Ինչպես լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը: Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ

Ուսումնական հաստատություն «Բելառուսական պետություն

Գյուղատնտեսական ակադեմիա»

Բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժին

ԱՌԱՋԻՆ ԿԱՐԳԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Դասախոսությունների նշումներ հաշվապահական հաշվառման ուսանողների համար

կրթության նամակագրության ձև (NISPO)

Գորկի, 2013 թ

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ

Դիֆերենցիալ հավասարման հայեցակարգը. Ընդհանուր և հատուկ լուծումներ

Տարբեր երևույթներ ուսումնասիրելիս հաճախ հնարավոր չէ գտնել անկախ փոփոխականն ու ցանկալի ֆունկցիան ուղղակիորեն կապող օրենք, սակայն հնարավոր է կապ հաստատել ցանկալի ֆունկցիայի և նրա ածանցյալների միջև։

Անկախ փոփոխականը, ցանկալի ֆունկցիան և դրա ածանցյալները կապող հարաբերությունը կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարում :

Այստեղ x- անկախ փոփոխական, y- պահանջվող գործառույթը,
- ցանկալի ֆունկցիայի ածանցյալներ. Այս դեպքում (1) հարաբերությունը պետք է ունենա առնվազն մեկ ածանցյալ:

Դիֆերենցիալ հավասարման կարգը կոչվում է հավասարման մեջ ներառված ամենաբարձր ածանցյալի կարգը։

Դիտարկենք դիֆերենցիալ հավասարումը

. (2)

Քանի որ այս հավասարումը ներառում է միայն առաջին կարգի ածանցյալ, այն կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում է։

Եթե ​​(2) հավասարումը կարող է լուծվել ածանցյալի նկատմամբ և գրվել ձևով

, (3)

ապա նման հավասարումը կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում նորմալ ձևով:

Շատ դեպքերում նպատակահարմար է դիտարկել ձևի հավասարումը

որը կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում, որը գրված է դիֆերենցիալ ձևով:

Որովհետև
, ապա (3) հավասարումը կարելի է գրել ձևով
կամ
, որտեղ կարող ենք հաշվել
Եվ
. Սա նշանակում է, որ (3) հավասարումը վերածվում է հավասարման (4):

Եկեք գրենք (4) հավասարումը ձևով
. Հետո
,
,
, որտեղ կարող ենք հաշվել
, այսինքն. ստացվում է (3) ձևի հավասարումը։ Այսպիսով, (3) և (4) հավասարումները համարժեք են:

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծում (2) կամ (3)-ը կոչվում է ցանկացած ֆունկցիա
, որը, երբ այն փոխարինում է (2) կամ (3) հավասարման մեջ, այն վերածում է ինքնության.

կամ
.

Դիֆերենցիալ հավասարման բոլոր լուծումները գտնելու գործընթացը կոչվում է իր ինտեգրում , և լուծման գրաֆիկը
կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարում ինտեգրալ կոր այս հավասարումը.

Եթե ​​դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը ստացվում է անուղղակի ձևով
, ապա այն կոչվում է ինտեգրալ տրված դիֆերենցիալ հավասարումը.

Ընդհանուր լուծում առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը ձևի ֆունկցիաների ընտանիք է
, կախված կամայական հաստատունից ՀԵՏ, որոնցից յուրաքանչյուրը կամայական հաստատունի ցանկացած թույլատրելի արժեքի համար տրված դիֆերենցիալ հավասարման լուծում է ՀԵՏ. Այսպիսով, դիֆերենցիալ հավասարումն ունի անսահման թվով լուծումներ։

Մասնավոր որոշում դիֆերենցիալ հավասարումը կամայական հաստատունի որոշակի արժեքի լուծման ընդհանուր բանաձևից ստացված լուծում է ՀԵՏ, այդ թվում
.

Կոշիի խնդիրը և դրա երկրաչափական մեկնաբանությունը

Հավասարումը (2) ունի անսահման թվով լուծումներ: Այս հավաքածուից մեկ լուծում ընտրելու համար, որը կոչվում է մասնավոր, դուք պետք է որոշ լրացուցիչ պայմաններ սահմանեք:

Տրված պայմաններում (2) հավասարման որոշակի լուծում գտնելու խնդիրը կոչվում է Կոշի խնդիր . Այս խնդիրն ամենակարևորներից է դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության մեջ։

Քոշիի խնդիրը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. (2) հավասարման բոլոր լուծումների մեջ գտնել այդպիսի լուծում
, որում ֆունկցիան
վերցնում է տրված թվային արժեքը , եթե անկախ փոփոխականը x վերցնում է տրված թվային արժեքը , այսինքն.

,
, (5)

Որտեղ Դ- ֆունկցիայի սահմանման տիրույթ
.

Իմաստը կանչեց ֆունկցիայի սկզբնական արժեքը , Ա – անկախ փոփոխականի սկզբնական արժեքը . (5) պայմանը կոչվում է նախնական վիճակ կամ Կոշի վիճակ .

Երկրաչափական տեսանկյունից Կոշիի խնդիրը դիֆերենցիալ հավասարման համար (2) կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. (2) հավասարման ինտեգրալ կորերի բազմությունից ընտրել այն, որն անցնում է տվյալ կետով
.

Դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ բաժանելի փոփոխականներով

Դիֆերենցիալ հավասարումների ամենապարզ տեսակներից մեկը առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումն է, որը չի պարունակում ցանկալի ֆունկցիա.

. (6)

Հաշվի առնելով դա
, հավասարումը գրում ենք ձևով
կամ
. Ինտեգրելով վերջին հավասարման երկու կողմերը՝ մենք ստանում ենք.
կամ

. (7)

Այսպիսով, (7)-ը (6) հավասարման ընդհանուր լուծումն է:

Օրինակ 1 . Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը
.

Լուծում . Հավասարումը գրենք ձևով
կամ
. Եկեք ինտեգրենք ստացված հավասարման երկու կողմերը.
,
. Վերջապես կգրենք
.

Օրինակ 2 . Գտե՛ք հավասարման լուծումը
հաշվի առնելով, որ
.

Լուծում . Գտնենք հավասարման ընդհանուր լուծումը.
,
,
,
. Ըստ պայմանի
,
. Փոխարինենք ընդհանուր լուծմանը.
կամ
. Մենք կամայական հաստատունի գտած արժեքը փոխարինում ենք ընդհանուր լուծման բանաձևով.
. Սա դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում է, որը բավարարում է տվյալ պայմանը:

Հավասարում

(8)

Կանչել առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում, որը չի պարունակում անկախ փոփոխական . Եկեք այն գրենք ձևով
կամ
. Եկեք ինտեգրենք վերջին հավասարման երկու կողմերը.
կամ
- (8) հավասարման ընդհանուր լուծում.

Օրինակ . Գտե՛ք հավասարման ընդհանուր լուծումը
.

Լուծում . Այս հավասարումը գրենք ձևով.
կամ
. Հետո
,
,
,
. Այսպիսով,
այս հավասարման ընդհանուր լուծումն է:

Ձևի հավասարումը

(9)

ինտեգրվում է՝ օգտագործելով փոփոխականների տարանջատումը: Դա անելու համար մենք հավասարումը գրում ենք ձևով
, և այնուհետև օգտագործելով բազմապատկման և բաժանման գործողությունները՝ այն բերում ենք այնպիսի ձևի, որ մի մասը ներառում է միայն ֆունկցիան. Xև դիֆերենցիալ dx, իսկ երկրորդ մասում՝ ֆունկցիան ժամըև դիֆերենցիալ դի. Դա անելու համար անհրաժեշտ է հավասարման երկու կողմերը բազմապատկել dxև բաժանել ըստ
. Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարումը

, (10)

որում փոփոխականները XԵվ ժամըառանձնացված. Եկեք ինտեգրենք (10) հավասարման երկու կողմերը.
. Ստացված կապը (9) հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է։

Օրինակ 3 . Ինտեգրել հավասարումը
.

Լուծում . Փոխակերպենք հավասարումը և առանձնացնենք փոփոխականները.
,
. Եկեք ինտեգրվենք.
,
կամ այս հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է։
.

Թող հավասարումը տրվի ձևով

Այս հավասարումը կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում բաժանելի փոփոխականներով սիմետրիկ ձևով.

Փոփոխականները առանձնացնելու համար պետք է հավասարման երկու կողմերը բաժանել
:

. (12)

Ստացված հավասարումը կոչվում է տարանջատված դիֆերենցիալ հավասարում . Եկեք ինտեգրենք (12) հավասարումը.

.(13)

Հարաբերությունը (13) դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է (11):

Օրինակ 4 . Ինտեգրել դիֆերենցիալ հավասարումը:

Լուծում . Հավասարումը գրենք ձևով

և երկու մասերն էլ բաժանիր
,
. Ստացված հավասարումը.
տարանջատված փոփոխական հավասարում է: Եկեք ինտեգրենք այն.

,
,

,
. Վերջին հավասարությունը այս դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է:

Օրինակ 5 . Գտեք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում
, բավարարելով պայմանը
.

Լուծում . Հաշվի առնելով դա
, հավասարումը գրում ենք ձևով
կամ
. Առանձնացնենք փոփոխականները.
. Եկեք ինտեգրենք այս հավասարումը.
,
,
. Ստացված կապը այս հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է։ Ըստ պայմանի
. Փոխարինենք այն ընդհանուր ինտեգրալով և գտնենք ՀԵՏ:
,ՀԵՏ=1. Հետո արտահայտությունը
տրված դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծումն է՝ գրված որպես մասնակի ինտեգրալ։

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ

Հավասարում

(14)

կանչեց առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում . Անհայտ գործառույթ
և նրա ածանցյալը մտնում են այս հավասարման մեջ գծային, իսկ ֆունկցիաները
Եվ
շարունակական։

Եթե
, ապա հավասարումը

(15)

կանչեց գծային միատարր . Եթե
, ապա կանչվում է (14) հավասարումը գծային անհամասեռ .

(14) հավասարման լուծումը գտնելու համար սովորաբար օգտագործում են փոխարինման մեթոդ (Bernoulli) , որի էությունը հետեւյալն է.

Մենք կփնտրենք (14) հավասարման լուծումը երկու ֆունկցիաների արտադրյալի տեսքով

, (16)

Որտեղ
Եվ
- ոմանք շարունակական գործառույթներ. Եկեք փոխարինենք
և ածանցյալ
հավասարման մեջ (14):

Գործառույթ vմենք կընտրենք այնպես, որ պայմանը բավարարվի
.
Հետո

. Այսպիսով, (14) հավասարման լուծումը գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը
,
,
,
,
Համակարգի առաջին հավասարումը գծային միատարր հավասարում է և կարող է լուծվել փոփոխականների տարանջատման մեթոդով.
. Որպես գործառույթ ՀԵՏ=1:
կարող եք վերցնել միատարր հավասարման մասնակի լուծումներից մեկը, այսինքն. ժամը
կամ
. Փոխարինենք համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ.
.Հետո
.

. Այսպիսով, առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև Օրինակ 6
.

Լուծում . Լուծե՛ք հավասարումը
. Հետո
. Հավասարման լուծումը կփնտրենք ձևով

կամ
. Փոխարինենք հավասարման մեջ. v. Գործառույթ
. Հետո
ընտրել այնպես, որ հավասարությունը պահպանվի
,
,
,
,. Փոխարինենք հավասարման մեջ. v. Այս հավասարումներից առաջինը լուծենք փոփոխականների տարանջատման մեթոդով.
,
,
,
Փոխարինենք երկրորդ հավասարման մեջ.
.

. Այս հավասարման ընդհանուր լուծումն է

Գիտելիքների ինքնատիրապետման հարցեր

Ի՞նչ է դիֆերենցիալ հավասարումը:

Ո՞րն է դիֆերենցիալ հավասարման կարգը:

Ո՞ր դիֆերենցիալ հավասարումն է կոչվում առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում:

Ինչպե՞ս է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը գրվում դիֆերենցիալ ձևով:

Ո՞րն է դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը:

Ի՞նչ է ինտեգրալ կորը:

Ո՞րն է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Ի՞նչ է կոչվում դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծում:

Ինչպե՞ս է ձևակերպվում Քոշիի խնդիրը առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման համար:

Ո՞րն է Քոշիի խնդրի երկրաչափական մեկնաբանությունը:

Ինչպե՞ս գրել դիֆերենցիալ հավասարում սիմետրիկ ձևով բաժանելի փոփոխականներով:

Ո՞ր հավասարումն է կոչվում առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում:

Ի՞նչ մեթոդով կարելի է լուծել առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումը և ո՞րն է այս մեթոդի էությունը:

Առաջադրանքներ անկախ աշխատանքի համար

Լուծել դիֆերենցիալ հավասարումներ բաժանելի փոփոխականներով.
Ա)
;

;
բ)
.

V)

Լուծել դիֆերենցիալ հավասարումներ բաժանելի փոփոխականներով.
Ա)
;
;

է)
2. Լուծե՛ք առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ.
.

; ֆիզիկական մեծություններ, ածանցյալները համապատասխանում են այդ մեծությունների փոփոխության տեմպերին, և հավասարումը որոշում է նրանց միջև կապը։

Այս հոդվածում քննարկվում են սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ տեսակների լուծման մեթոդներ, որոնց լուծումները կարող են գրվել ձևով. տարրական գործառույթներ , այսինքն՝ բազմանդամ, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և եռանկյունաչափական, ինչպես նաև դրանց հակադարձ ֆունկցիաները։ Այս հավասարումներից շատերը հայտնվում են իրական կյանք, չնայած այլ դիֆերենցիալ հավասարումների մեծ մասը հնարավոր չէ լուծել այս մեթոդներով, և դրանց համար պատասխանը գրված է հատուկ ֆունկցիաների կամ հզորության շարք, կամ գտնում են թվային մեթոդներով։

Այս հոդվածը հասկանալու համար դուք պետք է տիրապետեք դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկներին, ինչպես նաև որոշ չափով հասկանաք մասնակի ածանցյալները: Խորհուրդ է տրվում նաև իմանալ գծային հանրահաշվի հիմունքները, որոնք կիրառվում են դիֆերենցիալ հավասարումների, հատկապես երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների նկատմամբ, թեև դրանք լուծելու համար բավարար է դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի իմացությունը:

Նախնական տեղեկություն

• Դիֆերենցիալ հավասարումներունեն ընդարձակ դասակարգում. Այս հոդվածը խոսում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ, այսինքն՝ հավասարումների մասին, որոնք ներառում են մեկ փոփոխականի ֆունկցիա և նրա ածանցյալները։ Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումները շատ ավելի հեշտ են հասկանալ և լուծել, քան մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք ներառում են մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաներ։ Այս հոդվածը չի քննարկում մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումները, քանի որ այդ հավասարումների լուծման մեթոդները սովորաբար որոշվում են դրանց հատուկ ձևով:
  • Ստորև բերված են սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների մի քանի օրինակ:
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+kx=0)
  • Ստորև բերված են մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների մի քանի օրինակ:
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\ցուցադրման ոճ (\frac (\մասնակի ^(2)f)(\մասնակի x^(2))+(\frac (\մասնակի ^(2 )զ)(\մասնակի y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Պատվիրելդիֆերենցիալ հավասարումը որոշվում է այս հավասարման մեջ ներառված ամենաբարձր ածանցյալի կարգով: Վերոնշյալ սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներից առաջինը առաջին կարգի է, մինչդեռ երկրորդը երկրորդ կարգի հավասարում է: աստիճանդիֆերենցիալ հավասարման ամենաբարձր հզորությունն է, որին բարձրացվում է այս հավասարման տերմիններից մեկը:
  • Օրինակ, ստորև բերված հավասարումը երրորդ կարգի և երկրորդ աստիճանի է:
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d)) ^(3)y)((\mathrm (d))x^(3))\ աջ)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))=0)
• Դիֆերենցիալ հավասարումն է գծային դիֆերենցիալ հավասարումայն դեպքում, երբ ֆունկցիան և նրա բոլոր ածանցյալները գտնվում են առաջին աստիճանում։ Հակառակ դեպքում հավասարումը հետևյալն է ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարում. Գծային դիֆերենցիալ հավասարումները ուշագրավ են նրանով, որ դրանց լուծումները կարող են օգտագործվել գծային համակցություններ կազմելու համար, որոնք նույնպես կլինեն տվյալ հավասարման լուծումներ։
  • Ստորև բերված են գծային դիֆերենցիալ հավասարումների մի քանի օրինակ:
  • Ստորև բերված են ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումների մի քանի օրինակ: Առաջին հավասարումը սինուսային անդամի պատճառով ոչ գծային է:
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d))t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)(\mathrm (d))t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d))x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Ընդհանուր լուծումսովորական դիֆերենցիալ հավասարումը եզակի չէ, այն ներառում է կամայական ինտեգրման հաստատուններ. Շատ դեպքերում կամայական հաստատունների թիվը հավասար է հավասարման կարգին: Գործնականում այս հաստատունների արժեքները որոշվում են տրվածի հիման վրա նախնական պայմանները, այսինքն՝ ըստ ֆունկցիայի և դրա ածանցյալների արժեքների x = 0. (\displaystyle x=0.)Նախնական պայմանների քանակը, որոնք անհրաժեշտ են գտնելու համար մասնավոր լուծումդիֆերենցիալ հավասարումը, շատ դեպքերում նույնպես հավասար է տվյալ հավասարման կարգին։
  • Օրինակ, այս հոդվածում կքննարկվի ստորև ներկայացված հավասարումը: Սա երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում է: Դրա ընդհանուր լուծումը պարունակում է երկու կամայական հաստատուն։ Այս հաստատունները գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ սկզբնական պայմանները ժամը x (0) (\displaystyle x(0))Եվ x ′ (0) . (\displaystyle x"(0):)Սովորաբար սկզբնական պայմանները նշված են կետում x = 0, (\displaystyle x=0,), թեև դա անհրաժեշտ չէ։ Այս հոդվածը կքննարկի նաև, թե ինչպես գտնել որոշակի լուծումներ տվյալ սկզբնական պայմանների համար:
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Քայլեր

Մաս 1

Առաջին կարգի հավասարումներ

Այս ծառայությունից օգտվելիս որոշ տեղեկություններ կարող են փոխանցվել YouTube-ին:

1. Առաջին կարգի գծային հավասարումներ.Այս բաժնում քննարկվում են առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդները ընդհանուր և հատուկ դեպքերում, երբ որոշ անդամներ հավասար են զրոյի: Ենթադրենք, որ y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))Եվ q (x) (\displaystyle q(x))գործառույթներ են x. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)Հիմնական թեորեմներից մեկի համաձայն մաթեմատիկական վերլուծություն, ֆունկցիայի ածանցյալի ինտեգրալը նույնպես ֆունկցիա է։ Այսպիսով, բավական է պարզապես ինտեգրել հավասարումը դրա լուծումը գտնելու համար։ Պետք է հաշվի առնել, որ հաշվարկելիս անորոշ ինտեգրալհայտնվում է կամայական հաստատուն:

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)Մենք օգտագործում ենք մեթոդը փոփոխականների տարանջատում. Սա տարբեր փոփոխականներ տեղափոխում է հավասարման տարբեր կողմեր: Օրինակ, դուք կարող եք տեղափոխել բոլոր անդամներին y (\displaystyle y)մեկ, և բոլոր անդամները հետ x (\displaystyle x)դեպի հավասարման մյուս կողմը: Անդամները կարող են նաև տեղափոխվել d x (\displaystyle (\mathrm (d))x)Եվ d y (\displaystyle (\mathrm (d))y), որոնք ներառված են ածանցյալների արտահայտություններում, սակայն պետք է հիշել, որ սա պարզապես խորհրդանիշ է, որը հարմար է տարբերակելիս. բարդ գործառույթ. Այս անդամների քննարկում, որոնք կոչվում են դիֆերենցիալներ, դուրս է այս հոդվածի շրջանակներից։

   • Նախ, դուք պետք է տեղափոխեք փոփոխականները հավասար նշանի հակառակ կողմերում:
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Եկեք ինտեգրենք հավասարման երկու կողմերը: Ինտեգրումից հետո երկու կողմերում կհայտնվեն կամայական հաստատուններ, որոնք կարող են փոխանցվել աջ կողմըհավասարումներ
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Օրինակ 1.1.Վերջին քայլում մենք օգտագործեցինք կանոնը e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))և փոխարինվել e C (\displaystyle e^(C))վրա C (\displaystyle C), քանի որ սա նույնպես կամայական ինտեգրման հաստատուն է։
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\ցուցադրված ոճը (\սկիզբ )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d))y&=\sin x(\mathrm (d))x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\վերջ (հավասարեցված)))

   P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\ցուցադրման ոճ p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)Գտնել ընդհանուր լուծումմենք մտանք ինտեգրող գործոնորպես ֆունկցիա x (\displaystyle x)նվազեցնել ձախ կողմըընդհանուր ածանցյալին և այդպիսով լուծել հավասարումը:

   • Բազմապատկեք երկու կողմերը μ (x) (\ցուցադրման ոճ \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\ցուցադրման ոճ \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))+\mu py=\mu q)
   • Ձախ կողմը ընդհանուր ածանցյալին նվազեցնելու համար պետք է կատարվեն հետևյալ փոխակերպումները.
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\ցուցադրման ոճ (\frac (\mathrm (d))((\mathrm (d))x))(\mu y)=(\ frac ((\ mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))+\mu py)
   • Վերջին հավասարությունը դա նշանակում է d μ d x = μ p (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d))\mu)((\mathrm (d))x))=\mu p). Սա ինտեգրող գործոն է, որը բավարար է ցանկացած առաջին կարգի գծային հավասարումը լուծելու համար: Այժմ մենք կարող ենք դուրս բերել այս հավասարումը լուծելու բանաձևը առնչությամբ μ , (\displaystyle \mu,)չնայած մարզումների համար օգտակար է կատարել բոլոր միջանկյալ հաշվարկները:
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Օրինակ 1.2.Այս օրինակը ցույց է տալիս, թե ինչպես կարելի է գտնել դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում՝ տրված նախնական պայմաններով:
     • t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\քառյակ y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(հավասարեցված)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d))t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\վերջ (հավասարեցված)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Առաջին կարգի գծային հավասարումների լուծում (գրանցվել է Intuit - National Open University-ի կողմից):

2. Ոչ գծային առաջին կարգի հավասարումներ. Այս բաժնում քննարկվում են որոշ առաջին կարգի ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդներ: Չնայած նման հավասարումների լուծման ընդհանուր մեթոդ չկա, դրանցից մի քանիսը կարելի է լուծել ստորև ներկայացված մեթոդներով:

   D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)Եթե ​​ֆունկցիան f (x, y) = h (x) g (y) (\ցուցադրման ոճ f(x,y)=h(x)g(y))կարելի է բաժանել մեկ փոփոխականի ֆունկցիաների, այդպիսի հավասարումը կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարում բաժանելի փոփոխականներով. Այս դեպքում կարող եք օգտագործել վերը նշված մեթոդը.

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • Օրինակ 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\ցուցադրման ոճ (\ սկիզբ (հավասարեցված)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\վերջ(հավասարեցված)))

   D y d x = g (x, y) h (x, y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))):Ենթադրենք, որ g (x, y) (\displaystyle g(x,y))Եվ h (x, y) (\ցուցադրման ոճ h(x,y))գործառույթներ են x (\displaystyle x)Եվ y. (\displaystyle y.)Հետո միատարր դիֆերենցիալ հավասարումհավասարում է, որում g (\displaystyle g)Եվ h (\displaystyle h)են միատարր գործառույթներնույն աստիճանի։ Այսինքն՝ գործառույթները պետք է բավարարեն պայմանին g (α x, α y) = α k g (x, y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)Որտեղ k (\displaystyle k)կոչվում է միատարրության աստիճան։ Ցանկացած միատարր դիֆերենցիալ հավասարում կարող է օգտագործվել համապատասխան փոփոխականների փոխարինում (v = y / x (\displaystyle v=y/x)կամ v = x / y (\displaystyle v=x/y)) վերածել բաժանելի փոփոխականներով հավասարման:

   • Օրինակ 1.4.Միատարրության վերը նկարագրված նկարագրությունը կարող է անհասկանալի թվալ: Դիտարկենք այս հայեցակարգը օրինակով:
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Սկզբից պետք է նշել, որ այս հավասարումը ոչ գծային է y. (\displaystyle y.)Մենք դա տեսնում ենք նաև այս դեպքումԴուք չեք կարող տարանջատել փոփոխականները: Միևնույն ժամանակ, այս դիֆերենցիալ հավասարումը միատարր է, քանի որ և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը միատարր են 3-ի հզորությամբ: Հետևաբար, մենք կարող ենք փոխել փոփոխականները: v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (դ) )վ)((\մաթրմ (դ) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2: (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d))v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))))Արդյունքում մենք ունենք հավասարումը v (\displaystyle v)տարանջատելի փոփոխականներով։
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)Սա Բեռնուլիի դիֆերենցիալ հավասարումը- առաջին աստիճանի ոչ գծային հավասարման հատուկ տեսակ, որի լուծումը կարելի է գրել տարրական ֆունկցիաների միջոցով:

   • Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը (1 − n) y − n (\ցուցադրման ոճ (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\ցուցադրման ոճ (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Մենք օգտագործում ենք ձախ կողմում բարդ ֆունկցիան տարբերելու կանոնը և հավասարումը վերածում ենք գծային հավասարումհամեմատաբար y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)որը կարելի է լուծել վերը նշված մեթոդներով:
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\ mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d))y)(\mathrm (դ) )x))=0.)Սա հավասարումը մեջ լրիվ դիֆերենցիալներ . Անհրաժեշտ է գտնել այսպես կոչված պոտենցիալ գործառույթ φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), որը բավարարում է պայմանին d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi)((\mathrm (d))x))=0.)

   • Կատարելու համար այս պայմանըպետք է ունենա ընդհանուր ածանցյալ. Ընդհանուր ածանցյալը հաշվի է առնում կախվածությունը այլ փոփոխականներից: Ընդհանուր ածանցյալը հաշվարկելու համար φ (\displaystyle \varphi)Ըստ x , (\displaystyle x,)մենք ենթադրում ենք, որ y (\displaystyle y)կարող է նաև կախված լինել x. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi)((\mathrm (d))x))=(\frac (\partial \varphi )(\մասնակի x))+(\frac (\մասնակի \varphi)(\մասնակի y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Պայմանների համեմատությունը մեզ տալիս է M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\մասնակի x)))Եվ N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\մասնակի y)):Սա տիպիկ արդյունք է մի քանի փոփոխականների հավասարումների համար, որոնցում հարթ ֆունկցիաների խառը ածանցյալները հավասար են միմյանց։ Երբեմն այս դեպքը կոչվում է Կլարաութի թեորեմ. Այս դեպքում դիֆերենցիալ հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալ հավասարում է, եթե հաջորդ պայմանը:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\մասնակի M)(\մասնակի y))=(\frac (\մասնակի N)(\մասնակի x)))
   • Ընդհանուր դիֆերենցիալներում հավասարումների լուծման մեթոդը նման է մի քանի ածանցյալների առկայության դեպքում պոտենցիալ ֆունկցիաներ գտնելուն, որոնք մենք հակիրճ կքննարկենք: Նախ, եկեք ինտեգրվենք M (\displaystyle M)Ըստ x. (\displaystyle x.)Քանի որ M (\displaystyle M)ֆունկցիա է և x (\displaystyle x), Եվ y , (\displaystyle y,)ինտեգրվելիս մենք ստանում ենք թերի ֆունկցիա φ , (\displaystyle \varphi,)նշանակված է որպես φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). Արդյունքը նույնպես կախված է y (\displaystyle y)ինտեգրման հաստատուն:
     • φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (դ) )x=(\tilde (\varphi))(x,y)+c(y))
   • Սրանից հետո ստանալ c (y) (\displaystyle c(y))մենք կարող ենք վերցնել ստացված ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալը նկատմամբ y , (\displaystyle y,)հավասարեցնել արդյունքը N (x, y) (\displaystyle N(x,y))և ինտեգրվել: Դուք կարող եք նաև նախ ինտեգրվել N (\displaystyle N), և ապա վերցրեք մասնակի ածանցյալը նկատմամբ x (\displaystyle x), որը թույլ կտա գտնել կամայական ֆունկցիա d (x). (\displaystyle d(x).)Երկու մեթոդներն էլ հարմար են, և սովորաբար ինտեգրման համար ընտրվում է ավելի պարզ գործառույթ:
     • N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\մասնակի y))=(\frac (\ մասնակի (\tilde (\varphi )))(\մասնակի y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Օրինակ 1.5.Դուք կարող եք վերցնել մասնակի ածանցյալներ և տեսնել, որ ստորև բերված հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալ հավասարում է:
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ (հավասարեցված)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\մասնակի \varphi )(\մասնակի y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(հավասարեցված)))
     • d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))c)((\mathrm (d))y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\ցուցադրման ոճ x^(3)+xy^(2)=C)
   • Եթե ​​դիֆերենցիալ հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալ հավասարում չէ, որոշ դեպքերում կարող եք գտնել ինտեգրող գործոն, որը թույլ է տալիս այն վերածել ընդհանուր դիֆերենցիալ հավասարման: Այնուամենայնիվ, նման հավասարումները գործնականում հազվադեպ են օգտագործվում, և թեև ինտեգրող գործոնը գոյություն ունի, պատահում է գտնել այն հեշտ չէ, հետևաբար այս հավասարումները չեն դիտարկվում այս հոդվածում։

Մաս 2

Երկրորդ կարգի հավասարումներ

1. Միատարր գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով:Այս հավասարումները գործնականում լայնորեն կիրառվում են, ուստի դրանց լուծումը առաջնային նշանակություն ունի։ Այս դեպքում մենք խոսում ենք ոչ թե միատարր ֆունկցիաների մասին, այլ այն մասին, որ հավասարման աջ կողմում կա 0։ Հաջորդ բաժինը ցույց կտա, թե ինչպես լուծել համապատասխանը տարասեռդիֆերենցիալ հավասարումներ. Ստորև a (\displaystyle a)Եվ b (\displaystyle b)հաստատուններ են:

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)(\mathrm (d))x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Բնութագրական հավասարում. Այս դիֆերենցիալ հավասարումը ուշագրավ է նրանով, որ այն կարելի է շատ հեշտությամբ լուծել, եթե ուշադրություն դարձնեք, թե ինչ հատկություններ պետք է ունենան դրա լուծումները։ Հավասարումից պարզ է դառնում, որ y (\displaystyle y)և նրա ածանցյալները համեմատական ​​են միմյանց: Նախորդ օրինակներից, որոնք քննարկվել են առաջին կարգի հավասարումների բաժնում, մենք գիտենք միայն դա էքսպոնենցիալ ֆունկցիա. Հետեւաբար կարելի է առաջ քաշել անսաց(կրթված ենթադրություն) այն մասին, թե որն է լինելու այս հավասարման լուծումը:

   • Լուծումը կունենա էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ձև e r x , (\displaystyle e^(rx),)Որտեղ r (\displaystyle r)հաստատուն է, որի արժեքը պետք է գտնել: Այս ֆունկցիան փոխարինի՛ր հավասարման մեջ և ստացի՛ր հետևյալ արտահայտությունը
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Այս հավասարումը ցույց է տալիս, որ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի և բազմանդամի արտադրյալը պետք է հավասար լինի զրո: Հայտնի է, որ աստիճանի որևէ արժեքի համար ցուցիչը չի կարող հավասար լինել զրոյի: Այստեղից եզրակացնում ենք, որ բազմանդամը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, մենք կրճատել ենք դիֆերենցիալ հավասարման լուծման խնդիրը հանրահաշվական հավասարման լուծման շատ ավելի պարզ խնդրի, որը կոչվում է տվյալ դիֆերենցիալ հավասարման բնորոշ հավասարում։
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm)=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Մենք երկու արմատ ենք ստացել. Քանի որ այս դիֆերենցիալ հավասարումը գծային է, դրա ընդհանուր լուծումը մասնակի լուծումների գծային համակցություն է: Քանի որ սա երկրորդ կարգի հավասարում է, մենք գիտենք, որ դա այդպես է իսկապեսընդհանուր լուծում, իսկ ուրիշներ չկան։ Դրա ավելի խիստ հիմնավորումը լուծումների գոյության և եզակիության թեորեմներն են, որոնք կարելի է գտնել դասագրքերում:
   • Երկու լուծումների գծային անկախությունը ստուգելու օգտակար միջոցը հաշվարկելն է Վրոնսկիանա. Վրոնսկյանը W (\displaystyle W)այն մատրիցայի որոշիչն է, որի սյունակները պարունակում են ֆունկցիաներ և դրանց հաջորդական ածանցյալներ: Գծային հանրահաշվի թեորեմը նշում է, որ Վրոնսկյանում ներառված ֆունկցիաները գծային կախված են, եթե Վրոնսկյանը հավասար է զրոյի։ Այս բաժնում մենք կարող ենք ստուգել, ​​թե արդյոք երկու լուծումները գծային անկախ են. դա անելու համար մենք պետք է համոզվենք, որ Wronskian-ը զրո չէ: Վրոնսկյանը կարևոր է կայուն գործակիցներով անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ փոփոխվող պարամետրերի մեթոդով լուծելիս:
     • W = | y 1 y 2 y 1 "y 2 " | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • Գծային հանրահաշիվով տրված դիֆերենցիալ հավասարման բոլոր լուծումների բազմությունը կազմում է վեկտորային տարածություն, որի չափը հավասար է դիֆերենցիալ հավասարման կարգին։ Այս տարածքում կարելի է հիմք ընտրել գծային անկախորոշումներ միմյանցից։ Դա հնարավոր է շնորհիվ այն բանի, որ ֆունկցիան y (x) (\ցուցադրման ոճ y(x))վավեր գծային օպերատոր. Ածանցյալ էգծային օպերատոր, քանի որ այն փոխակերպում է տարբերվող ֆունկցիաների տարածությունը բոլոր ֆունկցիաների տարածության։ Հավասարումները կոչվում են միատարր այն դեպքերում, երբ ոմանց համար գծային օպերատոր L (\displaystyle L)մենք պետք է գտնենք հավասարման լուծում L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Այժմ անցնենք մի քանի կոնկրետ օրինակների դիտարկմանը։ Բազմաթիվ արմատների դեպք բնորոշ հավասարումՍա կանդրադառնանք մի փոքր ուշ՝ պատվերի իջեցման բաժնում:

   Եթե ​​արմատները r ± (\displaystyle r_(\pm))տարբեր իրական թվեր են, դիֆերենցիալ հավասարումն ունի հետևյալ լուծումը

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Երկու բարդ արմատներ.Հանրահաշվի հիմնարար թեորեմից հետևում է, որ իրական գործակիցներով բազմանդամ հավասարումների լուծումներն ունեն արմատներ, որոնք իրական են կամ կազմում են խոնարհված զույգեր։ Հետեւաբար, եթե համալիր համարը r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta)բնորոշ հավասարման արմատն է, ապա r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta)նույնպես այս հավասարման արմատն է։ Այսպիսով, մենք կարող ենք լուծումը գրել ձևով c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\ցուցադրման ոճ c_(1)e^((\ալֆա +i\բետա)x)+c_(2)e^( (\ալֆա -i\բետա)x)սակայն այն բարդ թիվ է և ցանկալի չէ գործնական խնդիրներ լուծելու համար։

   • Փոխարենը կարող եք օգտագործել Էյլերի բանաձեւը e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), որը թույլ է տալիս լուծումը գրել ձևով եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ բետա x+ic_(1)\sin \բետա x+c_(2)\cos \բետա x-ic_(2)\sin \բետա x))
   • Այժմ դուք կարող եք մշտականի փոխարեն c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))գրի առնել c 1 (\displaystyle c_(1)), և արտահայտությունը i (c 1 - c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))փոխարինել հետ գ 2. (\displaystyle c_(2).)Դրանից հետո մենք ստանում ենք հետևյալ լուծումը.
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • Գոյություն ունի լուծումը ամպլիտուդով և փուլով գրելու այլ եղանակ, որն ավելի հարմար է ֆիզիկայի խնդիրների համար։
   • Օրինակ 2.1.Գտնենք ստորև տրված դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը տրված սկզբնական պայմաններով: Դա անելու համար դուք պետք է վերցնեք ստացված լուծումը, ինչպես նաև դրա ածանցյալը, և դրանք փոխարինել սկզբնական պայմաններով, ինչը թույլ կտա մեզ որոշել կամայական հաստատունները։
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0, r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\աջ))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(հավասարեցված)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\ձախ(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\աջ)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31)) (2)) c_ (2) \ cos (\ frac (\ sqrt (31)) (2)) t \ աջ) \ վերջ (հավասարեցված)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\աջ))
   
   Լուծելով n-րդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ հաստատուն գործակիցներով (գրանցվել է Intuit - National Open University-ի կողմից):

2. Նվազող կարգը.Կարգի կրճատումը դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդ է, երբ հայտնի է մեկ գծային անկախ լուծում: Այս մեթոդը բաղկացած է հավասարման կարգը մեկով իջեցնելուց, ինչը թույլ է տալիս լուծել հավասարումը նախորդ բաժնում նկարագրված մեթոդներով: Թող հայտնի լինի լուծումը. Պատվերի կրճատման հիմնական գաղափարը ստորև ներկայացված ձևով լուծում գտնելն է, որտեղ անհրաժեշտ է սահմանել գործառույթը v (x) (\displaystyle v(x)), այն փոխարինելով դիֆերենցիալ հավասարման մեջ և գտնելով v(x). (\displaystyle v(x).)Տեսնենք, թե ինչպես կարելի է կարգի կրճատումը օգտագործել հաստատուն գործակիցներով և բազմակի արմատներով դիֆերենցիալ հավասարումը լուծելու համար:

   
   

   Բազմաթիվ արմատներմիատարր դիֆերենցիալ հավասարում հաստատուն գործակիցներով. Հիշեցնենք, որ երկրորդ կարգի հավասարումը պետք է ունենա երկու գծային անկախ լուծում: Եթե ​​բնորոշ հավասարումն ունի բազմաթիվ արմատներ, ապա լուծումների բազմությունը Ոչկազմում է տարածություն, քանի որ այս լուծումները գծային կախված են: Այս դեպքում անհրաժեշտ է օգտագործել պատվերի կրճատումը երկրորդ գծային անկախ լուծում գտնելու համար:

   • Թող բնորոշ հավասարումը ունենա բազմաթիվ արմատներ r (\displaystyle r). Ենթադրենք, որ երկրորդ լուծումը կարելի է գրել ձևով y (x) = e r x v (x) (\ցուցադրման ոճ y(x)=e^(rx)v(x)), և այն փոխարինեք դիֆերենցիալ հավասարման մեջ: Այս դեպքում տերմինների մեծ մասը, բացառությամբ ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալ տերմինի v , (\displaystyle v,)կկրճատվի։
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Օրինակ 2.2.Թող տրվի հետևյալ հավասարումը, որն ունի բազմաթիվ արմատներ r = − 4. (\displaystyle r=-4.)Փոխարինման ժամանակ տերմինների մեծ մասը կրճատվում է:
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(հավասարեցված)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\վերջ(հավասարեցված)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ (հավասարեցված )v""e^(-4x)&-(\չեղարկել (8v"e^(-4x)))+(\չեղարկել (16ve^(-4x)))\\&+(\չեղարկել (8v"e ^(-4x)))-(\չեղարկել (32ve^(-4x)))+(\չեղարկել (16ve^(-4x)))=0\վերջ (հավասարեցված)))
   • Ինչպես հաստատուն գործակիցներով դիֆերենցիալ հավասարման համար մեր ansatz-ը, այս դեպքում միայն երկրորդ ածանցյալը կարող է հավասար լինել զրոյի: Մենք երկու անգամ ինտեգրվում ենք և ստանում ենք ցանկալի արտահայտությունը v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Այնուհետև հաստատուն գործակիցներով դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը այն դեպքում, երբ բնորոշ հավասարումն ունի բազմաթիվ արմատներ, կարելի է գրել հետևյալ ձևով. Հարմարության համար դուք կարող եք հիշել, որ ձեռք բերելու համար գծային անկախությունպարզապես երկրորդ անդամը բազմապատկեք x (\displaystyle x). Լուծումների այս հավաքածուն գծայինորեն անկախ է, և այդպիսով մենք գտել ենք այս հավասարման բոլոր լուծումները:
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)(\mathrm (d))x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))+q(x)y=0.)Պատվերի նվազեցումը կիրառելի է, եթե լուծումը հայտնի է y 1 (x) (\ցուցադրման ոճ y_(1)(x)), որը կարելի է գտնել կամ տրվել խնդրի հայտարարության մեջ:

   • Մենք լուծում ենք փնտրում ձևի մեջ y (x) = v (x) y 1 (x) (\ցուցադրման ոճ y(x)=v(x)y_(1)(x))և այն փոխարինիր հետևյալ հավասարմամբ.
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Քանի որ y 1 (\displaystyle y_(1))Դիֆերենցիալ հավասարման լուծում է, բոլոր անդամները հետ v (\displaystyle v)կրճատվում են։ Ի վերջո մնում է առաջին կարգի գծային հավասարում. Սա ավելի պարզ տեսնելու համար եկեք փոփոխականների փոփոխություն կատարենք w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\ցուցադրման ոճ y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d))x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Եթե ​​ինտեգրալները կարելի է հաշվարկել, ապա ընդհանուր լուծումը ստանում ենք որպես տարրական ֆունկցիաների համակցություն։ Հակառակ դեպքում լուծումը կարող է մնալ անբաժանելի տեսքով:

3. Քոշի-Էյլերի հավասարումը.Կոշի-Էյլերի հավասարումը երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման օրինակ է փոփոխականներգործակիցներ, որն ունի ճշգրիտ լուծումներ։ Այս հավասարումը գործնականում օգտագործվում է, օրինակ, Լապլասի հավասարումը գնդային կոորդինատներով լուծելու համար։

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)(\mathrm (d))x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Բնութագրական հավասարում.Ինչպես տեսնում եք, այս դիֆերենցիալ հավասարման մեջ յուրաքանչյուր անդամ պարունակում է հզորության գործակից, որի աստիճանը հավասար է համապատասխան ածանցյալի կարգին։

   • Այսպիսով, դուք կարող եք փորձել լուծում փնտրել ձևի մեջ y (x) = x n, (\displaystyle y(x)=x^(n),)որտեղ անհրաժեշտ է որոշել n (\displaystyle n), ճիշտ այնպես, ինչպես մենք լուծում էինք փնտրում հաստատուն գործակիցներով գծային դիֆերենցիալ հավասարման էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի տեսքով։ Տարբերակումից և փոխարինումից հետո մենք ստանում ենք
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Բնութագրական հավասարումն օգտագործելու համար պետք է ենթադրել, որ x ≠ 0 (\ցուցադրման ոճ x\neq 0). Կետ x = 0 (\displaystyle x=0)կանչեց կանոնավոր եզակի կետդիֆերենցիալ հավասարում. Նման կետերը կարևոր են դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելիս՝ օգտագործելով հզորության շարքերը։ Այս հավասարումն ունի երկու արմատ, որոնք կարող են լինել տարբեր և իրական, բազմակի կամ բարդ խոնարհված:
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b ))) (2)))

   Երկու տարբեր իրական արմատներ.Եթե ​​արմատները n ± (\displaystyle n_(\pm))իրական են և տարբեր, ապա դիֆերենցիալ հավասարման լուծումն ունի հետևյալ ձևը.

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Երկու բարդ արմատներ.Եթե ​​բնորոշ հավասարումը արմատներ ունի n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), լուծումը բարդ ֆունկցիա է։

   • Լուծումը իրական ֆունկցիայի վերածելու համար մենք կատարում ենք փոփոխականների փոփոխություն x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)այսինքն t = ln ⁡ x, (\displaystyle t=\ln x,)և օգտագործել Էյլերի բանաձևը. Նմանատիպ գործողություններ կատարվել են նախկինում կամայական հաստատուններ որոշելիս:
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Այնուհետև ընդհանուր լուծումը կարելի է գրել այսպես
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha)(c_(1)\ cos(\բետա \ln x)+c_(2)\sin(\բետա \ln x)))

   Բազմաթիվ արմատներ.Երկրորդ գծային անկախ լուծում ստանալու համար անհրաժեշտ է կրկին կրճատել պատվերը:

   • Բավականին շատ հաշվարկներ են պահանջվում, բայց սկզբունքը մնում է նույնը՝ մենք փոխարինում ենք y = v (x) y 1 (\ցուցադրման ոճ y=v(x)y_(1))մի հավասարման մեջ, որի առաջին լուծումն է y 1 (\displaystyle y_(1)). Կրճատումներից հետո ստացվում է հետևյալ հավասարումը.
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Սա առաջին կարգի գծային հավասարումն է v ′ (x) . (\displaystyle v"(x):)Նրա լուծումն է v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Այսպիսով, լուծումը կարելի է գրել հետևյալ ձևով. Սա բավականին հեշտ է հիշել. երկրորդ գծային անկախ լուծումը ստանալու համար պարզապես անհրաժեշտ է լրացուցիչ ժամկետ ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\ցուցադրման ոճ y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Անհամասեռ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով:Անհամասեռ հավասարումները ունեն ձև L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)Որտեղ f (x) (\displaystyle f(x))- այսպես կոչված ազատ անդամ. Համաձայն դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության՝ այս հավասարման ընդհանուր լուծումը սուպերպոզիցիա է մասնավոր լուծում y p (x) (\ցուցադրման ոճ y_(p)(x))Եվ լրացուցիչ լուծում y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)Այնուամենայնիվ, այս դեպքում կոնկրետ լուծում չի նշանակում նախնական պայմաններով տրված լուծում, այլ ավելի շուտ լուծում, որը որոշվում է տարասեռության առկայությամբ (ազատ տերմին): Լրացուցիչ լուծում է համարվում համապատասխան միատարր հավասարման լուծումը, որում f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)Ընդհանուր լուծումը այս երկու լուծումների սուպերպոզիցիան է, քանի որ L [y p + y c] = L [y p] + L [y c] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), և քանի որ L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,)նման սուպերպոզիցիան իսկապես ընդհանուր լուծում է:

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Մեթոդ անորոշ գործակիցներ. Անորոշ գործակիցների մեթոդը օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ կեղծ տերմինը էքսպոնենցիալ, եռանկյունաչափական, հիպերբոլիկ կամ ուժային գործառույթներ. Միայն այս ֆունկցիաները երաշխավորված են ունենալ վերջավոր թվով գծային անկախ ածանցյալներ: Այս բաժնում մենք կգտնենք հավասարման որոշակի լուծում:

   • Եկեք համեմատենք տերմինները f (x) (\displaystyle f(x))տերմիններով՝ առանց մշտական ​​գործոնների ուշադրություն դարձնելու։ Հնարավոր է երեք դեպք.
     • Ոչ մի երկու անդամ նույնը չէ:Այս դեպքում կոնկրետ լուծում y p (\displaystyle y_(p))կլինի տերմինների գծային համակցություն y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) պարունակում է անդամ x n (\displaystyle x^(n)) և անդամ y c , (\displaystyle y_(c),) Որտեղ n (\displaystyle n) զրո է կամ դրական ամբողջ թիվ, և այս տերմինը համապատասխանում է բնորոշ հավասարման առանձին արմատին:Այս դեպքում y p (\displaystyle y_(p))բաղկացած կլինի ֆունկցիայի համակցությունից x n + 1 ժ (x) , (\ցուցադրման ոճ x^(n+1)h(x),)դրա գծային անկախ ածանցյալները, ինչպես նաև այլ տերմիններ f (x) (\displaystyle f(x))և դրանց գծային անկախ ածանցյալները։
     • f (x) (\displaystyle f(x)) պարունակում է անդամ h (x) , (\displaystyle h(x),) որը ստեղծագործություն է x n (\displaystyle x^(n)) և անդամ y c , (\displaystyle y_(c),) Որտեղ n (\displaystyle n) հավասար է 0-ի կամ դրական ամբողջ թվի, և այս տերմինը համապատասխանում է բազմակիբնորոշ հավասարման արմատը:Այս դեպքում y p (\displaystyle y_(p))ֆունկցիայի գծային համակցությունն է x n + s h (x) (\ցուցադրման ոճ x^(n+s)h(x))(Որտեղ s (\displaystyle s)- արմատի բազմապատկություն) և դրա գծային անկախ ածանցյալները, ինչպես նաև ֆունկցիայի այլ անդամներ f (x) (\displaystyle f(x))և դրա գծային անկախ ածանցյալները:
   • Եկեք գրենք այն y p (\displaystyle y_(p))որպես վերը թվարկված տերմինների գծային համակցություն: Այս գործակիցների շնորհիվ գծային համադրությամբ այս մեթոդըկոչվում է «չորոշված ​​գործակիցների մեթոդ»: Երբ բովանդակությունը հայտնվում է y c (\displaystyle y_(c))անդամները կարող են հեռացվել կամայական հաստատունների առկայության պատճառով y գ . (\displaystyle y_(c).)Դրանից հետո մենք փոխարինում ենք y p (\displaystyle y_(p))մեջ հավասարման մեջ և հավասարեցնել նմանատիպ տերմինները:
   • Մենք որոշում ենք գործակիցները. Այս փուլում համակարգը ձեռք է բերվում հանրահաշվական հավասարումներ, որը սովորաբար կարելի է լուծել առանց հատուկ խնդիրներ. Այս համակարգի լուծումը թույլ է տալիս ձեռք բերել y p (\displaystyle y_(p))և դրանով իսկ լուծիր հավասարումը:
   • Օրինակ 2.3.Դիտարկենք անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումը, որի ազատ անդամը պարունակում է վերջավոր թվով գծային անկախ ածանցյալներ: Նման հավասարման կոնկրետ լուծում կարելի է գտնել անորոշ գործակիցների մեթոդով:
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)(\mathrm (d))t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(հավասարեցված)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(հավասարեցված)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(դեպքեր)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ վերջ (դեպքեր)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Լագրանժի մեթոդ.Լագրանժի մեթոդը կամ կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը ավելին է ընդհանուր մեթոդանհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում, հատկապես այն դեպքերում, երբ ազատ անդամը չի պարունակում վերջավոր թվով գծային անկախ ածանցյալներ։ Օրինակ՝ անվճար պայմաններով tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)կամ x − n (\ցուցադրման ոճ x^(-n))Որոշակի լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել Լագրանժի մեթոդը: Լագրանժի մեթոդը նույնիսկ կարող է օգտագործվել փոփոխական գործակիցներով դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելու համար, թեև այս դեպքում, բացառությամբ Կոշի-Էյլերի հավասարման, այն օգտագործվում է ավելի քիչ հաճախ, քանի որ լրացուցիչ լուծումը սովորաբար չի արտահայտվում տարրական գործառույթներով:

   • Ենթադրենք, որ լուծումն ունի հետևյալ ձևը. Երկրորդ տողում տրված է դրա ածանցյալը։
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\ցուցադրման ոճ y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\ցուցադրման ոճ y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) «+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Քանի որ առաջարկվող լուծումը պարունակում է երկուանհայտ քանակություններ, անհրաժեշտ է պարտադրել լրացուցիչվիճակ. Եկեք ընտրենք այս լրացուցիչ պայմանը հետևյալ ձևով.
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\ցուցադրման ոճ v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\ցուցադրման ոճ y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\ցուցադրման ոճ y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Այժմ մենք կարող ենք ստանալ երկրորդ հավասարումը. Անդամների փոխարինումից և վերաբաշխումից հետո կարող եք խմբավորել անդամների հետ միասին v 1 (\displaystyle v_(1))և անդամների հետ v 2 (\displaystyle v_(2)). Այս ժամկետները կրճատվում են, քանի որ y 1 (\displaystyle y_(1))Եվ y 2 (\displaystyle y_(2))համապատասխան միատարր հավասարման լուծումներ են։ Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարումների հետևյալ համակարգը
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(հավասարեցված)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\վերջ (հավասարեցված)))
   • Այս համակարգը կարող է փոխակերպվել մատրիցային հավասարումբարի A x = b, (\displaystyle A(\mathbf (x))=(\mathbf (b)))որի լուծումն է x = A − 1 բ. (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ))Մատրիցայի համար 2 × 2 (\ցուցադրման ոճ 2\ անգամ 2) հակադարձ մատրիցահայտնաբերվում է որոշիչով բաժանելով, անկյունագծային տարրերը վերադասավորելով և ոչ անկյունագծային տարրերի նշանը փոխելով։ Փաստորեն, այս մատրիցայի որոշիչը Վրոնսկյան է:
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 Վտ (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ վերջ (pmatrix)) (\ Begin (pmatrix) 0 \\ f (x) \ end (pmatrix)))
   • Արտահայտություններ համար v 1 (\displaystyle v_(1))Եվ v 2 (\displaystyle v_(2))տրված են ստորև։ Ինչպես պատվերի կրճատման մեթոդում, այս դեպքում էլ ինտեգրման ժամանակ առաջանում է կամայական հաստատուն, որը ներառում է լրացուցիչ լուծում դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ։
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2) (x) (\ mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Դասախոսություն Ազգային Բաց Համալսարանի Ինտուիտից՝ «N-րդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ հաստատուն գործակիցներով» վերնագրով։

Գործնական կիրառություն

Դիֆերենցիալ հավասարումները կապ են հաստատում ֆունկցիայի և նրա մեկ կամ մի քանի ածանցյալների միջև: Քանի որ նման կապերը չափազանց տարածված են, դիֆերենցիալ հավասարումները մեծ կիրառություն են գտել տարբեր տարածքներ, և քանի որ մենք ապրում ենք չորս հարթություններում, այս հավասարումները հաճախ դիֆերենցիալ հավասարումներ են մասնավորածանցյալներ. Այս բաժինն ընդգրկում է այս տեսակի ամենակարևոր հավասարումները:

• Էքսպոնենցիալ աճ և քայքայում:Ռադիոակտիվ քայքայում. Բաղադրյալ տոկոս. Արագություն քիմիական ռեակցիաներ. Արյան մեջ դեղերի կոնցենտրացիան. Բնակչության անսահմանափակ աճ. Նյուտոն-Ռիչմանի օրենքը. Իրական աշխարհում կան բազմաթիվ համակարգեր, որոնցում աճի կամ քայքայման արագությունը ցանկացած պահի համաչափ է այս պահինժամանակը կամ կարող է լավ մոտավորվել մոդելով: Դա պայմանավորված է նրանով, որ այս դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը՝ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան, ամենաշատերից մեկն է կարևոր գործառույթներմաթեմատիկայի և այլ գիտությունների մեջ։ Ավելին ընդհանուր դեպքԲնակչության վերահսկվող աճի դեպքում համակարգը կարող է ներառել լրացուցիչ անդամներ, որոնք սահմանափակում են աճը: Ստորև բերված հավասարման մեջ հաստատունը k (\displaystyle k)կարող է լինել զրոյից մեծ կամ փոքր:
  • d y d x = k x (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Հարմոնիկ թրթռումներ.Թե՛ դասական, թե՛ քվանտային մեխանիկայի մեջ ներդաշնակ տատանիչն ամենակարևորներից է ֆիզիկական համակարգերշնորհիվ իր պարզության և լայն կիրառությունավելի մոտավոր համարելու համար բարդ համակարգեր, օրինակ՝ պարզ ճոճանակ։ Դասական մեխանիկայի մեջ ներդաշնակ թրթռումները նկարագրվում են հավասարմամբ, որը կապում է նյութական կետի դիրքը նրա արագացման հետ Հուկի օրենքի միջոցով։ Այս դեպքում կարելի է հաշվի առնել նաև խոնավեցնող և շարժիչ ուժերը: Ստորև բերված արտահայտության մեջ x ˙ (\ցուցադրման ոճ (\կետ (x)))- ժամանակի ածանցյալ x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \բետա)- պարամետր, որը նկարագրում է խոնավացման ուժը, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- համակարգի անկյունային հաճախականությունը, F (t) (\displaystyle F(t))- կախված ժամանակից շարժիչ ուժ. Հարմոնիկ տատանվողը առկա է նաև էլեկտրամագնիսական տատանողական սխեմաներում, որտեղ այն կարող է իրականացվել ավելի մեծ ճշգրտությամբ, քան մեխանիկական համակարգերում։
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\ցուցադրման ոճ (\ddot (x))+2\բետա (\կետ (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Բեսելի հավասարումը.Բեսելի դիֆերենցիալ հավասարումը օգտագործվում է ֆիզիկայի շատ ոլորտներում, ներառյալ ալիքի հավասարումը, Լապլասի հավասարումը և Շրյոդինգերի հավասարումը, հատկապես գլանաձև կամ գնդաձև սիմետրիայի առկայության դեպքում։ Փոփոխական գործակիցներով այս երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը Կոշի-Էյլերի հավասարում չէ, ուստի դրա լուծումները չեն կարող գրվել որպես տարրական ֆունկցիաներ։ Բեսելի հավասարման լուծումները Բեսելի ֆունկցիաներն են, որոնք լավ ուսումնասիրված են բազմաթիվ ոլորտներում կիրառման շնորհիվ։ Ստորև բերված արտահայտության մեջ α (\displaystyle \alpha)- հաստատուն, որը համապատասխանում է կարգովԲեսելի գործառույթները.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 - α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Մաքսվելի հավասարումները.Լորենցի ուժի հետ մեկտեղ Մաքսվելի հավասարումները կազմում են դասական էլեկտրադինամիկայի հիմքը։ Սրանք էլեկտրականության չորս մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ են E (r , t) (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (E) )((\mathbf (r)),t))և մագնիսական B (r , t) (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (B) )((\mathbf (r)),t))դաշտերը. Ստորև բերված արտահայտություններում ρ = ρ (r , t) (\ցուցադրման ոճ \rho =\rho ((\mathbf (r)),t))- լիցքավորման խտությունը, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J))=(\mathbf (J))((\mathbf (r)),t))- հոսանքի խտությունը, և ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))Եվ μ 0 (\ցուցադրման ոճ \mu _(0))- էլեկտրական և մագնիսական հաստատուններ, համապատասխանաբար.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ (հավասարեցված)\nabla (\mathbf (E))&=(\frac (\rho)(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B))&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B))&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\մասնակի (\mathbf (E) ))(\մասնակի t))\վերջ (հավասարեցված)))
• Շրյոդինգերի հավասարումը.Քվանտային մեխանիկայի մեջ Շրյոդինգերի հավասարումը շարժման հիմնարար հավասարումն է, որը նկարագրում է մասնիկների շարժումը՝ ըստ ալիքի ֆունկցիայի փոփոխության։ Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r)),t))ժամանակի ընթացքում: Շարժման հավասարումը նկարագրվում է վարքագծով Համիլտոնյանը H^(\displaystyle (\hat (H))) - օպերատոր, որը նկարագրում է համակարգի էներգիան։ Մեկը լայնորեն հայտնի օրինակներՇրյոդինգերի հավասարումը ֆիզիկայում հավասարում է մեկ ոչ հարաբերական մասնիկի համար, որի վրա գործում է պոտենցիալ V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r)),t)). Շատ համակարգեր նկարագրված են ժամանակից կախված Շրյոդինգերի հավասարմամբ, իսկ հավասարման ձախ կողմում E Ψ, (\displaystyle E\Psi,)Որտեղ E (\displaystyle E)- մասնիկների էներգիա. Ստորև բերված արտահայտություններում ℏ (\displaystyle \hbar)- կրճատված Պլանկի հաստատուն:
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\մասնակի \Psi)(\մասնակի t))=(\hat (H))\Psi)
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 մ ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi)(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r)),t)\աջ)\Psi)
• Ալիքի հավասարում.Ֆիզիկան և տեխնիկան հնարավոր չէ պատկերացնել առանց ալիքների, դրանք առկա են բոլոր տեսակի համակարգերում: Ընդհանուր առմամբ, ալիքները նկարագրվում են ստորև բերված հավասարմամբ, որում u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r)),t))ցանկալի ֆունկցիան է, և c (\displaystyle c)- փորձնականորեն որոշված ​​հաստատուն. դ'Ալեմբերն առաջինն էր, ով հայտնաբերեց, որ միաչափ դեպքի համար ալիքի հավասարման լուծումը հետևյալն է. ցանկացածֆունկցիա արգումենտով x − c t (\displaystyle x-ct), որը նկարագրում է կամայական ձևի ալիքը, որը տարածվում է դեպի աջ: Միաչափ դեպքի ընդհանուր լուծումը այս ֆունկցիայի գծային համակցությունն է երկրորդ ֆունկցիայի հետ արգումենտով x + c t (\displaystyle x+ct), որը նկարագրում է դեպի ձախ տարածվող ալիքը։ Այս լուծումը ներկայացված է երկրորդ տողում.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\մասնակի ^(2)u)(\մասնակի t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Նավիեր-Սթոքսի հավասարումներ.Նավիեր-Սթոքսի հավասարումները նկարագրում են հեղուկների շարժումը։ Քանի որ հեղուկները առկա են գիտության և տեխնիկայի գրեթե բոլոր բնագավառներում, այս հավասարումները չափազանց կարևոր են եղանակի կանխատեսման, ինքնաթիռների նախագծման, օվկիանոսի հոսանքների ուսումնասիրման և բազմաթիվ այլ կիրառական խնդիրների լուծման համար: Navier-Stokes հավասարումները ոչ գծային մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ են, և շատ դեպքերում դրանք շատ դժվար է լուծել, քանի որ ոչ գծայինությունը հանգեցնում է տուրբուլենտության, իսկ թվային մեթոդներով կայուն լուծում ստանալը պահանջում է բաժանում շատ փոքր բջիջների, ինչը պահանջում է զգալի հաշվողական հզորություն: Հիդրոդինամիկայի գործնական նպատակների համար օգտագործվում են այնպիսի մեթոդներ, ինչպիսիք են ժամանակի միջինացումը՝ տուրբուլենտ հոսքերը մոդելավորելու համար: Նույնիսկ ավելի հիմնական հարցեր, ինչպիսիք են լուծումների առկայությունը և եզակիությունը ոչ գծային հավասարումներմասնակի ածանցյալներում, իսկ Նավիեր-Սթոքսի հավասարումների լուծման գոյությունն ու եզակիությունը եռաչափում ապացուցելը հազարամյակի մաթեմատիկական խնդիրներից է։ Ստորև բերված են անսեղմելի հեղուկի հոսքի հավասարումը և շարունակականության հավասարումը:
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\ցուցադրման ոճ (\frac (\մասնակի (\mathbf (u)) )(\մասնակի t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u))=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho)(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Շատ դիֆերենցիալ հավասարումներ պարզապես չեն կարող լուծվել վերը նշված մեթոդներով, հատկապես վերջին բաժնում նշված մեթոդներով: Սա վերաբերում է այն դեպքերին, երբ հավասարումը պարունակում է փոփոխական գործակիցներ և Կոշի-Էյլերի հավասարում չէ, կամ երբ հավասարումը ոչ գծային է, բացառությամբ մի քանի շատ հազվադեպ դեպքերի: Այնուամենայնիվ, վերը նշված մեթոդները կարող են լուծել շատ կարևոր դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք հաճախ հանդիպում են գիտության տարբեր ոլորտներում:
• Ի տարբերություն տարբերակման, որը թույլ է տալիս գտնել ցանկացած ֆունկցիայի ածանցյալ, շատ արտահայտությունների ինտեգրալը չի ​​կարող արտահայտվել տարրական ֆունկցիաներով։ Այսպիսով, ժամանակ մի վատնեք՝ փորձելով հաշվարկել ինտեգրալը, որտեղ դա անհնար է: Նայեք ինտեգրալների աղյուսակին. Եթե ​​դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը չի կարող արտահայտվել տարրական ֆունկցիաներով, երբեմն այն կարող է ներկայացվել ինտեգրալ ձևով, և այս դեպքում կարևոր չէ, թե արդյոք այս ինտեգրալը կարող է վերլուծական հաշվարկվել։

Զգուշացումներ

• Արտաքին տեսքդիֆերենցիալ հավասարումը կարող է ապակողմնորոշիչ լինել: Օրինակ, ստորև ներկայացված են երկու առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ: Առաջին հավասարումը կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ օգտագործելով այս հոդվածում նկարագրված մեթոդները: Առաջին հայացքից աննշան փոփոխություն y (\displaystyle y)վրա y 2 (\displaystyle y^(2))երկրորդ հավասարման մեջ այն դարձնում է ոչ գծային և դառնում է շատ դժվար լուծելի:
  • d y d x = x 2 + y (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))=x^(2)+y^(2))

Ֆիզիկայի որոշ խնդիրներում հնարավոր չէ ուղիղ կապ հաստատել գործընթացը նկարագրող մեծությունների միջև։ Բայց հնարավոր է ստանալ ուսումնասիրվող ֆունկցիաների ածանցյալները պարունակող հավասարություն։ Ահա թե ինչպես են առաջանում դիֆերենցիալ հավասարումները և դրանց լուծման անհրաժեշտությունը՝ անհայտ ֆունկցիա գտնելու համար։

Այս հոդվածը նախատեսված է նրանց համար, ովքեր բախվում են դիֆերենցիալ հավասարման լուծման խնդրին, որտեղ անհայտ ֆունկցիան մեկ փոփոխականի ֆունկցիա է։ Տեսությունը կառուցված է այնպես, որ դիֆերենցիալ հավասարումների զրոյական իմացությամբ դուք կարող եք հաղթահարել ձեր խնդիրը:

Դիֆերենցիալ հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակ կապված է լուծման մեթոդի հետ՝ մանրամասն բացատրություններով և բնորոշ օրինակների և խնդիրների լուծումներով: Ձեզ մնում է միայն որոշել ձեր խնդրի դիֆերենցիալ հավասարման տեսակը, գտնել նմանատիպ վերլուծված օրինակ և կատարել նմանատիպ գործողություններ:

Դիֆերենցիալ հավասարումները հաջողությամբ լուծելու համար ձեզ անհրաժեշտ կլինի նաև հակաածանցյալների բազմություններ (անորոշ ինտեգրալներ) գտնելու ունակություն: տարբեր գործառույթներ. Անհրաժեշտության դեպքում խորհուրդ ենք տալիս անդրադառնալ բաժնին:

Նախ, մենք կդիտարկենք առաջին կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների տեսակները, որոնք կարող են լուծվել ածանցյալի նկատմամբ, այնուհետև կանցնենք երկրորդ կարգի ODE-ներին, այնուհետև կանդրադառնանք ավելի բարձր կարգի հավասարումների և կավարտենք համակարգերով. դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Հիշենք, որ եթե y-ն x արգումենտի ֆունկցիա է:

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Ձևի ամենապարզ առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումները.

Եկեք գրենք նման հեռակառավարման մի քանի օրինակ .

Դիֆերենցիալ հավասարումներ կարելի է լուծել ածանցյալի նկատմամբ՝ հավասարության երկու կողմերը բաժանելով f(x)-ի: Այս դեպքում մենք հասնում ենք մի հավասարման, որը համարժեք կլինի սկզբնականին f(x) ≠ 0-ի համար։ Նման ODE-ների օրինակներ են.

Եթե ​​կան x փաստարկի արժեքներ, որոնց դեպքում f(x) և g(x) ֆունկցիաները միաժամանակ անհետանում են, ապա հայտնվում են լրացուցիչ լուծումներ: Հավասարման լրացուցիչ լուծումներ տրված x-ը այս արգումենտի արժեքների համար սահմանված ցանկացած ֆունկցիա է: Նման դիֆերենցիալ հավասարումների օրինակները ներառում են.

Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով.

Մշտական ​​գործակիցներով LDE-ն դիֆերենցիալ հավասարումների շատ տարածված տեսակ է: Դրանց լուծումն առանձնապես դժվար չէ։ Նախ՝ հայտնաբերվում են բնորոշ հավասարման արմատները . Տարբեր p-ի և q-ի համար հնարավոր է երեք դեպք. բնորոշ հավասարման արմատները կարող են լինել իրական և տարբեր, իրական և համընկնող: կամ բարդ կոնյուգատներ: Կախված բնութագրիչ հավասարման արմատների արժեքներից, դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը գրվում է հետևյալ կերպ. , կամ , կամ համապատասխանաբար։

Օրինակ, դիտարկենք գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը հաստատուն գործակիցներով: Նրա բնորոշ հավասարման արմատներն են k 1 = -3 և k 2 = 0: Արմատները իրական են և տարբեր, հետևաբար հաստատուն գործակիցներով LODE-ի ընդհանուր լուծումն ունի ձև


Երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով.

y հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի LDDE-ի ընդհանուր լուծումը որոնվում է համապատասխան LDDE-ի ընդհանուր լուծման գումարի տեսքով. և բնօրինակի հատուկ լուծում անհամասեռ հավասարում, այսինքն՝ . Նախորդ պարբերությունը նվիրված է հաստատուն գործակիցներով համասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում գտնելուն: Իսկ կոնկրետ լուծումը որոշվում է կա՛մ սկզբնական հավասարման աջ կողմում գտնվող f(x) ֆունկցիայի որոշակի ձևի համար անորոշ գործակիցների մեթոդով, կա՛մ կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդով։

Որպես հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի LDDE-ների օրինակներ՝ մենք տալիս ենք


Տեսությունը հասկանալու և օրինակների մանրամասն լուծումներին ծանոթանալու համար էջում առաջարկում ենք գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով։

Գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ (LODE) և երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ (LNDEs):

Այս տեսակի դիֆերենցիալ հավասարումների հատուկ դեպք են LODE և LDDE հաստատուն գործակիցներով:

LODE-ի ընդհանուր լուծումը որոշակի հատվածի վրա ներկայացված է այս հավասարման y 1 և y 2 գծային անկախ մասնակի լուծումների գծային համադրությամբ, այսինքն. .

Հիմնական դժվարությունը հենց այս տեսակի դիֆերենցիալ հավասարման գծային անկախ մասնակի լուծումներ գտնելն է: Որպես կանոն, ընտրվում են որոշակի լուծումներ հետևյալ համակարգերըգծային անկախ գործառույթներ:


Այնուամենայնիվ, կոնկրետ լուծումները միշտ չէ, որ ներկայացված են այս ձևով:

LOD-ի օրինակ է .

LDDE-ի ընդհանուր լուծումը որոնվում է ձևով, որտեղ գտնվում է համապատասխան LDDE-ի ընդհանուր լուծումը և հանդիսանում է սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում: Մենք պարզապես խոսեցինք այն գտնելու մասին, բայց այն կարելի է որոշել՝ օգտագործելով կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը:

LNDU-ի օրինակ կարելի է բերել .

Բարձրագույն կարգերի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք թույլ են տալիս կրճատել հերթականությամբ:

Դիֆերենցիալ հավասարման կարգը , որը չի պարունակում ցանկալի ֆունկցիան և դրա ածանցյալները մինչև k-1 կարգը, կարող է կրճատվել մինչև n-k՝ փոխարինելով .

Այս դեպքում սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարումը կկրճատվի մինչև . Նրա p(x) լուծումը գտնելուց հետո մնում է վերադառնալ փոխարինողին և որոշել y անհայտ ֆունկցիան։

Օրինակ՝ դիֆերենցիալ հավասարումը փոխարինումից հետո այն կդառնա բաժանելի փոփոխականներով հավասարում, և դրա կարգը կնվազի երրորդից առաջինը:

Կամ արդեն լուծվել են ածանցյալի նկատմամբ, կամ դրանք կարող են լուծվել ածանցյալի նկատմամբ .

Ինտերվալի վրա տիպի դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր լուծում X, որը տրված է, կարելի է գտնել՝ վերցնելով այս հավասարության երկու կողմերի ինտեգրալը։

Մենք ստանում ենք .

Եթե ​​նայենք անորոշ ինտեգրալի հատկություններին, ապա կգտնենք ցանկալի ընդհանուր լուծումը.

y = F(x) + C,

Որտեղ F(x)- պարզունակ գործառույթներից մեկը f(x)արանքում X, Ա ՀԵՏ- կամայական հաստատուն.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ խնդիրների մեծ մասում միջակայքը Xմի նշեք. Սա նշանակում է, որ բոլորի համար պետք է լուծում գտնել։ x, որի համար և ցանկալի ֆունկցիան y, Եվ բնօրինակ հավասարումըիմաստավորել.

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել նախնական պայմանը բավարարող դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում y (x 0) = y 0, ապա ընդհանուր ինտեգրալը հաշվարկելուց հետո y = F(x) + C, դեռ անհրաժեշտ է որոշել հաստատունի արժեքը C = C 0, օգտագործելով նախնական պայմանը. Այսինքն՝ հաստատուն C = C 0որոշվում է հավասարումից F(x 0) + C = y 0, և դիֆերենցիալ հավասարման ցանկալի մասնակի լուծումը կունենա ձև.

y = F(x) + C 0.

Դիտարկենք օրինակ.

Գտնենք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը և ստուգենք արդյունքի ճիշտությունը։ Եկեք այս հավասարման որոշակի լուծում գտնենք, որը կբավարարի նախնական պայմանը:

Լուծում:

Տրված դիֆերենցիալ հավասարումը ինտեգրելուց հետո ստանում ենք.

.

Վերցնենք այս ինտեգրալը՝ օգտագործելով մասերի ինտեգրման մեթոդը.

Դա., դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն է:

Համոզվելու համար, որ արդյունքը ճիշտ է, եկեք ստուգենք: Դա անելու համար մենք գտած լուծումը փոխարինում ենք տրված հավասարման մեջ.

.

Այսինքն՝ երբ սկզբնական հավասարումը վերածվում է ինքնության.

ուստի ճիշտ է որոշվել դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը։

Մեր գտած լուծումը արգումենտի յուրաքանչյուր իրական արժեքի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն է x.

Մնում է հաշվարկել ODE-ի որոշակի լուծում, որը կբավարարի նախնական պայմանը: Այսինքն՝ անհրաժեշտ է հաշվարկել հաստատունի արժեքը ՀԵՏ, որի դեպքում հավասարությունը ճշմարիտ կլինի.

.

.

Այնուհետև փոխարինելով C = 2 ODE-ի ընդհանուր լուծման մեջ մենք ստանում ենք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում, որը բավարարում է նախնական պայմանը.

.

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարում կարելի է լուծել ածանցյալի համար՝ հավասարման 2 կողմերը բաժանելով f(x). Այս փոխակերպումը համարժեք կլինի, եթե f(x)ոչ մի դեպքում չի դառնում զրոյի xդիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրման միջակայքից X.

Կան հավանական իրավիճակներ, երբ փաստարկի որոշ արժեքների համար x ∈ Xգործառույթները f(x)Եվ g(x)միաժամանակ դառնում է զրո: Նմանատիպ արժեքների համար xդիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը ցանկացած ֆունկցիա է y, որը սահմանված է դրանցում, քանի որ .

Եթե ​​որոշ արգումենտ արժեքների համար x ∈ Xպայմանը բավարարված է, ինչը նշանակում է, որ այս դեպքում ODE-ն լուծումներ չունի։

Մնացած բոլորի համար xընդմիջումից Xդիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը որոշվում է փոխակերպված հավասարումից:

Դիտարկենք օրինակներ.

Օրինակ 1.

Եկեք ընդհանուր լուծում գտնենք ODE-ի համար. .

Լուծում.

Հիմնական տարրական ֆունկցիաների հատկություններից պարզ է դառնում, որ ֆունկցիան բնական լոգարիթմսահմանված է ոչ բացասական արգումենտի արժեքների համար, ուստի արտահայտության շրջանակն է ln(x+3)կա ընդմիջում x > -3 . Սա նշանակում է, որ տրված դիֆերենցիալ հավասարումը իմաստ ունի x > -3 . Այս փաստարկային արժեքների համար արտահայտությունը x+3չի անհետանում, այնպես որ դուք կարող եք լուծել ODE-ն ածանցյալի համար՝ բաժանելով 2 մասերը x + 3.

Մենք ստանում ենք .

Հաջորդը, մենք ինտեգրում ենք ստացված դիֆերենցիալ հավասարումը, որը լուծվում է ածանցյալի նկատմամբ. . Այս ինտեգրալը վերցնելու համար մենք օգտագործում ենք այն դիֆերենցիալ նշանի տակ ներառելու մեթոդը։

Այս հոդվածը մեկնարկային կետ է դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության ուսումնասիրության համար: Ահա հիմնական սահմանումները և հասկացությունները, որոնք անընդհատ կհայտնվեն տեքստում: Ավելի լավ յուրացման և հասկանալու համար սահմանումները բերված են օրինակներով:

Դիֆերենցիալ հավասարում (DE)հավասարում է, որը ներառում է անհայտ ֆունկցիա ածանցյալ կամ դիֆերենցիալ նշանի տակ:

Եթե ​​անհայտ ֆունկցիան մեկ փոփոխականի ֆունկցիա է, ապա կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարում սովորական(կրճատ ODE - սովորական դիֆերենցիալ հավասարում): Եթե ​​անհայտ ֆունկցիան բազմաթիվ փոփոխականների ֆունկցիա է, ապա կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարում մասնակի դիֆերենցիալ հավասարում.

Դիֆերենցիալ հավասարման մեջ մտնող անհայտ ֆունկցիայի ածանցյալի առավելագույն կարգը կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման կարգը.

Ահա համապատասխանաբար առաջին, երկրորդ և հինգերորդ կարգի ODE-ների օրինակներ

Որպես երկրորդ կարգի մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների օրինակներ՝ մենք տալիս ենք

Այնուհետև մենք կդիտարկենք ձևի n-րդ կարգի միայն սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ կամ , որտեղ Ф(x, y) = 0 անհայտ ֆունկցիա է, որը նշված է անուղղակիորեն (հնարավորության դեպքում այն ​​կգրենք y = f(x) բացահայտ ներկայացմամբ):

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծումներ գտնելու գործընթացը կոչվում է ինտեգրելով դիֆերենցիալ հավասարումը.

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծումանուղղակիորեն սահմանված ֆունկցիա է Ф(x, y) = 0 (որոշ դեպքերում y ֆունկցիան կարող է բացահայտ արտահայտվել x արգումենտի միջոցով), որը դիֆերենցիալ հավասարումը վերածում է նույնականության։

ԽՆԴՐՈՒՄ ԵՆՔ ՈՒՇԱԴՐԵԼ.

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը միշտ փնտրում են կանխորոշված ​​X միջակայքում:

Ինչո՞ւ ենք այս մասին առանձին խոսում։ Այո, քանի որ շատ խնդիրների մեջ X միջակայքը չի նշվում։ Այսինքն, սովորաբար խնդիրների պայմանը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ. «գտեք լուծում սովորական դիֆերենցիալ հավասարմանը « Այս դեպքում ենթադրվում է, որ լուծումը պետք է փնտրել բոլոր x-ի համար, որոնց համար և՛ ցանկալի y ֆունկցիան, և՛ սկզբնական հավասարումը իմաստ ունեն:

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը հաճախ կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրալ.

Գործառույթներ կամ կարելի է անվանել դիֆերենցիալ հավասարման լուծում:

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծումներից մեկը ֆունկցիան է. Իրոք, այս ֆունկցիան փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք նույնականությունը . Հեշտ է տեսնել, որ այս ODE-ի մեկ այլ լուծում, օրինակ, . Այսպիսով, դիֆերենցիալ հավասարումները կարող են ունենալ բազմաթիվ լուծումներ:

Դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումԱյս դիֆերենցիալ հավասարման բոլոր լուծումներն առանց բացառության պարունակող լուծումների ամբողջություն է։

Դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը կոչվում է նաև դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալ.

Վերադառնանք օրինակին։ Դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի կամ ձև, որտեղ C-ն կամայական հաստատուն է: Վերևում մենք նշեցինք այս ODE-ի երկու լուծում, որոնք ստացվում են դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալից՝ համապատասխանաբար փոխարինելով C = 0 և C = 1:

Եթե ​​դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը բավարարում է ի սկզբանե նշվածը լրացուցիչ պայմաններ, ապա այն կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծում.

y(1)=1 պայմանը բավարարող դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծումը . Իսկապես, Եվ .

Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության հիմնական խնդիրներն են Քոշիի խնդիրները, սահմանային արժեքի խնդիրները և X-ի ցանկացած միջակայքում դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում գտնելու խնդիրները։

Կոշի խնդիրտրվածը բավարարող դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում գտնելու խնդիրն է նախնական պայմանները, որտեղ կան թվեր։

Սահմանային արժեքի խնդիրԵրկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում գտնելու խնդիրն է, որը բավարարում է լրացուցիչ պայմաններ x 0 և x 1 սահմանային կետերում.
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, որտեղ f 0 և f 1 տրված են թվեր:

Սահմանային արժեքի խնդիրը հաճախ կոչվում է սահմանային խնդիր.

n-րդ կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է գծային, եթե այն ունի ձևը, իսկ գործակիցները x փաստարկի շարունակական ֆունկցիաներ են ինտեգրման միջակայքի վրա։