Od pradávna lidé projevovali zájem o svět kolem sebe, snažili se jej studovat, systematizovat a organizovat získané znalosti. Jednou z těchto metod je počítání. Pro tento účel byly vynalezeny.V současné době existuje mnoho způsobů, jak počítat a zaznamenávat informace. V tomto článku budeme hovořit o tom, co to je celá čísla, jaké číselné soustavy existují, jak je používat a také historii jejich vzniku.
Obecná informace
Co jsou tedy přirozená čísla? Definice říká, že jsou nejjednodušší, to znamená, že se používají v Každodenní život spočítat počet položek. V současné době se používá poziční desítková číselná soustava. Pojďme si dát definici tento koncept. Číselné soustavy jsou reprezentace čísel pomocí psaných symbolů (znaků), symbolický způsob zápisu čísel. Stojí za to oddělit pojmy „číslo“ a „číslice“. První představuje určitou abstraktní entitu, míru pro určení množství. Číslice jsou určité symboly, které se používají k zápisu čísel. Nejoblíbenější a nejrozšířenější je arabský znakový systém. V něm jsou čísla reprezentována znaménky od 0 (nula) do 9 (devítka). To je to, co se v současné době používá k označení přirozených čísel. Méně běžná je římská číselná soustava. Ale o tom vám řekneme více později.
Z výše uvedeného můžeme usoudit, že přirozená čísla jsou ta, která se používají k počítání objektů a označují pořadové číslo objektu mezi podobnými. Například 5, 18, 596, 10873 a tak dále.
Co je to číselná řada?
Všechna přirozená čísla, která jsou uspořádána vzestupně, tvoří tzv. číselnou řadu. Začíná to nejmenším číslem – jedna. Neexistuje žádný největší počet, protože tato série nekonečný. Pokud tedy k dalšímu číslu přidáme jedničku, dostaneme další číslo. Stojí za zmínku, že číslo nula není přirozené číslo. To znamená úplná absence něco nemá materiální základ. Nulu tedy nelze zařadit do třídy zvané „přirozená čísla“. Množina přirozených čísel se označuje velkým písmenem. Latinské písmeno N.
Jak se objevily?
V dávných dobách se k psaní čísel používaly hůlky. Římané si tuto metodu vypůjčili pro svou nepoziční číselnou soustavu (co to je, si povíme později). V tomto případě bylo číslo napsáno bez jakýchkoliv symbolů, ale jako rozdíl nebo součet tyčinek.
Další fází vývoje číselné soustavy je označování pomocí písmen. Pak se objevila poziční třída čísel, která se používá dodnes. Inovátory v této oblasti byli staří Babyloňané a Hinduisté, kteří vynalezli šestinásobnou a desítkovou soustavu. Stojí za zmínku, že široce používaný arabský systém je odvozen od starověkého indického. Arabští matematici jej pouze doplnili číslem nula.
Klasifikace číselné soustavy
Protože existuje mnohem více čísel než odpovídajících číslic, je obvyklé používat k jejich zápisu kombinaci (množinu) číslic. Malý počet čísel (malé velikosti) je označen jednou číslicí. Ukazuje se, že číselné soustavy jsou způsoby záznamu číselné hodnoty pomocí čísel. Velikost může záviset na pořadí, ve kterém se čísla objevují, nebo na tom nemusí záležet. Tato vlastnost je určena počítacími systémy, které slouží jako základ pro klasifikaci. Existují tři skupiny (třídy).
- Smíšený.
- Poziční.
- Nepoziční.
Jako příklad první skupiny uvádíme bankovky. Podívejme se na ruský měnový systém. Používá bankovky a mince takových nominálních hodnot jako: jedna, dvě, pět, deset, sto, pět set, tisíc a pět tisíc rublů a také jedna, pět, deset a padesát kopejek. Pro příjem určité částky v rublech je nutné použít příslušný počet bankovek různých nominálních hodnot. Například mikrovlnná trouba stojí 6379 ruských rublech. Chcete-li provést nákup, můžete si vzít šest bankovek po tisíc rublech, 3 bankovky po sto rublech, jednu bankovku po padesáti rublech, dvě z deseti, jednu minci po pěti rublech a dvě mince po dvou rublech. Zapíšeme-li si počet mincí nebo bankovek, počínaje tisíci rubly a konče kopejkou, přičemž nepoužité nominální hodnoty nahradíme nulami, dostaneme následující číslo: 603121200000. Smícháme-li čísla v dříve získaném čísle, dostane falešnou cenu za mikrovlnnou troubu. Proto tato metoda záznamu patří do poziční třídy. Přirozená čísla jsou přímým příkladem poziční třídy.
Nepoziční třída - co to je?
Nepoziční číselná soustava se vyznačuje tím, že celková velikost čísla nezávisí na poloze číslice v zápisu. Pokud každé číslici přiřadíme odpovídající znak nominální hodnoty, lze takové složené symboly (označení plus číslice) míchat. Jinými slovy, takový záznam je nepoziční. Čistým příkladem je římský systém. Pojďme se na to podívat podrobněji.
římské číslice
Tento koncept se nazývá systém znaků (symboly), který pro svůj číselný systém vymysleli staří Římané. Jeho podstata je následující: všechna přirozená čísla se zapisují opakováním čísel. Navíc, pokud je menší číslo před větším, pak se první odečte od posledního. Tomu se říká princip odčítání. Pokud dojde ke čtyřnásobnému opakování, toto pravidlo se na něj nevztahuje. A pokud větší číslo stojí před menším, tak se naopak sčítají (princip sčítání). Historici poznamenávají, že tento systém pochází z doby kolem pátého století před naším letopočtem od Etrusků, kteří jej naopak mohli převzít od protoKeltů. Chcete-li správně napsat velké číslo v římských symbolech, musíte nejprve napsat počet tisíců, poté stovek, pak desítek a nakonec jednotek. Stojí za zmínku, že pouze některá čísla (například I, M, X, C) lze duplikovat, ale ne více než třikrát. Proto lze téměř jakékoli celé číslo zapsat pomocí římských číslic. Pro moderní muž Pro usnadnění počítání existuje speciální tabulka římských číselných soustav.
Použití římských číslic
Tento systém Notace byla velmi široce používána v SSSR při označování dat k označení měsíce. Velmi často jsou na náhrobcích data života a smrti uvedena ve speciálním formátu, kde je pořadové číslo měsíce napsáno latinkou. V současné době, s přechodem na počítačové zpracování informací, používání této číselné soustavy prakticky upadlo v zapomnění. Existují však oblasti, kde má „římský styl“ zobrazování čísel své vlastní charakteristiky. Například v západoevropských zemích se tyto symboly často používají na štítech budov k označení čísla roku nebo v titulcích video a filmových produktů. Takže v Litvě na výlohách nebo dopravní značky, znaky označují dny v týdnu římskými číslicemi.
Moderní použití římské číselné soustavy
V současné době tato metoda nemá napsaná čísla široké uplatnění. Historicky se však prokázalo, že se používá v oblastech, které podrobně probereme v této části. Na celém světě je zvykem označovat číslo tisíciletí nebo století pomocí římských symbolů. Totéž se děje při psaní „sériového čísla“ královské osoby. Například Alžběta II. Ludvík XIV atd. Je to dáno tím, že tento číselný systém je více „majestátní“. Jeho samotný vzhled je spojen s úsvitem římské říše - příkladem tradice a klasiky. Na stejném principu se tento systém zobrazování čísel používá k označení číselníku u některých modelů hodinek. Dalším běžným použitím římských číslic jsou čísla svazku ve více svazcích literární dílo. Například: "Válka a mír", svazek III. Někdy jsou části knihy, oddíly nebo kapitoly číslovány tímto způsobem. V některých publikacích lze nalézt označení stránek s předmluvou k dílu. To se provádí tak, že když se změní text předmluvy, odkazy na něj v těle hlavního textu se nezmění. Římské číslice se používají k označení důležitých historické události nebo položky kontrolního seznamu. Například II Světová válka, XVII. sjezd KSSS, XXII olympijské hry atd. Kromě témat tak či onak souvisejících s historií se tento číselný systém používá v chemii - k označení valence prvků; v hudebním umění - k označení pořadového čísla kroku ve zvukové řadě. Římské číslice se používají i v lékařství.
Římský číselný systém byl ve středověku v Evropě rozšířen, ale vzhledem k tomu, že se ukázal jako nepohodlný, se dnes prakticky nepoužívá. Byl nahrazen jednoduššími, díky nimž byla aritmetika mnohem jednodušší a jednodušší.
Římský systém je založen na deseti, stejně jako jejich poloviny. Dříve lidé neměli potřebu psát velká a dlouhá čísla, takže množina základních čísel zpočátku končila tisícovkou. Čísla se píší zleva doprava a jejich součet udává dané číslo.
Hlavní rozdíl je v tom, že římská číselná soustava je nepoziční. To znamená, že umístění číslice v číselném zápisu neznamená její význam. Římská číslice "1" se zapisuje jako "I". Nyní dáme obě jednotky dohromady a podívejme se na jejich význam: „II“ je přesně římská číslice 2, zatímco „11“ je psána římskou číslicí jako „XI“. Kromě jednoho jsou v něm další základní čísla pět, deset, padesát, sto, pět set a tisíc, které jsou označeny V, X, L, C, D a M, resp.
V desítkové soustavě, kterou dnes používáme, v čísle 1756, první číslice odkazuje na počet tisíců, druhá na stovky, třetí na desítky a čtvrtá představuje počet jednotek. Proto se nazývá polohový systém a výpočty pomocí něj se provádějí tak, že se k sobě přičítají odpovídající číslice. Ten římský je strukturován úplně jinak: v něm hodnota celé cifry nezávisí na jejím pořadí v zápisu čísla. Chcete-li například přeložit číslo 168, musíte vzít v úvahu, že všechna čísla v něm jsou získána ze základních symbolů: pokud je číslo vlevo větší než číslo vpravo, pak se tato čísla odečítají , jinak jsou přidány. 168 tam tedy bude zapsáno jako CLXVIII (C-100, LX - 60, VIII - 8). Jak vidíte, římský číselný systém nabízí poměrně těžkopádnou reprezentaci čísel, díky čemuž je sčítání a odčítání extrémně nepohodlné. vysoká čísla, nemluvě o provádění operací dělení a násobení na nich. Římský systém má i další významnou nevýhodu, a to absenci nuly. Proto se v naší době používá výhradně k označení kapitol v knihách, číslování století, slavnostních dat, kde není třeba implementovat aritmetické operace.
V každodenním životě je mnohem jednodušší používat desítkovou soustavu, jejíž význam odpovídá počtu úhlů v každém z nich. Poprvé se objevil v 6. století v Indii a symboly v něm byly nakonec zafixovány až v XVI století. Indické číslice, nazývané arabské, pronikly do Evropy díky dílům v slavný matematik Fibonacci. K oddělení celých a zlomkových částí v arabském systému se používá čárka nebo tečka. Nejčastěji se ale používá v počítačích, které se v Evropě rozšířily díky práci Leibnize, což je dáno tím, že v r. počítačová technologie používají se spouště, které mohou být pouze ve dvou pracovních polohách.
Strana 1
Římský číselný systém je příkladem systému s velmi složitým způsobem psaní čísel a těžkopádná pravidla pro provádění aritmetických operací.
Systém římských čísel je nepohodlný a v současné době se téměř nepoužívá.
Římský číselný systém není poziční, protože hodnota čísla nezávisí na pozici číslice v řadě čísel.
Římský číselný systém, běžný ve středověku v Evropě, se ukázal jako nepohodlný pro aritmetické operace a upadl v zapomnění. Začali jsme rychle a snadno provádět potřebné výpočty a úplně jsme zapomněli na umění počítání v římském číselném systému. Měli bychom tedy litovat, že rutinní umění integrace se také stává minulostí? Není lepší nasměrovat své znalosti, dovednosti, vynalézavost a představivost k úkolům, které teprve čekají na vyřešení?
V římském číselném systému význam číslice nezávisí na její pozici v číselném záznamu.
Příkladem nepoziční soustavy je římská číselná soustava, která se dochovala dodnes.
Takže například v římském číselném systému obsahuje číslo XXX stejný symbol X ve všech číslicích, což znamená 10 jednotek bez ohledu na jeho pozici v obrázku čísla.
Složitější nepoziční číselný systém je římský číselný systém. Tento systém využívá principů nejen sčítání, ale i odčítání. Pokud je obrázek s menším kvantitativním ekvivalentem umístěn vpravo od obrázku s větším kvantitativním ekvivalentem, pak se jejich kvantitativní ekvivalenty sečtou, pokud vlevo, pak se odečítají.
Jedna z odrůd nepozičních soustav přežila dodnes – římská číselná soustava.
V pozičních číselných soustavách význam každé číslice závisí a mění se na její pozici v číselném zápisu. Římský číselný systém je nepoziční, ve kterém význam číslice nezávisí na jejím umístění v čísle.
V římské číselné soustavě má každý číselný znak v záznamu libovolného čísla stejný význam, tzn. význam znaku čísla nezávisí na jeho umístění v číselném zápisu. Římský číselný systém tedy není poziční číselný systém.
Číselné soustavy se dělí na poziční a nepoziční. Například desítková číselná soustava je poziční a římská číselná soustava je nepoziční.
Nepoziční číselná soustava je soustava, ve které kvantitativní ekvivalent číslice nezávisí na jejím umístění v číselném záznamu. Příkladem nepoziční číselné soustavy založené na principu sčítání a odčítání je známá římská číselná soustava, která nemá téměř žádné praktické uplatnění a dále se o ní neuvažuje.
Poznámka 1
Tento systém odkazuje na nepoziční číselný systém, který používá písmena k zápisu čísel latinka.
Označení čísla
Označení čísel ve starém Římě připomínalo první způsob řeckého číslování. Římané přijali speciální zápisy nejen pro čísla $1$, $10$, $100$ a $1000$, ale také pro čísla $5$, $50$ a $500$. Římské číslice vypadaly takto:
Obrázek 1.
Bylo voláno sedm čísel uvedených v tabulce nodální a s jejich pomocí bylo možné zapsat libovolná víceciferná čísla. Zpočátku se psaní římských číslic poněkud lišilo od čísel, která jsme zvyklí používat dnes. Jejich vzhled doznala v průběhu času mírných změn.
O původu římských číslic se vědci stále dohadují. Na tento problém existuje několik pohledů. Když se blíže podíváte na čísla $1$, $5$ a $10$, uvidíte, jak vypadají:
znak $I$ – na špejli;
znak $V$ - na otevřené ruce;
$X$ – na dvou zkřížených ramenech.
Tato skutečnost má ale i jiné vysvětlení.
Zpočátku byla čísla od $ 1 $ do $ 9 $ reprezentována odpovídajícím počtem vertikálních tyčí. Aby znázornili desítku, udělali následující: po vytažení tyčinek za 9 $ byla desátá přeškrtnuta. Aby nenapsali mnoho tyčinek, jednu přeškrtli. Takto se objevil obrázek znaku $X$. Obrázek znaku $V$ (číslo $5$) byl získán rozříznutím znaku $X$ (číslo $10$) na polovinu. Na druhé straně Etruskové, sousedící s Římany, kteří byli dobytí Římskou říší, použili 5 $ k zapsání čísla spodní část symbol $X$ a sami Římané používali ten horní.
Při uvedení čísla $100$ byla hůl dvakrát přeškrtnuta nebo byl použit obrázek kruhu s tečkou uvnitř. Zřejmě 50 $ představovala polovina tohoto znamení.
Spory mezi vědci o původu dalších římských číslic pokračují.S největší pravděpodobností jsou označení $C$ a $M$ spojena s římskými jmény pro stovky a tisíce. Římané volali tisíc "míle"(slovo "míle" kdysi označoval cestu tisíce kroků).
Poznámka 2
Chcete-li si snadno zapamatovat písmenná označení čísel v sestupném pořadí, použijte mnemotechnické pravidlo:
$M$y $D$arim $C$plné $L$imony, $X$vat $V$sem $I$х
Což odpovídá $M, D, C, L, X, V, I$.
Pravidla pro psaní čísel
Při označování čísel jich Římané zapsali takový počet, aby jejich součet dosáhl požadovaného počtu. Například zapsali číslo $8$ jako $VIII$ a číslo $382$ jako: $CCCLXXXII$. Při psaní tohoto čísla si můžete všimnout, že nejprve se píší velká čísla a teprve potom malá.
Někdy však Římané dělali opak, tzn. menší číslo bylo umístěno před větší, což znamenalo, že bylo nutné spíše ubírat než sčítat.
Příklad 1
Například číslo $4$ bylo označeno $IV$ (mínus jedna je pět) a číslo $9 bylo označeno IX$ (mínus jedna je deset). Vstup $XC$ znamenal 90 $ (mínus sto). Číslici s větší hodnotou může předcházet pouze jedna číslice menší hodnoty ($IV$ je správný zápis čísla, $IIV$ je nesprávný zápis).
Kdyby poblíž byli dva stejná čísla, pak byly jejich hodnoty sečteny. Například: CC – 200 $, XX – 20 $. Navíc stejné číslo nebylo možné napsat více než třikrát za sebou.
V žádném čísle nelze stejné číslice $V$, $L$, $D$ použít odděleně od sebe více než jednou ($DC$ a $DL$ jsou správný zápis čísel, $VV$ je nesprávný zápis čísla).
Dalším pravidlem je, že pokud před číslicí větší hodnoty předchází číslice menší hodnoty, pak tato číslice může být reprezentována pouze jednou z číslic $I$, $X$, $C$ ($IX$ je správný zápis čísla, $VX $ je neplatný záznam).
Pokud je před číslicí větší hodnoty číslice menší hodnoty, pak za větší číslicí v tomto páru může být číslice, která má význam méně než to, která má menší číslici z páru ($CDX$ je správné číslo, $CDC$ je nesprávné).
Pokud byla nějaká číslice uvedena v čísle jako menší číslice před větším, pak by nemohla být v tomto čísle znovu použita (čtena zleva doprava), s výjimkou situací, kdy fungovala jako větší číslice následující po menší ( $CDXC$ - správné zadání čísla, $CDCC$ je nesprávné zadání).
V případě, že po číslici s větší hodnotou následovala číslice s menší, byl její příspěvek k hodnotě čísla jako celku záporný. Příklady, které ilustrují hlavní pravidla zápis čísel v římské číselné soustavě je uveden v tabulce:
Obrázek 2
Největší číslo, které Římané mohli označit, bylo 100 000 $. Proto obvykle ve jménech velkých částky peněz slova „statisíce“ byla vynechána. Vstup znamenal 10 $ tisíc stovek, tzn. milión.
Uvedli jsme několik pravidel pro psaní čísel, která se používala v římském číselném systému. Pokud tedy nyní cestujete někam po Evropě a všimnete si na starobylé budově nápisu v římských číslicích $MDCCCXLIV$, snadno zjistíte, že byla postavena za 1844 $.
Pravidla pro provádění aritmetických operací s čísly
Sčítání a odčítání.
Přidání dvou římských číslic je docela jednoduché. Například:
$XIX + XXVI = XXXV$
Přidání se provádí v následujícím pořadí:
a) $IX + VI = XV$ ($I$ po $V$ „ničí“ $I$ před $X$);
b) $X + XX = XXX$ (při přidání dalších $X$ dostaneme $XXXX$ nebo $XL$).
Obtížnost odečítání římských číslic je přibližně stejná. Chcete-li například odečíst číslo $263$ od $500$, musí být minuend nejprve rozložen na menší složky a poté redukována opakující se znaménka v minuendu a subtrahendu:
$D – CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIIII – CCLXIII = CCXXXVII$
Násobení.
S násobením byla situace mnohem složitější.
Řekněme, že jste potřebovali vynásobit $126$ $37$ (Římané neměli akční znaky, názvy akcí byly psány slovy).
$CXXVI \cdot XXXVII$
Museli jsme vynásobit násobitel každou číslicí násobitele zvlášť a poté sečíst všechny součiny.
Tato technika pro provádění násobení je podobná násobení polynomů.
Divize.
Dělat dělení bylo v římském číselném systému velmi obtížné. K tomuto účelu byl použit speciální nástroj - abacus (starověké počítadlo). Pracovat s ním uměli a uměli jen vysoce vzdělaní lidé.
Použití římské číselné soustavy
I když římské číslování nebylo úplně vhodné, rozšířilo se po celém světě ekuména- tak nazývali staří Řekové obydlený svět, který znali. Římané jsou dobyvatelé, zotročili a podmanili si mnoho zemí, což vedlo k růstu jejich říše. Vybírali obrovské daně od zotročených národů a k tomu potřebovali používat čísla. Obyvatelé těchto zemí se proto museli naučit římské číslování a přitom proklínat své otrokáře. A to i po rozpadu Římské říše v obchodních papírech západní Evropa Toto nepohodlné číslování zůstalo v provozu. Je to nepohodlné, protože v tomto systému je obtížné provádět aritmetické operace s vícemístnými čísly. Přesto se římské číslování používalo v Itálii až do 13. století a v jiných západoevropských zemích až do 16. století.
Nevýhoda římského systému notace spočívá v tom, že postrádá formální pravidla pro zápis čísel a tedy i pravidla pro aritmetické operace s vícecifernými čísly. Vzhledem k tomu, že systém není úplně pohodlný a složitý, v současnosti jej používáme jen tam, kde je to opravdu vhodné: pro číslování kapitol a svazků v literatuře, pro určování století a sériová čísla panovníci v historii, při registraci cenné papíry, pro označení ciferníku hodinek a v řadě dalších případů.
| Plánování lekce a učební materiály | 6. třída | Materiál pro zvědavce | Římský číselný systém
Materiál
pro zvědavce
Římský číselný systém
Příkladem nepoziční číselné soustavy, která přetrvala dodnes, je číselná soustava používaná před více než dvěma a půl tisíci lety ve starém Římě.
Římský číselný systém je založen na znacích I (jeden prst) pro číslo 1, V ( otevřená dlaň) pro číslo 5, X (dvě složené dlaně) pro 10, stejně jako speciální znaky pro čísla 50, 100, 500 a 1000.
Zápis posledních čtyř čísel doznal v průběhu času značných změn. Vědci naznačují, že zpočátku znak pro číslo 100 vypadal jako shluk tří řádků jako ruské písmeno Zh a pro číslo 50 to vypadalo jako horní polovina tohoto písmene, která byla později přeměněna na znak L:
K označení čísel 100, 500 a 1000 se začala používat první písmena odpovídajících latinských slov (Centum – sto, Demimille – půl tisíce, Mille – tisíc).
K zápisu čísla používali Římané nejen sčítání, ale i odčítání klíčových čísel. Bylo použito následující pravidlo.
Hodnota každého menšího znaménka umístěného vlevo od většího se odečte od hodnoty většího znaménka.
Například položka IX představuje číslo 9 a položka XI představuje číslo 11. Desetinné číslo 28 je prezentován takto:
XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.
Desetinné číslo 99 je znázorněno následovně: XCIX = (-10 + 100) (- 1 + 10).
Skutečnost, že při psaní nových čísel lze klíčová čísla nejen sčítat, ale také odečítat, má značnou nevýhodu: zápis římskými číslicemi zbavuje číslo jednoznačného zobrazení. V souladu s výše uvedeným pravidlem může být číslo 1995 skutečně zapsáno například těmito způsoby:
MCMXCV = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10) + 5,
MDCCCCLXXXXV = 1 000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5,
MVM = 1000 + (1000 - 5),
MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) a tak dále.
Dosud neexistují jednotná pravidla pro zápis římských číslic, existují však návrhy na přijetí mezinárodního standardu pro ně.
V dnešní době se navrhuje psát kteroukoli z římských číslic jedním číslem nejvýše třikrát za sebou. Na základě toho byla vytvořena tabulka, kterou je vhodné použít k označení čísel římskými číslicemi:
Tato tabulka vám umožňuje zapsat libovolné celé číslo od 1 do 3999. Chcete-li to provést, nejprve napište své číslo jako obvykle (v desítkové soustavě). Poté pro čísla na tisících, stovkách, desítkách a jednotkách vyberte z tabulky příslušné skupiny kódů.
Pro zapsání čísel větších než 3999 se používají speciální pravidla, ale jejich seznámení přesahuje rámec našeho kurzu.
Římské číslice se používají již velmi dlouho. Ještě před 200 lety se v obchodních papírech musela čísla označovat římskými číslicemi (věřilo se, že běžné arabské číslice lze snadno padělat).
Systém římských čísel se dnes používá především pro pojmenování významných dat, svazků, oddílů a kapitol v knihách.
