Statistikada iki növ qiymətləndirmə var: nöqtə və interval. Nöqtə təxmini parametri qiymətləndirmək üçün istifadə edilən ayrıca nümunə statistikasını təmsil edir əhali. Məsələn, nümunə orta nöqtə təxminidir riyazi gözləntiəhali və seçmə dispersiya S 2- populyasiya fərqinin nöqtə təxmini σ 2. göstərilmişdir ki, seçmə orta göstərici əhalinin riyazi gözləntisinin qərəzsiz qiymətləndirilməsidir. Nümunə ortası qərəzsiz adlanır, çünki bütün seçmə vasitələrinin ortası (eyni seçmə ölçüsü ilə) n) ümumi əhalinin riyazi gözləntisinə bərabərdir.
Nümunə fərqi üçün S 2əhali fərqinin qərəzsiz qiymətləndirilməsinə çevrildi σ 2, seçmə dispersiyasının məxrəci bərabər təyin edilməlidir n – 1 , amma yox n. Başqa sözlə, populyasiya dispersiyası bütün mümkün seçmə variasiyalarının ortasıdır.
Əhali parametrlərini qiymətləndirərkən yadda saxlamaq lazımdır ki, nümunə statistikası kimi , xüsusi nümunələrdən asılıdır. Bu faktı nəzərə almaq, əldə etmək intervalın qiymətləndirilməsiümumi əhalinin riyazi gözləntisi, seçmə vasitələrin paylanmasını təhlil edin (daha ətraflı məlumat üçün bax). Qurulmuş interval, həqiqi populyasiya parametrinin düzgün qiymətləndirilməsi ehtimalını əks etdirən müəyyən bir inam səviyyəsi ilə xarakterizə olunur. Oxşar etimad intervalları xarakteristikanın nisbətini qiymətləndirmək üçün istifadə edilə bilər R və əhalinin əsas paylanmış kütləsi.
Qeydi və ya formatda yükləyin, nümunələri formatda
Məlum standart sapma ilə əhalinin riyazi gözləməsi üçün inam intervalının qurulması
Xarakteristikanın populyasiyada payı üçün inam intervalının qurulması
Bu bölmə etimad intervalı anlayışını kateqoriyalı məlumatlara genişləndirir. Bu, xüsusiyyətin əhalidəki payını təxmin etməyə imkan verir R nümunə paylaşımından istifadə etməklə RS= X/n. Göstərildiyi kimi, əgər miqdarlar nR Və n(1 – p) 5 rəqəmini keçərsə, binomial paylanma normal olaraq təxmin edilə bilər. Buna görə də, bir xüsusiyyətin əhalidəki payını qiymətləndirmək R etimad səviyyəsi bərabər olan interval qurmaq olar (1 – α)х100%.
Harada səhS- xarakteristikanın nümunə nisbəti bərabərdir X/n, yəni. müvəffəqiyyətlərin sayı nümunə ölçüsünə bölünür, R- ümumi əhali arasında xüsusiyyətin payı, Z- standartlaşdırılmış kritik dəyər normal paylanma, n- nümunə ölçüsü.
Misal 3. Fərz edək ki, ondan məlumat Sistemiİçində doldurulan 100 fakturadan ibarət bir nümunə çıxarıldı keçən ay. Tutaq ki, bu hesab-fakturalardan 10-u səhvlərlə tərtib edilib. Beləliklə, R= 10/100 = 0,1. 95% etimad səviyyəsi Z = 1.96 kritik dəyərə uyğundur.
Beləliklə, fakturaların 4,12%-dən 15,88%-ə qədərində səhvlərin olması ehtimalı 95%-dir.
Müəyyən bir nümunə ölçüsü üçün populyasiyada xarakteristikanın nisbətini ehtiva edən etibarlılıq intervalı davamlı bir nümunə üçün olduğundan daha geniş görünür. təsadüfi dəyişən. Bunun səbəbi, davamlı təsadüfi dəyişənin ölçmələri kateqoriyalı məlumatların ölçmələrindən daha çox məlumat ehtiva etməsidir. Başqa sözlə, yalnız iki dəyər alan kateqoriyalı məlumatlar onların paylanması parametrlərini qiymətləndirmək üçün kifayət qədər məlumat ehtiva etmir.
INsonlu əhalidən çıxarılan təxminlərin hesablanması
Riyazi gözləntinin qiymətləndirilməsi. Son əhali üçün korreksiya əmsalı ( fpc) standart xətanı bir əmsal azaltmaq üçün istifadə edilmişdir. Əhali parametrlərinin təxminləri üçün etimad intervallarını hesablayarkən nümunələrin geri qaytarılmadan götürüldüyü hallarda düzəliş əmsalı tətbiq edilir. Beləliklə, inam səviyyəsinə bərabər olan riyazi gözləmə üçün etimad intervalı (1 – α)х100%, düsturla hesablanır:
Misal 4. Məhdud əhali üçün korreksiya əmsalının istifadəsini göstərmək üçün yuxarıda 3-cü Misalda müzakirə olunan fakturaların orta məbləği üçün etibarlılıq intervalının hesablanması probleminə qayıdaq. Tutaq ki, şirkət ayda 5000 faktura verir və X̅=110.27 dollar, S= $28.95 N = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. Formula (6) istifadə edərək əldə edirik:
Xüsusiyyətin payının qiymətləndirilməsi. Qaytarılmadan seçərkən, inam səviyyəsinə bərabər olan atributun nisbəti üçün inam intervalı (1 – α)х100%, düsturla hesablanır:
Etibar Aralıqları və Etik Problemlər
Əhali seçərkən və statistik nəticələr çıxararkən çox vaxt etik məsələlər ortaya çıxır. Əsas odur ki, etimad intervalları və nümunə statistikasının nöqtə təxminləri necə uyğun gəlir. Əlaqədar etimad intervalları (adətən 95% etimad səviyyəsində) və onların əldə edildiyi nümunə ölçüsü göstərilmədən nəşr nöqtəsi təxminləri çaşqınlıq yarada bilər. Bu, istifadəçidə təəssürat yarada bilər ki, nöqtə təxmini onun bütün populyasiyanın xüsusiyyətlərini proqnozlaşdırmaq üçün lazım olan şeydir. Beləliklə, başa düşmək lazımdır ki, hər hansı bir tədqiqatda diqqət nöqtə qiymətləndirmələrinə deyil, interval qiymətləndirmələrinə yönəldilməlidir. Bundan başqa, Xüsusi diqqət verilməlidir düzgün seçim nümunə ölçüləri.
Çox vaxt statistik manipulyasiya obyektləri müəyyən məsələlər üzrə əhalinin sosioloji sorğularının nəticələridir. siyasi problemlər. Bu halda sorğu nəticələri qəzetlərin manşetlərində dərc edilir və səhv nümunə sorğu və statistik təhlil üçün metodologiya ortada bir yerdə çap olunur. Əldə edilmiş bal qiymətləndirmələrinin etibarlılığını sübut etmək üçün onların əsasında əldə edilən seçmə ölçüsünü, etimad intervalının sərhədlərini və onun əhəmiyyətlilik səviyyəsini göstərmək lazımdır.
Növbəti qeyd
Levin et al kitabının materiallarından istifadə olunur. – M.: Williams, 2004. – s. 448–462
Mərkəzi limit teoremi qeyd edir ki, kifayət qədər böyük seçmə ölçüsü ilə vasitələrin seçmə paylanması normal paylanma ilə təxmini edilə bilər. Bu əmlak əhalinin paylanma növündən asılı deyil.
Əvvəlki alt bölmələrdə naməlum parametrin qiymətləndirilməsi məsələsini nəzərdən keçirdik A bir nömrə. Buna "nöqtə" qiymətləndirməsi deyilir. Bir sıra tapşırıqlarda yalnız parametr üçün tapmaq lazım deyil A uyğun ədədi dəyər, həm də onun düzgünlüyünü və etibarlılığını qiymətləndirmək üçün. Parametrin dəyişdirilməsinin hansı səhvlərə səbəb ola biləcəyini bilməlisiniz A onun nöqtə təxmini A və bu səhvlərin məlum həddi aşmayacağına nə dərəcədə inamla gözləmək olar?
Bu cür problemlər, nöqtə qiymətləndirildikdə, az sayda müşahidə ilə xüsusilə aktualdır və içindəəsasən təsadüfidir və a-nın təxmini olaraq a ilə dəyişdirilməsi ciddi səhvlərə səbəb ola bilər.
Qiymətləndirmənin düzgünlüyü və etibarlılığı haqqında fikir vermək A,
V riyazi statistika Onlar sözdə güvən intervalları və güvən ehtimallarından istifadə edirlər.
Parametr üçün icazə verin A təcrübədən əldə edilən qərəzsiz qiymətləndirmə A. Bu vəziyyətdə mümkün səhvi qiymətləndirmək istəyirik. Gəlin kifayət qədər böyük p ehtimalını (məsələn, p = 0.9, 0.95 və ya 0.99) təyin edək ki, p ehtimalı olan hadisə praktiki olaraq etibarlı hesab olunsun və bunun üçün s dəyəri tapın.
Sonra dəyişdirmə zamanı yaranan xətanın praktiki olaraq mümkün dəyərlərinin diapazonu A haqqında A, ± s olacaq; böyük tərəfindən mütləq dəyər səhvlər yalnız aşağı ehtimalla görünəcək a = 1 - p. Gəlin (14.3.1) aşağıdakı kimi yenidən yazaq:
Bərabərlik (14.3.2) o deməkdir ki, ehtimalla p bilinməyən dəyər parametr A intervalına düşür
Bir halı qeyd etmək lazımdır. Əvvəllər təsadüfi dəyişənin verilmiş qeyri-təsadüfi intervala düşmə ehtimalını dəfələrlə nəzərdən keçirmişik. Burada vəziyyət fərqlidir: böyüklük A təsadüfi deyil, lakin / p intervalı təsadüfidir. Onun x oxundakı mövqeyi təsadüfi, mərkəzi ilə müəyyən edilir A; Ümumiyyətlə, 2s intervalının uzunluğu da təsadüfi olur, çünki s dəyəri, bir qayda olaraq, eksperimental məlumatlardan hesablanır. Buna görə də in bu halda p qiymətini nöqtəyə “vurulma” ehtimalı kimi deyil, şərh etmək daha yaxşı olardı A intervalında / p və təsadüfi intervalın / p nöqtəsini əhatə etməsi ehtimalı kimi A(Şəkil 14.3.1).
düyü. 14.3.1
Adətən p ehtimalı deyilir güvən ehtimalı, və interval / p - etimad intervalı. Interval sərhədləri Əgər. a x = a- s və a 2 = a + və çağırılır etibar sərhədləri.
Etibar intervalı anlayışına başqa bir şərh verək: onu parametr qiymətlərinin intervalı kimi qəbul etmək olar. A, eksperimental məlumatlar ilə uyğun gəlir və onlara zidd deyil. Həqiqətən, a = 1-p ehtimalı olan bir hadisəni praktiki olaraq qeyri-mümkün hesab etməyə razılaşsaq, o zaman a parametrinin dəyərləri a - a> s eksperimental məlumatlara zidd olaraq tanınmalıdır və |a - A a t na 2 .
Parametr üçün icazə verin A qərəzsiz qiymətləndirmə var A. Kəmiyyətin paylanması qanununu bilsəydik A, etimad intervalını tapmaq vəzifəsi çox sadə olardı: bunun üçün s dəyərini tapmaq kifayətdir.
Çətinlik təxminlərin paylanması qanununun olmasıdır A kəmiyyətin paylanma qanunundan asılıdır X və buna görə də onun naməlum parametrləri üzrə (xüsusən də parametrin özündə A).
Bu çətinliyi aradan qaldırmaq üçün aşağıdakı təxmini texnikadan istifadə edə bilərsiniz: s ifadəsindəki naməlum parametrləri onların nöqtə təxminləri ilə əvəz edin. Nisbətən çox sayda təcrübə ilə P(təxminən 20...30) bu texnika adətən dəqiqlik baxımından qənaətbəxş nəticələr verir.
Nümunə olaraq, riyazi gözlənti üçün etimad intervalı problemini nəzərdən keçirək.
Qoy istehsal olunsun P X, xüsusiyyətləri riyazi gözləntilərdir T və variasiya D- naməlum. Bu parametrlər üçün aşağıdakı hesablamalar əldə edilmişdir:
Müvafiq bir etimad intervalı / p qurmaq tələb olunur güvən ehtimalı p, riyazi gözlənti üçün T miqdarlar X.
Bu problemi həll edərkən, kəmiyyətdən istifadə edəcəyik T cəmini ifadə edir P müstəqil eyni paylanmış təsadüfi dəyişənlər Xh və mərkəzi limit teoreminə görə, kifayət qədər böyük üçün P onun paylanma qanunu normala yaxındır. Praktikada hətta nisbətən az sayda (təxminən 10...20) terminlərlə cəminin paylanma qanununu təxminən normal hesab etmək olar. Dəyərini qəbul edəcəyik T normal qanuna uyğun olaraq paylanır. Bu qanunun xüsusiyyətləri - riyazi gözlənti və dispersiya müvafiq olaraq bərabərdir T Və
(13-cü fəsil 13.3-ə baxın). Fərz edək ki, dəyər D bunun üçün Ep dəyərini bilirik və tapacağıq
6-cı fəslin (6.3.5) düsturundan istifadə edərək (14.3.5)-in sol tərəfindəki ehtimalı normal paylanma funksiyası vasitəsilə ifadə edirik.
təxminin standart kənarlaşması haradadır T.
Eq.
Sp dəyərini tapın: 
burada arg Ф* (х) Ф*-in tərs funksiyasıdır. (X), olanlar. olan arqumentin dəyəri normal funksiya paylanması bərabərdir X.
Dispersiya D, onun vasitəsilə kəmiyyət ifadə olunur A 1P, biz dəqiq bilmirik; onun təxmini dəyəri kimi, təxmini istifadə edə bilərsiniz D(14.3.4) və təxminən qoyun:
Beləliklə, etimad intervalının qurulması problemi təxminən həll edildi, bu da bərabərdir:
burada gp (14.3.7) düsturu ilə müəyyən edilir.
F* (l) funksiyasının cədvəllərində s p hesablanarkən əks interpolyasiyanın qarşısını almaq üçün kəmiyyətin dəyərlərini verən xüsusi bir cədvəl tərtib etmək rahatdır (Cədvəl 14.3.1).
r-dən asılı olaraq. Qiymət (p normal qanun üçün dispersiya mərkəzindən sağa və sola çəkilməli olan standart sapmaların sayını müəyyən edir ki, nəticədə yaranan sahəyə daxil olma ehtimalı p-yə bərabər olsun.
7 p dəyəri ilə etibarlılıq intervalı aşağıdakı kimi ifadə edilir:
Cədvəl 14.3.1
Nümunə 1. Kəmiyyət üzrə 20 təcrübə aparılmışdır X; nəticələr cədvəldə göstərilir. 14.3.2.
Cədvəl 14.3.2
Kəmiyyətin riyazi gözləntisindən təxmin tapmaq tələb olunur X və p = 0,8 inam ehtimalına uyğun olan inam intervalını qurun.
Həll. Bizdə:
İstinad nöqtəsi kimi l: = 10-u seçərək, üçüncü düsturdan (14.2.14) istifadə edərək, qərəzsiz qiymətləndirməni tapırıq. D :
Cədvələ görə 14.3.1 tapırıq 
Etibar məhdudiyyətləri:
Parametr dəyərləri T, Bu intervalda olanlar cədvəldə verilmiş eksperimental məlumatlara uyğundur. 14.3.2.
Dispersiya üçün inam intervalı oxşar şəkildə qurula bilər.
Qoy istehsal olunsun P təsadüfi dəyişən üzərində müstəqil təcrübələr X həm A, həm də dispersiya üçün naməlum parametrlərlə D qərəzsiz qiymətləndirmə əldə edildi:
Variasiya üçün təxminən bir inam intervalının qurulması tələb olunur.
(14.3.11) düsturundan aydın olur ki, kəmiyyət D təmsil edir
məbləğ P formanın təsadüfi dəyişənləri. Bu dəyərlər deyil
müstəqildir, çünki onlardan hər hansı birinə kəmiyyət daxildir T, hamıdan asılıdır. Ancaq artımla göstərilə bilər P onların cəminin paylanma qanunu da normala yaxınlaşır. Demək olar ki, P= 20...30 artıq normal sayıla bilər.
Fərz edək ki, belədir və bu qanunun xüsusiyyətlərini tapaq: riyazi gözlənti və dispersiya. Qiymətləndirmədən bəri D- o zaman qərəzsiz M[D] = D.
Variasiya hesablanması D D nisbətən mürəkkəb hesablamalarla əlaqələndirilir, ona görə də onun ifadəsini törəmə olmadan təqdim edirik:
burada q 4 dördüncüdür mərkəzi nöqtə miqdarlar X.
Bu ifadədən istifadə etmək üçün \u003d 4 və dəyərlərini əvəz etməlisiniz D(heç olmasa yaxın olanlar). Əvəzinə D onun qiymətləndirməsindən istifadə edə bilərsiniz D. Prinsipcə, dördüncü mərkəzi an da təxminlə, məsələn, formanın dəyəri ilə əvəz edilə bilər:
lakin belə bir dəyişdirmə son dərəcə aşağı dəqiqlik verəcəkdir, çünki ümumiyyətlə məhdud sayda təcrübə ilə anlar yüksək sifariş-dan müəyyən edilir böyük səhvlər. Ancaq praktikada tez-tez olur ki, kəmiyyət bölgüsü qanunu növü Xəvvəlcədən məlumdur: yalnız onun parametrləri məlum deyil. Sonra μ 4 vasitəsilə ifadə etməyə cəhd edə bilərsiniz D.
Ən ümumi halı götürək, zaman dəyəri X normal qanuna uyğun olaraq paylanır. Sonra onun dördüncü mərkəzi momenti dispersiya baxımından ifadə edilir (bax. Fəsil 6, 6.2-ci yarımbənd);
və düstur (14.3.12) verir 
və ya
(14.3.14)-də naməlumun dəyişdirilməsi D onun qiymətləndirməsi D, alırıq: haradan 
Moment μ 4 vasitəsilə ifadə edilə bilər D həmçinin bəzi digər hallarda, dəyərin bölüşdürülməsi zamanı X normal deyil, lakin görünüşü məlumdur. Məsələn, qanun üçün vahid sıxlıq(5-ci fəslə baxın) bizdə: 
burada (a, P) qanunun göstərildiyi intervaldır.
Beləliklə,
(14.3.12) düsturundan istifadə edərək əldə edirik: 
təxminən harada tapa bilərik
26-cı kəmiyyət üçün paylanma qanununun növü məlum olmayan hallarda, a/) dəyərinin təxmini qiymətləndirilməsini apararkən, bu qanuna inanmaq üçün xüsusi səbəblər olmadıqda, yenə də (14.3.16) düsturundan istifadə etmək tövsiyə olunur. normaldan çox fərqlidir (görülən müsbət və ya mənfi kurtoza malikdir) .
Əgər a/) təxmini dəyəri bu və ya digər şəkildə əldə edilirsə, onda biz riyazi gözlənti üçün qurduğumuz kimi dispersiya üçün inam intervalını qura bilərik:
burada verilmiş p ehtimalından asılı olan qiymət cədvələ uyğun olaraq tapılır. 14.3.1.
Nümunə 2. Təsadüfi dəyişənin dispersiyasına təxminən 80% etibar intervalını tapın X 1-ci misalın şərtlərinə uyğun olaraq dəyəri məlumdursa X normala yaxın qanuna görə paylanır.
Həll. Qiymət cədvəldəki kimi qalır. 14.3.1:
(14.3.16) düsturuna əsasən
(14.3.18) düsturundan istifadə edərək etibarlılıq intervalını tapırıq:
Orta dəyərlərin müvafiq intervalı kvadrat sapma: (0,21; 0,29).
14.4. Normal qanuna görə paylanmış təsadüfi dəyişənin parametrləri üçün etibarlılıq intervallarının qurulmasının dəqiq üsulları
Əvvəlki alt bölmədə biz riyazi gözləntilər və dispersiya üçün etimad intervallarının qurulması üçün təqribən təxmini üsulları araşdırdıq. Burada eyni problemi həll etmək üçün dəqiq üsullar haqqında bir fikir verəcəyik. Biz vurğulayırıq ki, etimad intervallarını dəqiq tapmaq üçün kəmiyyətin paylanma qanununun formasını əvvəlcədən bilmək mütləq lazımdır. X, halbuki təxmini metodların tətbiqi üçün bu lazım deyil.
İdeya dəqiq üsullar etimad intervallarının qurulması aşağıdakılardan ibarətdir. İstənilən etimad intervalı müəyyən bərabərsizliklərin yerinə yetirilməsi ehtimalını ifadə edən şərtdən tapılır, o cümlədən bizi maraqlandıran təxminlər. A. Qiymətləndirmənin paylanması qanunu A V ümumi hal naməlum kəmiyyət parametrlərindən asılıdır X. Ancaq bəzən təsadüfi dəyişəndən bərabərsizliklərdə keçmək mümkündür A müşahidə olunan dəyərlərin başqa funksiyasına X p X 2, ..., X səh. paylanma qanunu naməlum parametrlərdən asılı deyil, yalnız təcrübələrin sayından və kəmiyyətin paylanma qanununun növündən asılıdır. X. Bu cür təsadüfi dəyişənlər riyazi statistikada mühüm rol oynayır; kəmiyyətin normal paylanması halında onlar ən ətraflı şəkildə tədqiq edilmişdir X.
Məsələn, dəyərin normal paylanması ilə sübut edilmişdir X təsadüfi dəyər
deyilənlərə tabe olur Tələbə bölgüsü qanunu ilə P- 1 dərəcə sərbəstlik; bu qanunun sıxlığı formasına malikdir
burada G(x) məlum qamma funksiyasıdır:
Təsadüfi dəyişən də sübut edilmişdir
ilə "% 2 paylanması" var P- 1 dərəcə sərbəstlik (7-ci fəslə baxın), sıxlığı düsturla ifadə edilir
Paylanmaların törəmələri (14.4.2) və (14.4.4) üzərində dayanmadan, parametrlər üçün etimad intervallarını qurarkən onların necə tətbiq oluna biləcəyini göstərəcəyik. ty D.
Qoy istehsal olunsun P təsadüfi dəyişən üzərində müstəqil təcrübələr X, naməlum parametrlərlə normal paylanmışdır T&O. Bu parametrlər üçün təxminlər əldə edilmişdir
Etibarlılıq ehtimalı p-ə uyğun gələn hər iki parametr üçün inam intervallarının qurulması tələb olunur.
Əvvəlcə riyazi gözlənti üçün etimad intervalı quraq. Bu intervalın simmetrik olaraq qəbul edilməsi təbiidir T; s p intervalın uzunluğunun yarısını bildirək. s p dəyəri elə seçilməlidir ki, şərt ödənilsin
Təsadüfi kəmiyyətdən bərabərliyin (14.4.5) sol tərəfində hərəkət etməyə çalışaq T təsadüfi dəyişənə T, Tələbə qanununa uyğun olaraq paylanır. Bunun üçün |m-w?| bərabərsizliyinin hər iki tərəfini çarpın
müsbət qiymətə görə: 
və ya qeydlərdən istifadə etməklə (14.4.1),
Şərtdən / p qiymətini tapmaq üçün / p ədədi tapaq
(14.4.2) düsturundan aydın olur ki, (1) - hətta fəaliyyət göstərir, beləliklə (14.4.8) verir 
Bərabərlik (14.4.9) p-dən asılı olaraq dəyəri / p-ni təyin edir. Əgər sizin ixtiyarınızda inteqral dəyərlər cədvəli varsa
onda /p dəyərini cədvəldə əks interpolyasiya yolu ilə tapmaq olar. Bununla belə, əvvəlcədən /p dəyərləri cədvəlini tərtib etmək daha rahatdır. Belə bir cədvəl Əlavədə verilmişdir (cədvəl 5). Bu cədvəl etimad səviyyəsi p və sərbəstlik dərəcələrinin sayından asılı olaraq dəyərləri göstərir P- 1. Cədvəldən / p müəyyən edərək. 5 və fərz edirik 
etimad intervalının eninin yarısını / p və intervalın özünü tapacağıq
Nümunə 1. Təsadüfi dəyişən üzərində 5 müstəqil təcrübə aparıldı X, naməlum parametrlərlə normal paylanır T və haqqında. Təcrübələrin nəticələri cədvəldə verilmişdir. 14.4.1.
Cədvəl 14.4.1
Reytinq tapın T riyazi gözlənti üçün və onun üçün 90% etimad intervalı / p qurun (yəni, etimad ehtimalına uyğun interval p = 0,9).
Həll. Bizdə:
Ərizənin 5-ci cədvəlinə uyğun olaraq P - 1 = 4 və p = 0,9 tapırıq 
harada 
Etibar intervalı olacaq
Nümunə 2. 14.3-cü yarımbəndin 1-ci misalının şərtləri üçün dəyəri qəbul etməklə X normal paylanmışdır, dəqiq inam intervalını tapın.
Həll.Əlavənin 5-ci cədvəlinə əsasən burada tapırıq P - 1 = 19ir =
0,8 / p = 1,328; buradan 
14.3-cü yarımbəndin 1-ci misalının həlli ilə müqayisə etsək (e p = 0,072) biz əminik ki, uyğunsuzluq çox əhəmiyyətsizdir. Dəqiqliyi ikinci onluq yerə qədər qorusaq, onda dəqiq və təxmini üsullarla tapılan etimad intervalları üst-üstə düşür:
Gəlin variasiya üçün etimad intervalının qurulmasına keçək. Qərəzsiz dispersiya qiymətləndiricisini nəzərdən keçirin
və təsadüfi dəyişəni ifadə edin D böyüklüyü vasitəsilə V(14.4.3), paylanma x 2 (14.4.4):
Kəmiyyətin paylanması qanununu bilmək V, verilmiş p ehtimalı ilə düşdüyü /(1) intervalını tapa bilərsiniz.
Paylanma qanunu kn_x(v) I 7 böyüklüyü Şəkildə göstərilən formaya malikdir. 14.4.1.
düyü. 14.4.1
Sual yaranır: interval / p-ni necə seçmək olar? Əgər böyüklüyün paylanması qanunu V simmetrik idi (normal qanun və ya Tələbə paylanması kimi), riyazi gözləntiyə münasibətdə /p simmetrik intervalını qəbul etmək təbii olardı. Bu halda qanun k p_x (v) asimmetrik. Qiymətin olma ehtimalının olması üçün /p intervalını seçməyə razılaşaq V sağa və sola olan intervaldan kənarda (Şəkil 14.4.1-də kölgəli sahələr) eyni və bərabər idi.
Bu xassə ilə interval /p qurmaq üçün cədvəldən istifadə edirik. 4 proqram: nömrələrdən ibarətdir y) belə
dəyər üçün V, x 2 olan -r sərbəstlik dərəcələri ilə paylanma. Bizim vəziyyətimizdə r = n- 1. Gəlin düzəldək r = n- 1 və cədvəlin müvafiq cərgəsində tapın. 4 iki məna x 2 - biri ehtimala uyğun gələn digəri - ehtimal Bunları işarə edək
dəyərlər 2-də Və xl? Aralıq var y 2, solunuzla və y~ sağ son.
İndi D və sərhədləri ilə dispersiya üçün / p intervalından istədiyiniz inam intervalını /| tapaq. D2, məqamı əhatə edən D p ehtimalı ilə: 
Nöqtəni əhatə edən / (, = (?> ь А) intervalı quraq Dəgər və yalnız dəyər V/r intervalına düşür. Göstərək ki, interval
bu şərti ödəyir. Həqiqətən, bərabərsizliklər 
bərabərsizliklərə bərabərdir
və bu bərabərsizliklər p ehtimalı ilə təmin edilir. Beləliklə, dispersiya üçün inam intervalı tapılmışdır və (14.4.13) düsturu ilə ifadə edilmişdir.
Nümunə 3. 14.3-cü yarımbəndin 2-ci misalının şərtlərinə uyğun olaraq dispersiya üçün inam intervalını tapın, əgər məlumdursa, dəyər X normal paylanmışdır.
Həll. bizdə var 
. Əlavənin 4-cü cədvəlinə uyğun olaraq
ünvanında tapırıq g = n - 1 = 19
(14.4.13) düsturundan istifadə edərək dispersiya üçün inam intervalını tapırıq 
Standart kənarlaşma üçün müvafiq interval (0,21; 0,32) təşkil edir. Bu interval təxmini metoddan istifadə etməklə 14.3-cü yarımbəndin 2-ci misalında əldə edilmiş intervalı (0,21; 0,29) bir qədər üstələyir.
- Şəkil 14.3.1 a-a yaxın simmetrik etimad intervalını nəzərdən keçirir. Ümumiyyətlə, daha sonra görəcəyimiz kimi, bu lazım deyil.
Etibar intervalları.
Etibar intervalının hesablanması müvafiq parametrin orta xətasına əsaslanır. Etibar intervalı təxmin edilən parametrin həqiqi dəyərinin (1-a) ehtimalı ilə hansı hədlərdə olduğunu göstərir. Burada a əhəmiyyətlilik səviyyəsidir, (1-a) etibarlılıq ehtimalı da adlanır.
Birinci fəsildə biz göstərdik ki, məsələn, arifmetik orta üçün həqiqi populyasiya ortalaması təxminən 95% hallarda ortanın 2 standart xətası içərisindədir. Beləliklə, orta üçün 95% etimad intervalının sərhədləri seçmə ortadan iki dəfə uzaq olacaq orta səhv orta, yəni. ortanın orta xətasını etimad səviyyəsindən asılı olaraq müəyyən əmsala vururuq. Ortaların orta və fərqi üçün Tələbə əmsalı (Tələbə testinin kritik dəyəri), payların payı və fərqi üçün z meyarının kritik qiyməti alınır. Katsayı və orta xətanın məhsulu verilmiş parametrin maksimum xətası adlandırıla bilər, yəni. qiymətləndirərkən əldə edə biləcəyimiz maksimumdur.
üçün güvən intervalı arifmetik orta : .
Budur nümunə orta;
Arifmetik ortanın orta xətası;
s – nümunə standart sapması;
n
f = n-1 (Tələbə əmsalı).
üçün güvən intervalı arifmetik vasitələrin fərqləri :
Nümunə vasitələri arasındakı fərq budur;
- arifmetik vasitələr arasındakı fərqin orta xətası;
s 1 , s 2 - standart sapma nümunələri;
n1, n2
Kritik dəyər Müəyyən bir əhəmiyyət səviyyəsi a və sərbəstlik dərəcələrinin sayı üçün tələbənin t testi f=n 1 +n 2-2 (Tələbə əmsalı).
üçün güvən intervalı səhmlər :
.
Burada d nümunə fraksiyasıdır;
– orta kəsr xətası;
n– nümunə ölçüsü (qrup ölçüsü);
üçün güvən intervalı səhmlərin fərqi :
Nümunə paylardakı fərq budur;
– arifmetik vasitələr arasındakı fərqin orta xətası;
n1, n2– nümunə həcmləri (qrupların sayı);
Verilmiş əhəmiyyətlilik səviyyəsində z kriteriyasının kritik qiyməti a ( , , ).
Göstəricilər arasındakı fərq üçün etimad intervallarını hesablayaraq, ilk növbədə, birbaşa görürük mümkün dəyərlər təsiri və təkcə bu deyil nöqtə təxmini. İkincisi, sıfır fərziyyənin qəbulu və ya rədd edilməsi haqqında nəticə çıxara bilərik və üçüncüsü, testin gücü haqqında bir nəticə çıxara bilərik.
Etibar intervallarından istifadə edərək fərziyyələri sınaqdan keçirərkən aşağıdakı qaydaya əməl etməlisiniz:
Ortalardakı fərqin 100(1-a) faiz etibar intervalında sıfır yoxdursa, o zaman fərqlər a əhəmiyyətlilik səviyyəsində statistik əhəmiyyətlidir; əksinə, əgər bu intervalda sıfır varsa, onda fərqlər statistik əhəmiyyət kəsb etmir.
Həqiqətən də, əgər bu intervalda sıfır varsa, bu o deməkdir ki, müqayisə olunan göstərici qruplardan birində digərinə nisbətən ya böyük, ya da az ola bilər, yəni. müşahidə edilən fərqlər təsadüfdən irəli gəlir.
Testin gücü etimad intervalında sıfırın yeri ilə qiymətləndirilə bilər. Sıfır aşağıya yaxındırsa və ya yuxarı hədd interval, o zaman bəlkə daha çox sayda müqayisə qrupları ilə fərqlər çatar statistik əhəmiyyəti. Sıfır intervalın ortasına yaxındırsa, bu o deməkdir ki, eksperimental qrupda göstəricinin həm artması, həm də azalması eyni dərəcədə mümkündür və çox güman ki, həqiqətən heç bir fərq yoxdur.
Nümunələr:
İki müxtəlif növ anesteziyadan istifadə zamanı cərrahi ölümü müqayisə edək: 61 nəfər birinci növ anesteziya ilə əməliyyat olunub, 8 nəfər ölüb, ikinci növlə 67 nəfər, 10 nəfər ölüb.
d 1 = 8/61 = 0,131; d2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.
Müqayisə olunan üsulların ölümcüllük fərqi 100(1-a) = 95% ehtimalı ilə (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) və ya (-0,14; 0,104) diapazonunda olacaq. Aralıqda sıfır var, yəni. ikidə eyni ölümcüllük haqqında fərziyyə fərqli növlər Anesteziya rədd edilə bilməz.
Beləliklə, ölüm nisbəti 14% -ə qədər azala bilər və azalacaq və 95% ehtimalı ilə 10,4% -ə yüksələ bilər, yəni. sıfır təxminən intervalın ortasındadır, buna görə də iddia etmək olar ki, çox güman ki, bu iki üsul həqiqətən ölümcüllük baxımından fərqlənmir.
Daha əvvəl müzakirə edilən nümunədə, imtahan balları ilə fərqlənən dörd qrup tələbədə tıqqıltı testi zamanı orta sıxma vaxtı müqayisə edilmişdir. İmtahanı 2-ci və 5-ci qiymətlərlə vermiş tələbələr üçün orta təzyiq vaxtı üçün etimad intervallarını və bu ortalamalar arasındakı fərq üçün inam intervalını hesablayaq.
Tələbə əmsalları Tələbə paylama cədvəllərindən istifadə etməklə tapılır (əlavə bax): birinci qrup üçün: = t(0,05;48) = 2,011; ikinci qrup üçün: = t(0,05;61) = 2,000. Beləliklə, birinci qrup üçün etimad intervalları: = (162,19-2,011*2,18; 162,19+2,011*2,18) = (157,8; 166,6), ikinci qrup üçün (156,55- 2,000*1,88 ;+15,18.) = 156,80.*. 160.3). Beləliklə, imtahandan 2 ilə keçənlər üçün orta sıxma müddəti 95% ehtimalla 157,8 ms-dən 166,6 ms-ə qədər, imtahandan 5 ilə keçənlər üçün - 95% ehtimalla 152,8 ms-dən 160,3 ms-ə qədərdir. .
Siz həmçinin sıfır fərziyyəni yalnız vasitələr fərqi üçün deyil, vasitələr üçün etimad intervallarından istifadə edərək sınaqdan keçirə bilərsiniz. Məsələn, bizim vəziyyətimizdə olduğu kimi, əgər vasitələr üçün etimad intervalları üst-üstə düşürsə, onda sıfır fərziyyə rədd edilə bilməz. Seçilmiş əhəmiyyət səviyyəsində bir fərziyyəni rədd etmək üçün müvafiq etimad intervalları üst-üstə düşməməlidir.
İmtahanı 2-ci və 5-ci qiymətlərlə vermiş qruplar üzrə orta basma vaxtının fərqinə inam intervalını tapaq.Orta göstəricilərin fərqi: 162,19 – 156,55 = 5,64. Şagird əmsalı: = t(0,05;49+62-2) = t(0,05;109) = 1,982. Qrup standart kənarlaşmaları bərabər olacaq: ; . Vasitələr arasındakı fərqin orta xətasını hesablayırıq: . Etibar intervalı: =(5,64-1,982*2,87; 5,64+1,982*2,87) = (-0,044; 11,33).
Belə ki, imtahandan 2 və 5 bal toplayan qruplar üzrə orta sıxılma vaxtının fərqi -0,044 ms ilə 11,33 ms arasında olacaq. Bu intervala sıfır daxildir, yəni. İmtahandan yaxşı keçənlər üçün orta təzyiq müddəti imtahandan qeyri-qənaətbəxş keçənlərlə müqayisədə ya arta, ya da azala bilər, yəni. sıfır fərziyyə rədd edilə bilməz. Ancaq sıfır aşağı həddə çox yaxındır və yaxşı keçənlər üçün basma vaxtının azalma ehtimalı daha yüksəkdir. Beləliklə, belə bir nəticəyə gələ bilərik ki, 2 və 5-i keçənlər arasında orta təzyiq müddətində hələ də fərqlər var, biz sadəcə orta vaxtın dəyişməsini, orta vaxtın yayılmasını və nümunə ölçülərini nəzərə alaraq onları aşkar edə bilmədik.
Testin gücü yanlış sıfır hipotezini rədd etmək ehtimalıdır, yəni. fərqləri əslində mövcud olduqları yerdə tapın.
Testin gücü əhəmiyyət səviyyəsinə, qruplar arasındakı fərqlərin miqyasına, dəyərlərin qruplarda yayılmasına və nümunələrin ölçüsünə əsasən müəyyən edilir.
Tələbə imtahanı üçün və dispersiya təhlili Həssaslıq diaqramlarından istifadə edə bilərsiniz.
Kriteriyanın gücü lazımi sayda qrupları əvvəlcədən müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilər.
Etibar intervalı təxmin edilən parametrin həqiqi dəyərinin verilmiş ehtimalla hansı məhdudiyyətlər daxilində olduğunu göstərir.
Etibar intervallarından istifadə edərək, statistik fərziyyələri sınaqdan keçirə və meyarların həssaslığı haqqında nəticə çıxara bilərsiniz.
ƏDƏBİYYAT.
Glanz S. – Fəsil 6,7.
Rebrova O.Yu. – s.112-114, s.171-173, s.234-238.
Sidorenko E.V. – s.32-33.
Tələbələrin özünü sınaması üçün suallar.
1. Kriteriyanın gücü nədir?
2. Hansı hallarda meyarların gücünü qiymətləndirmək lazımdır?
3. Gücün hesablanması üsulları.
6. Etibar intervalından istifadə etməklə statistik fərziyyəni necə yoxlamaq olar?
7. Etibar intervalı hesablanarkən kriteriyanın gücü haqqında nə demək olar?
Tapşırıqlar.
Tutaq ki, bəzi xüsusiyyətlərin normal paylanmasına malik çoxlu sayda əşyalarımız var (məsələn, ölçüsü və çəkisi dəyişən eyni tipli tərəvəzlərin tam anbarı). Siz bütün mal partiyasının orta xüsusiyyətlərini bilmək istəyirsiniz, lakin hər bir tərəvəzi ölçmək və çəkməyə nə vaxtınız, nə də həvəsiniz var. Bunun lazım olmadığını başa düşürsən. Bəs spot yoxlama üçün neçə ədəd götürülməlidir?
Bu vəziyyət üçün faydalı bir neçə düstur verməzdən əvvəl bəzi qeydləri xatırlayaq.
Birincisi, əgər biz bütün tərəvəz anbarını ölçsək (bu elementlər toplusu ümumi əhali adlanır), onda biz bütün partiyanın orta çəkisini bütün dəqiqliklə biləcəkdik. Gəlin bunu orta adlandıraq X orta .g az . - ümumi orta. Biz artıq bilirik ki, onun orta dəyəri və sapması məlumdursa, nəyin tam müəyyən olunduğunu bilirik . Düzdür, biz nə X orta gen, nə də s Biz ümumi əhalini bilmirik. Biz yalnız müəyyən bir nümunə götürə bilərik, bizə lazım olan dəyərləri ölçə bilərik və bu nümunə üçün həm orta dəyər X orta, həm də S standart sapmasını hesablaya bilərik.
Məlumdur ki, əgər nümunə yoxlamamızda çoxlu sayda element varsa (adətən n 30-dan çoxdur) və onlar götürülür. həqiqətən təsadüfi, sonra s ümumi əhali S seçimindən demək olar ki, fərqlənməyəcək ..
Bundan əlavə, normal paylanma vəziyyətində aşağıdakı düsturlardan istifadə edə bilərik:
95% ehtimalla
99% ehtimalla
IN ümumi görünüş P (t) ehtimalı ilə
Etibar intervalını bilmək istədiyimiz t dəyəri ilə ehtimal dəyəri P (t) arasındakı əlaqəni aşağıdakı cədvəldən götürmək olar:
Beləliklə, əhali üçün orta qiymətin hansı diapazonda yerləşdiyini müəyyən etdik (verilmiş ehtimalla).
Əgər kifayət qədər böyük bir nümunəmiz olmasa, əhalinin s = olduğunu deyə bilmərik S seçin Bundan əlavə, bu halda nümunənin normal paylanmaya yaxınlığı problemlidir. Bu halda biz də yerinə S seçimindən istifadə edirik düsturda s:
lakin sabit ehtimal P(t) üçün t-nin qiyməti n nümunəsindəki elementlərin sayından asılı olacaq. n nə qədər böyükdürsə, nəticə etibarı intervalı (1) düsturu ilə verilən qiymətə bir o qədər yaxın olacaqdır. Bu vəziyyətdə t dəyərləri başqa bir cədvəldən götürülür ( Tələbənin t-testi), aşağıda təqdim etdiyimiz:
Tələbənin 0.95 və 0.99 ehtimalı üçün t-test dəyərləri
Misal 3. 30 nəfər şirkət əməkdaşlarından təsadüfi seçilib. Nümunəyə görə, orta əmək haqqı (ayda) 5 min rubl standart sapma ilə 30 min rubl olduğu ortaya çıxdı. Şirkətdəki orta əmək haqqını 0,99 ehtimalı ilə müəyyən edin.
Həll:Şərtlə bizdə n = 30, X orta. =30000, S=5000, P = 0,99. Etibar intervalını tapmaq üçün Tələbənin t testinə uyğun düsturdan istifadə edəcəyik. n = 30 və P = 0,99 üçün cədvəldən t = 2,756 tapırıq, buna görə də,
olanlar. axtarılan qəyyum interval 27484< Х ср.ген
< 32516.
Beləliklə, 0,99 ehtimalı ilə deyə bilərik ki, interval (27484; 32516) şirkətdə orta əmək haqqını özündə ehtiva edir.
Ümid edirik ki, bu üsuldan istifadə edəcəksiniz və hər dəfə yanınızda masanın olması vacib deyil. Hesablamalar Excel-də avtomatik olaraq həyata keçirilə bilər. Excel faylında olarkən yuxarı menyuda fx düyməsini sıxın. Sonra, funksiyalar arasından "statistik" növü seçin və pəncərədə təklif olunan siyahıdan - STUDAR DISCOVER. Sonra, kursoru "ehtimal" sahəsinə qoyaraq, tərs ehtimalın dəyərini daxil edin (yəni bizim vəziyyətimizdə 0,95 ehtimalı əvəzinə 0,05 ehtimalını yazmalısınız). Görünür elektron cədvəl elə tərtib edilir ki, nəticə hansı ehtimalla səhv edə biləcəyimiz suala cavab versin. Eynilə, Azadlıq Dərəcəsi sahəsinə nümunəniz üçün dəyər (n-1) daxil edin.
Riyazi gözləmə üçün inam intervalı - bu, məlum ehtimalla ümumi əhalinin riyazi gözləntilərini ehtiva edən məlumatlardan hesablanmış intervaldır. Riyazi gözlənti üçün təbii qiymətləndirmə onun müşahidə edilən qiymətlərinin arifmetik ortasıdır. Buna görə də, dərs boyu “orta” və “orta dəyər” terminlərindən istifadə edəcəyik. Etibar intervalının hesablanması problemlərində ən çox tələb olunan cavab “Orta qiymətin [müəyyən bir problemdə dəyərin] etibarlılıq intervalı [kiçik dəyərdən] [daha böyük dəyərə]” kimi bir şeydir. Etibar intervalından istifadə edərək, yalnız orta dəyərləri deyil, həm də ümumi əhalinin müəyyən bir xüsusiyyətinin nisbətini qiymətləndirə bilərsiniz. Ortalar, variasiya, standart sapma və yeni təriflərə və düsturlara çatacağımız səhvlər dərsdə müzakirə olunur Nümunə və populyasiyanın xüsusiyyətləri .
Ortanın nöqtə və interval təxminləri
Əgər populyasiyanın orta qiyməti ədədlə (nöqtə ilə) qiymətləndirilirsə, onda əhalinin naməlum orta qiymətinin qiymətləndirilməsi kimi müşahidələr seçməsindən hesablanan xüsusi orta qiymət götürülür. Bu halda, seçmənin orta dəyəri - təsadüfi dəyişən - ümumi əhalinin orta dəyəri ilə üst-üstə düşmür. Buna görə də, nümunə ortalamasını göstərərkən eyni zamanda seçmə xətasını da göstərməlisiniz. Nümunə götürmə xətasının ölçüsü orta ilə eyni vahidlərlə ifadə edilən standart xətadır. Buna görə də tez-tez aşağıdakı qeydlərdən istifadə olunur: .
Ortanın qiymətləndirilməsini müəyyən bir ehtimalla əlaqələndirmək lazımdırsa, əhaliyə maraq parametri bir rəqəmlə deyil, intervalla qiymətləndirilməlidir. Etibar intervalı müəyyən bir ehtimala malik olan intervaldır P təxmini əhali göstəricisinin qiyməti tapılır. Ehtimal olunduğu etimad intervalı P = 1 - α təsadüfi dəyişən tapılır, aşağıdakı kimi hesablanır:
,
α = 1 - P, bu statistikaya dair demək olar ki, hər hansı bir kitaba əlavədə tapıla bilər.
Təcrübədə ümumi orta və dispersiya məlum deyildir, ona görə də ümumi dispersiya seçmə dispersiya ilə, ümumi orta göstərici isə seçmə ortası ilə əvəz olunur. Beləliklə, əksər hallarda etimad intervalı aşağıdakı kimi hesablanır:
.
Etibar intervalı düsturu, əgər populyasiyanın orta sayını qiymətləndirmək üçün istifadə edilə bilər
- əhalinin standart sapması məlumdur;
- və ya əhalinin standart sapması naməlumdur, lakin nümunənin ölçüsü 30-dan çoxdur.
Nümunə orta populyasiya ortasının qərəzsiz qiymətləndirilməsidir. Öz növbəsində, nümunə variasiyası 
populyasiya fərqinin qərəzsiz qiymətləndirilməsi deyil. Nümunə dispersiya düsturunda əhali fərqinin qərəzsiz qiymətləndirilməsini əldə etmək üçün seçmə ölçüsü n ilə əvəz edilməlidir n-1.
Misal 1. Müəyyən bir şəhərdə təsadüfi seçilmiş 100 kafedən məlumat toplanmışdır ki, onlardakı işçilərin orta sayı 4,6 standart sapma ilə 10,5 nəfərdir. Kafe işçilərinin sayı üçün 95% etimad intervalını müəyyən edin.
burada əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün standart normal paylanmanın kritik qiyməti α = 0,05 .
Belə ki, kafe işçilərinin orta sayı üçün 95%-lik inam intervalı 9,6-11,4 arasında dəyişib.
Misal 2. 64 müşahidə populyasiyasından təsadüfi bir nümunə üçün aşağıdakı ümumi dəyərlər hesablandı:
müşahidələrdəki dəyərlərin cəmi,
dəyərlərin ortadan kvadrat sapmalarının cəmi 
.
Riyazi gözlənti üçün 95% etimad intervalını hesablayın.
Standart kənarlaşmanı hesablayaq:
,
Orta dəyəri hesablayaq:
.
Etibar intervalı üçün dəyərləri ifadə ilə əvəz edirik:
burada əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün standart normal paylanmanın kritik qiyməti α = 0,05 .
Biz əldə edirik:
Beləliklə, bu seçmənin riyazi gözləntisi üçün 95% inam intervalı 7,484 ilə 11,266 arasında dəyişdi.
Misal 3. 100 müşahidədən ibarət təsadüfi populyasiya nümunəsi üçün hesablanmış orta göstərici 15,2, standart kənarlaşma isə 3,2-dir. Gözlənilən dəyər üçün 95% etimad intervalını, sonra isə 99% etimad intervalını hesablayın. Nümunə gücü və onun dəyişməsi dəyişməz qalsa və etimad əmsalı artarsa, etimad intervalı daralacaq, yoxsa genişlənəcək?
Bu dəyərləri etimad intervalı üçün ifadə ilə əvəz edirik:
burada əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün standart normal paylanmanın kritik qiyməti α = 0,05 .
Biz əldə edirik:
.
Beləliklə, bu nümunənin orta dəyəri üçün 95% etimad intervalı 14,57 ilə 15,82 arasında dəyişdi.
Yenidən bu dəyərləri etimad intervalının ifadəsi ilə əvəz edirik:
burada əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün standart normal paylanmanın kritik qiyməti α = 0,01 .
Biz əldə edirik:
.
Beləliklə, bu nümunənin orta dəyəri üçün 99% inam intervalı 14.37 ilə 16.02 arasında dəyişdi.
Gördüyümüz kimi etimad əmsalı artdıqca standart normal paylanmanın kritik qiyməti də artır və deməli, intervalın başlanğıc və son nöqtələri ortadan daha uzaqda yerləşir və beləliklə, riyazi gözlənti üçün inam intervalı artır. .
Xüsusi çəkisinin nöqtə və interval təxminləri
Bəzi nümunə atributunun payı nöqtə təxmini kimi şərh edilə bilər xüsusi çəkisi səhümumi əhali üçün eyni xüsusiyyətə malikdir. Əgər bu dəyəri ehtimalla əlaqələndirmək lazımdırsa, onda xüsusi çəkisinin etibarlılıq intervalı hesablanmalıdır. səh ehtimalı olan əhali üçün xarakterikdir P = 1 - α :
.
Misal 4. Bəzi şəhərlərdə iki namizəd var A Və B bələdiyyə sədrliyinə namizədliyini irəli sürürlər. 200 şəhər sakini arasında təsadüfi sorğu keçirilib, onlardan 46%-i namizədə səs verəcəklərini bildirib. A, 26% - namizəd üçün B 28%-i isə kimə səs verəcəyini bilmir. Namizədi dəstəkləyən şəhər sakinlərinin nisbəti üçün 95% etimad intervalını müəyyən edin A.
