Równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Rodzaje równań różniczkowych, metody rozwiązywania

Rząd pierwszy, mający postać standardową $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, gdzie $P\left(x\right)$ jest funkcją ciągłą, nazywa się jednorodnością liniową. „liniowy” tłumaczy się tym, że nieznana funkcja $y$ i jej pierwsza pochodna $y”$ są ujęte w równaniu liniowo, czyli do pierwszego stopnia. Nazwa „jednorodny” wzięła się stąd, że po prawej stronie równania znajduje się zero.

Takie równanie różniczkowe można rozwiązać metodą separacji zmiennych. Wyobraźmy sobie to forma standardowa metoda: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, gdzie $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\right)$ i $f_(2) \lewo(y\prawo)=y$.

Obliczmy całkę $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.

Obliczmy całkę $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right |$ .

Zapiszmy to wspólna decyzja w postaci $\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_(1) \right|$, gdzie $\ln \left|C_ ( 1) \right|$ jest dowolną stałą, przyjętą w postaci dogodnej do dalszych przekształceń.

Wykonajmy przekształcenia:

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_(1) \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac(\left|y\right|)(\left|C_(1) \right|) =-\int P\left(x\right)\cdot dx .\]

Korzystając z definicji logarytmu, otrzymujemy: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . Ta równość jest z kolei równoważna równości $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Zastępując dowolną stałą $C=\pm C_(1) $, otrzymujemy ogólne rozwiązanie liniowego równania różniczkowego jednorodnego: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Po rozwiązaniu równania $f_(2) \left(y\right)=y=0$ znajdujemy specjalne rozwiązania. Po zwykłym sprawdzeniu jesteśmy przekonani, że funkcja $y=0$ jest specjalnym rozwiązaniem tego równania różniczkowego.

Jednak to samo rozwiązanie można uzyskać z rozwiązania ogólnego $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $, umieszczając w nim $C=0$.

Zatem ostateczny wynik to: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

Ogólną metodę rozwiązywania liniowego jednorodnego równania różniczkowego pierwszego rzędu można przedstawić w postaci następującego algorytmu:

1. Aby rozwiązać to równanie, należy je najpierw przedstawić w standardowej postaci metody $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$. Jeżeli nie udało się tego osiągnąć, to równanie różniczkowe należy rozwiązać wzorem inna metoda.
2. Obliczamy całkę $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
3. Rozwiązanie ogólne zapisujemy w postaci $y=C\cdot e^(-I) $ i w razie potrzeby dokonujemy przekształceń upraszczających.

Problem 1

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$.

Mamy liniowe jednorodne równanie pierwszego rzędu w postaci standardowej, dla którego $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $.

Obliczamy całkę $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $.

Ogólne rozwiązanie ma postać: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $.

Liniowe niejednorodne równania różniczkowe pierwszego rzędu

Definicja

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które można przedstawić w postaci standardowej $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, gdzie $P\left(x\right)$ i $ Q\left(x\right)$ -- znane funkcje ciągłe, nazywa się liniowym niejednorodnym równaniem różniczkowym. Nazwę „niejednorodny” tłumaczy się tym, że prawa strona równania różniczkowego jest niezerowa.

Rozwiązanie jednego złożonego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego można sprowadzić do rozwiązania dwóch prostszych równania różniczkowe. W tym celu należy zastąpić wymaganą funkcję $y$ iloczynem dwóch funkcji pomocniczych $u$ i $v$, czyli postawić $y=u\cdot v$.

Rozróżniamy przyjęte zamienniki: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $. Podstawiamy otrzymane wyrażenie do równania różniczkowego: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ left(x\right)$ lub $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ prawo] =Q\lewo(x\prawo)$.

Należy pamiętać, że jeśli przyjmiemy $y=u\cdot v$, to jedną z funkcji pomocniczych można dowolnie wybrać w ramach iloczynu $u\cdot v$. Wybierzmy funkcję pomocniczą $v$ tak, aby wyrażenie w nawiasach kwadratowych miało wartość zero. Aby to zrobić wystarczy rozwiązać równanie różniczkowe $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ dla funkcji $v$ i wybrać dla niej najprostsze konkretne rozwiązanie $v=v\lewo(x \prawo)$, niezerowe. To równanie różniczkowe jest jednorodne liniowo i można je rozwiązać metodą omówioną powyżej.

Otrzymane rozwiązanie podstawiamy $v=v\left(x\right)$ do tego równania różniczkowego, biorąc pod uwagę fakt, że teraz wyrażenie w nawiasach kwadratowych jest równe zeru i otrzymujemy kolejne równanie różniczkowe, ale teraz ze względu do funkcji pomocniczej $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. To równanie różniczkowe można przedstawić jako $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $, po czym staje się oczywiste, że pozwala na natychmiastowe integracja. Dla tego równania różniczkowego konieczne jest znalezienie rozwiązania ogólnego w postaci $u=u\left(x,\; C\right)$.

Teraz możemy znaleźć ogólne rozwiązanie tego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego pierwszego rzędu w postaci $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

Ogólną metodę rozwiązywania liniowego niejednorodnego równania różniczkowego pierwszego rzędu można przedstawić w postaci następującego algorytmu:

1. Aby rozwiązać to równanie, należy je najpierw przedstawić w standardowej postaci metody $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Jeżeli nie udało się tego osiągnąć, to to równanie różniczkowe należy rozwiązać inną metodą.
2. Obliczamy całkę $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $, konkretne rozwiązanie zapisujemy w postaci $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $, wykonaj transformacje upraszczające i wybierz najprostszą niezerową opcję dla $v\left(x\right)$.
3. Obliczamy całkę $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, po czym zapisujemy wyrażenie w postaci $u \left(x, C\right)=I_(2) +C$.
4. Ogólne rozwiązanie tego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego zapisujemy w postaci $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ i w razie potrzeby przeprowadzamy przekształcenia upraszczające.

Problem 2

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$.

Mamy liniowe niejednorodne równanie pierwszego rzędu w postaci standardowej, dla którego $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ i $Q\left(x\right)=3\cdot x $.

Obliczamy całkę $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Konkretne rozwiązanie zapisujemy w postaci $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ i wykonujemy przekształcenia upraszczające: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ dobrze|) $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\lewo(x\prawo)=\lewo|x\prawo|$. Dla $v\left(x\right)$ wybieramy najprostszą niezerową opcję: $v\left(x\right)=x$.

Obliczamy całkę $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x ) \ cdot dx=3\cdot x $.

Zapisujemy wyrażenie $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$.

Na koniec zapisujemy ogólne rozwiązanie tego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego w postaci $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, czyli $y=\left( 3\cdot x+C \right)\cdot x$.

Równania różniczkowe pierwszego rzędu rozwiązywane ze względu na pochodną

Jak rozwiązywać równania różniczkowe pierwszego rzędu

Rozwiążmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu ze względu na pochodną:
.
Dzieląc to równanie przez , w , otrzymujemy równanie postaci:
,
Gdzie .

Następnie sprawdzamy, czy te równania należą do jednego z typów wymienionych poniżej. Jeśli nie, przepiszemy równanie w postaci różniczków. Aby to zrobić, piszemy i mnożymy równanie przez . Otrzymujemy równanie w postaci różniczków:
.

Jeśli to równanie nie jest równaniem w pełne dyferencjały, to uważamy, że w tym równaniu jest zmienną niezależną i jest funkcją . Podziel równanie przez:
.
Następnie sprawdzamy, czy to równanie należy do jednego z typów wymienionych poniżej, biorąc pod uwagę, że zamieniliśmy się miejscami.

Jeżeli nie znaleziono typu dla tego równania, wówczas sprawdzamy, czy możliwe jest uproszczenie równania poprzez proste podstawienie. Na przykład, jeśli równanie ma postać:
,
wtedy to zauważamy. Następnie dokonujemy zamiany. Następnie równanie przybierze prostszą postać:
.

Jeśli to nie pomoże, spróbujemy znaleźć czynnik całkujący.

Równania rozłączne

;
.
Dziel przez i integruj. Kiedy dostaniemy:
.

Równania sprowadzające się do równań rozłącznych

Równania jednorodne

Rozwiązujemy przez podstawienie:
,
gdzie jest funkcją . Następnie
;
.
Rozdzielamy zmienne i całkujemy.

Równania sprowadzające się do jednorodnych

Wprowadź zmienne i:
;
.
Wybieramy stałe i tak, aby wolne terminy zniknęły:
;
.
W rezultacie otrzymujemy jednorodne równanie w zmiennych i .

Uogólnione równania jednorodne

Dokonajmy zamiany. Otrzymujemy jednorodne równanie w zmiennych i .

Liniowe równania różniczkowe

Istnieją trzy metody rozwiązywania równań liniowych.

2) Metoda Bernoulliego.
Szukamy rozwiązania w postaci iloczynu dwóch funkcji i zmiennej:
.
;
.
Możemy dowolnie wybrać jedną z tych funkcji. Dlatego wybieramy dowolne niezerowe rozwiązanie równania jako:
.

3) Metoda wariacji stałej (Lagrange'a).
Tutaj najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne:

Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego ma postać:
,
gdzie jest stałą. Następnie zastępujemy stałą funkcją zależną od zmiennej:
.
Podstaw do pierwotnego równania. W rezultacie otrzymujemy równanie, z którego wyznaczamy .

Równania Bernoulliego

Przez podstawienie równanie Bernoulliego sprowadza się do równania liniowego.

Równanie to można również rozwiązać metodą Bernoulliego. Oznacza to, że szukamy rozwiązania w postaci iloczynu dwóch funkcji w zależności od zmiennej:
.
Podstaw do pierwotnego równania:
;
.
Wybieramy dowolne niezerowe rozwiązanie równania jako:
.
Po ustaleniu otrzymujemy równanie ze zmiennymi rozłącznymi dla .

Równania Riccatiego

Nie jest to rozwiązane w ogólna perspektywa. Podstawienie

Równanie Riccatiego sprowadza się do postaci:
,
gdzie jest stałą; ; .
Następnie przez podstawienie:

sprowadza się to do postaci:
,
Gdzie .

Na stronie przedstawiono własności równania Riccatiego oraz niektóre szczególne przypadki jego rozwiązania
Równanie różniczkowe Riccatiego >>>

Równania Jacobiego

Rozwiązane przez podstawienie:
.

Równania w różniczkach całkowitych

Jeśli się uwzględni
.
Jeśli ten warunek jest spełniony, wyrażeniem po lewej stronie równości jest różniczka jakiejś funkcji:
.
Następnie
.
Stąd otrzymujemy całkę równania różniczkowego:
.

Aby znaleźć funkcję, najwygodniej jest metodą sekwencyjnej ekstrakcji różniczkowej. Aby to zrobić, użyj formuł:
;
;
;
.

Czynnik integrujący

Jeśli równania różniczkowego pierwszego rzędu nie można zredukować do żadnego z wymienionych typów, możesz spróbować znaleźć czynnik całkujący. Czynnik całkujący to funkcja, przez którą pomnożona równanie różniczkowe staje się równaniem w różniczkach całkowitych. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu ma nieskończona liczba czynniki integrujące. Nie ma jednak ogólnych metod znajdowania czynnika całkującego.

Równania nierozwiązane dla pochodnej y”

Równania, które można rozwiązać w odniesieniu do pochodnej y”

Najpierw musisz spróbować rozwiązać równanie w odniesieniu do pochodnej. Jeśli to możliwe, równanie można sprowadzić do jednego z typów wymienionych powyżej.

Równania, które można rozłożyć na czynniki

Jeśli możesz rozłożyć równanie na czynniki:
,
wtedy zadanie sprowadza się do spójne rozwiązanie prostsze równania:
;
;

;
. Wierzymy.
Następnie
Lub .
;
.
Następnie całkujemy równanie:

W rezultacie otrzymujemy wyrażenie drugiej zmiennej poprzez parametr. Więcej:
równania ogólne
Lub są również rozwiązywane w postaci parametrycznej. Aby to zrobić, musisz wybrać taką funkcję oryginalne równanie
można wyrazić albo poprzez parametr.
;
.

Aby wyrazić drugą zmienną poprzez parametr, całkujemy równanie:

Równania rozwiązane dla y

Równania Clairauta

Równanie to ma rozwiązanie ogólne

Równania Lagrange'a

Szukamy rozwiązania w postaci parametrycznej. Zakładamy, gdzie jest parametrem.

Równania prowadzące do równania Bernoulliego

Równania te sprowadzają się do równania Bernoulliego, jeśli szukamy ich rozwiązań w postaci parametrycznej poprzez wprowadzenie parametru i dokonanie podstawienia.
Bibliografia:
V.V. Stepanov, Przebieg równań różniczkowych, „LKI”, 2015.

N.M. Gunter, RO Kuźmin, Zbiór problemów matematyki wyższej, „Lan”, 2003. Równanie różniczkowe to równanie, które obejmuje funkcję i jedną lub więcej jej pochodnych. W większości problemów praktycznych funkcje są wielkości fizyczne

, pochodne odpowiadają szybkościom zmian tych wielkości, a równanie określa zależność między nimi. W artykule omówiono metody rozwiązywania niektórych typów równań różniczkowych zwyczajnych, których rozwiązania można zapisać w postaci funkcje elementarne , czyli wielomian, wykładniczy, logarytmiczny i trygonometryczny, a także ich funkcje odwrotne. Wiele z tych równań pojawia się w prawdziwe życie , chociaż większości innych równań różniczkowych nie można rozwiązać tymi metodami, a dla nich odpowiedź jest zapisana w postaci funkcji specjalnych lub szereg potęgowy

lub jest znajdowany metodami numerycznymi.

Aby zrozumieć ten artykuł, musisz być biegły w rachunku różniczkowym i całkowym, a także mieć pewną wiedzę na temat pochodnych cząstkowych. Zalecana jest także znajomość podstaw algebry liniowej w zastosowaniu do równań różniczkowych, zwłaszcza równań różniczkowych drugiego rzędu, chociaż do ich rozwiązania wystarczy znajomość rachunku różniczkowego i całkowego.

• Wstępne informacje Równania różniczkowe mają obszerną klasyfikację. W tym artykule mowa o Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe cząstkowe, które obejmują funkcje kilku zmiennych. W tym artykule nie omawiamy równań różniczkowych cząstkowych, ponieważ metody rozwiązywania tych równań są zwykle określone przez ich szczególną postać.
  • Poniżej znajduje się kilka przykładów zwykłych równań różniczkowych.
    • re y re x = k y (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = ky)
    • re 2 x re t 2 + k x = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) x) ({\ operatorname (d)) t ^ (2)}) + kx = 0)
  • Poniżej znajduje się kilka przykładów równań różniczkowych cząstkowych.
    • ∂ 2 fa ∂ x 2 + ∂ 2 fa ∂ y 2 = 0 (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe ^ (2) f) (\ częściowe x ^ (2))) + (\ Frac (\ częściowe ^ (2) )f)(\częściowe y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t - α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe u) (\ częściowe t)) - \ alfa (\ Frac (\ częściowe ^ (2) u) (\ częściowe x ^(2)))=0)
• Zamówienie równania różniczkowego wyznacza się rząd najwyższej pochodnej zawartej w tym równaniu. Pierwsze z powyższych równań różniczkowych zwyczajnych jest równaniem pierwszego rzędu, natomiast drugie jest równaniem drugiego rzędu. Stopień równania różniczkowego to największa potęga, do której podniesiony jest jeden ze składników tego równania.
  • Na przykład poniższe równanie jest trzecim rzędem i drugim stopniem.
    • (re 3 y re x 3) 2 + re y re x = 0 (\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (3) y) ({\ operatorname (d)) x ^ (3)}) \ prawo)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Równanie różniczkowe jest liniowe równanie różniczkowe w przypadku, gdy funkcja i wszystkie jej pochodne są pierwszego stopnia. W przeciwnym razie równanie jest takie nieliniowe równanie różniczkowe. Liniowe równania różniczkowe są niezwykłe, ponieważ ich rozwiązania można wykorzystać do tworzenia kombinacji liniowych, które będą również rozwiązaniami danego równania.
  • Poniżej znajduje się kilka przykładów liniowych równań różniczkowych.
  • Poniżej znajduje się kilka przykładów nieliniowych równań różniczkowych. Pierwsze równanie jest nieliniowe ze względu na człon sinusoidalny.
    • re 2 θ re t 2 + sol l grzech ⁡ θ = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) \ teta) {{\ operatorname (d)) t ^ (2)}) + ( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • re 2 x re t 2 + (d x re t) 2 + t x 2 = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) x) ({\ operatorname (d)) t ^ (2)}) + \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Wspólna decyzja zwykłe równanie różniczkowe nie jest unikalne, obejmuje dowolne stałe całkowania. W większości przypadków liczba dowolnych stałych jest równa rządowi równania. W praktyce wartości tych stałych wyznacza się na podstawie danych warunki początkowe, czyli zgodnie z wartościami funkcji i jej pochodnych w x = 0. (\ displaystyle x = 0.) Liczba warunków początkowych, które należy znaleźć rozwiązanie prywatne równanie różniczkowe w większości przypadków jest również równe rzędowi danego równania.
  • Na przykład w tym artykule przyjrzymy się rozwiązaniu poniższego równania. Jest to liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu. Jego ogólne rozwiązanie zawiera dwie dowolne stałe. Aby znaleźć te stałe, należy znać warunki początkowe w x (0) (\ displaystyle x (0)) I x ′ (0) . (\ displaystyle x” (0).) Zwykle warunki początkowe są określone w punkcie x = 0 , (\ displaystyle x = 0,), chociaż nie jest to konieczne. W artykule omówione zostanie również, jak znaleźć konkretne rozwiązania dla danych warunków początkowych.
    • re 2 x re t 2 + k 2 x = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) x) ({\ operatorname (d)) t ^ (2)}) + k ^ (2 )x=0)
    • x (t) = do 1 sałata ⁡ k x + do 2 grzech ⁡ k x (\ Displaystyle x (t) = c_ (1) \ cos kx + c_ (2) \ sin kx)

Kroki

Część 1

Równania pierwszego rzędu

Podczas korzystania z tej usługi niektóre informacje mogą zostać przesłane do serwisu YouTube.

1. Równania liniowe pierwszego rzędu. W tej sekcji omówiono metody rozwiązywania liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu w ogólnych i szczególnych przypadkach, gdy niektóre wyrazy są równe zero. Udawajmy, że tak y = y (x) , (\ displaystyle y = y (x),) p (x) (\ displaystyle p (x)) I q (x) (\ displaystyle q (x)) są funkcje X. (\ displaystyle x.)

   re y re x + p (x) y = q (x) (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)) + p (x) y = q (x ))
   

   P. (x) = 0. (\ Displaystyle p (x) = 0.) Zgodnie z jednym z głównych twierdzeń Analiza matematyczna, całka pochodnej funkcji jest również funkcją. Zatem wystarczy po prostu całkować równanie, aby znaleźć rozwiązanie. Należy to wziąć pod uwagę przy obliczaniu Całka nieoznaczona pojawia się dowolna stała.

   • y (x) = ∫ q (x) re x (\ Displaystyle y (x) = \ int q (x) (\ operatorname (d)) x)

   Q (x) = 0. (\ displaystyle q (x) = 0.) Używamy metody separacja zmiennych. To przenosi różne zmienne na różne strony równania. Na przykład możesz przenieść wszystkich członków z y (\ displaystyle y) w jedno, a wszyscy członkowie z x (\ displaystyle x) na drugą stronę równania. Członkowie mogą być również przenoszeni re x (\ Displaystyle (\ operatorname (d)) x) I re y (\ Displaystyle (\ operatorname (d)) y), które wchodzą w skład wyrażeń pochodnych należy jednak pamiętać, że jest to jedynie symbol wygodny przy różniczkowaniu funkcji zespolonej. Dyskusja tych członków, którzy są tzw różnice, wykracza poza zakres tego artykułu.

   • Najpierw musisz przenieść zmienne na przeciwne strony znaku równości.
     • 1 y re y = - p (x) re x (\ Displaystyle (\ Frac (1) (y)) (\ operatorname (d)) y = - p (x) (\ operatorname (d)) x)
   • Całkujmy obie strony równania. Po całkowaniu po obu stronach pojawią się dowolne stałe, które można przenieść na prawą stronę równania.
     • ln ⁡ y = ∫ - p (x) re x (\ Displaystyle \ ln y = \ int -p (x) (\ operatorname (d)) x)
     • y (x) = mi - ∫ p (x) re x (\ Displaystyle y (x) = e ^ (- \ int p (x) (\ operatorname (d)) x)}
   • Przykład 1.1. W ostatnim kroku skorzystaliśmy z reguły mi za + b = mi za mi b (\ displaystyle e ^ (a + b) = e ^ (a) e ^ (b)) i zastąpiony mi do (\ displaystyle e ^ (C)) NA C (\ displaystyle C), ponieważ jest to również dowolna stała całkowania.
     • re y re x - 2 y grzech ⁡ x = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x}) -2y \ sin x = 0)
     • 1 2 y re y = grzech ⁡ x re x 1 2 ln ⁡ y = - sałata ⁡ x + do ln ⁡ y = - 2 sałata ⁡ x + do y (x) = do mi - 2 sałata ⁡ x (\ Displaystyle (\ początek (wyrównane )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(wyrównane)))

   P. (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\ Displaystyle p (x) \ neq 0, \ q (x) \ neq 0.) Aby znaleźć ogólne rozwiązanie, wprowadziliśmy czynnik integrujący jako funkcja x (\ displaystyle x) zredukować lewa strona do wspólnej pochodnej i w ten sposób rozwiązać równanie.

   • Pomnóż obie strony przez μ (x) (\ Displaystyle \ mu (x))
     • μ re y re x + μ p y = μ q (\ Displaystyle \ mu (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x}) + \ mu py = \ mu q)
   • Aby sprowadzić lewą stronę do pochodnej ogólnej należy dokonać następujących przekształceń:
     • re re x (μ y) = re μ re x y + μ re y re x = μ re y re x + μ p y (\ Displaystyle (\ Frac (\ operatorname (d)) ({\ operatorname (d)) x)) (\ mu y) = (\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Oznacza to ostatnia równość re μ re x = μ p (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) \ mu) ({\ operatorname (d)) x}) = \ mu p). Jest to czynnik całkujący wystarczający do rozwiązania dowolnego równania liniowego pierwszego rzędu. Teraz możemy wyprowadzić wzór na rozwiązanie tego równania w odniesieniu do μ , (\ displaystyle \ mu,) chociaż w szkoleniu przydatne jest wykonanie wszystkich obliczeń pośrednich.
     • μ (x) = mi ∫ p (x) re x (\ Displaystyle \ mu (x) = e ^ (\ int p (x) (\ operatorname (d)) x)}
   • Przykład 1.2. Ten przykład pokazuje, jak znaleźć konkretne rozwiązanie równania różniczkowego przy danych warunkach początkowych.
     • t re y re t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\ Displaystyle t (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) t)} + 2y = t ^ (2) ,\quad y(2)=3)
     • re y re t + 2 t y = t (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) t}) + (\ Frac (2) (t)) y = t)
     • μ (x) = mi ∫ p (t) re t = mi 2 ln ⁡ t = t 2 (\ Displaystyle \ mu (x) = e ^ (\ int p (t) (\ operatorname (d)) t) = e ^(2\ln t)=t^(2))
     • re re t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + do y (t) = 1 4 t 2 + do t 2 (\ Displaystyle (\ początek (wyrównane) (\ Frac (\ operatorname (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + do 4 , do = 8 (\ Displaystyle 3 = y (2) = 1 + (\ Frac (C) (4)), \ quad C = 8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\ Displaystyle y (t) = (\ Frac (1) (4)) t ^ (2) + (\ Frac (8) (t ^ (2)) ))
   
   Rozwiązywanie równań liniowych pierwszego rzędu (rejestracja Intuit – National Open University).

2. Równania nieliniowe pierwszego rzędu. W tej sekcji omówiono metody rozwiązywania niektórych nieliniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu. Chociaż nie ma ogólnej metody rozwiązywania takich równań, niektóre z nich można rozwiązać za pomocą poniższych metod.

   re y re x = fa (x, y) (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = f (x, y)}
   re y re x = godz (x) sol (y) . (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = h (x) g (y).) Jeśli funkcja fa (x, y) = godz (x) sol (y) (\ displaystyle f (x, y) = h (x) g (y)) można podzielić na funkcje jednej zmiennej, takie równanie nazywa się równanie różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi. W takim przypadku możesz zastosować powyższą metodę:

   • ∫ re y godz (y) = ∫ sol (x) re x (\ Displaystyle \ int (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) (h (y)}) = \ int g (x) (\ operatorname (d) )X)
   • Przykład 1.3.
     • re y re x = x 3 y (1 + x 4) (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)) = (\ Frac (x ^ (3)) ( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y re y = ∫ x 3 1 + x 4 re x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + do y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + do (\ displaystyle (\ rozpocząć(wyrównane)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(wyrównane)))

   re y re x = sol (x, y) godz (x, y) . (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = (\ Frac (g (x, y)) (h (x, y))).) Udawajmy, że tak sol (x, y) (\ displaystyle g (x, y)) I h (x, y) (\ displaystyle h (x, y)) są funkcje x (\ displaystyle x) I y. (\ displaystyle y.) Następnie jednorodne równanie różniczkowe jest równaniem, w którym g (\ displaystyle g) I h (\ displaystyle h) Czy funkcje jednorodne w tym samym stopniu. Oznacza to, że funkcje muszą spełniać warunek sol (α x, α y) = α k sol (x, y) , (\ Displaystyle g (\ alfa x, \ alfa y) = \ alfa ^ (k) g (x, y),) Gdzie k (\ displaystyle k) nazywa się stopniem jednorodności. Można zastosować dowolne jednorodne równanie różniczkowe podstawienia zmiennych (v = y / x (\ displaystyle v = y / x) równania ogólne v = x / y (\ displaystyle v = x/y)) przekształcić w równanie rozłączne.

   • Przykład 1.4. Powyższy opis jednorodności może wydawać się niejasny. Spójrzmy na tę koncepcję na przykładzie.
     • re y re x = y 3 - x 3 y 2 x (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = (\ Frac (y ^ (3) -x ^ (3))(y^(2)x)))
     • Na początek należy zauważyć, że równanie to jest nieliniowe względem y. (\ displaystyle y.) Widzimy to także w w tym przypadku Nie można oddzielać zmiennych. Jednocześnie to równanie różniczkowe jest jednorodne, ponieważ zarówno licznik, jak i mianownik są jednorodne z potęgą 3. Dlatego możemy dokonać zmiany zmiennych v = y/x. (\ Displaystyle v = y/x.)
     • re y re x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x}) = (\ Frac (y) (x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , re y re x = re v re x x + v (\ Displaystyle y = vx, \ quad (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)) = (\ Frac ({\ operatorname (d) )v)((\mathrm (d))x))x+v)
     • re v re x x = - 1 v 2 . (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) v) ({\ operatorname (d)) x}) x = - (\ Frac (1) (v ^ (2))).) W efekcie mamy równanie v (\ displaystyle v) z rozdzielnymi zmiennymi.
     • v (x) = - 3 ln ⁡ x + do 3 (\ Displaystyle v (x) = (\ sqrt [(3)] (-3 \ ln x + C)}}
     • y (x) = x - 3 ln ⁡ x + do 3 (\ Displaystyle y (x) = x (\ sqrt [(3)] (-3 \ ln x + C)}}

   re y re x = p (x) y + q (x) y n . (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = p (x) y + q (x) y ^ (n).) Ten Równanie różniczkowe Bernoulliego- specjalny rodzaj równania nieliniowego pierwszego stopnia, którego rozwiązanie można zapisać za pomocą funkcji elementarnych.

   • Pomnóż obie strony równania przez (1 - n) y - n (\ Displaystyle (1-n) y ^ (-n)):
     • (1 - n) y - n re y re x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\ Displaystyle (1-n) y ^ (-n) (\ Frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Korzystamy z reguły różniczkowania funkcji zespolonej po lewej stronie i przekształcamy równanie na równanie liniowe stosunkowo y 1 - n , (\ Displaystyle y ^ (1-n),) które można rozwiązać powyższymi metodami.
     • re y 1 - n re x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y ^ (1-n)} ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) re y re x = 0. (\ Displaystyle M (x, y) + N (x, y) (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d) )x))=0.) Ten równanie różnic całkowitych. Konieczne jest znalezienie tzw potencjalna funkcja φ (x, y) , (\ Displaystyle \ varphi (x, y)), co spełnia warunek re φ re x = 0. (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) \ varphi) ({\ operatorname (d)) x)} = 0.)

   • Do wykonania ten warunek muszę mieć całkowita pochodna. Całkowita pochodna uwzględnia zależność od innych zmiennych. Aby obliczyć całkowitą pochodną φ (\ displaystyle \ varphi) Przez x , (\ displaystyle x,) zakładamy, że y (\ displaystyle y) może również zależeć X. (\ displaystyle x.)
     • re φ re x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y re y re x (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) \ varphi) ({\ operatorname (d)) x)) = (\ Frac (\ częściowe \ varphi )(\częściowe x))+(\frac (\częściowe \varphi )(\częściowe y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Porównanie terminów daje nam M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\ Displaystyle M (x, y) = (\ Frac (\ częściowe \ varphi) (\ częściowe x)}) I N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\ Displaystyle N (x, y) = (\ Frac (\ częściowe \ varphi) (\ częściowe y)).) Jest to typowy wynik dla równań z kilkoma zmiennymi, w których mieszane pochodne funkcji gładkich są sobie równe. Czasami nazywa się ten przypadek Twierdzenie Clairauta. W tym przypadku równanie różniczkowe jest całkowitym równaniem różniczkowym, jeśli następny warunek:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe M) (\ częściowe y)) = (\ Frac (\ częściowe N) (\ częściowe x)})
   • Metoda rozwiązywania równań w różniczkach całkowitych jest podobna do znajdowania potencjalnych funkcji w obecności kilku pochodnych, które pokrótce omówimy. Najpierw integrujmy się M (\ displaystyle M) Przez X. (\ displaystyle x.) Ponieważ M (\ displaystyle M) jest funkcją i x (\ displaystyle x), I y , (\ displaystyle y,) po całkowaniu otrzymujemy funkcję niekompletną φ , (\ Displaystyle \ varphi,) oznaczony jako φ ~ (\ Displaystyle (\ tylda (\ varphi))). Wynik zależy również od y (\ displaystyle y) stała integracji.
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) re x = φ ~ (x, y) + do (y) (\ Displaystyle \ varphi (x, y) = \ int M (x, y) (\ operatorname (d) )x=(\tylda (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Po tym, aby uzyskać do (y) (\ displaystyle c (y)) możemy obliczyć pochodną cząstkową otrzymanej funkcji względem y , (\ displaystyle y,) zrównać wynik N (x, y) (\ displaystyle N (x, y)) i integrować. Można też najpierw zintegrować N (\ displaystyle N), a następnie weź pochodną cząstkową względem x (\ displaystyle x), co pozwoli Ci znaleźć dowolną funkcję d(x). (\ displaystyle d (x).) Obie metody są odpowiednie i zazwyczaj do całkowania wybierana jest prostsza funkcja.
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + re do re y (\ Displaystyle N (x, y) = (\ Frac (\ częściowe \ varphi) (\ częściowe y)) = (\ Frac (\ częściowe (\tylda (\varphi )))(\częściowe y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Przykład 1.5. Możesz wziąć pochodne cząstkowe i zobaczyć, że poniższe równanie jest całkowitym równaniem różniczkowym.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y re y re x = 0 (\ Displaystyle 3x ^ (2) + y ^ (2) + 2xy (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) re x = x 3 + x y 2 + do (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + re do re y (\ Displaystyle (\ początek (wyrównany) \ varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\częściowe \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • re do re y = 0 , do (y) = do (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) c) ({\ operatorname (d)) y)} = 0, \ quad c (y) = C)
     • x 3 + x y 2 = do (\ displaystyle x ^ (3) + xy ^ (2) = C)
   • Jeśli równanie różniczkowe nie jest równaniem różniczkowym całkowitym, w niektórych przypadkach można znaleźć współczynnik całkujący, który pozwala na przekształcenie go w całkowite równanie różniczkowe. Jednak takie równania są rzadko stosowane w praktyce i chociaż czynnik całkujący istnieje, zdarza się, że to znajdzie niełatwe, dlatego równania te nie są rozważane w tym artykule.

Część 2

Równania drugiego rzędu

1. Jednorodne liniowe równania różniczkowe z stałe współczynniki. Równania te są szeroko stosowane w praktyce, dlatego ich rozwiązanie ma pierwszorzędne znaczenie. W tym przypadku nie mówimy o funkcjach jednorodnych, ale o tym, że po prawej stronie równania jest 0. W następnej sekcji pokażemy, jak rozwiązać odpowiedni heterogeniczny równania różniczkowe. Poniżej za (\ displaystyle a) I b (\ displaystyle b) są stałymi.

   re 2 y re x 2 + za re y re x + b y = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d)) x ^ (2)}) + a (\ frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Równanie charakterystyczne. To równanie różniczkowe jest niezwykłe, ponieważ można je bardzo łatwo rozwiązać, jeśli zwrócisz uwagę na to, jakie właściwości powinny mieć jego rozwiązania. Z równania wynika, że y (\ displaystyle y) i jego pochodne są do siebie proporcjonalne. Z poprzednich przykładów, które zostały omówione w części dotyczącej równań pierwszego rzędu, wiemy tylko to funkcja wykładnicza. Dlatego można zaproponować ansatz(wykształcone przypuszczenie), jakie będzie rozwiązanie danego równania.

   • Rozwiązanie będzie miało postać funkcji wykładniczej mi r x , (\ Displaystyle e ^ (rx)) Gdzie r (\ displaystyle r) jest stałą, której wartość należy znaleźć. Podstaw tę funkcję do równania i otrzymaj następujące wyrażenie
     • mi r x (r 2 + za r + b) = 0 (\ displaystyle e ^ (rx) (r ^ (2) + ar + b) = 0)
   • Równanie to wskazuje, że iloczyn funkcji wykładniczej i wielomianu musi być równy zero. Wiadomo, że wykładnik nie może być równy zero dla żadnej wartości stopnia. Z tego wnioskujemy, że wielomian jest równy zero. W ten sposób sprowadziliśmy problem rozwiązania równania różniczkowego do znacznie prostszego problemu rozwiązania równania algebraicznego, który nazywa się równaniem charakterystycznym dla danego równania różniczkowego.
     • r 2 + za r + b = 0 (\ displaystyle r ^ (2) + ar + b = 0)
     • r ± = - za ± za 2 - 4 b 2 (\ Displaystyle r _ (\ pm) = (\ Frac (-a \ pm (\ sqrt (a ^ (2) -4b))) (2))}
   • Mamy dwa korzenie. Ponieważ to równanie różniczkowe jest liniowe, jego ogólnym rozwiązaniem jest liniowa kombinacja rozwiązań częściowych. Ponieważ jest to równanie drugiego rzędu, wiemy, że tak jest Naprawdę rozwiązanie ogólne i nie ma innych. Bardziej rygorystyczne uzasadnienie tego tkwi w twierdzeniach o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania, które można znaleźć w podręcznikach.
   • Przydatnym sposobem sprawdzenia, czy dwa rozwiązania są liniowo niezależne, jest obliczenie Wrońskiana. Wrońskian W (\ displaystyle W) jest wyznacznikiem macierzy, której kolumny zawierają funkcje i ich kolejne pochodne. Twierdzenie o algebrze liniowej stwierdza, że ​​funkcje zawarte w Wrońskim są liniowo zależne, jeśli Wrońskian jest równy zero. W tej sekcji możemy sprawdzić, czy dwa rozwiązania są liniowo niezależne - w tym celu musimy się upewnić, że Wrońskian nie jest równy zero. Wrońskian jest ważny przy rozwiązywaniu niejednorodnych równań różniczkowych o stałych współczynnikach metodą zmiennych parametrów.
     • W = | r 1 r 2 r 1 ′ r 2 ′ | (\ Displaystyle W = (\ początek (vmatrix) y_ (1) i y_ (2) \\ y_ (1) "& y_ (2)" \ koniec (vmatrix)})
   • W algebrze liniowej zbiór wszystkich rozwiązań danego równania różniczkowego tworzy przestrzeń wektorową, której wymiar jest równy rządowi równania różniczkowego. W tej przestrzeni można wybrać bazę liniowo niezależny decyzje od siebie. Jest to możliwe dzięki temu, że funkcja y (x) (\ displaystyle y (x)) ważny operator liniowy. Pochodna Jest operator liniowy, gdyż przekształca przestrzeń funkcji różniczkowalnych w przestrzeń wszystkich funkcji. Równania nazywane są jednorodnymi w tych przypadkach, gdy dla niektórych operator liniowy L (\ displaystyle L) musimy znaleźć rozwiązanie równania L [ y ] = 0. (\ displaystyle L [y] = 0.)

   Przejdźmy teraz do rozważenia kilku konkretnych przykładów. Przypadek wielokrotnych pierwiastków równania charakterystycznego rozważymy nieco później, w części poświęconej redukcji rzędu.

   Jeśli korzenie r ± (\ displaystyle r _ (\ pm)) są różnymi liczbami rzeczywistymi, równanie różniczkowe ma następujące rozwiązanie

   • y (x) = do 1 mi r + x + do 2 mi r - x (\ displaystyle y (x) = c_ (1) e ^ (r_ (+) x) + c_ (2) e ^ (r_ (-) x ))

   Dwa złożone korzenie. Z podstawowego twierdzenia algebry wynika, że ​​rozwiązania równań wielomianowych o współczynnikach rzeczywistych mają pierwiastki rzeczywiste lub tworzą pary sprzężone. Dlatego jeśli Liczba zespolona r = α + ja β (\ Displaystyle r = \ alfa + i \ beta) jest zatem pierwiastkiem równania charakterystycznego r ∗ = α - ja β (\ Displaystyle r ^ (*) = \ alfa -i \ beta) jest także pierwiastkiem tego równania. Rozwiązanie możemy więc zapisać w postaci do 1 mi (α + ja β) x + do 2 mi (α - ja β) x , (\ Displaystyle c_ (1) e ^ ({\ alfa + i \ beta) x) + c_ (2) e ^ ( (\alfa -i\beta)x),) jest to jednak liczba zespolona i nie jest pożądana do rozwiązywania problemów praktycznych.

   • Zamiast tego możesz użyć Wzór Eulera mi ja x = sałata ⁡ x + ja grzech ⁡ x (\ Displaystyle e ^ (ix) = \ cos x + i \ sin x), co pozwala nam zapisać rozwiązanie w postaci funkcje trygonometryczne:
     • mi α x ( do 1 sałata ⁡ β x + ja do 1 grzech ⁡ β x + do 2 sałata ⁡ β x - ja do 2 grzech ⁡ β x) (\ Displaystyle e ^ (\ alfa x) (c_ (1) \ cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Teraz możesz zamiast stałej do 1 + do 2 (\ displaystyle c_ (1) + c_ (2)) zanotować do 1 (\ displaystyle c_ (1)) i wyrażenie ja ( do 1 - do 2) (\ Displaystyle i (c_ (1) -c_ (2))) zastąpione przez c 2 . (\ Displaystyle c_ (2).) Po tym otrzymujemy następujące rozwiązanie:
     • y (x) = mi α x (c 1 sałata ⁡ β x + do 2 grzech ⁡ β x) (\ Displaystyle y (x) = e ^ (\ alfa x) (c_ (1) \ cos \ beta x + c_ (2)\sin\beta x))
   • Istnieje inny sposób zapisania rozwiązania w kategoriach amplitudy i fazy, który lepiej nadaje się do problemów fizycznych.
   • Przykład 2.1. Znajdźmy rozwiązanie podanego poniżej równania różniczkowego przy danych warunkach początkowych. Aby to zrobić, musisz wziąć wynikowe rozwiązanie, jak i jego pochodna i podstawimy je do warunków początkowych, co pozwoli nam wyznaczyć dowolne stałe.
     • re 2 x re t 2 + 3 re x re t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = - 1 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) x) (( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 2 ± 31 2 ja (\ Displaystyle r ^ (2) + 3r + 10 = 0, \ quad r _ (\ pm) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )I)
     • x (t) = mi - 3 t / 2 (do 1 sałata ⁡ 31 2 t + do 2 grzech ⁡ 31 2 t) (\ Displaystyle x (t) = e ^ (-3t / 2) \ lewo (c_ (1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = do 1 (\ Displaystyle x (0) = 1 = c_ (1))
     • x ′ (t) = - 3 2 mi - 3 t / 2 ( do 1 sałata ⁡ 31 2 t + do 2 grzech ⁡ 31 2 t) + mi - 3 t / 2 (- 31 2 do 1 grzech ⁡ 31 2 t + 31 2 do 2 sałata ⁡ 31 2 t) (\ Displaystyle (\ początek (wyrównane) x" (t) i = - (\ Frac (3) (2)) e ^ (-3t / 2) \ lewo (c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = - 1 = - 3 2 do 1 + 31 2 do 2 , do 2 = 1 31 (\ Displaystyle x" (0) = -1 = - (\ Frac (3) (2)) c_ ( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = mi - 3 t / 2 (bos ⁡ 31 2 t + 1 31 grzech ⁡ 31 2 t) (\ Displaystyle x (t) = e ^ (-3t / 2) \ lewo (\ cos (\ frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Rozwiązywanie równań różniczkowych n-tego rzędu o stałych współczynnikach (rejestracja Intuit - National Open University).

2. Malejący porządek. Redukcja rzędu to metoda rozwiązywania równań różniczkowych, gdy znane jest jedno liniowo niezależne rozwiązanie. Metoda ta polega na obniżeniu rzędu równania o jeden, co pozwala na rozwiązanie równania metodami opisanymi w poprzednim rozdziale. Niech rozwiązanie będzie znane. Główną ideą redukcji rzędu jest znalezienie rozwiązania w poniższej formie, gdzie konieczne jest zdefiniowanie funkcji v (x) (\ displaystyle v (x)), podstawiając go do równania różniczkowego i znajdując v(x). (\ Displaystyle v (x).) Przyjrzyjmy się, jak możemy zastosować redukcję rzędu do rozwiązania równania różniczkowego ze stałymi współczynnikami i wieloma pierwiastkami.

   
   

   Wiele korzeni jednorodne równanie różniczkowe o stałych współczynnikach. Przypomnijmy, że równanie drugiego rzędu musi mieć dwa liniowo niezależne rozwiązania. Jeśli równanie charakterystyczne ma wiele korzeni, wiele rozwiązań Nie tworzy przestrzeń, ponieważ rozwiązania te są liniowo zależne. W takim przypadku konieczne jest zastosowanie redukcji rzędu w celu znalezienia drugiego liniowo niezależnego rozwiązania.

   • Niech równanie charakterystyczne ma wiele pierwiastków r (\ displaystyle r). Załóżmy, że drugie rozwiązanie można zapisać w postaci y (x) = mi r x v (x) (\ displaystyle y (x) = e ^ (rx) v (x)) i podstawiamy go do równania różniczkowego. W tym przypadku większość terminów, z wyjątkiem wyrazu z drugą pochodną funkcji v , (\ displaystyle v,) zostanie zredukowane.
     • v ″ (x) mi r x = 0 (\ displaystyle v"" (x) e ^ (rx) = 0)
   • Przykład 2.2. Niech zostanie podane następujące równanie, które ma wiele pierwiastków r = - 4. (\ displaystyle r = -4.) Podczas podstawienia większość terminów ulega redukcji.
     • re 2 y re x 2 + 8 re y re x + 16 y = 0 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d)) x ^ (2)}) + 8 ( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) mi - 4 x y ′ = v ′ (x) mi - 4 x - 4 v (x) mi - 4 x y ″ = v ″ (x) e - 4 x - 8 v ′ (x) e - 4 x + 16 v (x) mi - 4 x (\ Displaystyle (\ początek (wyrównany) y & = v (x) e ^ (-4x) \\ y" i = v" (x) e ^ (-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(wyrównane)))
     • v ″ mi - 4 x - 8 v ′ mi - 4 x + 16 v mi - 4 x + 8 v ′ mi - 4 x - 32 v mi - 4 x + 16 v mi - 4 x = 0 (\ displaystyle (\ rozpocząć (wyrównane )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • Podobnie jak w naszym ansatzu dla równania różniczkowego o stałych współczynnikach, w tym przypadku tylko druga pochodna może być równa zeru. Całkujemy dwukrotnie i uzyskujemy pożądane wyrażenie v (\ displaystyle v):
     • v (x) = do 1 + do 2 x (\ displaystyle v (x) = c_ (1) + c_ (2) x)
   • Następnie ogólne rozwiązanie równania różniczkowego o stałych współczynnikach w przypadku, gdy równanie charakterystyczne ma wiele pierwiastków, można zapisać w następującej postaci. Dla wygody możesz zapamiętać to, aby uzyskać niezależność liniowa po prostu pomnóż drugi wyraz przez x (\ displaystyle x). Ten zbiór rozwiązań jest liniowo niezależny, dlatego znaleźliśmy wszystkie rozwiązania tego równania.
     • y (x) = (c 1 + do 2 x) mi r x (\ displaystyle y (x) = (c_ (1) + c_ (2) x) e ^ (rx)}

   re 2 y re x 2 + p (x) re y re x + q (x) y = 0. (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d)) x ^ ( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Redukcja zamówienia ma zastosowanie, jeśli rozwiązanie jest znane y 1 (x) (\ Displaystyle y_ (1) (x)), które można znaleźć lub podać w opisie problemu.

   • Szukamy rozwiązania w formie y (x) = v (x) y 1 (x) (\ Displaystyle y (x) = v (x) y_ (1) (x)) i podstawiamy to do równania:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\ displaystyle v"" y_ ( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Ponieważ y 1 (\ displaystyle y_ (1)) jest rozwiązaniem równania różniczkowego, wszystkie terminy z v (\ displaystyle v) są redukowane. W końcu pozostaje równanie liniowe pierwszego rzędu. Aby zobaczyć to wyraźniej, dokonajmy zmiany zmiennych w (x) = v ′ (x) (\ displaystyle w (x) = v" (x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\ displaystyle y_ (1) w"+ (2y_ (1)" + p (x) y_ (1)) w = 0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) re x) (\ Displaystyle w (x) = \ exp \ lewo (\ int \ lewo ({\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d))x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) re x (\ Displaystyle v (x) = \ int w (x) (\ operatorname (d)) x)
   • Jeśli całki można obliczyć, rozwiązanie ogólne otrzymujemy jako kombinację funkcji elementarnych. W przeciwnym razie rozwiązanie można pozostawić w formie integralnej.

3. Równanie Cauchy'ego-Eulera. Równanie Cauchy'ego-Eulera jest przykładem równania różniczkowego drugiego rzędu z zmienne współczynniki, które mają dokładne rozwiązania. Równanie to stosuje się w praktyce np. do rozwiązywania równania Laplace'a we współrzędnych sferycznych.

   X 2 re 2 y re x 2 + za x re y re x + b y = 0 (\ Displaystyle x ^ (2) (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d)) x ^ (2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Równanie charakterystyczne. Jak widać, w tym równaniu różniczkowym każdy wyraz zawiera współczynnik mocy, którego stopień jest równy rządowi odpowiedniej pochodnej.

   • Można zatem spróbować poszukać rozwiązania w formularzu y (x) = x n , (\ Displaystyle y (x) = x ^ (n),) gdzie trzeba to ustalić n (\ displaystyle n), tak jak szukaliśmy rozwiązania w postaci funkcji wykładniczej dla liniowego równania różniczkowego o stałych współczynnikach. Po różniczkowaniu i podstawieniu otrzymujemy
     • x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\ displaystyle x ^ (n) (n ^ (2) + (a-1) n + b) = 0)
   • Aby skorzystać z równania charakterystycznego, musimy to założyć x ≠ 0 (\ displaystyle x \ neq 0). Kropka x = 0 (\ displaystyle x = 0) zwany regularny punkt osobliwy równanie różniczkowe. Takie punkty są ważne przy rozwiązywaniu równań różniczkowych za pomocą szeregów potęgowych. Równanie to ma dwa pierwiastki, które mogą być różne i sprzężone w sposób rzeczywisty, wielokrotny lub złożony.
     • n ± = 1 - za ± (a - 1) 2 - 4 b 2 (\ Displaystyle n _ (\ pm) = (\ Frac (1-a \ pm (\ sqrt ((a-1) ^ (2) -4b )))(2)))

   Dwa różne prawdziwe korzenie. Jeśli korzenie n ± (\ Displaystyle n _ (\ pm)) są rzeczywiste i różne, to rozwiązanie równania różniczkowego ma postać:

   • y (x) = do 1 x n + + do 2 x n - (\ Displaystyle y (x) = c_ (1) x ^ (n_ (+)) + c_ (2) x ^ (n_ (-)))

   Dwa złożone korzenie. Jeśli równanie charakterystyczne ma pierwiastki n ± = α ± β ja (\ Displaystyle n _ (\ pm) = \ alfa \ pm \ beta i), rozwiązaniem jest funkcja złożona.

   • Aby przekształcić rozwiązanie w funkcję rzeczywistą, dokonujemy zmiany zmiennych x = mi t , (\ Displaystyle x = e ^ (t)) to jest t = ln ⁡ x , (\ displaystyle t = \ ln x,) i skorzystaj ze wzoru Eulera. Podobne działania wykonywano wcześniej przy wyznaczaniu dowolnych stałych.
     • y (t) = mi α t (c 1 mi β ja t + do 2 mi - β ja t) (\ Displaystyle y (t) = e ^ (\ alfa t) (c_ (1) e ^ (\ beta to) + c_(2)e^(-\beta tego)))
   • Następnie rozwiązanie ogólne można zapisać jako
     • y (x) = x α (do 1 sałata ⁡ (β ln ⁡ x) + do 2 grzech ⁡ (β ln ⁡ x)) (\ Displaystyle y (x) = x ^ (\ alfa) (c_ (1) \ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Wiele korzeni. Aby otrzymać drugie liniowo niezależne rozwiązanie należy ponownie zmniejszyć rząd.

   • Wymaga to sporo obliczeń, ale zasada pozostaje ta sama: podstawiamy y = v (x) y 1 (\ displaystyle y = v (x) y_ (1)) w równanie, którego pierwszym rozwiązaniem jest y 1 (\ displaystyle y_ (1)). Po redukcjach otrzymuje się następujące równanie:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\ Displaystyle v "" + (\ Frac (1) (x)) v" = 0)
   • Jest to równanie liniowe pierwszego rzędu względem v ′ (x) . (\ Displaystyle v” (x).) Jego rozwiązaniem jest v (x) = do 1 + do 2 ln ⁡ x . (\ Displaystyle v (x) = c_ (1) + c_ (2) \ ln x.) Zatem rozwiązanie można zapisać w następującej postaci. Jest to dość łatwe do zapamiętania - aby otrzymać drugie liniowo niezależne rozwiązanie wystarczy po prostu dodatkowy człon ln ⁡ x (\ displaystyle \ ln x).
     • y (x) = x n (do 1 + do 2 ln ⁡ x) (\ Displaystyle y (x) = x ^ (n) (c_ (1) + c_ (2) \ ln x)}

4. Niejednorodne liniowe równania różniczkowe o stałych współczynnikach. Równania niejednorodne wygląda jak L [ y (x) ] = fa (x) , (\ Displaystyle L = f (x),) Gdzie fa (x) (\ displaystyle f (x))- tak zwana Wolny Członek. Zgodnie z teorią równań różniczkowych ogólnym rozwiązaniem tego równania jest superpozycja rozwiązanie prywatne y p (x) (\ displaystyle y_ (p) (x)) I dodatkowe rozwiązanie yc (x) . (\ Displaystyle y_ (c) (x).) Jednak w tym przypadku konkretne rozwiązanie nie oznacza rozwiązania danego przez warunki początkowe, ale raczej rozwiązanie, które jest zdeterminowane obecnością heterogeniczności (termin dowolny). Dodatkowym rozwiązaniem jest rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego, w którym fa (x) = 0. (\ displaystyle f (x) = 0.) Ogólne rozwiązanie jest superpozycją tych dwóch rozwiązań, ponieważ L [ y p + y do ] = L [ y p ] + L [ y do ] = fa (x) (\ displaystyle L = L + L = f (x)), i od L [ y do ] = 0 , (\ displaystyle L = 0,) taka superpozycja jest rzeczywiście rozwiązaniem ogólnym.

   re 2 y re x 2 + za re y re x + b y = fa (x) (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d)) x ^ (2)}) + a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   metoda niepewne współczynniki. Metodę współczynników nieokreślonych stosuje się w przypadkach, gdy człon fikcyjny jest kombinacją współczynników wykładniczych, trygonometrycznych, hiperbolicznych lub funkcje mocy. Tylko te funkcje mają gwarancję skończonej liczby liniowo niezależnych pochodnych. W tej sekcji znajdziemy szczególne rozwiązanie równania.

   • Porównajmy warunki w fa (x) (\ displaystyle f (x)) z terminami in bez zwracania uwagi na stałe czynniki. Istnieją trzy możliwe przypadki.
     • Nie ma dwóch takich samych członków. W tym przypadku konkretne rozwiązanie y p (\ displaystyle y_ (p)) będzie liniową kombinacją terminów z y p (\ displaystyle y_ (p))
     • fa (x) (\ displaystyle f (x)) zawiera członka x n (\ displaystyle x ^ (n)) i członek z y do , (\ displaystyle y_ (c)) Gdzie n (\ displaystyle n) wynosi zero lub dodatnią liczbę całkowitą, a człon ten odpowiada oddzielnemu pierwiastkowi równania charakterystycznego. W tym przypadku y p (\ displaystyle y_ (p)) będzie składać się z kombinacji funkcji x n + 1 godz (x) , (\ Displaystyle x ^ (n+1) h (x),) jego liniowo niezależne pochodne, a także inne terminy fa (x) (\ displaystyle f (x)) i ich liniowo niezależne pochodne.
     • fa (x) (\ displaystyle f (x)) zawiera członka h (x) , (\ displaystyle h (x)) co jest dziełem x n (\ displaystyle x ^ (n)) i członek z y do , (\ displaystyle y_ (c)) Gdzie n (\ displaystyle n) równa się 0 lub dodatnia liczba całkowita i termin ten odpowiada wiele pierwiastek równania charakterystycznego. W tym przypadku y p (\ displaystyle y_ (p)) jest kombinacją liniową funkcji x n + s godz (x) (\ Displaystyle x ^ (n + s) h (x))(Gdzie s (\ displaystyle s)- krotność pierwiastka) i jej liniowo niezależne pochodne, a także inne elementy funkcji fa (x) (\ displaystyle f (x)) i jego liniowo niezależne pochodne.
   • Zapiszmy to y p (\ displaystyle y_ (p)) jako liniowa kombinacja terminów wymienionych powyżej. Dzięki tym współczynnikom w kombinacji liniowej Ta metoda zwaną „metodą nieokreślonych współczynników”. Gdy zawarte w y do (\ displaystyle y_ (c)) elementy można odrzucić ze względu na obecność dowolnych stałych y c. (\ Displaystyle y_ (c).) Następnie zastępujemy y p (\ displaystyle y_ (p)) do równania i zrównać podobne wyrazy.
   • Ustalamy współczynniki. Na tym etapie otrzymujemy system równania algebraiczne, które zwykle można rozwiązać bez specjalne problemy. Rozwiązanie tego układu pozwala nam uzyskać y p (\ displaystyle y_ (p)) i w ten sposób rozwiązać równanie.
   • Przykład 2.3. Rozważmy niejednorodne równanie różniczkowe, którego wolny wyraz zawiera skończoną liczbę liniowo niezależnych pochodnych. Szczególne rozwiązanie takiego równania można znaleźć metodą współczynników nieokreślonych.
     • re 2 r re t 2 + 6 r = 2 mi 3 t - sałata ⁡ 5 t (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d)) t ^ (2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y do (t) = do 1 sałata ⁡ 6 t + do 2 grzech ⁡ 6 t (\ Displaystyle y_ (c) (t) = c_ (1) \ cos (\ sqrt (6)) t + c_ (2) \ grzech (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = ZA mi 3 t + b sałata ⁡ 5 t + do grzech ⁡ 5 t (\ Displaystyle y_ (p) (t) = Ae ^ (3t) + B \ cos 5t + C \ sin 5t)
     • 9 ZA mi 3 t - 25 b sałata ⁡ 5 t - 25 do grzech ⁡ 5 t + 6 ZA mi 3 t + 6 b sałata ⁡ 5 t + 6 do grzech ⁡ 5 t = 2 mi 3 t - sałata ⁡ 5 t ( \ Displaystyle (\ początek (wyrównany) 9Ae ^ (3t) -25B \ cos 5t i -25C \ sin 5t + 6Ae ^ (3t) \\&+ 6B \ cos 5t + 6C \ sin 5t = 2e ^ (3t) - \ cos 5t\end(wyrównane)))
     • ( 9 ZA + 6 ZA = 2 , ZA = 2 15 - 25 b + 6 b = - 1 , b = 1 19 - 25 do + 6 do = 0 , do = 0 (\ Displaystyle (\ początek (przypadki) 9A + 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ koniec(przypadki)))
     • y (t) = do 1 sałata ⁡ 6 t + do 2 grzech ⁡ 6 t + 2 15 mi 3 t + 1 19 sałata ⁡ 5 t (\ Displaystyle y (t) = c_ (1) \ cos (\ sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Metoda Lagrange’a. Metoda Lagrange'a, czyli metoda wariancji dowolnych stałych, jest czymś więcej metoda ogólna rozwiązywanie niejednorodnych równań różniczkowych, zwłaszcza w przypadkach, gdy wyraz wolny nie zawiera skończonej liczby liniowo niezależnych pochodnych. Na przykład z darmowymi warunkami dębnik ⁡ x (\ displaystyle \ tan x) równania ogólne x - n (\ displaystyle x ^ (-n)) aby znaleźć konkretne rozwiązanie, należy skorzystać z metody Lagrange'a. Metodę Lagrange'a można nawet zastosować do rozwiązywania równań różniczkowych o zmiennych współczynnikach, chociaż w tym przypadku, z wyjątkiem równania Cauchy'ego-Eulera, jest ona stosowana rzadziej, ponieważ dodatkowe rozwiązanie zwykle nie jest wyrażane w postaci funkcji elementarnych.

   • Załóżmy, że rozwiązanie ma następującą postać. W drugim wierszu podana jest jej pochodna.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\ Displaystyle y (x) = v_ (1) (x) y_ (1) (x) + v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ r 1 + v 1 r 1 ′ + v 2 ′ r 2 + v 2 r 2 ′ (\ Displaystyle y" = v_ (1) "y_ (1) + v_ (1) y_ (1) „+v_(2)”y_(2)+v_(2)y_(2)”)
   • Ponieważ proponowane rozwiązanie zawiera dwa nieznane ilości, należy narzucić dodatkowy stan : schorzenie. Wybierzmy to dodatkowy warunek w następującej formie:
     • v 1 ′ r 1 + v 2 ′ r 2 = 0 (\ Displaystyle v_ (1) "y_ (1) + v_ (2)" y_ (2) = 0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\ Displaystyle y" = v_ (1) y_ (1) "+ v_ (2) y_ (2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\ Displaystyle y ""= v_ (1) "y_ (1)" + v_ (1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Teraz możemy otrzymać drugie równanie. Po zastąpieniu i redystrybucji członków można grupować członków za pomocą v 1 (\ displaystyle v_ (1)) i członkowie z v 2 (\ displaystyle v_ (2)). Terminy te zostały skrócone, ponieważ y 1 (\ displaystyle y_ (1)) I y 2 (\ displaystyle y_ (2)) są rozwiązaniami odpowiedniego równania jednorodnego. W rezultacie otrzymujemy następujący system równania
     • v 1 ′ r 1 + v 2 ′ r 2 = 0 v 1 ′ r 1 ′ + v 2 ′ r 2 ′ = fa (x) (\ Displaystyle (\ początek (wyrównane) v_ (1) „y_ (1) + v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(wyrównane)))
   • System ten można przekonwertować na równanie macierzowe Uprzejmy ZA x = b , (\ Displaystyle A (\ mathbf (x)) = (\ mathbf (b) ),) czyje jest rozwiązanie x = ZA - 1 b . (\ Displaystyle (\ mathbf (x) ) = A ^ (-1) (\ mathbf (b)).) Dla matrixa 2 × 2 (\ Displaystyle 2 \ razy 2) odwrotna macierz można znaleźć dzieląc przez wyznacznik, przestawiając elementy ukośne i zmieniając znak elementów niediagonalnych. Tak naprawdę wyznacznikiem tej macierzy jest Wrońskian.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ - r 2 - r 1 ′ r 1) (0 fa (x)) (\ Displaystyle (\ początek (pmatrix) v_ (1) "\\ v_ ( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Wyrażenia dla v 1 (\ displaystyle v_ (1)) I v 2 (\ displaystyle v_ (2)) podano poniżej. Podobnie jak w metodzie redukcji rzędu, w tym przypadku podczas całkowania pojawia się dowolna stała, która zawiera dodatkowe rozwiązanie w ogólnym rozwiązaniu równania różniczkowego.
     • v 1 (x) = - ∫ 1 W fa (x) y 2 (x) re x (\ Displaystyle v_ (1) (x) = - \ int (\ Frac (1) (W)) f (x) y_ ( 2)(x)(\mathrm (d))x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W fa (x) y 1 (x) re x (\ Displaystyle v_ (2) (x) = \ int (\ Frac (1) (W)) f (x) y_ (1) (x)(\mathrm (d))x)
   
   Wykład z National Open University Intuit zatytułowany „Liniowe równania różniczkowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach”.

Praktyczne użycie

Równania różniczkowe ustalają związek między funkcją a jedną lub większą liczbą jej pochodnych. Ponieważ takie połączenia są niezwykle powszechne, szerokie zastosowanie znalazły równania różniczkowe różne obszary, a ponieważ żyjemy w czterech wymiarach, równania te są często równaniami różniczkowymi prywatny pochodne. W tej sekcji omówiono niektóre z najważniejszych równań tego typu.

• Wykładniczy wzrost i upadek. Rozpad radioaktywny. Odsetki składane. Prędkość reakcje chemiczne. Stężenie leków we krwi. Nieograniczony wzrost populacji. Prawo Newtona-Richmanna. W prawdziwym świecie istnieje wiele systemów, w których tempo wzrostu lub zaniku w dowolnym momencie jest proporcjonalne do ilości ten moment czasie lub mogą być dobrze przybliżone przez model. Dzieje się tak, ponieważ rozwiązanie tego równania różniczkowego, czyli funkcja wykładnicza, jest jednym z najczęstszych ważne funkcje w matematyce i innych naukach. W więcej przypadek ogólny przy kontrolowanym wzroście populacji system może zawierać dodatkowych członków, którzy ograniczają wzrost. W poniższym równaniu stała k (\ displaystyle k) może być większa lub mniejsza od zera.
  • re y re x = k x (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x)} = kx)
• Wibracje harmoniczne. Zarówno w mechanice klasycznej, jak i kwantowej, oscylator harmoniczny jest jednym z najważniejszych systemy fizyczne dzięki swojej prostocie i szerokie zastosowanie przybliżyć więcej złożone systemy, takie jak proste wahadło. W mechanice klasycznej drgania harmoniczne opisuje się równaniem, które wiąże położenie punktu materialnego z jego przyspieszeniem zgodnie z prawem Hooke'a. W tym przypadku można również uwzględnić siły tłumiące i napędowe. W poniższym wyrażeniu x ˙ (\ Displaystyle (\ kropka (x)))- pochodna czasu x , (\ displaystyle x,) β (\ displaystyle \ beta)- parametr opisujący siłę tłumienia, ω 0 (\ Displaystyle \ omega _ (0))- częstotliwość kątowa układu, fa (t) (\ displaystyle F (t))- zależne od czasu siła napędowa. Oscylator harmoniczny występuje także w elektromagnetycznych obwodach oscylacyjnych, gdzie można go zastosować z większą dokładnością niż w układach mechanicznych.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = fa (t) (\ Displaystyle (\ ddot (x)) + 2 \ beta (\ kropka (x)) + \ omega _ (0) ^ (2) x =F(t))
• Równanie Bessela. Równanie różniczkowe Bessela jest stosowane w wielu dziedzinach fizyki, w tym w rozwiązywaniu równania falowego, równania Laplace'a i równania Schrödingera, zwłaszcza w obecności symetrii cylindrycznej lub sferycznej. To równanie różniczkowe drugiego rzędu ze zmiennymi współczynnikami nie jest równaniem Cauchy'ego-Eulera, więc jego rozwiązań nie można zapisać jako funkcji elementarnych. Rozwiązaniami równania Bessela są funkcje Bessela, które są dobrze poznane ze względu na ich zastosowanie w wielu dziedzinach. W poniższym wyrażeniu α (\ displaystyle \ alfa)- stała, która odpowiada w celu Funkcje Bessela.
  • x 2 re 2 y re x 2 + x re y re x + (x 2 - α 2) y = 0 (\ Displaystyle x ^ (2) (\ Frac ({\ operatorname (d)) ^ (2) y) ({\ operatorname (d ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Równania Maxwella. Równania Maxwella, wraz z siłą Lorentza, stanowią podstawę klasycznej elektrodynamiki. Oto cztery częściowe równania różniczkowe dla prądu elektrycznego mi (r, t) (\ Displaystyle (\ mathbf (E)) ({\ mathbf (r)), t)} i magnetyczne B (r, t) (\ Displaystyle (\ mathbf (B)) ({\ mathbf (r)), t)} pola. W poniższych wyrażeniach ρ = ρ (r, t) (\ Displaystyle \ rho = \ rho ({\ mathbf (r)), t)}- gęstość ładunku, jot = jot (r, t) (\ displaystyle (\ mathbf (J)) = (\ mathbf (J)) ({\ mathbf (r)), t)}- gęstość prądu i ϵ 0 (\ Displaystyle \ epsilon _ (0)) I μ 0 (\ displaystyle \ mu _ (0))- odpowiednio stałe elektryczne i magnetyczne.
  • ∇ ⋅ mi = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ b = 0 ∇ × mi = - ∂ b ∂ t ∇ × b = μ 0 jot + μ 0 ϵ 0 ∂ mi ∂ t (\ displaystyle (\ początek (wyrównane) \ nabla \ cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Równanie Schrödingera. W mechanice kwantowej równanie Schrödingera jest podstawowym równaniem ruchu, które opisuje ruch cząstek zgodnie ze zmianą funkcji falowej Ψ = Ψ (r, t) (\ Displaystyle \ Psi = \ Psi ({\ mathbf (r)), t)} z czasem. Równanie ruchu opisuje zachowanie Hamiltonian H ^ (\ Displaystyle (\ kapelusz (H))) - operator, który opisuje energię układu. Jeden z szeroko słynne przykłady Równanie Schrödingera w fizyce to równanie pojedynczej nierelatywistycznej cząstki, na którą oddziałuje potencjał V (r, t) (\ displaystyle V ({\ mathbf (r)), t)}. Wiele układów opisuje się za pomocą zależnego od czasu równania Schrödingera, a po lewej stronie równania jest mi Ψ , (\ displaystyle E \ Psi,) Gdzie mi (\ displaystyle E)- energia cząstek. W poniższych wyrażeniach ℏ (\ displaystyle \ hbar)- zmniejszona stała Plancka.
  • ja ℏ ∂ Ψ ∂ t = H. ^ Ψ (\ Displaystyle i \ hbar (\ Frac (\ częściowe \ Psi) (\ częściowe t)) = (\ kapelusz (H)) \ Psi)
  • ja ℏ ∂ Ψ ∂ t = (- ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r, t)) Ψ (\ Displaystyle i \ hbar (\ Frac (\ częściowe \ Psi) (\ częściowe t)) = \ lewo (- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Równanie falowe. Nie można sobie wyobrazić fizyki i technologii bez fal; są one obecne we wszystkich typach systemów. Ogólnie fale opisuje poniższe równanie, w którym u = u (r, t) (\ Displaystyle u = u ({\ mathbf (r)), t)} jest pożądaną funkcją, oraz do (\ displaystyle c)- stała wyznaczona eksperymentalnie. d'Alembert jako pierwszy odkrył, że dla przypadku jednowymiarowego rozwiązaniem równania falowego jest: każdy funkcja z argumentem x - do t (\ displaystyle x-ct), który opisuje falę o dowolnym kształcie rozchodzącą się w prawo. Ogólnym rozwiązaniem przypadku jednowymiarowego jest liniowa kombinacja tej funkcji z drugą funkcją z argumentem x + do t (\ displaystyle x + ct), który opisuje falę rozchodzącą się w lewo. Rozwiązanie to przedstawiono w drugiej linii.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = do 2 ∇ 2 u (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe ^ (2) u) (\ częściowe t ^ (2))) = c ^ (2) \ nabla ^ (2) u )
  • u (x , t) = fa (x - do t) + sol (x + do t) (\ Displaystyle u (x, t) = f (x-ct) + g (x + ct))
• Równania Naviera-Stokesa. Równania Naviera-Stokesa opisują ruch płynów. Ponieważ płyny są obecne w praktycznie każdej dziedzinie nauki i technologii, równania te są niezwykle ważne w przewidywaniu pogody, projektowaniu samolotów, badaniu prądów oceanicznych i rozwiązywaniu wielu innych stosowanych problemów. Równania Naviera-Stokesa są nieliniowymi równaniami różniczkowymi cząstkowymi i w większości przypadków są bardzo trudne do rozwiązania, ponieważ nieliniowość prowadzi do turbulencji, a uzyskanie stabilnego rozwiązania metodami numerycznymi wymaga podziału na bardzo małe komórki, co wymaga dużej mocy obliczeniowej. Ze względów praktycznych w hydrodynamice do modelowania przepływów turbulentnych stosuje się metody takie jak uśrednianie czasu. Jeszcze bardziej podstawowe pytania, takie jak istnienie i niepowtarzalność rozwiązań równania nieliniowe w pochodnych cząstkowych oraz udowodnienie istnienia i jednoznaczności rozwiązania równań Naviera-Stokesa w trzech wymiarach to jeden z matematycznych problemów tysiąclecia. Poniżej znajdują się równania przepływu nieściśliwego płynu i równanie ciągłości.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u - ν ∇ 2 u = - ∇ godz , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe (\ mathbf (u)) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Wielu równań różniczkowych po prostu nie da się rozwiązać za pomocą powyższych metod, szczególnie tych wymienionych w ostatniej sekcji. Dotyczy to przypadków, gdy równanie zawiera zmienne współczynniki i nie jest równaniem Cauchy'ego-Eulera lub gdy równanie jest nieliniowe, z wyjątkiem kilku bardzo rzadkich przypadków. Jednakże powyższymi metodami można rozwiązać wiele ważnych równań różniczkowych, które często spotyka się w różnych dziedzinach nauki.
• W przeciwieństwie do różniczkowania, które pozwala znaleźć pochodną dowolnej funkcji, w wielu wyrażeniach nie można wyrazić całki funkcje elementarne. Nie trać więc czasu na obliczanie całki, gdy jest to niemożliwe. Spójrz na tabelę całek. Jeśli rozwiązania równania różniczkowego nie można wyrazić w postaci funkcji elementarnych, czasami można je przedstawić w postaci całkowej i w tym przypadku nie ma znaczenia, czy całkę tę można obliczyć analitycznie.

Ostrzeżenia

• Wygląd równanie różniczkowe może wprowadzać w błąd. Na przykład poniżej znajdują się dwa równania różniczkowe pierwszego rzędu. Pierwsze równanie można łatwo rozwiązać metodami opisanymi w tym artykule. Na pierwszy rzut oka niewielka zmiana y (\ displaystyle y) NA y 2 (\ displaystyle y ^ (2)) w drugim równaniu sprawia, że ​​jest ono nieliniowe i staje się bardzo trudne do rozwiązania.
  • re y re x = x 2 + y (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x}) = x ^ (2) + y)
  • re y re x = x 2 + y 2 (\ Displaystyle (\ Frac ({\ operatorname (d)) y) ({\ operatorname (d)) x}) = x ^ (2) + y ^ (2))

Instytucja edukacyjna „Państwo Białoruskie

Akademia Rolnicza”

Katedra Matematyki Wyższej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RĘKU

Notatki z wykładów dla studentów rachunkowości

korespondencyjna forma kształcenia (NISPO)

Gorki, 2013

Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Pojęcie równania różniczkowego. Rozwiązania ogólne i szczegółowe

Badając różne zjawiska, często nie można znaleźć prawa, które bezpośrednio łączy zmienną niezależną i pożądaną funkcję, ale można ustalić związek między pożądaną funkcją i jej pochodnymi.

Nazywa się związek łączący zmienną niezależną, pożądaną funkcję i jej pochodne równanie różniczkowe :

Tutaj X– zmienna niezależna, y– wymagana funkcja,
- pochodne żądanej funkcji. W tym przypadku relacja (1) musi mieć przynajmniej jedną pochodną.

Rząd równania różniczkowego nazywa się rządem najwyższej pochodnej zawartej w równaniu.

Rozważmy równanie różniczkowe

. (2)

Ponieważ równanie to zawiera tylko pochodną pierwszego rzędu, nazywa się je jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu.

Jeżeli równanie (2) można rozwiązać w odniesieniu do pochodnej i zapisać w postaci

, (3)

wówczas takie równanie nazywa się równaniem różniczkowym pierwszego rzędu w postaci normalnej.

W wielu przypadkach wskazane jest rozważenie równania postaci

który jest nazywany równanie różniczkowe pierwszego rzędu zapisane w postaci różniczkowej.

Ponieważ
, to równanie (3) można zapisać w postaci
Lub
, gdzie możemy liczyć
I
. Oznacza to, że równanie (3) zostaje przekształcone w równanie (4).

Zapiszmy równanie (4) w postaci
. Następnie
,
,
, gdzie możemy liczyć
, tj. otrzymuje się równanie postaci (3). Zatem równania (3) i (4) są równoważne.

Rozwiązywanie równania różniczkowego (2) lub (3) nazywa się dowolną funkcją
, które po podstawieniu do równania (2) lub (3) zamienia je w tożsamość:

Lub
.

Proces znajdowania wszystkich rozwiązań równania różniczkowego nazywa się jego integracja i wykres rozwiązania
równanie różniczkowe nazywa się krzywa całkowa to równanie.

Jeśli rozwiązanie równania różniczkowego uzyskuje się w postaci ukrytej
, wtedy to się nazywa całka tego równania różniczkowego.

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego pierwszego rzędu jest rodziną funkcji postaci
, w zależności od dowolnej stałej Z, z których każde jest rozwiązaniem danego równania różniczkowego dla dowolnej dopuszczalnej wartości dowolnej stałej Z. Zatem równanie różniczkowe ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Prywatna decyzja równanie różniczkowe jest rozwiązaniem uzyskanym z ogólnego wzoru rozwiązania dla określonej wartości dowolnej stałej Z, w tym
.

Problem Cauchy'ego i jego interpretacja geometryczna

Równanie (2) ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Aby wybrać z tego zestawu jedno rozwiązanie, które nazywamy prywatnym, należy ustalić dodatkowe warunki.

Nazywa się problem znalezienia konkretnego rozwiązania równania (2) w danych warunkach Problem Cauchy’ego . Problem ten jest jednym z najważniejszych w teorii równań różniczkowych.

Problem Cauchy'ego jest sformułowany w następujący sposób: spośród wszystkich rozwiązań równania (2) znajdź takie rozwiązanie
, w którym funkcja
przyjmuje podaną wartość liczbową , jeśli zmienna niezależna X przyjmuje podaną wartość liczbową , tj.

,
, (5)

Gdzie D– dziedzina definicji funkcji
.

Oznaczający zwany wartość początkowa funkcji , A – wartość początkowa zmiennej niezależnej . Nazywa się warunek (5). stan początkowy Lub Stan Cauchy’ego .

Z punkt geometryczny Z perspektywy problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego (2) można sformułować w następujący sposób: ze zbioru krzywych całkowych równania (2) wybierz tę, która przechodzi przez dany punkt
.

Równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi

Jednym z najprostszych typów równań różniczkowych jest równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które nie zawiera pożądanej funkcji:

. (6)

Biorąc pod uwagę, że
, zapisujemy równanie w postaci
Lub
. Całkując obie strony ostatniego równania otrzymujemy:
Lub

. (7)

Zatem (7) jest ogólnym rozwiązaniem równania (6).

Przykład 1 . Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.

Rozwiązanie . Zapiszmy równanie w formie
Lub
. Całkujmy obie strony otrzymanego równania:
,
. W końcu to napiszemy
.

Przykład 2 . Znajdź rozwiązanie równania
jeśli się uwzględni
.

Rozwiązanie . Znajdźmy ogólne rozwiązanie równania:
,
,
,
. Według warunku
,
. Podstawmy do rozwiązania ogólnego:
Lub
. Podstawiamy znalezioną wartość dowolnej stałej do wzoru na rozwiązanie ogólne:
. Jest to szczególne rozwiązanie równania różniczkowego spełniające zadany warunek.

Równanie

(8)

Zwany równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które nie zawiera zmiennej niezależnej . Zapiszmy to w formularzu
Lub
. Całkujmy obie strony ostatniego równania:
Lub
- ogólne rozwiązanie równania (8).

Przykład . Znajdź ogólne rozwiązanie równania
.

Rozwiązanie . Zapiszmy to równanie w postaci:
Lub
. Następnie
,
,
,
. Zatem,
jest ogólnym rozwiązaniem tego równania.

Równanie postaci

(9)

całkuje poprzez separację zmiennych. Aby to zrobić, zapisujemy równanie w postaci
, a następnie za pomocą operacji mnożenia i dzielenia doprowadzamy to do takiej postaci, że jedna część zawiera tylko funkcję X i różnicowy dx, a w drugiej części – funkcja Na i różnicowy dy. Aby to zrobić, należy pomnożyć obie strony równania dx i podziel przez
. W rezultacie otrzymujemy równanie

, (10)

w którym zmienne X I Na rozdzielony. Całkujmy obie strony równania (10):
. Otrzymana relacja jest całką ogólną równania (9).

Przykład 3 . Całkuj równanie
.

Rozwiązanie . Przekształćmy równanie i oddzielmy zmienne:
,
. Zintegrujmy:
,
lub jest całką ogólną tego równania.
.

Niech równanie będzie podane w postaci

To równanie nazywa się równanie różniczkowe pierwszego rzędu ze zmiennymi rozłącznymi w formie symetrycznej.

Aby rozdzielić zmienne, należy podzielić obie strony równania przez
:

. (12)

Powstałe równanie nazywa się rozdzielone równanie różniczkowe . Całkujmy równanie (12):

.(13)

Zależność (13) jest całką ogólną równania różniczkowego (11).

Przykład 4 . Całkuj równanie różniczkowe.

Rozwiązanie . Zapiszmy równanie w formie

i podziel obie części przez
,
. Wynikowe równanie:
jest równaniem z oddzielną zmienną. Zintegrujmy to:

,
,

,
. Ostatnia równość jest całką ogólną tego równania różniczkowego.

Przykład 5 . Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego
, spełniający warunek
.

Rozwiązanie . Biorąc pod uwagę, że
, zapisujemy równanie w postaci
Lub
. Oddzielmy zmienne:
. Całkujmy to równanie:
,
,
. Otrzymana relacja jest całką ogólną tego równania. Według warunku
. Podstawmy to do całki ogólnej i znajdźmy Z:
,Z=1. Następnie wyrażenie
jest częściowym rozwiązaniem danego równania różniczkowego, zapisanym jako całka cząstkowa.

Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu

Równanie

(14)

zwany liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu . Nieznana funkcja
i jego pochodna wchodzą do tego równania liniowo, a funkcje
I
ciągły.

Jeśli
, a następnie równanie

(15)

zwany liniowy jednorodny . Jeśli
, wówczas wywoływane jest równanie (14). liniowa niejednorodność .

Aby znaleźć rozwiązanie równania (14), zwykle stosuje się metoda substytucyjna (Bernoulliego) , którego istota jest następująca.

Rozwiązanie równania (14) będziemy szukać w postaci iloczynu dwóch funkcji

, (16)

Gdzie
I
- niektóre funkcje ciągłe. Zastąpmy
i pochodna
do równania (14):

Funkcjonować w będziemy wybierać w taki sposób, aby warunek był spełniony
. Następnie
. Zatem, aby znaleźć rozwiązanie równania (14), należy rozwiązać układ równań różniczkowych

Pierwsze równanie układu jest równaniem liniowym jednorodnym i można je rozwiązać metodą separacji zmiennych:
,
,
,
,
. Jako funkcja
możesz przyjąć jedno z rozwiązań cząstkowych równania jednorodnego, tj. Na Z=1:
. Podstawiamy do drugiego równania układu:
Lub
.Następnie
. Zatem ogólne rozwiązanie liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu ma postać
.

Przykład 6 . Rozwiązać równanie
.

Rozwiązanie . Będziemy szukać rozwiązania równania w postaci
. Następnie
. Podstawiamy do równania:

Lub
. Funkcjonować w wybrać tak, aby zachodziła równość
. Następnie
. Rozwiążmy pierwsze z tych równań metodą separacji zmiennych:
,
,
,
,. Funkcjonować w Podstawiamy do drugiego równania:
,
,
,
. Ogólne rozwiązanie tego równania jest następujące
.

Pytania do samokontroli wiedzy

Co to jest równanie różniczkowe?

Jaki jest rząd równania różniczkowego?

Które równanie różniczkowe nazywa się równaniem różniczkowym pierwszego rzędu?

Jak zapisuje się równanie różniczkowe pierwszego rzędu w postaci różniczkowej?

Jakie jest rozwiązanie równania różniczkowego?

Co to jest krzywa całkowa?

Jakie jest ogólne rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzędu?

Co nazywa się częściowym rozwiązaniem równania różniczkowego?

Jak formułuje się problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego pierwszego rzędu?

Jaka jest geometryczna interpretacja problemu Cauchy'ego?

Jak napisać równanie różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi w postaci symetrycznej?

Które równanie nazywa się liniowym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu?

Jaką metodą można rozwiązać liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu i jaka jest istota tej metody?

Zadania do samodzielnej pracy

Rozwiązuj równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi:

A)
; B)
;

V)
; G)
.

2. Rozwiązywać liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu:

A)
; B)
; V)
;

G)
; mi)
.

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu ma postać

Jeśli to równanie można rozwiązać w odniesieniu do, można je zapisać jako

W tym przypadku mówimy, że równanie różniczkowe rozwiązuje się względem pochodnej. Dla takiego równania obowiązuje następujące twierdzenie, które nazywa się twierdzeniem o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego. Twierdzenie. Jeśli w równaniu

funkcja i jej pochodna cząstkowa po y są ciągłe w jakiejś dziedzinie D na płaszczyźnie zawierającej jakiś punkt, to równanie to ma jednoznaczne rozwiązanie

spełniający warunek przy

Twierdzenie to zostanie udowodnione w rozdziale § 27. XVI.

Geometryczne znaczenie twierdzenia polega na tym, że istnieje unikalna funkcja, której wykres przechodzi przez punkt

Z powyższego twierdzenia wynika, że ​​równanie ma nieskończoną liczbę różnych rozwiązań (na przykład rozwiązanie, którego wykres przechodzi przez punkt, inne rozwiązanie, którego wykres przechodzi przez punkt itp., jeśli tylko te punkty leżą w obszarze

Warunek, gdy funkcja y musi być równa danej liczbie, nazywa się warunkiem początkowym. Często jest zapisywany w formie

Definicja 1. Ogólnym rozwiązaniem równania różniczkowego pierwszego rzędu jest funkcja

która zależy od jednej dowolnej stałej C i spełnia następujące warunki:

a) spełnia równanie różniczkowe dla dowolnej określonej wartości stałej C;

b) niezależnie od warunku początkowego można znaleźć taką wartość, że funkcja spełnia zadany warunek początkowy. W tym przypadku zakłada się, że wartości należą do obszaru zmienności zmiennych x i y, w którym spełnione są warunki twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania.

2. Szukając ogólnego rozwiązania równania różniczkowego często natrafiamy na relację postaci

niedozwolone w odniesieniu do y. Rozwiązując tę ​​zależność dla y, otrzymujemy rozwiązanie ogólne. Nie zawsze jednak da się wyrazić y z relacji (2) w funkcjach elementarnych; w takich przypadkach ogólne rozwiązanie pozostaje ukryte. Równość postaci, która w sposób dorozumiany określa rozwiązanie ogólne, nazywa się całką ogólną równania różniczkowego.

Definicja 2. Rozwiązaniem szczególnym jest dowolna funkcja otrzymana z rozwiązania ogólnego, jeśli w tym ostatnim dowolnej stałej C przypisana jest określona wartość. Relację nazywa się w tym przypadku całką cząstkową równania.

Przykład 1. Dla równania pierwszego rzędu

rozwiązaniem ogólnym będzie rodzina funkcji; można to sprawdzić poprzez proste podstawienie do równania.

Znajdźmy konkretne rozwiązanie, które spełnia następujący warunek początkowy: Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy lub Dlatego pożądanym konkretnym rozwiązaniem będzie funkcja

Z geometrycznego punktu widzenia całka ogólna to rodzina krzywych na płaszczyźnie współrzędnych, zależna od jednej dowolnej stałej C (lub, jak mówią, od jednego parametru C).

Krzywe te nazywane są krzywymi całkowymi danego równania różniczkowego. Całka częściowa odpowiada jednej krzywej tej rodziny przechodzącej przez pewien punkt płaszczyzny.

Zatem w ostatnim przykładzie całka ogólna jest geometrycznie reprezentowana przez rodzinę hiperbol, a całka szczególna określona przez wskazany warunek początkowy jest reprezentowana przez jedną z tych hiperboli przechodzącą przez punkt na ryc. 251 pokazuje krzywe rodziny odpowiadające niektórym wartościom parametru: itp.

Aby rozumowanie było jaśniejsze, rozwiązanie równania będziemy odtąd nazywać nie tylko funkcją spełniającą równanie, ale także odpowiadającą jej krzywą całkową. W związku z tym będziemy mówić na przykład o rozwiązaniu przechodzącym przez punkt.

Komentarz. Równanie nie ma rozwiązania przechodzącego przez punkt leżący na osi rysunku. 251), ponieważ prawa strona równania dla nie jest zdefiniowana i dlatego nie jest ciągła.

Rozwiązanie lub, jak często się mówi, całkowanie równania różniczkowego oznacza:

a) znaleźć jego rozwiązanie ogólne lub całkę ogólną (jeśli nie są podane warunki początkowe) lub

b) znaleźć to konkretne rozwiązanie równania, które spełnia podane warunki początkowe (jeśli takie istnieją).

3. Podajmy geometryczną interpretację równania różniczkowego pierwszego rzędu.

Niech zostanie podane równanie różniczkowe rozwiązane względem pochodnej:

i niech istnieje ogólne rozwiązanie tego równania. To ogólne rozwiązanie definiuje rodzinę krzywych całkowych na płaszczyźnie

Równanie (G) dla każdego punktu M o współrzędnych x i y wyznacza wartość pochodnej, czyli współczynnika kątowego stycznej do krzywej całkowej przechodzącej przez ten punkt. Zatem równanie różniczkowe (D) podaje zbiór kierunków lub, jak mówią, określa pole kierunków na płaszczyźnie

Dlatego z geometrycznego punktu widzenia problem całkowania równania różniczkowego polega na znalezieniu krzywych, których styczne mają ten sam kierunek co pole w odpowiednich punktach.

Dla równania różniczkowego (1) zbiór punktów, w których zależność jest spełniona, nazywany jest izokliną tego równania różniczkowego.

Dla różnych wartości k otrzymujemy różne izokliny. Równanie izokliny odpowiadającej wartości k będzie oczywiście następujące: Konstruując rodzinę izokliny, można w przybliżeniu skonstruować rodzinę krzywych całkowych. Mówią, że znając izokliny, można jakościowo określić położenie krzywych całkowych na płaszczyźnie.