik problemi. Əvvəlcə stasionar modelləri vurğulayaq. Onlar istənilən sayda k zaman nöqtələri üçün F(t 1 , t 2 ,…,t k) birgə paylanma funksiyalarını ehtiva edir və buna görə də zaman sıralarının bütün yuxarıda göstərilən xüsusiyyətləri zamanla dəyişmir. Xüsusilə, gözlənilən dəyər və dispersiya sabit qiymətlərdir, avtokorrelyasiya funksiyası yalnız asılıdır fərqlər t-s. Stasionar olmayan zaman sıralarına qeyri-stasionar deyilir.
Səhv fərqi müşahidə sayından asılı olduqda, heteroskedastiklik orijinalın xüsusiyyətidir. Qrafikdə heteroskedastiklik artım və ya azalma ilə özünü göstərir seriya nömrəsiölçmələr, trend xətti ətrafında ölçmələrin dağılması artır. Bu, reqressiya tənliyinin əmsallarının qiymətləndirilməsində əhəmiyyətli səhvlərə səbəb ola bilər. Heteroskedastiklik obyektlər ümumiyyətlə heterojen olduqda baş verir. Bir neçə düzəliş üsulu var, problemin həlli heteroskedastiklik. Bunlardan ən effektivi çəkili ən kiçik kvadratlar üsuludur.
Metodun mahiyyəti son dərəcə sadədir. Orijinal modelin forması olsun
Sonra sistemin hər bir elementini yt dəyərinə bölməklə başqa bir sistemə gəlirik
burada y t2 = y 2ш, çəkili dispersiya;
Шt = n, n - ölçmələrin sayı.
Beləliklə, bu çevrilmə ilə biz heteroskedastikliyi aradan qaldırırıq.
Bundan əlavə, giriş məlumatlarının loqarifmini götürmək də, bəzi hallarda, heteroskedastikliyin səbəb olduğu model parametrlərinin müəyyən edilməsində səhvləri azaldır.
Zaman seriyasının trendini modelləşdirməyin ən geniş yayılmış üsullarından biri seriya səviyyələrinin zamandan asılılığını xarakterizə edən analitik funksiyanın (trend və ya tsiklik və/yaxud mövsümi komponentli trend) qurulmasıdır. Bu üsul adlanır zaman sıralarının analitik uyğunlaşdırılması.
Bu problemi həll etmək üçün əvvəlcə funksiyanın növünü seçməlisiniz. Ən çox istifadə olunan funksiyalar bunlardır:
xətti -
çoxhədli -
· eksponensial -
· logistika - 
· Gompertz -
Bu tədqiqatın çox vacib mərhələsidir. Müvafiq funksiyanı seçərkən mənalı təhlildən (prosesin dinamikasının xarakterini təyin edə bilən) və vizual müşahidələrdən (vaxt seriyasının qrafik təsvirinə əsaslanaraq) istifadə olunur. Polinom funksiyasını seçərkən ardıcıl fərqlər metodu tətbiq oluna bilər (birinci, ikinci dərəcəli fərqlərin hesablanmasından ibarətdir 
və s.), çoxhədlinin dərəcəsi kimi təqribən eyni olacaq fərqlərin sırası qəbul edilir.
İki funksiyadan, adətən, bu funksiyalar əsasında hesablanmış faktiki məlumatların kvadratik sapmalarının cəminin daha kiçik olduğu funksiyaya üstünlük verilir. Lakin bu prinsipi absurdluq həddinə çatdırmaq olmaz: məsələn, hər hansı bir nöqtə silsiləsi üçün bütün nöqtələrdən keçən və müvafiq olaraq minimum - sıfır - kvadrat sapmaların cəmi ilə ci dərəcəli polinom seçmək mümkündür. lakin bu halda, açıq-aydın, bu məqamların təsadüfi xarakterini nəzərə alaraq, əsas tendensiyanı təcrid etməkdən danışmaq olmaz. Buna görə də, digər şeylər bərabər olduqda, daha sadə funksiyalara üstünlük verilməlidir.
Əsas trend parametrləri ən kiçik kvadratlar metodundan istifadə etməklə müəyyən edilə bilər. Bu halda, zaman sıralarının dəyərləri asılı dəyişən, zaman isə izahedici dəyişən kimi qəbul edilir:
reqressiya təhlilinin əsas müddəalarını təmin edən pozğunluqlar haradadır, yəni. müstəqil və eyni şəkildə paylanmışdır təsadüfi dəyişənlər, paylanmasının normal olduğu qəbul edilir.
Ən kiçik kvadratlar üsuluna görə xəttin parametrləri 
normal tənliklər sistemindən (2.5) tapılır, burada aşağıdakı kimi qəbul edirik:
(7.10)
Dəyişənin qiymətlərinin 1-dən -ə qədər olan təbii ədədlər seriyasını təşkil etdiyini nəzərə alsaq, məbləğlər riyaziyyatda məlum olan düsturlardan istifadə edərək seriyanın üzvlərinin sayı ilə ifadə edilə bilər:
(7.11)
79-cu səhifədə nəzərdən keçirilən 2-ci misalda normal tənliklər sistemi formaya malikdir:
,
deməli, trend tənliyi, yəni. tələbat hər il orta hesabla 25,7 vahid artır.
Nəticə tendensiya tənliyinin əhəmiyyətini yoxlayaq F-5% əhəmiyyətlilik səviyyəsində meyar, (3.40) düsturundan istifadə edərək kvadratların cəmini hesablayırıq:
a) reqressiya nəticəsində -
b) ümumi -
c) qalıq
Statistikanın dəyərini tapaq:
.
olduğundan, trend tənliyi əhəmiyyətlidir.
Zaman seriyasının düzəldilməsi (hamarlanması) üçün başqa bir üsul, yəni. qeyri-təsadüfi komponenti vurğulamaq hərəkətli ortalama metodudur. Bu, seriya üzvlərinin ilkin dəyərlərindən uzunluğu əvvəlcədən müəyyən edilmiş bir zaman aralığında onların orta qiymətlərinə keçidinə əsaslanır. Bu vəziyyətdə, seçilmiş vaxt intervalının özü seriya boyunca "sürüşür".
Nəticə hərəkət edən orta seriya, sıra sapmalarının orta hesablanması səbəbindən orijinal seriyadan daha rəvan davranır.
