എക്സൽ ലെ ഏകദേശ ആപേക്ഷിക പിശക്. ശരാശരി ഏകദേശ പിശക്

കോഴ്സ് വർക്ക്

"ഇക്കണോമെട്രിക്സ്" എന്ന വിഷയത്തിൽ

« സമഗ്രമായ വിശകലനംഎൻ്റർപ്രൈസസിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സാമ്പത്തിക, സാമ്പത്തിക സൂചകങ്ങളുടെ പരസ്പരബന്ധം"

ഓപ്ഷൻ നമ്പർ 12

പൂർത്തിയായി:

ഗ്രൂപ്പ് EET-312-ലെ വിദ്യാർത്ഥി

ലോഗുനോവ് എൻ.യു.

പരിശോധിച്ചത്:

അസി. ഇഷ്ഖന്യൻ എം.വി.

മോസ്കോ 2015

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണം

1. ഒരു കോറിലേഷൻ മാട്രിക്സിൻ്റെ സമാഹാരം. ഘടകങ്ങളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്

2. ഒന്നിലധികം സമവാക്യങ്ങളുടെ നിർമ്മാണം ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ. സമവാക്യ പാരാമീറ്ററുകളുടെ വ്യാഖ്യാനം

3. നിർണ്ണയ ഗുണകം, ഒന്നിലധികം ഗുണകംപരസ്പര ബന്ധങ്ങൾ

4. മൾട്ടിപ്പിൾ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം വിലയിരുത്തുന്നു

4.1. ശരാശരി ആപേക്ഷിക പിശക്ഏകദേശ കണക്കുകൾ

4.2. പരിശോധിക്കുക സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യംസമവാക്യങ്ങൾ ഒന്നിലധികം റിഗ്രഷൻമൊത്തത്തിൽ ഫിഷേഴ്സ് എഫ് ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിക്കുന്നു

4.3. മൾട്ടിപ്പിൾ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകളുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രാധാന്യം പരിശോധിക്കുന്നു. ഇടവേള പാരാമീറ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റ്

5. അപേക്ഷ റിഗ്രഷൻ മോഡൽ

5.1. പോയിൻ്റ് പ്രവചനം

5.2.ഭാഗിക ഇലാസ്തികത ഗുണകങ്ങളും ശരാശരി ഭാഗിക ഇലാസ്തികത ഗുണകങ്ങളും

6. റിഗ്രഷൻ മോഡൽ അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ വിശകലനം (ഗാസ്-മാർക്കോവ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പരിസരം പരിശോധിക്കൽ)

6.1.റേറ്റിംഗുകൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷഅവശിഷ്ടങ്ങൾ

6.2. അവശിഷ്ടങ്ങളിൽ യാന്ത്രിക ബന്ധത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യം പരിശോധിക്കുന്നു

7. ഗ്രിഗറി ചൗ മാനദണ്ഡം

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണം

53 എൻ്റർപ്രൈസസിൻ്റെ സാമ്പത്തിക പ്രവർത്തനത്തെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്ന 6 സൂചകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. ആവശ്യമാണ്:

1. ഒരു കോറിലേഷൻ മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കുക. സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ സെറ്റ് ക്രമീകരിക്കുക (2 ഘടകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുക).

4.2 ഫിഷർ എഫ് ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് മൾട്ടിപ്പിൾ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രാധാന്യം മൊത്തത്തിൽ പരിശോധിക്കുക. അനുമാനിക്കുക

4.3 മൾട്ടിപ്പിൾ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകളുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രാധാന്യം പരിശോധിക്കുക. പരാമീറ്ററുകളുടെ ഇടവേള എസ്റ്റിമേറ്റ് നിർമ്മിക്കുക. അനുമാനിക്കുക.

5. റിഗ്രഷൻ മോഡലിൻ്റെ പ്രയോഗം:

5.1 നിർമ്മിച്ച സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു പോയിൻ്റ് പ്രവചനം നൽകുക. പഠിച്ച പാരാമീറ്റർ y യുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക, ആദ്യ ഘടകത്തിൻ്റെ (y യുമായി ഏറ്റവും അടുത്ത ബന്ധമുള്ളത്) മൂല്യം അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൻ്റെ 110% ആണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തെ ഘടകത്തിൻ്റെ മൂല്യം അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൻ്റെ 80% ആണ്. ഫലത്തിൻ്റെ സാമ്പത്തിക വ്യാഖ്യാനം നൽകുക.

5.2 ഭാഗിക ഇലാസ്തികത ഗുണകങ്ങളും ശരാശരി ഭാഗിക ഇലാസ്തികത ഗുണകങ്ങളും കണ്ടെത്തുക. ഫലങ്ങൾ വ്യാഖ്യാനിക്കുക. അനുമാനിക്കുക.

6. റിഗ്രഷൻ മോഡലിൻ്റെ അവശിഷ്ടങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുക (ഗാസ്-മാർക്കോവ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആവശ്യകതകൾ പരിശോധിക്കുക):

6.1 അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ കണക്കുകൾ കണ്ടെത്തുക.

6.2 അവശിഷ്ടങ്ങളിൽ ഓട്ടോകോറിലേഷൻ പരിശോധിക്കുക. ഒരു നിഗമനം വരയ്ക്കുക.

7. സാമ്പിൾ രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക. സ്വതന്ത്ര സാമ്പിളുകളായി ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും നിരീക്ഷണങ്ങൾ പരിഗണിച്ച്, ഗ്രിഗറി-ചൗ മാനദണ്ഡം ഉപയോഗിച്ച് അവയെ ഒരൊറ്റ സാമ്പിളായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം പരിശോധിക്കുക.

ഒരു കോറിലേഷൻ മാട്രിക്സ് വരയ്ക്കുന്നു. ഘടകങ്ങളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്

എൻ്റർപ്രൈസ് നമ്പർ.	Y3	X10	X12	X5	X7	X13
	13,26	1,45	167,69	0,78	1,37
	10,16	1,3	186,1	0,75	1,49
	13,72	1,37	220,45	0,68	1,44
	12,85	1,65	169,3	0,7	1,42
	10,63	1,91	39,53	0,62	1,35
	9,12	1,68	40,41	0,76	1,39
	25,83	1,94	102,96	0,73	1,16
	23,39	1,89	37,02	0,71	1,27
	14,68	1,94	45,74	0,69	1,16
	10,05	2,06	40,07	0,73	1,25
	13,99	1,96	45,44	0,68	1,13
	9,68	1,02	41,08	0,74	1,1
	10,03	1,85	136,14	0,66	1,15
	9,13	0,88	42,39	0,72	1,23
	5,37	0,62	37,39	0,68	1,39
	9,86	1,09	101,78	0,77	1,38
	12,62	1,6	47,55	0,78	1,35
	5,02	1,53	32,61	0,78	1,42
	21,18	1,4	103,25	0,81	1,37
	25,17	2,22	38,95	0,79	1,41
	19,4	1,32	81,32	0,77	1,35
		1,48	67,26	0,78	1,48
	6,57	0,68	59,92	0,72	1,24
	14,19	2,3	107,34	0,79	1,40
	15,81	1,37	512,6	0,77	1,45
	5,23	1,51	53,81	0,8	1,4
	7,99	1,43	80,83	0,71	1,28
	17,5	1,82	59,42	0,79	1,33
	17,16	2,62	36,96	0,76	1,22
	14,54	1,75	91,43	0,78	1,28
	6,24	1,54	17,16	0,62	1,47
	12,08	2,25	27,29	0,75	1,27
	9,49	1,07	184,33	0,71	1,51
	9,28	1,44	58,42	0,74	1,46
	11,42	1,4	59,4	0,65	1,27
	10,31	1,31	49,63	0,66	1,43
	8,65	1,12	391,27	0,84	1,5
	10,94	1,16	258,62	0,74	1,35
	9,87	0,88	75,66	0,75	1,41
	6,14	1,07	123,68	0,75	1,47
	12,93	1,24	37,21	0,79	1,35
	9,78	1,49	53,37	0,72	1,4
	13,22	2,03	32,87	0,7	1,2
	17,29	1,84	45,63	0,66	1,15
	7,11	1,22	48,41	0,69	1,09
	22,49	1,72	13,58	0,71	1,26
	12,14	1,75	63,99	0,73	1,36
	15,25	1,46	104,55	0,65	1,15
	31,34	1,6	222,11	0,82	1,87
	11,56	1,47	25,76	0,8	1,17
	30,14	1,38	29,52	0,83	1,61
	19,71	1,41	41,99	0,7	1,34
	23,56	1,39	78,11	0,74	1,22

1.ഒരു കോറിലേഷൻ മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കുക. സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ സെറ്റ് ക്രമീകരിക്കുക (2 ഘടകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുക).

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അടയാളം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം Y3 ഘടകം സവിശേഷതകളും X10, X12, X5, X7, X13 .

MS Excel-ലെ "ഡാറ്റ അനാലിസിസ്→കോറിലേഷൻ" ഓപ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു കോറിലേഷൻ മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കാം:

	Y3	X10	X12	X5	X7	X13
Y3	1,0000	0,3653	0,0185	0,2891	0,1736	0,0828
X10	0,3653	1,0000	-0,2198	-0,0166	-0,2061	-0,0627
X12	0,0185	-0,2198	1,0000	0,2392	0,3796	0,6308
X5	0,2891	-0,0166	0,2392	1,0000	0,4147	0,0883
X7	0,1736	-0,2061	0,3796	0,4147	1,0000	0,1939
X13	0,0828	-0,0627	0,6308	0,0883	0,1939	1,0000

മാനദണ്ഡമനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ 2 ഘടകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു:

1) Y ഉം X ഉം തമ്മിലുള്ള കണക്ഷൻ പരമാവധി ആയിരിക്കണം

2) Xmi തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വളരെ കുറവായിരിക്കണം

അങ്ങനെ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഖണ്ഡികകളിൽ, ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കും X10 , X5.

ഒരു മൾട്ടിപ്പിൾ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുന്നു. സമവാക്യ പാരാമീറ്ററുകളുടെ വ്യാഖ്യാനം.

2. ഒരു മൾട്ടിപ്പിൾ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുക. സമവാക്യത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകളുടെ ഒരു വ്യാഖ്യാനം നൽകുക.

MS Excel-ലെ "ഡാറ്റ അനാലിസിസ്→റിഗ്രഷൻ" എന്ന വിശകലന പാക്കേജ് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു റിഗ്രഷൻ മോഡൽ സൃഷ്ടിക്കാം:

	സാധ്യതകൾ
വൈ	-20,7163
X 10	5,7169
X 5	34,9321

റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ŷ = b 0 + b 10 * x 10 + b 5 * x 5

ŷ = -20.7163-5.7169* x 10 +34.9321* x 5

1) b10 പോസിറ്റീവ് ആണ്;

2) b5 പോസിറ്റീവ് ആണ്;

കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഓഫ് ഡിറ്റർമിനേഷൻ, മൾട്ടിപ്പിൾ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്

3. നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകം, മൾട്ടിപ്പിൾ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കണ്ടെത്തുക. അനുമാനിക്കുക.

MS Excel-ലെ "ഡാറ്റ അനാലിസിസ് → റിഗ്രഷൻ" എന്ന വിശകലന പാക്കേജ് ഉപയോഗിച്ച് നടത്തിയ റിഗ്രഷൻ വിശകലനത്തിൽ, "റിഗ്രഷൻ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ്" എന്ന പട്ടിക ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

Y3, X10,X5 എന്നിവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഒന്നിലധികം R-കണക്ഷൻ ദുർബലമാണ്

R-സ്‌ക്വയേർഡ്-22.05% Y സ്വഭാവത്തിലെ വ്യതിയാനം X10, X5 എന്നീ സ്വഭാവങ്ങളിലെ വ്യതിയാനത്താൽ വിശദീകരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒന്നിലധികം ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം വിലയിരുത്തുന്നു

4. മൾട്ടിപ്പിൾ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം വിലയിരുത്തുക:

ഏകദേശ ആപേക്ഷിക പിശക്

4.1 ശരാശരി ആപേക്ഷിക ഏകദേശ പിശക് കണ്ടെത്തുക. അനുമാനിക്കുക.

ഓരോ നിരീക്ഷണത്തിനും പ്രവചിച്ച മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാം അല്ലെങ്കിൽ MS Excel-ലെ "ഡാറ്റ അനാലിസിസ്→റിഗ്രഷൻ" വിശകലന പാക്കേജ് ഉപയോഗിച്ച് നടത്തുന്ന റിഗ്രഷൻ വിശകലനത്തിൽ "അവശിഷ്ട ഔട്ട്പുട്ട്" പട്ടികയിലെ "പ്രവചിച്ച Y" കോളം ഉപയോഗിക്കാം)

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഓരോ നിരീക്ഷണത്തിനും ആപേക്ഷിക പിശകുകൾ കണക്കാക്കാം:

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ശരാശരി ആപേക്ഷിക ഏകദേശ പിശക് കണക്കാക്കാം:

ഉപസംഹാരം: 20% < А < 50%, качество уравнения среднее (удовлетворительное).

സോഴ്സ് ഡാറ്റയുടെ ഏകദേശ രീതികൾ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉണ്ടാകുന്ന പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്നാണ് ഏകദേശ പിശക്. വിവിധ തരത്തിലുള്ള ഏകദേശ പിശകുകൾ ഉണ്ട്:

ഉറവിട ഡാറ്റ പിശകുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പിശകുകൾ;

ഏകദേശ മോഡലും ഏകദേശ ഡാറ്റയുടെ ഘടനയും തമ്മിലുള്ള പൊരുത്തക്കേടുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പിശകുകൾ.

ഡാറ്റാ പ്രോസസ്സിംഗിനും അത്യാധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രം ഉപയോഗിക്കുന്ന ഏകദേശ കണക്കുകൾക്കുമായി Excel-ന് നന്നായി വികസിപ്പിച്ച ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ട്. അതിനെക്കുറിച്ച് ഒരു ആശയം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഈ വികസനത്തിൻ്റെ വിവരണാത്മക ഭാഗത്തേക്ക് (F1 വഴി) തിരിയാം, അത് ഞങ്ങൾ ചുരുക്കങ്ങളോടും നൊട്ടേഷനിലെ ചില മാറ്റങ്ങളോടും കൂടി അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ശ്രേണിയുടെ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ കണക്കാക്കുന്നു കുറഞ്ഞ ചതുരങ്ങൾലഭ്യമായ ഡാറ്റയ്ക്ക് ഏറ്റവും അനുയോജ്യമായ നേർരേഖ കണക്കാക്കാൻ. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വരി വിവരിക്കുന്ന ഒരു അറേ ഫംഗ്ഷൻ നൽകുന്നു. മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു നിര തിരികെ ലഭിക്കുന്നതിനാൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഒരു അറേ ഫോർമുലയായി വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കണം.

ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ഇതാണ്:

y=a+b1*x1+b2*x2+...bn*xn

വാക്യഘടന:

LINEST(y;x;const;statistics)

അറേ y - അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങൾവൈ.

അറേ x - x ൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങൾ. x അറേയിൽ ഒന്നോ അതിലധികമോ സെറ്റ് വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കാം.

കോൺസ്റ്റ് ആണ് ബൂളിയൻ മൂല്യം, ഡമ്മി പദം a 0 ന് തുല്യമാണോ എന്ന് ഇത് വ്യക്തമാക്കുന്നു.

കോൺസ്റ്റ് TRUE ആണെങ്കിൽ, 1 അല്ലെങ്കിൽ ഒഴിവാക്കിയാൽ, പതിവുപോലെ a മൂല്യനിർണ്ണയം ചെയ്യപ്പെടും. കോൺസ്റ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റ് FALSE അല്ലെങ്കിൽ 0 ആണെങ്കിൽ, a എന്നത് 0 ആയി സജ്ജീകരിക്കും.

അധിക റിഗ്രഷൻ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ നൽകണമോ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ബൂളിയൻ മൂല്യമാണ് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ. സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് ആർഗ്യുമെൻ്റ് ശരി അല്ലെങ്കിൽ 1 ആണെങ്കിൽ, LINEST അധികമായി നൽകുന്നു റിഗ്രഷൻ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ. സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ തെറ്റാണെങ്കിൽ, 0 അല്ലെങ്കിൽ ഒഴിവാക്കിയാൽ, LINEST ഗുണകങ്ങളും ഇൻ്റർസെപ്‌റ്റും മാത്രം നൽകുന്നു.

അധിക റിഗ്രഷൻ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ:

se1,se2,...,sen - ഗുണകങ്ങൾക്കുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് മൂല്യങ്ങൾ b1,b2,...,bn.

sea ​​- സ്ഥിരാങ്കം a യുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് മൂല്യം (കടൽ = #N/A കോൺസ്റ്റ് തെറ്റാണെങ്കിൽ).

r2 എന്നത് ഡിറ്റർമിനിസത്തിൻ്റെ ഗുണകമാണ്. y യുടെ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളും വരിയുടെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളും താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു; താരതമ്യ ഫലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഡിറ്റർമിനിസത്തിൻ്റെ ഗുണകം കണക്കാക്കുന്നു, 0 മുതൽ 1 വരെ നോർമലൈസ് ചെയ്യുന്നു. ഇത് 1 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മോഡലുമായി പൂർണ്ണമായ പരസ്പര ബന്ധമുണ്ട്, അതായത്. y യുടെ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളും കണക്കാക്കിയ മൂല്യങ്ങളും തമ്മിൽ വ്യത്യാസമില്ല. വിപരീത സാഹചര്യത്തിൽ, നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകം 0 ആണെങ്കിൽ, y യുടെ മൂല്യങ്ങൾ പ്രവചിക്കുന്നതിൽ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം വിജയിച്ചില്ല. r2 എങ്ങനെ കണക്കാക്കുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾക്ക്, ഈ വിഭാഗത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിലുള്ള "കുറിപ്പുകൾ" കാണുക.

y കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സാധാരണ പിശകാണ് sey.

എഫ്-സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്, അല്ലെങ്കിൽ എഫ്-നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യം. ആശ്രിതവും സ്വതന്ത്രവുമായ വേരിയബിളുകൾ തമ്മിലുള്ള നിരീക്ഷിച്ച ബന്ധം അവസരം മൂലമാണോ അല്ലയോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ എഫ്-സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

df - സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികൾ. ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ടേബിളിൽ എഫ്-ക്രിട്ടിക്കൽ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികൾ ഉപയോഗപ്രദമാണ്. മോഡലിൻ്റെ കോൺഫിഡൻസ് ലെവൽ നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ പട്ടികയിലെ മൂല്യങ്ങളെ LINEST ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകുന്ന F സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്‌സുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു.

ssreg എന്നത് ചതുരങ്ങളുടെ റിഗ്രഷൻ തുകയാണ്.

ssresid എന്നത് ചതുരങ്ങളുടെ ശേഷിക്കുന്ന തുകയാണ്.

അധിക റിഗ്രഷൻ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ നൽകുന്ന ക്രമം ചുവടെയുള്ള ചിത്രം കാണിക്കുന്നു.

കുറിപ്പുകൾ

ഫംഗ്‌ഷനിൽ നിന്ന് തിരഞ്ഞെടുത്ത വിവരങ്ങൾ INDEX ഫംഗ്‌ഷൻ വഴി ലഭിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്:

Y-ഇൻ്റർസെപ്റ്റ് (സ്വതന്ത്ര ടേം):

സൂചിക(LINEST(y,x),2)

LINEST ഫംഗ്‌ഷൻ കണക്കാക്കിയ നേർരേഖ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഏകദേശത്തിൻ്റെ കൃത്യത ഡാറ്റാ സ്‌കാറ്ററിൻ്റെ അളവിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഡാറ്റ ഒരു നേർരേഖയോട് അടുക്കുന്തോറും LINEST ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന മോഡൽ കൂടുതൽ കൃത്യതയുള്ളതാണ്. ഡാറ്റയ്ക്ക് ഏറ്റവും അനുയോജ്യമായത് നിർണ്ണയിക്കാൻ LINEST ഫംഗ്‌ഷൻ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചതുരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

റിഗ്രഷൻ വിശകലനം നടത്തുന്നതിലൂടെ, മൈക്രോസോഫ്റ്റ് എക്സൽപ്രവചിക്കപ്പെട്ട y മൂല്യവും യഥാർത്ഥ y മൂല്യവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം ഓരോ പോയിൻ്റിനും കണക്കാക്കുന്നു. ഈ സ്ക്വയർ വ്യത്യാസങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ് ചതുരങ്ങളുടെ ശേഷിക്കുന്ന തുക. യഥാർത്ഥ y മൂല്യങ്ങളും ശരാശരി y മൂല്യവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുക Microsoft Excel കണക്കാക്കുന്നു, അതിനെ സമചതുരങ്ങളുടെ ആകെ തുക (സ്ക്വയറുകളുടെ റിഗ്രഷൻ തുക + സ്ക്വയറുകളുടെ ശേഷിക്കുന്ന തുക) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ചതുരങ്ങളുടെ ആകെ തുകയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ സ്ക്വയറുകളുടെ ശേഷിക്കുന്ന തുക ചെറുതായിരിക്കും, റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം വേരിയബിളുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെ എത്ര നന്നായി വിശദീകരിക്കുന്നു എന്ന് അളക്കുന്ന നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകം r2 വലുതാണ്.

റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം പ്രവചിച്ച y മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യം നിർവചിക്കാൻ ഉപയോഗിച്ച y മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധിക്ക് പുറത്താണെങ്കിൽ അവ ശരിയായിരിക്കണമെന്നില്ല.

ഉദാഹരണം 1 ചരിവും Y-ഇൻ്റർസെപ്‌റ്റും

LINEST((1;9;5;7);(0;4;2;3)) സമം (2;1), ചരിവ് = 2, y-ഇൻ്റർസെപ്റ്റ് = 1.

F, R2 സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

ഉയർന്ന r2 മൂല്യമുള്ള ഒരു ഫലം ആകസ്മികത മൂലമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് F സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ് ഉപയോഗിക്കാം. F-observed എഫ്-ക്രിട്ടിക്കലിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ, വേരിയബിളുകൾ തമ്മിൽ ഒരു ബന്ധമുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിലെ ഏതെങ്കിലും റഫറൻസ് പുസ്തകത്തിലെ എഫ്-ക്രിട്ടിക്കൽ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് എഫ്-ക്രിട്ടിക്കൽ ലഭിക്കും. ഒരു വൺ-ടെയിൽഡ് ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഈ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ, ആൽഫയുടെ മൂല്യം (ശക്തമായ ബന്ധമുണ്ടെന്ന് തെറ്റായി നിഗമനം ചെയ്യാനുള്ള സാധ്യതയെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ആൽഫയുടെ മൂല്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു) 0.05 ന് തുല്യവും സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണവും സജ്ജമാക്കുക ( സാധാരണയായി v1, v2 എന്നിവയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു), നമുക്ക് v1 = k = 4, v2 = n - (k + 1) = 11 - (4 + 1) = 6 എന്നിവ ഇടാം, ഇവിടെ k എന്നത് വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണവും n എന്നത് ഡാറ്റാ പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണവുമാണ് . റഫറൻസ് ടേബിളിൽ നിന്ന്, എഫ്-ക്രിട്ടിക്കൽ 4.53 ആണ്. നിരീക്ഷിച്ച എഫ്-മൂല്യം 459.753674 ആണ് (ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കിയ ഉദാഹരണത്തിൽ ഈ മൂല്യം ലഭിച്ചു), ഇത് വളരെ വലുതാണ് എഫ്-നിർണ്ണായക മൂല്യം 4.53 അതിനാൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം ആവശ്യമുള്ള ഫലം പ്രവചിക്കാൻ ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

ശരാശരി ഏകദേശ പിശക്- യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ മൂല്യങ്ങളുടെ ശരാശരി വ്യതിയാനം:

ഇവിടെ y x എന്നത് Eq-ൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ മൂല്യമാണ്.

15% വരെയുള്ള ശരാശരി ഏകദേശ പിശക് നന്നായി ഘടിപ്പിച്ച സമവാക്യ മാതൃകയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

199X-നുള്ള യുറൽ മേഖലയിലെ ഏഴ് പ്രദേശങ്ങൾക്ക്, രണ്ട് സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു.

ആവശ്യമാണ്:
1. x-ൽ y യുടെ ആശ്രിതത്വം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കുക:
a) ലീനിയർ;
ബി) ശക്തി;
സി) പ്രകടനാത്മകം;
d) ഒരു ഇക്വിലേറ്ററൽ ഹൈപ്പർബോള (ഈ മോഡൽ എങ്ങനെ പ്രീ-ലീനിയറൈസ് ചെയ്യാമെന്നും നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്).
2. ഓരോ മോഡലും വിലയിരുത്തുക ശരാശരി ഏകദേശ പിശക്ഒരു cf, ഫിഷേഴ്സ് F-ടെസ്റ്റ്.

ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹാരം നടപ്പിലാക്കുന്നു ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം.
a) ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം;
ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച്.
പഠിച്ച സാമ്പത്തിക സൂചകങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ രൂപം ദൃശ്യപരമായി ചിത്രീകരിക്കാൻ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കുന്നു, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവ സവിശേഷതയായ Y യുടെ വ്യക്തിഗത മൂല്യങ്ങൾ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു, കൂടാതെ ഫാക്ടർ സ്വഭാവം X ൻ്റെ വ്യക്തിഗത മൂല്യങ്ങൾ abscissa അക്ഷത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു.
ഫലങ്ങളുടെയും ഘടക സവിശേഷതകളുടെയും പോയിൻ്റുകളുടെ കൂട്ടത്തെ വിളിക്കുന്നു പരസ്പരബന്ധം ഫീൽഡ്.

പരസ്പര ബന്ധത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കാൻ കഴിയും ജനസംഖ്യ) X, Y എന്നിവയുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം രേഖീയമാണ്.
ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം y = bx + a + ε ആണ്
ഇവിടെ ε ഒരു ക്രമരഹിതമായ പിശകാണ് (വ്യതിയാനം, അസ്വസ്ഥത).
ക്രമരഹിതമായ പിശകിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിനുള്ള കാരണങ്ങൾ:
1. റിഗ്രഷൻ മോഡലിൽ കാര്യമായ വിശദീകരണ വേരിയബിളുകൾ ഉൾപ്പെടുത്തുന്നതിൽ പരാജയം;
2. വേരിയബിളുകളുടെ അഗ്രഗേഷൻ. ഉദാഹരണത്തിന്, മൊത്തം ഉപഭോഗ പ്രവർത്തനം ഒരു ശ്രമമാണ് പൊതുവായ പദപ്രയോഗംവ്യക്തിഗത ചെലവ് തീരുമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക. വ്യത്യസ്ത പാരാമീറ്ററുകളുള്ള വ്യക്തിഗത ബന്ധങ്ങളുടെ ഏകദേശ കണക്കാണിത്.
3. മാതൃകാ ഘടനയുടെ തെറ്റായ വിവരണം;
4. തെറ്റായ ഫങ്ഷണൽ സ്പെസിഫിക്കേഷൻ;
5. അളക്കൽ പിശകുകൾ.
ഓരോ നിർദ്ദിഷ്ട നിരീക്ഷണത്തിനും ε i എന്ന വ്യതിയാനങ്ങൾ ഞാൻ ക്രമരഹിതവും സാമ്പിളിലെ അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ അജ്ഞാതവുമാണ്, തുടർന്ന്:
1) x i, y i നിരീക്ഷണങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരാൾക്ക് α, β പാരാമീറ്ററുകളുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് മാത്രമേ ലഭിക്കൂ.
2) റിഗ്രഷൻ മോഡലിൻ്റെ α, β പാരാമീറ്ററുകളുടെ കണക്കുകൾ യഥാക്രമം a, b എന്നീ മൂല്യങ്ങളാണ്, അവ ക്രമരഹിതമാണ്, കാരണം ക്രമരഹിതമായ സാമ്പിളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു;
അപ്പോൾ കണക്കാക്കുന്ന റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിന് (സാമ്പിൾ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് നിർമ്മിച്ചത്) ഫോം y = bx + a + ε ഉണ്ടായിരിക്കും, ഇവിടെ e i എന്നത് പിശകുകളുടെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളാണ് (എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ) ε i , കൂടാതെ a, b എന്നിവ യഥാക്രമം, എസ്റ്റിമേറ്റ് റിഗ്രഷൻ മോഡലിൻ്റെ α, β എന്നീ പാരാമീറ്ററുകൾ കണ്ടെത്തണം.
പാരാമീറ്ററുകൾ α, β എന്നിവ കണക്കാക്കാൻ - ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സ്ക്വയർ രീതി (കുറഞ്ഞ ചതുര രീതി) ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നമുക്ക് b = -0.35, a = 76.88 ലഭിക്കും
റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം:
y = -0.35 x + 76.88

x	വൈ	x 2	y 2	x വൈ	y(x)	(y i -y cp) 2	(y-y(x)) 2	|y - y x |:y
45,1	68,8	2034,01	4733,44	3102,88	61,28	119,12	56,61	0,1094
59	61,2	3481	3745,44	3610,8	56,47	10,98	22,4	0,0773
57,2	59,9	3271,84	3588,01	3426,28	57,09	4,06	7,9	0,0469
61,8	56,7	3819,24	3214,89	3504,06	55,5	1,41	1,44	0,0212
58,8	55	3457,44	3025	3234	56,54	8,33	2,36	0,0279
47,2	54,3	2227,84	2948,49	2562,96	60,55	12,86	39,05	0,1151
55,2	49,3	3047,04	2430,49	2721,36	57,78	73,71	71,94	0,172
384,3	405,2	21338,41	23685,76	22162,34	405,2	230,47	201,71	0,5699

ശ്രദ്ധിക്കുക: തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൽ നിന്നാണ് y(x) മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത്:
y(45.1) = -0.35*45.1 + 76.88 = 61.28
y(59) = -0.35*59 + 76.88 = 56.47
... ... ...

ഏകദേശ പിശക്
കേവല ഏകദേശ പിശക് ഉപയോഗിച്ച് റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം നമുക്ക് വിലയിരുത്താം. ശരാശരി ഏകദേശ പിശക്- യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ മൂല്യങ്ങളുടെ ശരാശരി വ്യതിയാനം:

പിശക് 15% ൽ കുറവായതിനാൽ, ഈ സമവാക്യം റിഗ്രഷൻ ആയി ഉപയോഗിക്കാം.

എഫ്-സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ. മത്സ്യത്തൊഴിലാളി മാനദണ്ഡം.










3. പട്ടിക മൂല്യംഫിഷർ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ടേബിളിൽ നിന്ന് ഒരു നിശ്ചിത പ്രാധാന്യമുള്ള തലത്തിനായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, അതിനുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം കണക്കിലെടുക്കുന്നു മൊത്തം തുകചതുരങ്ങൾ (വലിയ വേരിയൻസ്) 1 ആണ്, ലീനിയർ റിഗ്രഷനിലെ സ്ക്വയറുകളുടെ ശേഷിക്കുന്ന തുകയുടെ (ചെറിയ വേരിയൻസ്) സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം n-2 ആണ്.
4. എഫ്-ടെസ്റ്റിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം പട്ടിക മൂല്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കാൻ ഒരു കാരണവുമില്ലെന്ന് അവർ പറയുന്നു.
അല്ലെങ്കിൽ, ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കുകയും സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഇതര സിദ്ധാന്തം പ്രോബബിലിറ്റി (1-α) ഉപയോഗിച്ച് അംഗീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

< Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

ബി) പവർ റിഗ്രഷൻ;
നോൺലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സേവനം ഉപയോഗിച്ചാണ് പരിഹാരം നടത്തുന്നത്. തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, പവർ y = ax b വ്യക്തമാക്കുക
സി) എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ റിഗ്രഷൻ;
d) ഒരു സമഭുജ ഹൈപ്പർബോളയുടെ മാതൃക.
സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം.

ഞങ്ങളുടെ ഡാറ്റയ്ക്ക്, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്
7a + 0.1291b = 405.2
0.1291a + 0.0024b = 7.51
ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ a പ്രകടിപ്പിക്കുകയും അതിനെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു
നമുക്ക് b = 1054.67, a = 38.44 ലഭിക്കും
റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം:
y = 1054.67 / x + 38.44
ഏകദേശ പിശക്.
കേവല ഏകദേശ പിശക് ഉപയോഗിച്ച് റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം നമുക്ക് വിലയിരുത്താം.

പിശക് 15% ൽ കുറവായതിനാൽ, ഈ സമവാക്യം റിഗ്രഷൻ ആയി ഉപയോഗിക്കാം.

ഫിഷർ മാനദണ്ഡം.
ഒരു റിഗ്രഷൻ മോഡലിൻ്റെ പ്രാധാന്യം പരിശോധിക്കുന്നത് ഫിഷേഴ്‌സ് എഫ് ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ചാണ്, ഇതിൻ്റെ കണക്കാക്കിയ മൂല്യം, പഠിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന സൂചകത്തിൻ്റെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ ശ്രേണിയുടെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ അനുപാതമായും ശേഷിക്കുന്ന ശ്രേണിയുടെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പക്ഷപാതരഹിതമായ വിലയിരുത്തലായി കണ്ടെത്തി. ഈ മോഡലിന്.
k1=(m), k2=(n-m-1) ഡിഗ്രി ഫ്രീഡം ഉള്ള കണക്കാക്കിയ മൂല്യം, തന്നിരിക്കുന്ന പ്രാധാന്യ തലത്തിൽ ടാബുലേറ്റ് ചെയ്ത മൂല്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, മോഡൽ പ്രാധാന്യമുള്ളതായി കണക്കാക്കുന്നു.

ഇവിടെ m എന്നത് മോഡലിലെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്.
ജോടിയാക്കിയ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ്റെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രാധാന്യം ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് വിലയിരുത്തുന്നു:
1. സമവാക്യം മൊത്തത്തിൽ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് അപ്രധാനമാണെന്ന് ഒരു ശൂന്യ സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കുന്നു: H 0: R 2 =0 പ്രാധാന്യ തലത്തിൽ α.
2. അടുത്തതായി, F-മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുക:

പെയർവൈസ് റിഗ്രഷനുള്ള m=1 ഇവിടെ.
ഫ്രീഡം k1=1, k2=5, Fkp = 6.61 എന്നീ ഡിഗ്രികളുള്ള മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ പട്ടിക മൂല്യം
എഫിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം മുതൽ< Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

5. F-ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ജോടിയാക്കിയ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം മൊത്തത്തിൽ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് അപ്രധാനമാണെന്നും പ്രതിമാസ പെൻഷൻ മൂല്യവും y ജീവിതച്ചെലവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ പഠന പ്രതിഭാസത്തെ വേണ്ടത്ര വിവരിക്കുന്നില്ലെന്നും സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു.

6. ഒരു ഇക്കണോമെട്രിക് മൾട്ടിപ്പിൾ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ മോഡൽ സൃഷ്ടിച്ചു, ഒരു സോപാധിക സ്ഥാപനമായ y യുടെ അറ്റവരുമാനത്തിൻ്റെ അളവ് മൂലധന വിറ്റുവരവ് x1 ഉം ഉപയോഗിച്ച മൂലധനം x2 ഉം തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു.

7. ഇലാസ്തികത ഗുണകങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിലൂടെ, മൂലധന വിറ്റുവരവ് 1% മാറുമ്പോൾ, കമ്പനിയുടെ അറ്റവരുമാനത്തിൻ്റെ അളവ് 0.0008% മാറുകയും മൂലധനം ഉപയോഗിച്ച മൂലധനം 1% മാറുമ്പോൾ കമ്പനിയുടെ അറ്റവരുമാനത്തിൻ്റെ അളവ് മാറുകയും ചെയ്യുന്നു. 0.56% മാറ്റങ്ങൾ.

8. ടി-ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച്, റിഗ്രഷൻ ഗുണകങ്ങളുടെ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യം വിലയിരുത്തി, വിശദീകരണ വേരിയബിൾ x 1 സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിൽ അപ്രധാനമാണെന്നും റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കാമെന്നും കണ്ടെത്തി, അതേ സമയം വിശദീകരണ വേരിയബിൾ x 2 ആണ്. സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യം.

9. F-ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ജോടിയാക്കിയ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം മൊത്തത്തിൽ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യമുള്ളതാണെന്ന് സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു, കൂടാതെ ഒരു സോപാധിക സ്ഥാപനമായ y യുടെ അറ്റാദായവും മൂലധന വിറ്റുവരവ് x 1 ഉം ഉപയോഗിച്ച മൂലധനവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ പഠന പ്രതിഭാസത്തെ മതിയായ രീതിയിൽ വിവരിക്കുന്നു. x 2.

10. ഒരു ലീനിയർ മൾട്ടിപ്പിൾ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഡാറ്റയുടെ ഏകദേശ പിശക് കണക്കാക്കി, അത് 29.8% ആയിരുന്നു. സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഡാറ്റാബേസിൽ ഈ പിശകിൻ്റെ വ്യാപ്തി അനുവദനീയമായ മൂല്യത്തെ കവിയുന്ന നിരീക്ഷണം കാരണം കാണിക്കുന്നു.

14. EXCEL ഉപയോഗിക്കാതെ ഒരു ജോടിയാക്കിയ റിഗ്രഷൻ മോഡൽ നിർമ്മിക്കുന്നു.

പട്ടിക 3.5 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

2. പരസ്പര ബന്ധത്തിൻ്റെയും നിർണ്ണയത്തിൻ്റെയും സൂചകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്ഷൻ്റെ അടുപ്പം വിലയിരുത്തുക.

3.ഇലാസ്റ്റിറ്റി കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച്, ഫാക്ടർ സ്വഭാവവും ഫലവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കുക.

4. ശരാശരി ഏകദേശ പിശക് നിർണ്ണയിക്കുക.

5.ഫിഷറിൻ്റെ എഫ്-ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് മോഡലിംഗിൻ്റെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ വിശ്വാസ്യത വിലയിരുത്തുക.

പട്ടിക 3.5. പ്രാരംഭ ഡാറ്റ.

	നിക്ഷേപങ്ങൾ, വായ്പകൾ, സർട്ടിഫിക്കറ്റുകൾ, വിദേശ കറൻസി വാങ്ങൽ എന്നിവയിലെ സമ്പാദ്യം വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ ലക്ഷ്യമിട്ടുള്ള പണ വരുമാനത്തിൻ്റെ പങ്ക്, ശരാശരി പ്രതിശീർഷ വരുമാനത്തിൻ്റെ മൊത്തം തുകയിൽ, %	ശരാശരി പ്രതിമാസ വേതനം, c.u.
കലുഷ്സ്കയ
കോസ്ട്രോംസ്കയ
ഒർലോവ്സ്കയ
റിയാസൻ
സ്മോലെൻസ്കായ

ജോടിയാക്കിയ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ b 0, b 1 നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളുടെ സാധാരണ സിസ്റ്റം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിന് ഫോം ഉണ്ട്.

(3.7)

ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ആദ്യം Sx 2, Sxy മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഉറവിട ഡാറ്റ പട്ടികയിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, അത് ഉചിതമായ നിരകൾ (പട്ടിക 3.6) ഉപയോഗിച്ച് അനുബന്ധമായി നൽകുന്നു.

പട്ടിക 3.6. റിഗ്രഷൻ ഗുണകങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലിലേക്ക്.

അപ്പോൾ സിസ്റ്റം (3.7) ഫോം എടുക്കുന്നു

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് b 0 പ്രകടിപ്പിക്കുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

ടേം-ബൈ-ടേം ഗുണനം നടത്തുകയും ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അവസാനമായി, ശരാശരി പ്രതിമാസ വേതനവുമായി y സമ്പാദ്യം വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ ലക്ഷ്യമിട്ടുള്ള ജനസംഖ്യയുടെ പണ വരുമാനത്തിൻ്റെ വിഹിതത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ജോടിയാക്കിയ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം x ന് ഫോം ഉണ്ട്:

അതിനാൽ, ജോടിയാക്കിയ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ്റെ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ആശ്രിതത്വം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് നിർണ്ണയിക്കുന്നു:

അനുബന്ധ പാരാമീറ്ററുകളുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ എവിടെയാണ്.

ആശ്രിതത്വത്തിൽ നിന്ന് (3.9) ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നു.

കണ്ടെത്തിയ പാരാമീറ്ററുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് (3.9) പകരം വയ്ക്കുന്നത് നമുക്ക് ലഭിക്കും

.

ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റിൻ്റെ ലഭിച്ച മൂല്യം, സമ്പാദ്യം y വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ ലക്ഷ്യമിട്ടുള്ള ജനസംഖ്യയുടെ പണ വരുമാനത്തിൻ്റെ വിഹിതവും ശരാശരി പ്രതിമാസ വേതനത്തിൻ്റെ തുകയും x തമ്മിലുള്ള ദുർബലമായ വിപരീത സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് ബന്ധത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ആണ്, അതായത് 9.6% മാത്രമേ വിശദീകരിക്കുന്ന വേരിയബിൾ x-നെ y-ൽ റിഗ്രസ് ചെയ്യൂ. അതനുസരിച്ച്, 90.4% ന് തുല്യമായ മൂല്യം 1, ഇക്കണോമെട്രിക് മോഡലിൽ കണക്കിലെടുക്കാത്ത മറ്റെല്ലാ വിശദീകരണ വേരിയബിളുകളുടെയും സ്വാധീനം മൂലമുണ്ടാകുന്ന y എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പങ്ക് വ്യക്തമാക്കുന്നു.

ഇലാസ്തികത ഗുണകം ആണ്

തൽഫലമായി, ശരാശരി പ്രതിമാസ വേതനം 1% മാറുമ്പോൾ, സമ്പാദ്യം വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ ലക്ഷ്യമിട്ടുള്ള ജനസംഖ്യയുടെ പണ വരുമാനത്തിൻ്റെ വിഹിതവും 1% കുറയുന്നു, വേതനം വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, പണ വരുമാനത്തിൻ്റെ വിഹിതം കുറയുന്നു. സമ്പാദ്യം വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ ലക്ഷ്യമിട്ടുള്ള ജനസംഖ്യ. ഈ നിഗമനം സാമാന്യബുദ്ധിക്ക് വിരുദ്ധമാണ്, സൃഷ്ടിച്ച ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകയുടെ തെറ്റായി മാത്രമേ വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയൂ.

ശരാശരി ഏകദേശ പിശക് കണക്കാക്കാം.

പട്ടിക 3.7. ശരാശരി ഏകദേശ പിശകിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടലിലേക്ക്.

ലഭിച്ച മൂല്യം (12 ... 15)% കവിയുന്നു, ഇത് ഇക്കണോമെട്രിക് മോഡൽ നിർമ്മിച്ച യഥാർത്ഥ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ ഡാറ്റയുടെ ശരാശരി വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പ്രാധാന്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഫിഷറിൻ്റെ എഫ്-ടെസ്റ്റിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ മോഡലിംഗിൻ്റെ വിശ്വാസ്യത. ഫിഷർ മാനദണ്ഡം F calc ൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് ഒരു ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യത്തിനായി കണക്കാക്കിയ ഘടകത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെയും ശേഷിക്കുന്ന വിതരണങ്ങളുടെയും അനുപാതത്തിൽ നിന്നാണ്.

ഇവിടെ n എന്നത് നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്;

m എന്നത് വിശദീകരണ വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണമാണ് (ഉദാഹരണത്തിന് m m =1 പരിഗണിക്കുന്നു).

നിർണായക മൂല്യം എഫ് ക്രിറ്റ് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ടേബിളിൽ നിന്നാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്, ഒരു പ്രാധാന്യ നിലയ്ക്ക് a = 0.05 10.13 ആണ്. എഫ് കണക്കാക്കിയത് മുതൽ

15. EXCEL ഉപയോഗിക്കാതെ ഒന്നിലധികം റിഗ്രഷൻ മോഡൽ നിർമ്മിക്കുന്നു.

പട്ടിക 3.8 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ മെറ്റീരിയൽ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യണം:

1. ഒരു ലീനിയർ മൾട്ടിപ്പിൾ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുകയും അതിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകളുടെ സാമ്പത്തിക അർത്ഥം വിശദീകരിക്കുകയും ചെയ്യുക.

2. ശരാശരി (പൊതുവായ) ഇലാസ്തികത ഗുണകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഘടകങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധവും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ താരതമ്യ വിലയിരുത്തൽ നൽകുക.

3. ടി-ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യവും എഫ്-ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രാധാന്യമില്ലാത്തതിനെക്കുറിച്ചുള്ള നൾ ഹൈപ്പോതെസിസും വിലയിരുത്തുക.

4. ഏകദേശത്തിൻ്റെ ശരാശരി പിശക് നിർണ്ണയിച്ചുകൊണ്ട് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം വിലയിരുത്തുക.

പട്ടിക 3.8. പ്രാരംഭ ഡാറ്റ.

അറ്റവരുമാനം, ദശലക്ഷം യുഎസ് ഡോളർ	മൂലധന വിറ്റുവരവ്, ദശലക്ഷം യുഎസ് ഡോളർ	ഉപയോഗിച്ച മൂലധനം, ദശലക്ഷം യുഎസ് ഡോളർ

ഒന്നിലധികം ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ b 0, b 1, b 2 നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളുടെ സാധാരണ സിസ്റ്റം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിന് ഫോം ഉണ്ട്.

(3.11)

ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ആദ്യം Sx 1 2, Sx 2 2, Sx 1 y, Sx 2 y, Sx 1 x 2 എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഉറവിട ഡാറ്റ പട്ടികയിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, അത് ഉചിതമായ നിരകൾ (പട്ടിക 3.9) ഉപയോഗിച്ച് അനുബന്ധമായി നൽകുന്നു.

പട്ടിക 3.9. റിഗ്രഷൻ ഗുണകങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലിലേക്ക്.

അപ്പോൾ സിസ്റ്റം (3.11) ഫോം എടുക്കുന്നു

ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അജ്ഞാതങ്ങളെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന ഗോസ് രീതി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും: സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം 10 ​​കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തെ 370.6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക, തുടർന്ന് ഗുണിക്കുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം 158.20 ആക്കി സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൂന്നാം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രൂപാന്തരപ്പെട്ട രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങൾക്കായി നിർദ്ദിഷ്ട അൽഗോരിതം ആവർത്തിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

Þ Þ

Þ .

പരിവർത്തനത്തിന് ശേഷം ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

മൂലധന വിറ്റുവരവിലും ഉപയോഗിച്ച മൂലധനത്തിലും അറ്റവരുമാനത്തിൻ്റെ അന്തിമ ആശ്രിതത്വം രൂപത്തിലാണ് രേഖീയ സമവാക്യംഒന്നിലധികം റിഗ്രെഷന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇക്കണോമെട്രിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, ഉപയോഗിച്ച മൂലധനത്തിൻ്റെ വർദ്ധനയോടെ, അറ്റവരുമാനം വർദ്ധിക്കുകയും, മൂലധന വിറ്റുവരവ് വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് അറ്റവരുമാനം കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു. കൂടാതെ, റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് വലുതായതിനാൽ, ആശ്രിത വേരിയബിളിൽ വിശദീകരണ വേരിയബിളിൻ്റെ സ്വാധീനം വർദ്ധിക്കും. പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, റിഗ്രഷൻ ഗുണകത്തിൻ്റെ മൂല്യം ഗുണകത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണ്, അതിനാൽ ഉപയോഗിച്ച മൂലധനം മൂലധന വിറ്റുവരവിനേക്കാൾ അറ്റ ​​വരുമാനത്തിൽ ഗണ്യമായ സ്വാധീനം ചെലുത്തുന്നു. ഈ നിഗമനം കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഭാഗിക ഇലാസ്തികത ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കും.

ഉപയോഗിച്ച മൂലധനം അറ്റവരുമാനത്തിൽ കൂടുതൽ സ്വാധീനം ചെലുത്തുന്നുവെന്നും ഫലങ്ങളുടെ വിശകലനം കാണിക്കുന്നു. അതിനാൽ, പ്രത്യേകിച്ചും, ഉപയോഗിച്ച മൂലധനത്തിൽ 1% വർദ്ധനയോടെ, അറ്റ ​​വരുമാനം 1.17% വർദ്ധിക്കുന്നു. അതേ സമയം, മൂലധന വിറ്റുവരവിൽ 1% വർദ്ധനയോടെ, അറ്റവരുമാനം 0.5% കുറയുന്നു.

ഫിഷർ മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക മൂല്യം F calc.

നിർണായക മൂല്യമായ എഫ് ക്രിറ്റിൻ്റെ മൂല്യം സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ടേബിളിൽ നിന്നാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്, കൂടാതെ a = 0.05 ൻ്റെ പ്രാധാന്യ നിലയ്ക്ക് 4.74 ന് തുല്യമാണ്. F calc > F crit ആയതിനാൽ, null hypothesis നിരസിക്കപ്പെടുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യമുള്ളതായി അംഗീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെയും ടി-മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെയും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യത്തെ വിലയിരുത്തുന്നത്, ഈ ഗുണകങ്ങളുടെ സംഖ്യാ മൂല്യത്തെ അവയുടെ ക്രമരഹിതമായ പിശകുകളുടെ വ്യാപ്തിയും ബന്ധവും അനുസരിച്ചും താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു:

ടി-സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തന സൂത്രവാക്യം ഇതാണ്:

, (3.13)

ഇവിടെ ജോഡി കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളും മൾട്ടിപ്പിൾ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റും ഡിപൻഡൻസികളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുന്നു:

അപ്പോൾ ടി-സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക (കണക്കാക്കിയ) മൂല്യങ്ങൾ യഥാക്രമം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

t- സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെ നിർണായക മൂല്യം, സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ടേബിളിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രാധാന്യ നില a = 0.05 t crit = 2.36 ന് തുല്യമായതിനാൽ, കേവല മൂല്യത്തിൽ = - 1.798 നേക്കാൾ വലുതായതിനാൽ, ശൂന്യമായ അനുമാനം നിരസിക്കപ്പെടുന്നില്ല കൂടാതെ വിശദീകരണ വേരിയബിൾ x 1 സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് അപ്രധാനമാണ്, റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഇത് ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്. നേരെമറിച്ച്, രണ്ടാമത്തെ റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് > t crit (3.3 > 2.36), വിശദീകരണ വേരിയബിൾ x 2 എന്നിവയ്ക്ക് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യമുണ്ട്.

ശരാശരി ഏകദേശ പിശക് കണക്കാക്കാം.

പട്ടിക 3.10. ശരാശരി ഏകദേശ പിശകിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടലിലേക്ക്.

അപ്പോൾ ശരാശരി ഏകദേശ പിശക്

ലഭിച്ച മൂല്യം (12…15)% എന്നതിന് തുല്യമായ അനുവദനീയമായ പരിധി കവിയരുത്.

16. അളക്കൽ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികസനത്തിൻ്റെ ചരിത്രം

സൈക്കോഫിസിക്കൽ അളവുകളുടെ ഒരു സിദ്ധാന്തമായി ടിഐ ആദ്യം വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു. യുദ്ധാനന്തര പ്രസിദ്ധീകരണങ്ങളിൽ, അമേരിക്കൻ സൈക്കോളജിസ്റ്റ് എസ്. സ്റ്റീവൻസ് മെഷർമെൻ്റ് സ്കെയിലുകളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിച്ചു. ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ രണ്ടാം പകുതിയിൽ. ടിഐയുടെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി അതിവേഗം വികസിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു. 50 കളിൽ യുഎസ്എയിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച “എൻസൈക്ലോപീഡിയ ഓഫ് സൈക്കോളജിക്കൽ സയൻസസിൻ്റെ” വാല്യങ്ങളിലൊന്നിനെ “മനഃശാസ്ത്രപരമായ അളവുകൾ” എന്ന് വിളിച്ചിരുന്നു. ഈ പ്രസിദ്ധീകരണത്തിൻ്റെ രചയിതാക്കൾ TI യുടെ വ്യാപ്തി സൈക്കോഫിസിക്സിൽ നിന്ന് മനഃശാസ്ത്രത്തിലേക്ക് പൊതുവായി വിപുലീകരിച്ചു. ഈ ശേഖരത്തിലെ "അളവ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ" എന്ന ലേഖനത്തിൽ, അവതരണം ഒരു പ്രത്യേക പ്രയോഗ മേഖലയെ പരാമർശിക്കാതെ ഒരു അമൂർത്തമായ ഗണിതശാസ്ത്ര തലത്തിലായിരുന്നു. അതിൽ, "അനുഭാവിക സംവിധാനങ്ങളുടെ ഹോമോമോർഫിസങ്ങൾക്ക് സംഖ്യാപരമായ ബന്ധങ്ങളിലേക്കുള്ള ബന്ധങ്ങൾ" (ഇവിടെ ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര പദങ്ങളിലേക്ക് പോകേണ്ട ആവശ്യമില്ല) ഊന്നൽ നൽകി, എസ്.എസിൻ്റെ കൃതികളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അവതരണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര സങ്കീർണ്ണത വർദ്ധിച്ചു. സ്റ്റീവൻസ്.

TI-യെക്കുറിച്ചുള്ള ആദ്യത്തെ ആഭ്യന്തര ലേഖനങ്ങളിലൊന്നിൽ (60-കളുടെ അവസാനം), പരീക്ഷാ വസ്‌തുക്കൾ വിലയിരുത്തുമ്പോൾ വിദഗ്ധർ നൽകിയ പോയിൻ്റുകൾ ഒരു ചട്ടം പോലെ, ഒരു ഓർഡിനൽ സ്കെയിലിൽ അളക്കുന്നുവെന്ന് സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു. 70 കളുടെ തുടക്കത്തിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ട കൃതികൾ TI ഉപയോഗത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തിയുടെ ഗണ്യമായ വികാസത്തിലേക്ക് നയിച്ചു. പെഡഗോഗിക്കൽ ക്വാളിമെട്രി (വിദ്യാർത്ഥികളുടെ അറിവിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം അളക്കൽ), സിസ്റ്റം ഗവേഷണം, വിവിധ സൈദ്ധാന്തിക പ്രശ്നങ്ങൾ എന്നിവയിൽ ഇത് പ്രയോഗിച്ചു. വിദഗ്ധ വിലയിരുത്തലുകൾ, ഉൽപ്പന്ന ഗുണനിലവാര സൂചകങ്ങൾ സമാഹരിക്കാൻ, സാമൂഹ്യശാസ്ത്ര പഠനങ്ങളിൽ മുതലായവ.

TI-യുടെ രണ്ട് പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങളായി, നിർദ്ദിഷ്ട ഡാറ്റ അളക്കുന്നതിനുള്ള സ്കെയിൽ തരം സ്ഥാപിക്കുന്നതിനൊപ്പം, ഡാറ്റാ വിശകലന അൽഗോരിതങ്ങൾക്കായുള്ള ഒരു തിരയൽ മുന്നോട്ട് വച്ചു, അതിൻ്റെ ഫലം സ്കെയിലിൻ്റെ അനുവദനീയമായ പരിവർത്തനത്തിനൊപ്പം മാറില്ല (അതായത്, ബഹുമാനത്തിൽ മാറ്റമില്ല. ഈ പരിവർത്തനത്തിലേക്ക്) ബ്യൂഫോർട്ട് സ്കെയിൽ കാറ്റുകൾ ("ശാന്തം", "ഇളം കാറ്റ്", "മിതമായ കാറ്റ്" മുതലായവ), ഭൂകമ്പ ശക്തി സ്കെയിൽ. വ്യക്തമായും, 10 തീവ്രതയുള്ള ഭൂകമ്പത്തേക്കാൾ (ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിലുള്ള എല്ലാറ്റിൻ്റെയും പൂർണ്ണമായ നാശം) 2 തീവ്രതയുള്ള ഭൂകമ്പം (സീലിംഗിന് താഴെയുള്ള ഒരു വിളക്ക്) കൃത്യമായി 5 മടങ്ങ് ദുർബലമാണെന്ന് പറയാനാവില്ല.

വൈദ്യശാസ്ത്രത്തിൽ, ഓർഡിനൽ സ്കെയിലുകൾ രക്താതിമർദ്ദത്തിൻ്റെ ഘട്ടങ്ങളുടെ സ്കെയിൽ (മ്യാസ്നികോവ് അനുസരിച്ച്), ഹൃദയസ്തംഭനത്തിൻ്റെ അളവുകൾ (സ്ട്രാഷെസ്കോ-വാസിലെങ്കോ-ലാങ് അനുസരിച്ച്), കൊറോണറി അപര്യാപ്തതയുടെ തീവ്രതയുടെ അളവ് (ഫോഗൽസൺ അനുസരിച്ച്) മുതലായവയാണ്. . ഈ സ്കെയിലുകളെല്ലാം താഴെപ്പറയുന്ന സ്കീം അനുസരിച്ചാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്: ഒരു രോഗവും കണ്ടെത്തിയില്ല; രോഗത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഘട്ടം; രണ്ടാം ഘട്ടം; മൂന്നാം ഘട്ടം... ചിലപ്പോൾ ഘട്ടങ്ങൾ 1a, 16, എന്നിങ്ങനെ ഓരോ ഘട്ടത്തിനും അതിൻ്റേതായ ഒരു മെഡിക്കൽ സ്വഭാവമുണ്ട്. വൈകല്യ ഗ്രൂപ്പുകളെ വിവരിക്കുമ്പോൾ, സംഖ്യകൾ വിപരീത ക്രമത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു: ഏറ്റവും കഠിനമായത് ആദ്യത്തെ വൈകല്യ ഗ്രൂപ്പാണ്, രണ്ടാമത്തേത്, ഭാരം കുറഞ്ഞത് മൂന്നാമത്തേതാണ്.

വീടിൻ്റെ നമ്പറുകളും ഒരു ഓർഡിനൽ സ്കെയിലിൽ അളക്കുന്നു - തെരുവിൽ വീടുകൾ ഏത് ക്രമത്തിലാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നതെന്ന് അവ കാണിക്കുന്നു. ഒരു എഴുത്തുകാരൻ ശേഖരിച്ച കൃതികളിലെ വോളിയം നമ്പറുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു എൻ്റർപ്രൈസ് ആർക്കൈവിലെ കേസ് നമ്പറുകൾ സാധാരണയായി അവയുടെ സൃഷ്ടിയുടെ കാലക്രമവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും സേവനങ്ങളുടെയും ഗുണനിലവാരം വിലയിരുത്തുമ്പോൾ, ക്വാളിമെട്രി (അക്ഷരാർത്ഥ വിവർത്തനം - ഗുണനിലവാര അളവ്) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഓർഡിനൽ സ്കെയിലുകൾ ജനപ്രിയമാണ്. അതായത്, ഉൽപാദനത്തിൻ്റെ ഒരു യൂണിറ്റ് കടന്നുപോകാവുന്നതോ അനുയോജ്യമല്ലാത്തതോ ആയി വിലയിരുത്തപ്പെടുന്നു. കൂടുതൽ സമഗ്രമായ വിശകലനത്തിനായി, മൂന്ന് ഗ്രേഡേഷനുകളുള്ള ഒരു സ്കെയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു: കാര്യമായ വൈകല്യങ്ങളുണ്ട് - ചെറിയ വൈകല്യങ്ങൾ മാത്രമേയുള്ളൂ - വൈകല്യങ്ങളൊന്നുമില്ല. ചിലപ്പോൾ നാല് ഗ്രേഡേഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: ഗുരുതരമായ വൈകല്യങ്ങളുണ്ട് (ഉപയോഗിക്കുന്നത് അസാധ്യമാക്കുന്നു) - കാര്യമായ വൈകല്യങ്ങളുണ്ട് - ചെറിയ വൈകല്യങ്ങൾ മാത്രമേയുള്ളൂ - വൈകല്യങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ഗ്രേഡിംഗിന് സമാനമായ അർത്ഥമുണ്ട് - പ്രീമിയം, ഒന്നാം ഗ്രേഡ്, രണ്ടാം ഗ്രേഡ്,...

പാരിസ്ഥിതിക ആഘാതങ്ങൾ വിലയിരുത്തുമ്പോൾ, ആദ്യത്തേതും ഏറ്റവും പൊതുവായതുമായ വിലയിരുത്തൽ സാധാരണയായി ഓർഡിനലാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്: പ്രകൃതി പരിസ്ഥിതി സുസ്ഥിരമാണ് - പ്രകൃതി പരിസ്ഥിതി അടിച്ചമർത്തപ്പെടുന്നു (തകർന്നിരിക്കുന്നു). പാരിസ്ഥിതിക-മെഡിക്കൽ സ്കെയിൽ സമാനമാണ്: മനുഷ്യൻ്റെ ആരോഗ്യത്തിൽ വ്യക്തമായ ആഘാതം ഇല്ല - ആരോഗ്യത്തെ പ്രതികൂലമായി ബാധിക്കുന്നു.

മറ്റ് മേഖലകളിലും ഓർഡിനൽ സ്കെയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇക്കണോമെട്രിക്സിൽ, ഇവ പ്രാഥമികമായി വിദഗ്ധ വിലയിരുത്തലിൻ്റെ വിവിധ രീതികളാണ്.

എല്ലാ അളവെടുപ്പ് സ്കെയിലുകളും രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു - ഗുണപരമായ സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ സ്കെയിലുകളും ക്വാണ്ടിറ്റേറ്റീവ് സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ സ്കെയിലുകളും. ഓർഡിനൽ സ്കെയിലും പേരിടൽ സ്കെയിലുമാണ് ഗുണപരമായ ആട്രിബ്യൂട്ടുകളുടെ പ്രധാന സ്കെയിലുകൾ, അതിനാൽ പല പ്രത്യേക മേഖലകളിലും ഗുണപരമായ വിശകലനത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ ഈ സ്കെയിലുകളിലെ അളവുകളായി കണക്കാക്കാം. ക്വാണ്ടിറ്റേറ്റീവ് സ്വഭാവങ്ങളുടെ സ്കെയിലുകൾ ഇടവേളകൾ, അനുപാതങ്ങൾ, വ്യത്യാസങ്ങൾ, കേവലം എന്നിവയുടെ സ്കെയിലുകളാണ്. ഒരു ഇടവേള സ്കെയിൽ ഉപയോഗിച്ച്, പൊട്ടൻഷ്യൽ എനർജിയുടെ വ്യാപ്തി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നേർരേഖയിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് അളക്കുന്നു. ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, സ്വാഭാവിക ഉത്ഭവമോ അളവിൻ്റെ സ്വാഭാവിക യൂണിറ്റോ സ്കെയിലിൽ അടയാളപ്പെടുത്താൻ കഴിയില്ല. ഗവേഷകൻ ആരംഭ പോയിൻ്റ് സജ്ജമാക്കുകയും അളവിൻ്റെ യൂണിറ്റ് സ്വയം തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും വേണം. ഇടവേള സ്കെയിലിലെ സ്വീകാര്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ ലീനിയർ വർദ്ധിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങളാണ്, അതായത്. രേഖീയ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. താപനില സ്കെയിലുകളായ സെൽഷ്യസും ഫാരൻഹീറ്റും കൃത്യമായി ഈ ആശ്രിതത്വത്താൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: °C = 5/9 (°F - 32), ഇവിടെ °C എന്നത് സെൽഷ്യസ് സ്കെയിലിലെ താപനിലയാണ് (ഡിഗ്രികളിൽ), ഫാരൻഹീറ്റിലെ താപനിലയാണ് °F. സ്കെയിൽ.

ക്വാണ്ടിറ്റേറ്റീവ് സ്കെയിലുകളിൽ, ശാസ്ത്രത്തിലും പ്രയോഗത്തിലും ഏറ്റവും സാധാരണമായത് അനുപാത സ്കെയിലുകളാണ്. അവർക്ക് സ്വാഭാവിക റഫറൻസ് പോയിൻ്റ് ഉണ്ട് - പൂജ്യം, അതായത്. അളവിൻ്റെ അഭാവം, എന്നാൽ അളവിൻ്റെ സ്വാഭാവിക യൂണിറ്റ് ഇല്ല. മിക്ക ഫിസിക്കൽ യൂണിറ്റുകളും അനുപാത സ്കെയിലിലാണ് അളക്കുന്നത്: ബോഡി പിണ്ഡം, നീളം, ചാർജ്, അതുപോലെ സമ്പദ്‌വ്യവസ്ഥയിലെ വിലകൾ. അനുപാത സ്കെയിലിലെ സ്വീകാര്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ സമാനമാണ് (സ്കെയിൽ മാത്രം മാറ്റുന്നു). മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സ്വതന്ത്ര ടേം ഇല്ലാതെ ലീനിയർ വർദ്ധിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കറൻസിയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് ഒരു നിശ്ചിത നിരക്കിൽ വിലകൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുക. റൂബിളിലെ വിലകൾ ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് നിക്ഷേപ പദ്ധതികളുടെ സാമ്പത്തിക കാര്യക്ഷമത താരതമ്യം ചെയ്യുന്നുവെന്ന് കരുതുക. ആദ്യ പദ്ധതി രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ മികച്ചതായി മാറട്ടെ. ഇനി നമുക്ക് ഒരു നിശ്ചിത പരിവർത്തന നിരക്ക് ഉപയോഗിച്ച് ചൈനീസ് കറൻസിയായ യുവാനിലേക്ക് മാറാം. വ്യക്തമായും, ആദ്യ പ്രോജക്റ്റ് വീണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ ലാഭകരമായിരിക്കണം. എന്നിരുന്നാലും, കണക്കുകൂട്ടൽ അൽഗോരിതങ്ങൾ ഈ അവസ്ഥ പാലിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് സ്വപ്രേരിതമായി ഉറപ്പാക്കുന്നില്ല, അത് പാലിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള അത്തരമൊരു പരിശോധനയുടെ ഫലങ്ങൾ ചുവടെ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഒരു വ്യത്യാസ സ്കെയിലിന് സ്വാഭാവിക അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റ് ഉണ്ട്, എന്നാൽ സ്വാഭാവിക റഫറൻസ് പോയിൻ്റ് ഇല്ല. വർഷം (അല്ലെങ്കിൽ ദിവസം - ഉച്ച മുതൽ ഉച്ച വരെ) ഒരു സ്വാഭാവിക അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റായും ഇടവേളകളുടെ സ്കെയിലായും കണക്കാക്കിയാൽ, വ്യത്യാസങ്ങളുടെ സ്കെയിലിലാണ് സമയം അളക്കുന്നത്. പൊതുവായ കേസ്. അറിവിൻ്റെ നിലവിലെ തലത്തിൽ, ഒരു സ്വാഭാവിക ആരംഭ പോയിൻ്റ് സൂചിപ്പിക്കുക അസാധ്യമാണ്. വ്യത്യസ്ത രചയിതാക്കൾ ലോകത്തിൻ്റെ സൃഷ്ടിയുടെ തീയതി വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ കണക്കാക്കുന്നു, അതുപോലെ തന്നെ ക്രിസ്തുവിൻ്റെ നേറ്റിവിറ്റിയുടെ നിമിഷവും.

കേവല സ്കെയിലിൽ മാത്രം അളക്കൽ ഫലങ്ങൾ വാക്കിൻ്റെ സാധാരണ അർത്ഥത്തിലുള്ള സംഖ്യകളാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു മുറിയിലെ ആളുകളുടെ എണ്ണം. ഒരു കേവല സ്കെയിലിനായി, ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റി പരിവർത്തനം മാത്രമേ അനുവദിക്കൂ.

അനുബന്ധ വിജ്ഞാന മേഖലയുടെ വികസന പ്രക്രിയയിൽ, സ്കെയിലിൻ്റെ തരം മാറിയേക്കാം. അതിനാൽ, ആദ്യം താപനില ഒരു ഓർഡിനൽ സ്കെയിലിൽ (തണുത്ത - ചൂട്) അളന്നു. പിന്നെ - ഇടവേള അനുസരിച്ച് (സെൽഷ്യസ്, ഫാരൻഹീറ്റ്, റിയമുർ സ്കെയിലുകൾ). അവസാനമായി, കേവല പൂജ്യം കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം, താപനില ഒരു അനുപാത സ്കെയിലിൽ (കെൽവിൻ സ്കെയിൽ) അളക്കുന്നതായി കണക്കാക്കാം. ചില യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ ഏത് സ്കെയിലുകൾ ഉപയോഗിക്കണം എന്നതിനെക്കുറിച്ച് സ്പെഷ്യലിസ്റ്റുകൾക്കിടയിൽ ചിലപ്പോൾ അഭിപ്രായവ്യത്യാസങ്ങളുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അളവെടുപ്പ് പ്രക്രിയയിൽ സ്കെയിൽ തരം നിർണ്ണയിക്കുന്നതും ഉൾപ്പെടുന്നു (ഒരു പ്രത്യേക തരം സ്കെയിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനുള്ള യുക്തിസഹിതം). ലിസ്റ്റുചെയ്തിരിക്കുന്ന ആറ് പ്രധാന തരം സ്കെയിലുകൾക്ക് പുറമേ, മറ്റ് സ്കെയിലുകളും ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.

17. മാറ്റമില്ലാത്ത അൽഗോരിതങ്ങളും ശരാശരി മൂല്യങ്ങളും.

TI-യിലെ ഡാറ്റാ വിശകലന അൽഗോരിതങ്ങൾക്കുള്ള പ്രധാന ആവശ്യകത നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം: ഒരു പ്രത്യേക തരം സ്കെയിലിൽ അളക്കുന്ന ഡാറ്റയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വരച്ച നിഗമനങ്ങൾ ഈ ഡാറ്റയുടെ അളവെടുപ്പ് സ്കെയിൽ അനുവദനീയമാകുമ്പോൾ മാറരുത്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സാധുവായ സ്കെയിൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ അനുമാനങ്ങൾ മാറ്റമില്ലാത്തതായിരിക്കണം.

അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ വസ്തുക്കൾക്ക് സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുമ്പോൾ ഗവേഷകൻ്റെ ആത്മനിഷ്ഠതയെ ചെറുക്കുക എന്നതാണ് അളക്കൽ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന ലക്ഷ്യങ്ങളിലൊന്ന്. അങ്ങനെ, അർഷിൻസ്, മീറ്റർ, മൈക്രോൺ, മൈൽ, പാർസെക്കുകൾ, മറ്റ് അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകൾ എന്നിവയിൽ ദൂരം അളക്കാൻ കഴിയും. പിണ്ഡം (ഭാരം) - പൂഡ്, കിലോഗ്രാം, പൗണ്ട് മുതലായവയിൽ. ചരക്കുകളുടെയും സേവനങ്ങളുടെയും വിലകൾ യുവാൻ, റൂബിൾസ്, ടെൻഗെ, ഹ്രിവ്നിയ, ലാറ്റ്സ്, ക്രോണുകൾ, മാർക്ക്, യുഎസ് ഡോളർ, മറ്റ് കറൻസികൾ (നിർദ്ദിഷ്ട പരിവർത്തന നിരക്കുകൾക്ക് വിധേയമായി) എന്നിവയിൽ സൂചിപ്പിക്കാം. വളരെ വ്യക്തമാണെങ്കിലും, വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു വസ്തുത നമുക്ക് ഊന്നിപ്പറയാം: അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ഗവേഷകനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്. ആത്മനിഷ്ഠമായ. സ്കെയിലിൻ്റെ അനുവദനീയമായ പരിവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അവ മാറ്റമില്ലാത്തപ്പോൾ, ഗവേഷകൻ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന അളവിൻ്റെ യൂണിറ്റിനെ ആശ്രയിക്കാതെ മാത്രമേ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ യാഥാർത്ഥ്യത്തിന് പര്യാപ്തമാകൂ. ഇക്കണോമെട്രിക് ഡാറ്റ വിശകലനത്തിനുള്ള നിരവധി അൽഗോരിതങ്ങളിൽ, ചിലത് മാത്രമേ ഈ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുള്ളൂ. ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്തുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഇത് കാണിക്കാം.

X 1, X 2,.., X n എന്നത് വോളിയം n ൻ്റെ സാമ്പിൾ ആകട്ടെ. ഗണിത ശരാശരി പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഗണിത ശരാശരിയുടെ ഉപയോഗം വളരെ സാധാരണമാണ്, ഈ പദത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ വാക്ക് പലപ്പോഴും ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ആളുകൾ ശരാശരി ശമ്പളം, ശരാശരി വരുമാനം, നിർദ്ദിഷ്ട സാമ്പത്തിക ഡാറ്റയുടെ മറ്റ് ശരാശരികൾ എന്നിവയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു, അതായത് ഗണിത ശരാശരിയുടെ "ശരാശരി" എന്നർത്ഥം. ഈ പാരമ്പര്യം തെറ്റായ നിഗമനങ്ങളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. ഒരു സാങ്കൽപ്പിക സംരംഭത്തിലെ ജീവനക്കാരുടെ ശരാശരി ശമ്പളം (ശരാശരി വരുമാനം) കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് കാണിക്കാം. 100 തൊഴിലാളികളിൽ, 5 പേർക്ക് മാത്രമേ അതിനെ കവിയുന്ന ശമ്പളമുള്ളൂ, ശേഷിക്കുന്ന 95 പേരുടെ ശമ്പളം ഗണിത ശരാശരിയേക്കാൾ വളരെ കുറവാണ്. കാരണം വ്യക്തമാണ് - ഒരു വ്യക്തിയുടെ ശമ്പളം - ജനറൽ ഡയറക്ടർ - 95 തൊഴിലാളികളുടെ ശമ്പളം കവിയുന്നു - കുറഞ്ഞ വൈദഗ്ധ്യവും ഉയർന്ന വൈദഗ്ധ്യവുമുള്ള തൊഴിലാളികൾ, എഞ്ചിനീയർമാർ, ഓഫീസ് ജീവനക്കാർ. 10 രോഗികളുള്ള ഒരു ആശുപത്രിയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു കഥയിൽ വിവരിച്ച സാഹചര്യം അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നു, അതിൽ 9 പേർക്ക് 40 ° C താപനിലയുണ്ട്, ഒരാൾ ഇതിനകം കഷ്ടപ്പെട്ടു, 0 ° താപനിലയിൽ മോർച്ചറിയിൽ കിടക്കുന്നു. സി. അതേസമയം, ആശുപത്രിയിലെ ശരാശരി താപനില 36 ° C ആണ് - ഇത് മെച്ചമായിരിക്കില്ല!

അതിനാൽ, ഗണിത ശരാശരി തികച്ചും ഏകതാനമായ ജനസംഖ്യയ്ക്ക് മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കാനാകൂ (ഒരു ദിശയിലോ മറ്റൊന്നിലോ വലിയ പുറംതള്ളലുകൾ ഇല്ലാതെ). വേതനം വിവരിക്കാൻ ഏത് ശരാശരിയാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്? മീഡിയൻ ഉപയോഗിക്കുന്നത് തികച്ചും സ്വാഭാവികമാണ് - 50-ഉം 51-ഉം ജീവനക്കാരുടെ ഗണിത ശരാശരി, അവരുടെ ശമ്പളംഇറക്കമില്ലാത്ത ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. ആദ്യം 40 കുറഞ്ഞ വൈദഗ്ധ്യമുള്ള തൊഴിലാളികളുടെ ശമ്പളം വരുന്നു, തുടർന്ന് - 41 മുതൽ 70-ാമത്തെ തൊഴിലാളി വരെ - ഉയർന്ന വൈദഗ്ധ്യമുള്ള തൊഴിലാളികളുടെ ശമ്പളം. തൽഫലമായി, ശരാശരി അവരുടെ മേൽ പ്രത്യേകമായി വീഴുകയും 200 ന് തുല്യമാണ്. 50 തൊഴിലാളികൾക്ക്, ശമ്പളം 200 കവിയരുത്, 50 - കുറഞ്ഞത് 200, അതിനാൽ പഠിച്ച മൂല്യങ്ങളിൽ ഭൂരിഭാഗവും "കേന്ദ്രം" കാണിക്കുന്നു. ഗ്രൂപ്പുചെയ്തിരിക്കുന്നു. മറ്റൊരു ശരാശരി മൂല്യം മോഡ് ആണ്, മിക്കപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്ന മൂല്യം. പരിഗണനയിലുള്ള സാഹചര്യത്തിൽ, ഇത് കുറഞ്ഞ വൈദഗ്ധ്യമുള്ള തൊഴിലാളികളുടെ വേതനമാണ്, അതായത്. 100. അങ്ങനെ, ശമ്പളം വിവരിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് ശരാശരി മൂല്യങ്ങളുണ്ട് - മോഡ് (100 യൂണിറ്റുകൾ), മീഡിയൻ (200 യൂണിറ്റുകൾ), ഗണിത ശരാശരി (400 യൂണിറ്റുകൾ).

യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിൽ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്ന വരുമാനത്തിനും വേതന വിതരണത്തിനും, അതേ പാറ്റേൺ ശരിയാണ്: മോഡ് മീഡിയനേക്കാൾ കുറവാണ്, മീഡിയൻ ഗണിത ശരാശരിയേക്കാൾ കുറവാണ്.

എന്തിനാണ് സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ ശരാശരി ഉപയോഗിക്കുന്നത്? ശരാശരി ഉപയോഗിച്ച് പോപ്പുലേഷനുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിനായി സാധാരണ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശേഖരത്തെ ഒരൊറ്റ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, Y 1, Y 2,..., Y n എന്നത് വൈദഗ്ധ്യമുള്ള ഒരു ഒബ്ജക്റ്റിന് "നൽകിയ" വിദഗ്ദ്ധ വിലയിരുത്തലുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം ആകട്ടെ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കമ്പനിയുടെ തന്ത്രപരമായ വികസനത്തിനുള്ള ഓപ്ഷനുകളിലൊന്ന്), Z 1 , Z 2,..., Z n -രണ്ടാം (ഈ വികസനത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു പതിപ്പ്). ഈ ജനസംഖ്യയെ എങ്ങനെ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു? വ്യക്തമായും, ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള മാർഗ്ഗം ശരാശരി മൂല്യങ്ങളാണ്.

ശരാശരി എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? അറിയപ്പെടുന്നത് പല തരംശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ: ഗണിത ശരാശരി, മീഡിയൻ, മോഡ്, ജ്യാമിതീയ ശരാശരി, ഹാർമോണിക് ശരാശരി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ശരാശരി. നമുക്ക് അത് ഓർക്കാം പൊതു ആശയംപത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ ആദ്യ പകുതിയിലെ ഒരു ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് ശരാശരി മൂല്യം അവതരിപ്പിച്ചത്. അക്കാദമിഷ്യൻ ഒ.കൗച്ചി. ഇത് ഇപ്രകാരമാണ്: ശരാശരി മൂല്യം ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്ഷൻ Ф(Х 1, Х 2,..., Х n) അതായത്, ആർഗ്യുമെൻ്റുകളുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും, ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതിലും കുറവല്ല സംഖ്യകളുടെ X 1, X 2,... , X n , കൂടാതെ ഈ സംഖ്യകളുടെ പരമാവധിയിൽ കൂടുതലാകരുത്. മുകളിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്തിരിക്കുന്ന എല്ലാത്തരം ശരാശരികളും കൗച്ചി ശരാശരികളാണ്.

സ്വീകാര്യമായ സ്കെയിൽ പരിവർത്തനത്തോടെ, ശരാശരിയുടെ മൂല്യം വ്യക്തമായും മാറുന്നു. എന്നാൽ ഏത് ജനസംഖ്യയ്ക്ക് ശരാശരി കൂടുതലാണ്, ഏതാണ് കുറവ് എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള നിഗമനങ്ങൾ മാറരുത് (നിഗമനങ്ങളുടെ മാറ്റത്തിൻ്റെ ആവശ്യകതയ്ക്ക് അനുസൃതമായി, ടിഐയിലെ പ്രധാന ആവശ്യകതയായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു). അനുവദനീയമായ സ്കെയിൽ പരിവർത്തനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സ്ഥിരതയുള്ള ശരാശരി മൂല്യങ്ങളുടെ തരം തിരയുന്നതിനുള്ള അനുബന്ധ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നം നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം.

Ф(Х 1 Х 2 ,..., Х n) Cauchy ശരാശരി ആയിരിക്കട്ടെ. ആദ്യത്തെ ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി, രണ്ടാമത്തെ ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരിയേക്കാൾ കുറവായിരിക്കട്ടെ: അപ്പോൾ, TI അനുസരിച്ച്, ശരാശരി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിൻ്റെ ഫലത്തിൻ്റെ സ്ഥിരതയ്ക്ക്, അനുവദനീയമായ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് g. അനുബന്ധ സ്കെയിൽ, ആദ്യ പോപ്പുലേഷനിൽ നിന്നുള്ള രൂപാന്തരപ്പെട്ട മൂല്യങ്ങളുടെ ശരാശരി രണ്ടാമത്തെ സെറ്റിൻ്റെ രൂപാന്തരപ്പെട്ട മൂല്യങ്ങളുടെ ശരാശരിയേക്കാൾ കുറവാണെന്നത് ശരിയാണ്. മാത്രമല്ല, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സെറ്റുകൾക്ക് Y 1, Y 2,...,Y n, Z 1, Z 2,..., Z n എന്നിവയ്‌ക്കും അനുവദനീയമായ ഏതെങ്കിലും പരിവർത്തനത്തിനും രൂപപ്പെടുത്തിയ വ്യവസ്ഥ ശരിയായിരിക്കണം. അനുവദനീയമായ (അനുയോജ്യമായ സ്കെയിലിൽ) രൂപപ്പെടുത്തിയ വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ശരാശരി മൂല്യങ്ങളെ ഞങ്ങൾ വിളിക്കുന്നു. TI പ്രകാരം, പരിഗണനയിലുള്ള സ്കെയിലിൽ അളക്കുന്ന വിദഗ്ധ അഭിപ്രായങ്ങളും മറ്റ് ഡാറ്റയും വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ അത്തരം ശരാശരികൾ മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കാനാകൂ.

ഉപയോഗിച്ച് ഗണിത സിദ്ധാന്തം, 1970-കളിൽ വികസിപ്പിച്ചത്, അടിസ്ഥാന സ്കെയിലുകളിൽ സ്വീകാര്യമായ ശരാശരിയുടെ തരം വിവരിക്കാൻ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. പേരുകളുടെ സ്കെയിലിൽ അളക്കുന്ന ഡാറ്റയ്ക്ക്, ശരാശരി മോഡ് മാത്രമേ അനുയോജ്യമാകൂ എന്നത് വ്യക്തമാണ്.

18. ഒരു ഓർഡിനൽ സ്കെയിലിൽ ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ

ഒരു ഓർഡിനൽ സ്കെയിലിൽ അളക്കുന്ന വിദഗ്ദ്ധ അഭിപ്രായങ്ങളുടെ പ്രോസസ്സിംഗ് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവന ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം1 . എല്ലാ Cauchy ശരാശരികളിലും, ഓർഡിനൽ സ്കെയിലിലെ സ്വീകാര്യമായ ശരാശരികൾ മാത്രമാണ് നിബന്ധനകൾ വ്യതിയാന പരമ്പര(ഓർഡിനൽ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ).

ശരാശരി Ф(Х 1 Х 2 ,..., Х n) ഒരു തുടർച്ചയായ (വേരിയബിളുകളുടെ ഗണത്തിൽ) സമമിതി ഫംഗ്‌ഷനാണെങ്കിൽ സിദ്ധാന്തം 1 സാധുവാണ്. രണ്ടാമത്തേത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം Ф(Х 1 Х 2 ,..., Х n) മാറില്ല എന്നാണ്. ഈ അവസ്ഥ തികച്ചും സ്വാഭാവികമാണ്, കാരണം മൊത്തത്തിലുള്ള (സെറ്റ്) ശരാശരി മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അല്ലാതെ ക്രമത്തിനല്ല. ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ ലിസ്റ്റ് ചെയ്യുന്ന ക്രമത്തെ ആശ്രയിച്ച് സെറ്റ് മാറില്ല.

സിദ്ധാന്തം 1 അനുസരിച്ച്, പ്രത്യേകിച്ച്, ഒരു ഓർഡിനൽ സ്കെയിലിൽ അളക്കുന്ന ഡാറ്റയുടെ ശരാശരിയായി മീഡിയൻ ഉപയോഗിക്കാം (സാമ്പിൾ വലുപ്പം വിചിത്രമാണെങ്കിൽ). വോളിയം തുല്യമാണെങ്കിൽ, വ്യതിയാന ശ്രേണിയുടെ രണ്ട് കേന്ദ്ര പദങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഉപയോഗിക്കണം - അവ ചിലപ്പോൾ വിളിക്കപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഇടത് മീഡിയൻ അല്ലെങ്കിൽ വലത് മീഡിയൻ. ഫാഷനും ഉപയോഗിക്കാം - ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യതിയാന പരമ്പരയിലെ അംഗമാണ്. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരിക്കലും ഗണിത ശരാശരി, ജ്യാമിതീയ ശരാശരി മുതലായവ കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം 2. Y 1, Y 2,...,Y m ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻ F(x), കൂടാതെ Z 1, Z 2,..., ഫംഗ്‌ഷൻ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനുകൾക്കൊപ്പം Zn സ്വതന്ത്രമായി ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്‌ത റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സ്വതന്ത്രമായി വിതരണം ചെയ്‌ത റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ആയിരിക്കട്ടെ. H(x), കൂടാതെ Y 1, Y 2,...,Y m, Z 1, Z 2,..., Z n എന്നിവ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമാണ് കൂടാതെ MY X > MZ X ഏതെങ്കിലും കർശനമായി വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനത്തിന് ഒരു ഇവൻ്റിൻ്റെ സംഭാവ്യത 1-ൽ min(m, n) ആയി മാറുന്നതിന്, വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന g i |>X, F(x) അസമത്വം എല്ലാവർക്കും തൃപ്തിപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്. x< Н(х), причем существовало число х 0 , для которого F(x 0)

കുറിപ്പ്.ഉയർന്ന പരിധിയിലുള്ള അവസ്ഥ പൂർണ്ണമായും ഇൻട്രാ-ഗണിത സ്വഭാവമുള്ളതാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഫംഗ്ഷൻ g എന്നത് ഒരു ഓർഡിനൽ സ്കെയിലിൽ അനുവദനീയമായ പരിവർത്തനമാണ്.

സിദ്ധാന്തം 2 അനുസരിച്ച്, സിദ്ധാന്തത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന രണ്ട് വിതരണങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള സാമ്പിളുകൾ താരതമ്യം ചെയ്താൽ ഗണിത ശരാശരി ഒരു ഓർഡിനൽ സ്കെയിലിലും ഉപയോഗിക്കാം. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷനുകളിലൊന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും മറ്റൊന്നിന് മുകളിലായിരിക്കണം. ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വിഭജിക്കാൻ കഴിയില്ല, അവ പരസ്പരം സ്പർശിക്കാൻ മാത്രമേ അനുവദിക്കൂ. ഈ അവസ്ഥ പാലിക്കപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, വിതരണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഷിഫ്റ്റിൽ മാത്രം വ്യത്യാസപ്പെട്ടാൽ:

F(x) = Н(x + ∆)

ചിലർക്ക് ∆.

ഒരേ അളവെടുക്കൽ ഉപകരണം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നിശ്ചിത അളവിൻ്റെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ അളക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവസാനത്തെ വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്, അതിൽ സംശയാസ്പദമായ അളവിൻ്റെ ഒരു മൂല്യം അളക്കുന്നതിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറുമ്പോൾ പിശകുകളുടെ വിതരണം മാറില്ല.

Kolmogorov പ്രകാരം ശരാശരി

മുകളിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്തിരിക്കുന്ന നിരവധി ശരാശരികളുടെ പൊതുവൽക്കരണം കോൾമോഗോറോവ് ശരാശരിയാണ്. X 1, X 2,..., X n എന്നീ സംഖ്യകൾക്ക്, കോൾമോഗോറോവ് ശരാശരി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

G((F(X l) + F(X 2)+...F(X n))/n),

ഇവിടെ F ഒരു കർശനമായ ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനമാണ് (അതായത് കർശനമായി വർദ്ധിക്കുകയോ കർശനമായി കുറയുകയോ ചെയ്യുന്നു),

F ൻ്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ് G.

കോൾമോഗോറോവിൻ്റെ ശരാശരികളിൽ അറിയപ്പെടുന്ന നിരവധി കഥാപാത്രങ്ങളുണ്ട്. അതിനാൽ, F(x) = x ആണെങ്കിൽ, കോൾമോഗോറോവ് ശരാശരി ഗണിത ശരാശരിയാണ്, F(x) = lnx ആണെങ്കിൽ, ജ്യാമിതീയ ശരാശരി, F(x) = 1/x ആണെങ്കിൽ, പിന്നെ ഹാർമോണിക് ശരാശരി, F( എങ്കിൽ x) = x 2, തുടർന്ന് ശരാശരി ചതുരം മുതലായവ. കോൾമോഗോറോവ് ശരാശരി കൗച്ചി ശരാശരിയുടെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്. മറുവശത്ത്, മീഡിയൻ, മോഡ് തുടങ്ങിയ ജനപ്രിയ ശരാശരികളെ കോൾമോഗോറോവ് ശരാശരിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകൾ മോണോഗ്രാഫിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

സിദ്ധാന്തം3 . ഇൻ്റർവെൽ സ്കെയിലിലെ ക്രമാനുഗതതയുടെ ചില ഇൻട്രാമാത്തമാറ്റിക്കൽ വ്യവസ്ഥകൾ സാധുവാണെങ്കിൽ, കോൾമോഗോറോവിൻ്റെ എല്ലാ മാർഗങ്ങളിലും, ഗണിത ശരാശരി മാത്രമേ സ്വീകാര്യമാകൂ. അതിനാൽ, താപനിലയുടെ (സെൽഷ്യസിൽ) അല്ലെങ്കിൽ ദൂരങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരി അല്ലെങ്കിൽ റൂട്ട് ശരാശരി ചതുരം അർത്ഥശൂന്യമാണ്. ഗണിത ശരാശരി ശരാശരിയായി ഉപയോഗിക്കണം. നിങ്ങൾക്ക് മീഡിയൻ അല്ലെങ്കിൽ മോഡ് ഉപയോഗിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം 4. അനുപാതങ്ങളുടെ സ്കെയിലിലെ ക്രമാനുഗതതയുടെ ചില ഇൻട്രാമാത്തമാറ്റിക്കൽ വ്യവസ്ഥകൾ സാധുവാണെങ്കിൽ, എല്ലാ കോൾമോഗോറോവിൻ്റെ ശരാശരിയിലും, F(x) = x c, ജ്യാമിതീയ ശരാശരി എന്നിവയുള്ള പവർ ശരാശരികൾ മാത്രമേ സ്വീകാര്യമാകൂ.

അഭിപ്രായം. സി > 0 എന്നതിനുള്ള പവർ മാർഗങ്ങളുടെ പരിധിയാണ് ജ്യാമിതീയ ശരാശരി.

അനുപാത സ്കെയിലിൽ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയാത്ത കോൾമോഗോറോവ് ശരാശരികൾ ഉണ്ടോ? തീർച്ചയായും ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന് F(x) = e x.

ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾക്ക് സമാനമായി, മറ്റ് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ പഠിക്കാൻ കഴിയും - സ്കാറ്റർ, കണക്ഷൻ, ദൂരം മുതലായവയുടെ സൂചകങ്ങൾ. ഉദാഹരണമായി, ചിതറിക്കിടക്കുന്നതിൻ്റെ അനുപാതം പോലെ, ഇടവേളകളുടെ ഒരു പാത്രത്തിൽ അനുവദനീയമായ പരിവർത്തനത്തിനൊപ്പം പരസ്പര ബന്ധ ഗുണകം മാറുന്നില്ലെന്ന് കാണിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല അനുപാതങ്ങളുടെ അളവ് മുതലായവ.

ശരാശരി മൂല്യങ്ങളിൽ മുകളിലുള്ള ഫലങ്ങൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം, മാനേജ്മെൻ്റ്, വിദഗ്ദ്ധ വിലയിരുത്തൽ സിദ്ധാന്തം അല്ലെങ്കിൽ സോഷ്യോളജി എന്നിവയിൽ മാത്രമല്ല, എഞ്ചിനീയറിംഗിലും, ഉദാഹരണത്തിന്, സ്ഫോടന ചൂളകളുടെ ഓട്ടോമേറ്റഡ് പ്രോസസ് കൺട്രോൾ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ സെൻസറുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ വിശകലനം ചെയ്യാൻ. സ്റ്റാൻഡേർഡൈസേഷൻ്റെയും ഗുണനിലവാര മാനേജുമെൻ്റിൻ്റെയും പ്രശ്നങ്ങളിൽ ടിഐക്ക് വലിയ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യമുണ്ട്, പ്രത്യേകിച്ചും ക്വാളിമെട്രിയിൽ, രസകരമായ സൈദ്ധാന്തിക ഫലങ്ങൾ ലഭിച്ചിട്ടുണ്ട്. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഉൽപ്പന്ന ഗുണനിലവാരത്തിൻ്റെ വ്യക്തിഗത സൂചകങ്ങളുടെ ഭാരം ഗുണകങ്ങളിലെ ഏതെങ്കിലും മാറ്റം വെയ്റ്റഡ് ശരാശരി സൂചകം അനുസരിച്ച് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ക്രമത്തിൽ മാറ്റത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു (ഈ സിദ്ധാന്തം പ്രൊഫ. വി.വി. പോഡിനോവ്സ്കി തെളിയിച്ചു). തൽഫലമായി, ടിഐയെയും അതിൻ്റെ രീതികളെയും കുറിച്ചുള്ള മേൽപ്പറഞ്ഞ സംക്ഷിപ്ത വിവരങ്ങൾ, ഒരർത്ഥത്തിൽ, സാമ്പത്തികശാസ്ത്രം, സാമൂഹ്യശാസ്ത്രം, എഞ്ചിനീയറിംഗ് സയൻസുകൾ എന്നിവ സംയോജിപ്പിക്കുകയും മുമ്പ് ഫലപ്രദമായ വിശകലനത്തിന് അനുയോജ്യമല്ലാത്ത സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മതിയായ ഉപകരണമാണ്. റിയലിസ്റ്റിക് മോഡലുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനും പ്രവചന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനും വഴി തുറക്കുന്നു.

22. ജോടിയാക്കിയ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ

നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ജോഡിവൈസ് ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസിൻ്റെ കൂടുതൽ വിശദമായ പഠനത്തിലേക്ക് തിരിയാം. ഒരു നേർരേഖ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രവർത്തന ബന്ധമാണ് ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ വിവരിക്കുന്നത്, ഇത് മോഡൽ പാരാമീറ്ററുകളുടെ (സമവാക്യ ഗുണകങ്ങൾ) സുതാര്യമായ വ്യാഖ്യാനത്താൽ സവിശേഷതയാണ്. റിഗ്രസറിൻ്റെ (വിശദീകരണ വേരിയബിൾ) നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഫലമായുണ്ടാകുന്ന (വിശദീകരിക്കപ്പെട്ട) വേരിയബിളിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക (കണക്കെടുത്ത) മൂല്യങ്ങൾ നേടാൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ മൂല്യങ്ങളെ ചിലപ്പോൾ പ്രവചിക്കപ്പെട്ടത് എന്നും വിളിക്കുന്നു (അതേ അർത്ഥത്തിൽ), അതായത്. സൈദ്ധാന്തിക സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ചത്. എന്നിരുന്നാലും, ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കുമ്പോൾ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ ഇപ്പോഴും അജ്ഞാതമായി തുടരുന്നു. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഈ ഗുണകങ്ങളുടെ ഏകദേശ മൂല്യങ്ങൾ നേടുന്നത് വിവിധ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് സാധ്യമാണ്.

എന്നാൽ അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതും വ്യാപകവുമായത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സ്ക്വയർ രീതിയാണ് (OLS). കണക്കാക്കിയ (സൈദ്ധാന്തിക) ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളുടെ സ്ക്വയർ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കുറയ്ക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് (ഇതിനകം വിശദീകരിച്ചതുപോലെ). സൈദ്ധാന്തിക മൂല്യങ്ങൾക്ക് പകരം (അവ നേടുന്നതിന്), റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലത് വശങ്ങൾ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, തുടർന്ന് ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക (യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളുടെ സ്ക്വയർ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക. സൈദ്ധാന്തികമായവയിൽ നിന്നുള്ള ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവം). ഈ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ എടുത്തിരിക്കുന്നത് x, y എന്നീ വേരിയബിളുകളെ സംബന്ധിച്ചല്ല, മറിച്ച് a, b എന്നീ പാരാമീറ്ററുകളെ സംബന്ധിച്ചാണ്. ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, ലളിതവും എന്നാൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതുമായ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പാരാമീറ്ററുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന് സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം ലഭിക്കും. വേരിയബിളിൻ്റെ ഗുണകം x, അതായത്. b യെ റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് ഒരു യൂണിറ്റിൻ്റെ ഘടകത്തിലെ മാറ്റത്തിലൂടെ ഫലത്തിലെ ശരാശരി മാറ്റം കാണിക്കുന്നു. a പരാമീറ്ററിന് സാമ്പത്തിക വ്യാഖ്യാനം ഉണ്ടാകണമെന്നില്ല, പ്രത്യേകിച്ചും ഈ ഗുണകത്തിൻ്റെ അടയാളം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ.

ഉപഭോഗ പ്രവർത്തനം പഠിക്കാൻ പെയർവൈസ് ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഗുണിതം കണക്കാക്കാൻ ഉപഭോഗ പ്രവർത്തനത്തിലെ റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. മിക്കവാറും എല്ലായ്‌പ്പോഴും, റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം കണക്ഷൻ്റെ സാമീപ്യത്തിൻ്റെ ഒരു സൂചകത്തോടൊപ്പം അനുബന്ധമാണ്. ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ, കണക്ഷൻ്റെ അടുപ്പത്തിൻ്റെ ഈ സൂചകം രേഖീയ ഗുണകംപരസ്പര ബന്ധങ്ങൾ. എന്നാൽ ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഒരു രേഖീയ രൂപത്തിൽ സവിശേഷതകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ സാമീപ്യത്തെ ചിത്രീകരിക്കുന്നതിനാൽ, ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് പൂജ്യത്തിലേക്കുള്ള സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യത്തിൻ്റെ സാമീപ്യം ഇതുവരെ സവിശേഷതകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ അഭാവത്തിൻ്റെ സൂചകമായി വർത്തിക്കുന്നില്ല.

ഇത് മോഡൽ സ്പെസിഫിക്കേഷൻ്റെ വ്യത്യസ്തമായ ചോയ്‌സ് ഉപയോഗിച്ചാണ്, അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ ബന്ധം ഐക്യത്തോട് വളരെ അടുത്തായി മാറിയേക്കാം. എന്നാൽ തിരഞ്ഞെടുക്കലിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം രേഖീയ പ്രവർത്തനംലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റെ ചതുരം ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു - നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകം. ഫലപ്രദമായ ആട്രിബ്യൂട്ടിൻ്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള വ്യതിയാനത്തിൽ റിഗ്രഷൻ വഴി വിശദീകരിക്കുന്ന ഫലപ്രദമായ ആട്രിബ്യൂട്ടിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തെ ഇത് വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു. നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകം 1 ലേക്ക് പൂരകമാക്കുന്ന മൂല്യം, മോഡലിൽ (അവശിഷ്ട വ്യതിയാനം) കണക്കിലെടുക്കാത്ത മറ്റ് ഘടകങ്ങളുടെ സ്വാധീനം മൂലമുണ്ടാകുന്ന വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പങ്ക് വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു.

ജോടിയാക്കിയ റിഗ്രഷൻ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിൻ്റെ y, x എന്നീ രണ്ട് വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

ഇവിടെ y എന്നത് ആശ്രിത വേരിയബിളാണ് (ഫലപ്രദമായ ആട്രിബ്യൂട്ട്), x എന്നത് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളാണ് (വിശദീകരണ വേരിയബിൾ, അല്ലെങ്കിൽ ആട്രിബ്യൂട്ട് ഫാക്ടർ). ലീനിയർ റിഗ്രഷനും നോൺലീനിയർ റിഗ്രഷനും ഉണ്ട്. ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യത്താൽ വിവരിക്കുന്നു:

y = a+ bx + .

വിശകലനത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വിശദീകരണ വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നോൺ-ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ നോൺ-ലീനിയർ ആകാം, എന്നാൽ കണക്കാക്കിയ പാരാമീറ്ററുകളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം രേഖീയമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ കണക്കാക്കിയിരിക്കുന്ന പരാമീറ്ററുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ റിഗ്രഷൻ രേഖീയമല്ല. വിശദീകരണ വേരിയബിളുകളിൽ രേഖീയമല്ലാത്തതും എന്നാൽ കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്ററുകളിൽ രേഖീയവുമായ റിഗ്രഷൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ വിവിധ ഡിഗ്രികളുടെ (പോളിനോമിയലുകൾ) പോളിനോമിയൽ ഡിപൻഡൻസികളും ഒരു ഇക്വിലാറ്ററൽ ഹൈപ്പർബോളയും ഉൾപ്പെടുന്നു.

കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്ററുകൾക്കുള്ള നോൺ-ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ എന്നത് പരാമീറ്ററുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പവർ ഡിപൻഡൻസാണ് (പാരാമീറ്റർ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിലാണ്), ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ആശ്രിതത്വമാണ്, അവിടെ പരാമീറ്റർ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ അടിത്തട്ടിലാണ്, കൂടാതെ ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ആശ്രിതത്വം, മുഴുവൻ ലീനിയർ ആശ്രിതത്വവും പൂർണ്ണമായും ആയിരിക്കുമ്പോൾ. ഘാതകത്തിൽ. ഈ മൂന്ന് സാഹചര്യങ്ങളിലും ക്രമരഹിതമായ ഘടകം (റാൻഡം ബാക്കി)  ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് വലത് വശംഒരു ഘടകത്തിൻ്റെ രൂപത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ, ഒരു സംഗ്രഹത്തിൻ്റെ രൂപത്തിലല്ല, അതായത്. ഗുണനപരമായി! തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ കണക്കാക്കിയ മൂല്യങ്ങളുടെ ശരാശരി വ്യതിയാനം യഥാർത്ഥത്തിൽ നിന്ന് ശരാശരി ഏകദേശ പിശകിൻ്റെ സവിശേഷതയാണ്. ഇത് ഒരു ശതമാനമായി പ്രകടിപ്പിക്കുകയും 7-8% കവിയാൻ പാടില്ല. ഈ ഏകദേശ പിശക് യഥാർത്ഥവും കണക്കാക്കിയതുമായ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങളുടെ ആപേക്ഷിക മാഗ്നിറ്റ്യൂഡിൻ്റെ ശതമാനം ശരാശരിയാണ്.

പല സാമ്പത്തിക പ്രതിഭാസങ്ങളുടെയും പ്രക്രിയകളുടെയും ഒരു പ്രധാന സ്വഭാവമായി വർത്തിക്കുന്ന ശരാശരി ഇലാസ്തികത ഗുണകം പ്രധാനമാണ്. തന്നിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തന ബന്ധത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യത്തിൻ്റെയും x ൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൻ്റെയും y യുടെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെയും ഗുണനമായാണ് ഇത് കണക്കാക്കുന്നത്. ഫാക്ടർ x അതിൻ്റെ (ഫാക്ടർ x) ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് 1% മാറുമ്പോൾ ഫലം y അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് എത്ര ശതമാനം മാറുമെന്ന് ഇലാസ്തികതാ ഗുണകം കാണിക്കുന്നു.

വേരിയൻസിൻ്റെ വിശകലനത്തിൻ്റെ പ്രശ്നങ്ങൾ ജോഡിവൈസ് റിഗ്രഷനും മൾട്ടിപ്പിൾ റിഗ്രഷനും (പല ഘടകങ്ങളും ഉള്ളപ്പോൾ) ശേഷിക്കുന്ന വ്യതിയാനവുമായി അടുത്ത ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ വിശകലനംആശ്രിത വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യത്യാസം പരിശോധിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെ തുക രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. റിഗ്രഷൻ മൂലമുള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ് ആദ്യ പദം, അല്ലെങ്കിൽ വിശദീകരിച്ചത് (ഘടകാംശം). രണ്ടാമത്തെ പദം ഫാക്ടർ റിഗ്രഷൻ വഴി വിശദീകരിക്കാനാകാത്ത ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ശേഷിക്കുന്ന തുകയാണ്.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവസവിശേഷതയായ y യുടെ മൊത്തം വേരിയൻസിൽ റിഗ്രഷൻ വഴി വിശദീകരിക്കുന്ന വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പങ്ക്, നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകം (സൂചിക) ആണ്, ഇത് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെ തുകയിലേക്കുള്ള റിഗ്രഷൻ മൂലമുള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ അനുപാതമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല. (മൊത്തം തുകയുടെ ആദ്യ പദം).

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സ്ക്വയർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് മോഡൽ പാരാമീറ്ററുകൾ (അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങൾ) നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ, സാരാംശത്തിൽ, ചില ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു (എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ നേടുന്ന പ്രക്രിയയിൽ). ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ചില പ്രത്യേക രൂപമായ റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നതാണ് പ്രത്യേക പ്രാധാന്യം. ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ സമവാക്യത്തിലെ (മോഡലിൽ) ശേഷിക്കുന്ന പദത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ജോടിയാക്കിയ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ മോഡലിന്, വിശദീകരണ വേരിയബിൾ x ഒരു നോൺ-റാൻഡം എക്സോജനസ് വേരിയബിളായി പരിഗണിക്കുക. ഇതിനർത്ഥം, എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളിലെയും വേരിയബിൾ x ൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ചതായി കണക്കാക്കാമെന്നും പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള ആശ്രിതത്വവുമായി യാതൊരു തരത്തിലും ബന്ധമില്ലാത്തതുമാണ്. അങ്ങനെ, വിശദീകരിച്ച വേരിയബിളിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: ക്രമരഹിതവും ക്രമരഹിതവുമായ ഘടകം (അവശിഷ്ട കാലാവധി).

മറുവശത്ത്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സ്ക്വയർ രീതി (OLS) ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുന്ന റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്, x, y എന്നീ വേരിയബിളുകളുടെ കോവേറിയൻസിനെ x ൻ്റെ വേരിയൻസ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ അതിൽ ക്രമരഹിതമായ ഒരു ഘടകവും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. എല്ലാത്തിനുമുപരി, കോവേരിയൻസ് y എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, ഇവിടെ y എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ ക്രമരഹിതമായ ശേഷിക്കുന്ന പദത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. കൂടാതെ, x, y എന്നീ വേരിയബിളുകളുടെ സഹവർത്തിത്വം കണക്കാക്കിയ റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ബീറ്റയുടെ () ഗുണനത്തിനും x വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിനും x,  എന്നീ വേരിയബിളുകളുടെ കോവേരിയൻസിനും തുല്യമാണെന്ന് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. അങ്ങനെ, റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ബീറ്റയുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ഈ അജ്ഞാത റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റിന് തുല്യമാണ്, ഇത് x,  എന്നീ വേരിയബിളുകളുടെ കോവേരിയൻസിനെ വേരിയബിൾ x ൻ്റെ വ്യതിയാനം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഘടകത്തിലേക്ക് ചേർത്തു. ആ. ഏതെങ്കിലും സാമ്പിളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് b യുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു: ഗുണകത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യത്തിന് തുല്യമായ സ്ഥിരമായ മൂല്യം (ബീറ്റ), കൂടാതെ x,  എന്നീ വേരിയബിളുകളുടെ സഹവർത്തിത്വത്തെ ആശ്രയിച്ച് ക്രമരഹിതമായ ഘടകം .

23. ഗണിതശാസ്ത്ര ഗാസ്-മാർക്കോവ് വ്യവസ്ഥകളും അവയുടെ പ്രയോഗവും.

മികച്ച ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന് സാധാരണ OLS അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള റിഗ്രഷൻ വിശകലനത്തിന്, ക്രമരഹിതമായ പദം നാല് ഗാസ്-മാർക്കോവ് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കണം.

ക്രമരഹിതമായ പദത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. അത് പക്ഷപാതരഹിതമാണ്. റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു സ്ഥിരമായ പദം ഉൾപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ ആവശ്യകത നിറവേറ്റുന്നതായി പരിഗണിക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്, കാരണം ഇത് ഒരു സ്ഥിരമായ പദമാണ്, കൂടാതെ y എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളിലെ ഏതെങ്കിലും വ്യവസ്ഥാപിത പ്രവണത കണക്കിലെടുക്കണം, മറിച്ച്, റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിശദീകരണ വേരിയബിളുകളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കരുത്.

എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങൾക്കും ക്രമരഹിതമായ പദത്തിൻ്റെ വ്യത്യാസം സ്ഥിരമാണ്.

മൂല്യങ്ങളുടെ സഹവർത്തിത്വം ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ, സാമ്പിൾ രൂപീകരിക്കുന്നത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം, അതായത്. ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പ്രത്യേക നിരീക്ഷണങ്ങളിൽ ക്രമരഹിതമായ പദത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിൽ വ്യവസ്ഥാപിതമായ ബന്ധമില്ല. ക്രമരഹിതമായ അംഗങ്ങൾ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രരായിരിക്കണം.

ക്രമരഹിതമായ പദത്തിൻ്റെ വിതരണ നിയമം വിശദീകരണ വേരിയബിളുകളിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായിരിക്കണം.

മാത്രമല്ല, പല പ്രയോഗങ്ങളിലും വിശദീകരണ വേരിയബിളുകൾ സ്ഥാപിതമല്ല, അതായത്. ക്രമരഹിതമായ ഒരു ഘടകം ഇല്ല. റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൽ കണക്കിലെടുക്കാത്ത ബാഹ്യ കാരണങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്നത്, ഓരോ നിരീക്ഷണത്തിലെയും ഏതെങ്കിലും സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം ബാഹ്യമായി കണക്കാക്കണം.

നിർദ്ദിഷ്ട ഗാസ്-മാർക്കോവ് വ്യവസ്ഥകൾക്കൊപ്പം, ക്രമരഹിതമായ പദത്തിന് ഒരു സാധാരണ വിതരണമുണ്ടെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. ഇത് വളരെ വിശാലമായ സാഹചര്യങ്ങളിൽ സാധുതയുള്ളതും കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തം (CLT) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതുമാണ്. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സാരം, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ മറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ പ്രതിപ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള ഫലമാണെങ്കിൽ, ഇവയൊന്നും ഈ മൊത്തത്തിലുള്ള ഫലത്തിൻ്റെ സ്വഭാവത്തിൽ പ്രധാന സ്വാധീനം ചെലുത്തുന്നില്ലെങ്കിൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ വിവരിക്കപ്പെടും എന്നതാണ്. ഏകദേശം സാധാരണ വിതരണം വഴി. ഈ സാമീപ്യം സാധാരണ വിതരണംഎസ്റ്റിമേറ്റുകൾ ലഭിക്കുന്നതിന് സാധാരണ വിതരണം ഉപയോഗിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു ഒരു പ്രത്യേക അർത്ഥത്തിൽഅതിൻ്റെ സാമാന്യവൽക്കരണം വിദ്യാർത്ഥി വിതരണമാണ്, ഇത് സാധാരണയിൽ നിന്ന് പ്രധാനമായും "വാലുകൾ" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അതായത്. ചെറിയ സാമ്പിൾ വലുപ്പങ്ങൾക്ക്. ക്രമരഹിതമായ പദം സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, റിഗ്രഷൻ ഗുണകങ്ങളും സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടും എന്നതും പ്രധാനമാണ്.

സ്ഥാപിതമായ റിഗ്രഷൻ കർവ് (റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം) പോയിൻ്റ് പ്രവചനം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. അത്തരം കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ, x ൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യം പഠിച്ച നിരീക്ഷണ ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്ത് എടുക്കുകയും റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ (എക്‌സ്‌ട്രാപോളേഷൻ നടപടിക്രമം) വലതുവശത്ത് പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. കാരണം റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ ഇതിനകം തന്നെ അറിയാം, തുടർന്ന് x ൻ്റെ എടുത്ത മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിശദീകരിക്കപ്പെട്ട y യുടെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ സാധിക്കും. സ്വാഭാവികമായും, പ്രവചനത്തിൻ്റെ (പ്രവചനം) അർത്ഥത്തിന് അനുസൃതമായി, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ മുന്നോട്ട് കൊണ്ടുപോകുന്നു (ഭാവി മൂല്യങ്ങളുടെ മേഖലയിലേക്ക്).

എന്നിരുന്നാലും, ഗുണകങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത പിശക് ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ടതിനാൽ, അത് താൽപ്പര്യമുള്ളതല്ല പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ്(പോയിൻ്റ് പ്രവചനം) ഫലപ്രദമായ സ്വഭാവത്തിനും പരിധികളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവിനും, ഒരു നിശ്ചിത സംഭാവ്യതയോടെ, ഫാക്ടർ x ൻ്റെ എടുത്ത മൂല്യത്തിന് അനുസൃതമായി, ഫലപ്രദമായ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കിടക്കുന്നു.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് (സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ) കണക്കാക്കുന്നു. താഴെപ്പറയുന്നതുപോലെ ഇപ്പോൾ പറഞ്ഞതിൻ്റെ ആത്മാവിൽ അത് ലഭിക്കും. ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ മുഖേനയുള്ള എസ്റ്റിമേറ്റുകളിൽ നിന്ന് a എന്ന സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ ആവിഷ്കാരം ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് ശരാശരി ഫലപ്രദമായ ഘടകം y യുടെ പിശകിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് b യുടെ പിശകിനെ അധികമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ സാധാരണ പിശകിൻ്റെ ചതുരം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് x എന്ന ഘടകത്തിൻ്റെയും അതിൻ്റെ ശരാശരിയുടെയും മൂല്യത്തിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനം വഴിയുള്ള റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എന്ന ശരാശരി മൂല്യത്തിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിശകും റിഗ്രഷൻ ഗുണകത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗ പിശകിൻ്റെ ഫലവും. കൂടാതെ, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ആദ്യ പദം, സാമ്പിളിൻ്റെ വലുപ്പം (വോളിയം) കൊണ്ട് സാധാരണ ജനസംഖ്യയുടെ വ്യത്യാസത്തെ ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്.

അജ്ഞാത വ്യതിയാനത്തിന് പകരം, സാമ്പിൾ വേരിയൻസ് ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ആയി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതനുസരിച്ച്, റിഗ്രഷൻ ഗുണകത്തിൻ്റെ പിശക് സാമ്പിൾ വേരിയൻസിനെ ഫാക്ടർ x ൻ്റെ വ്യത്യാസം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഘടകമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ മോഡലിൽ നിന്ന് കൂടുതൽ സ്വതന്ത്രമായ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശകും (സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ) മറ്റ് പരിഗണനകളും നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ശരാശരി പിശക്, മാർജിനൽ പിശക് എന്നിവയുടെ ആശയവും അവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധവും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

എന്നാൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് ലഭിച്ചതിന് ശേഷവും, പ്രവചിച്ച മൂല്യം ഏത് പരിധിക്കുള്ളിലായിരിക്കും എന്ന ചോദ്യം അവശേഷിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അളക്കൽ പിശകിൻ്റെ ഇടവേളയെക്കുറിച്ച്, സ്വാഭാവികമായ അനുമാനത്തിൽ, ഈ ഇടവേളയുടെ മധ്യഭാഗം ഫലപ്രദമായ ഘടകം y യുടെ കണക്കാക്കിയ (ശരാശരി) മൂല്യം നൽകുന്നു. ഇവിടെ കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തം രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു, ഇത് അജ്ഞാത അളവ് ഇതിനുള്ളിൽ എന്താണെന്ന് കൃത്യമായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള.

അടിസ്ഥാനപരമായി, സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് സൂത്രവാക്യം, അത് എങ്ങനെ, ഏത് രൂപത്തിലാണ് ലഭിക്കുന്നത് എന്നത് പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, റിഗ്രഷൻ ലൈനിൻ്റെ സ്ഥാനത്തെ പിശകിൻ്റെ സവിശേഷതയാണ്. ഫാക്ടർ x ൻ്റെ മൂല്യം ഘടകത്തിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുമ്പോൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതിലെത്തും.

24. ഫിഷർ മാനദണ്ഡം ഉപയോഗിച്ച് അനുമാനങ്ങളുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പരിശോധനയും ലീനിയർ റിഗ്രേഷൻ്റെ പ്രാധാന്യം വിലയിരുത്തലും.

ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം കണ്ടെത്തിയതിനുശേഷം, സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള പ്രാധാന്യം, അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത പാരാമീറ്ററുകൾ എന്നിവ വിലയിരുത്തപ്പെടുന്നു. ഒരു റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രാധാന്യം മൊത്തത്തിൽ വിലയിരുത്തുന്നത് വിവിധ മാനദണ്ഡങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാവുന്നതാണ്. ഫിഷേഴ്സ് എഫ് ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിക്കുന്നത് വളരെ സാധാരണവും ഫലപ്രദവുമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കുന്നു, അതായത്. b=0, അതിനാൽ x എന്ന ഘടകം y ഫലത്തിൽ സ്വാധീനം ചെലുത്തുന്നില്ല. എഫ്-ടെസ്റ്റിൻ്റെ ഉടനടി കണക്കുകൂട്ടൽ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ വിശകലനത്തിന് മുമ്പാണ്. ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് y എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെ തുകയെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതാണ് ഇതിലെ കേന്ദ്ര സ്ഥാനം - “വിശദീകരിച്ചത്”, “വിശദീകരിക്കപ്പെടാത്തത്”:

y എന്ന ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവ സവിശേഷത y യുടെ വ്യക്തിഗത മൂല്യങ്ങളുടെ സ്ക്വയർ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെ തുക പല ഘടകങ്ങളുടെയും സ്വാധീനം മൂലമാണ്.

നമുക്ക് മുഴുവൻ കാരണങ്ങളെയും സോപാധികമായി രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിക്കാം: പഠിച്ച ഘടകം x ഉം മറ്റ് ഘടകങ്ങളും. ഘടകം ഫലത്തെ സ്വാധീനിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഗ്രാഫിലെ റിഗ്രഷൻ ലൈൻ OX, y=y അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ വ്യതിയാനവും മറ്റ് ഘടകങ്ങളുടെ സ്വാധീനം മൂലമാണ്, കൂടാതെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെ തുക അവശിഷ്ടവുമായി പൊരുത്തപ്പെടും. മറ്റ് ഘടകങ്ങൾ ഫലത്തെ സ്വാധീനിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, y പ്രവർത്തനപരമായി x മായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ചതുരങ്ങളുടെ ശേഷിക്കുന്ന തുക പൂജ്യവുമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റിഗ്രഷൻ വിശദീകരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ചതുരങ്ങളുടെ ആകെ തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. കോറിലേഷൻ ഫീൽഡിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും റിഗ്രഷൻ ലൈനിൽ കിടക്കുന്നില്ല എന്നതിനാൽ, ഫാക്ടർ x ൻ്റെ സ്വാധീനം മൂലമാണ് അവയുടെ സ്കാറ്റർ എല്ലായ്പ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നത്, അതായത്. x-ൽ y യുടെ റിഗ്രഷൻ, മറ്റ് കാരണങ്ങളാൽ സംഭവിക്കുന്നത് (വിശദീകരിക്കപ്പെടാത്ത വ്യതിയാനം). പ്രവചനത്തിനായുള്ള ഒരു റിഗ്രഷൻ ലൈനിൻ്റെ അനുയോജ്യത, വിശദീകരിക്കപ്പെട്ട വ്യതിയാനം y എന്ന സ്വഭാവത്തിലെ ആകെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ എത്രത്തോളം കണക്കാക്കുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

വ്യക്തമായും, റിഗ്രഷൻ മൂലമുള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക സ്ക്വയറുകളുടെ ശേഷിക്കുന്ന തുകയേക്കാൾ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കനുസരിച്ച് പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നു, കൂടാതെ x ഘടകം ഫലത്തിൽ കാര്യമായ സ്വാധീനം ചെലുത്തുന്നു. നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകം ഐക്യത്തെ സമീപിക്കും എന്നതിന് തുല്യമാണ് ഇത്. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും തുക സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതായത്. ഒരു സ്വഭാവത്തിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ എണ്ണം. സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം ജനസംഖ്യയുടെ യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണവുമായോ അതിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ എണ്ണവുമായോ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള പ്രശ്നവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം, n സാധ്യമായ [(y 1 -y), (y 2 -y),...(y n -y)] എന്നതിൽ നിന്ന് എത്ര സ്വതന്ത്ര വ്യതിയാനങ്ങൾ ആവശ്യമാണെന്ന് കാണിക്കണം. ചതുരങ്ങളുടെ ഒരു നിശ്ചിത തുക രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന്. അങ്ങനെ, സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെ തുകയ്ക്ക് ∑(y-y sr) 2, (n-1) സ്വതന്ത്ര വ്യതിയാനങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്, കാരണം n യൂണിറ്റുകളുടെ ജനസംഖ്യയിൽ, ശരാശരി ലെവൽ കണക്കാക്കിയ ശേഷം, (n-1) വ്യതിയാനങ്ങളുടെ എണ്ണം മാത്രം സ്വതന്ത്രമായി വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു. ∑(y-y ശരാശരി) 2 എന്ന സ്ക്വയറുകളുടെ വിശദീകരിക്കപ്പെട്ട അല്ലെങ്കിൽ ഫാക്ടർ തുക കണക്കാക്കുമ്പോൾ, റിഗ്രഷൻ ലൈനിൽ കാണപ്പെടുന്ന y* ൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക (കണക്കുകൂട്ടിയ) മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: y(x)=a+bx.

ഈ മൂല്യത്തിൻ്റെ ശരാശരിയിൽ നിന്ന് ഫലപ്രദമായ ഘടകത്തിൻ്റെ സ്ക്വയർ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെ തുകയുടെ വികാസത്തിലേക്ക് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ മടങ്ങാം. ഈ തുകയിൽ ഇതിനകം മുകളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് ഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു: റിഗ്രഷൻ മുഖേന വിശദീകരിക്കപ്പെട്ട ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, സ്ക്വയർ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ശേഷിക്കുന്ന തുക എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന മറ്റൊരു തുക. ഈ വിഘടനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ വിശകലനമാണ്, ഇത് അടിസ്ഥാന ചോദ്യത്തിന് നേരിട്ട് ഉത്തരം നൽകുന്നു: റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള പ്രാധാന്യവും അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത പാരാമീറ്ററുകളും എങ്ങനെ വിലയിരുത്താം? ഈ ചോദ്യത്തിൻ്റെ അർത്ഥവും ഇത് പ്രധാനമായും നിർണ്ണയിക്കുന്നു. റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രാധാന്യം മൊത്തത്തിൽ വിലയിരുത്തുന്നതിന്, ഫിഷർ മാനദണ്ഡം (എഫ്-ടെസ്റ്റ്) ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഫിഷർ നിർദ്ദേശിച്ച സമീപനം അനുസരിച്ച്, ഒരു ശൂന്യ സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കുന്നു: റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. മൂല്യം=0. ഇതിനർത്ഥം, ഫാക്‌ടർ എക്‌സിന് Y ഫലത്തെ ബാധിക്കില്ല എന്നാണ്.

ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പഠനത്തിൻ്റെ ഫലമായി ലഭിച്ച പോയിൻ്റുകൾ റിഗ്രഷൻ ലൈനിൽ കൃത്യമായി കിടക്കുന്നില്ലെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം. അവ ചിതറിക്കിടക്കുന്നു, റിഗ്രഷൻ ലൈനിൽ നിന്ന് ഏറെക്കുറെ അകലെയാണ്. റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൽ കണക്കിലെടുക്കാത്ത വിശദീകരണ ഘടകം X-ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ മറ്റ് ഘടകങ്ങളുടെ സ്വാധീനം മൂലമാണ് ഇത്തരം ചിതറിപ്പോയത്. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ വിശദീകരിക്കപ്പെട്ട അല്ലെങ്കിൽ ഫാക്ടർ തുക കണക്കാക്കുമ്പോൾ, റിഗ്രഷൻ ലൈനിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തിയ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

Y, X എന്നീ വേരിയബിളുകളുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിന്, ശരാശരി മൂല്യം Y യുടെ കണക്കാക്കിയ മൂല്യം ലീനിയർ റിഗ്രഷനിൽ ഒരു പരാമീറ്ററിൻ്റെ മാത്രം പ്രവർത്തനമാണ് - റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്. ഇതിന് അനുസൃതമായി, സ്‌ക്വയർ ഡീവിയേഷനുകളുടെ ഫാക്‌ടർ തുകയ്ക്ക് 1-ന് തുല്യമായ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ നിരവധി ഡിഗ്രികളുണ്ട്. കൂടാതെ ലീനിയർ റിഗ്രഷനിലെ സ്‌ക്വയർ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ശേഷിക്കുന്ന തുകയുടെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം n-2 ആണ്.

തൽഫലമായി, യഥാർത്ഥ വികാസത്തിലെ ഓരോ സ്ക്വയർ ഡീവിയേഷനുകളെയും അതിൻ്റെ ഫ്രീഡം ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ശരാശരി സ്ക്വയർ വ്യതിയാനങ്ങൾ ലഭിക്കും (ഒരു ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ വ്യത്യാസം). അടുത്തതായി, ഫാക്ടർ വേരിയൻസിനെ ഒരു ഡിഗ്രി ഫ്രീഡം കൊണ്ട് ബാക്കിയുള്ള വേരിയൻസ് കൊണ്ട് ഒരു ഡിഗ്രി ഫ്രീഡം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നൾ ഹൈപ്പോതെസിസ്, എഫ്-റേഷ്യോ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന അല്ലെങ്കിൽ അതേ പേരിൻ്റെ മാനദണ്ഡം പരിശോധിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാനദണ്ഡം നമുക്ക് ലഭിക്കും. അതായത്, ശൂന്യ സിദ്ധാന്തം ശരിയാണെങ്കിൽ, ഘടകവും ശേഷിക്കുന്ന വ്യതിയാനങ്ങളും പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കാൻ, അതായത്. പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ പ്രാധാന്യത്തിൻ്റെ (സാന്നിദ്ധ്യം) വസ്തുത പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന വിപരീത സിദ്ധാന്തം അംഗീകരിക്കുന്നു, യഥാർത്ഥത്തിൽ നിലവിലില്ലാത്ത ഒരു ബന്ധത്തെ അനുകരിക്കുന്ന ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമരഹിതമായ യാദൃശ്ചികത മാത്രമല്ല, നിർണായക മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികകൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നിർദ്ദിഷ്ട ബന്ധം. പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഫിഷർ മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ നിർണ്ണായക (ത്രെഷോൾഡ്) മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഇതിനെ സൈദ്ധാന്തികം എന്നും വിളിക്കുന്നു. നിരീക്ഷണ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ അനുഭവപരമായ (യഥാർത്ഥ) മൂല്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്തുകൊണ്ട്, അനുപാതത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം പട്ടികകളിൽ നിന്നുള്ള നിർണായക മൂല്യത്തെ കവിയുന്നുണ്ടോ എന്ന് അവർ പരിശോധിക്കുന്നു.

ഇത് ഇതുപോലെ കൂടുതൽ വിശദമായി ചെയ്യുന്നു. ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിലുള്ള സംഭാവ്യത തിരഞ്ഞെടുത്ത് പട്ടികകളിൽ നിന്ന് എഫ്-മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ നിർണായക മൂല്യം കണ്ടെത്തുക, അതിൽ 1 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ക്രമരഹിതമായ വ്യത്യാസം ഇപ്പോഴും സംഭവിക്കാം, അതായത്. അത്തരം പരമാവധി മൂല്യം. എഫ്-അനുപാതം കണക്കാക്കിയ മൂല്യം വിശ്വസനീയമായി കണക്കാക്കുന്നു (അതായത്, യഥാർത്ഥവും ശേഷിക്കുന്നതുമായ വ്യതിയാനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത്) ഈ അനുപാതം പട്ടികപ്പെടുത്തിയതിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ. അപ്പോൾ ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കപ്പെട്ടു (ഒരു കണക്ഷൻ്റെ അടയാളങ്ങളൊന്നും ഇല്ലെന്നത് ശരിയല്ല), നേരെമറിച്ച്, ഒരു കണക്ഷൻ ഉണ്ടെന്നും അത് പ്രാധാന്യമുള്ളതാണെന്നും (ഇത് ക്രമരഹിതവും പ്രാധാന്യമുള്ളതുമാണ്) എന്ന നിഗമനത്തിലെത്തി.

ബന്ധത്തിൻ്റെ മൂല്യം ടാബുലേറ്റിനേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത നിർദ്ദിഷ്ട ലെവലിനേക്കാൾ കൂടുതലാണ് (ആദ്യം തിരഞ്ഞെടുത്തത്) കൂടാതെ ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തം ശ്രദ്ധേയമായ അപകടമില്ലാതെ നിരസിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരു ബന്ധത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തെക്കുറിച്ച് തെറ്റായ നിഗമനം നേടുന്നു. അതനുസരിച്ച്, റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം അപ്രധാനമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

F-മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ മൂല്യം തന്നെ നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രാധാന്യം മൊത്തത്തിൽ വിലയിരുത്തുന്നതിനു പുറമേ, റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വ്യക്തിഗത പാരാമീറ്ററുകളുടെ പ്രാധാന്യവും വിലയിരുത്തപ്പെടുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അനുഭവപരമായ യഥാർത്ഥ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രിയിലെ അനുഭവപരമായ വ്യത്യാസവും ഉപയോഗിച്ചാണ്. റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് അതിൻ്റെ കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളകൾ കണക്കാക്കാൻ അതിൻ്റെ പ്രാധാന്യം പരിശോധിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥി വിതരണം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ടി-ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് റിഗ്രഷൻ, കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ പ്രാധാന്യം വിലയിരുത്തുന്നത് ഈ അളവുകളുടെ മൂല്യങ്ങളും സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശകും താരതമ്യം ചെയ്തുകൊണ്ടാണ്. ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ പാരാമീറ്ററുകളുടെയും കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റിൻ്റെയും പിശകിൻ്റെ വ്യാപ്തി ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

ഇവിടെ S എന്നത് റൂട്ട് ശരാശരി ചതുരത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന സാമ്പിൾ വ്യതിയാനമാണ്,

r xy - പരസ്പര ബന്ധ ഗുണകം.

അതനുസരിച്ച്, റിഗ്രഷൻ ലൈൻ പ്രവചിച്ച സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശകിൻ്റെ മൂല്യം ഫോർമുല നൽകുന്നു:

റിഗ്രഷൻ, കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ അനുബന്ധ അനുപാതങ്ങൾ അവയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ടി-സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ് രൂപീകരിക്കുന്നു, കൂടാതെ അനുബന്ധ ടാബുലേറ്റഡ് (നിർണ്ണായക) മൂല്യവും അതിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യവും താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത് അസാധുവാക്കൽ അംഗീകരിക്കാനോ നിരസിക്കാനോ അനുവദിക്കുന്നു. അനുമാനം. എന്നാൽ പിന്നീട്, ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കാൻ, ഓരോ സൂചകത്തിൻ്റെയും പരമാവധി പിശക്, അനുബന്ധ സൂചകത്തിൻ്റെ ശരാശരി ക്രമരഹിതമായ പിശക് ഉപയോഗിച്ച് t സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സിൻ്റെ പട്ടിക മൂല്യത്തിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നമായി കണ്ടെത്തുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, ഞങ്ങൾ അത് കുറച്ച് വ്യത്യസ്തമായി മുകളിൽ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്. അപ്പോൾ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകളുടെ അതിരുകൾ ലഭിക്കുന്നു: അനുബന്ധ ഗുണകങ്ങളിൽ നിന്ന് (യഥാർത്ഥത്തിൽ ശരാശരി) അനുബന്ധ നാമമാത്ര പിശക് കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെയാണ് താഴ്ന്ന പരിധി, കൂടാതെ ഉയർന്ന പരിധി സങ്കലനം (ചേർക്കുക) വഴിയാണ്.

ലീനിയർ റിഗ്രഷനിൽ ∑(y x -y avg) 2 =b 2 ∑(x-x ശരാശരി) 2. ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റിനായുള്ള ഫോർമുല പരാമർശിച്ചുകൊണ്ട് ഇത് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: r 2 xy = b 2 *σ 2 x /σ 2 y

ഇവിടെ σ 2 y എന്നത് y എന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ആകെ വ്യതിയാനമാണ്;

σ 2 x - ഘടകം x കാരണം y സ്വഭാവത്തിൻ്റെ വ്യാപനം. അതനുസരിച്ച്, ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ മൂലമുള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക:

∑(y x -y ശരാശരി) 2 =b 2 ∑(x-x ശരാശരി) 2 .

x, y എന്നിവയിലെ ഒരു നിശ്ചിത അളവിലുള്ള നിരീക്ഷണങ്ങൾക്ക്, ലീനിയർ റിഗ്രഷനിലെ ചതുരങ്ങളുടെ ഫാക്ടർ തുക റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് b യുടെ ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അപ്പോൾ ഈ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് ഒരു ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യമുണ്ട്. y എന്ന ആട്രിബ്യൂട്ടിൻ്റെ കണക്കാക്കിയ മൂല്യത്തിൻ്റെ ഉള്ളടക്ക വശം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. y x. y x മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യമാണ്: y x ​​= a + bx.

a പരാമീറ്റർ a=y-bx ആയി നിർവചിക്കാം. ലീനിയർ മോഡലിലേക്ക് a പരാമീറ്ററിന് പകരമായി എക്സ്പ്രഷൻ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: y x ​​=y-bx+bx avg =y-b(x-x ശരാശരി).

തന്നിരിക്കുന്ന വേരിയബിളുകളുടെ y, x എന്നിവയ്‌ക്ക്, ലീനിയർ റിഗ്രഷനിലെ y x ൻ്റെ കണക്കാക്കിയ മൂല്യം ഒരു പരാമീറ്ററിൻ്റെ മാത്രം പ്രവർത്തനമാണ് - റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്. അതനുസരിച്ച്, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ഫാക്ടർ തുകയ്ക്ക് 1 ന് തുല്യമായ ഫ്രീഡം ഡിഗ്രികൾ ഉണ്ട്.

സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുക, ഘടകം, ശേഷിക്കുന്ന തുകകൾ എന്നിവയുടെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം തമ്മിൽ തുല്യതയുണ്ട്. ലീനിയർ റിഗ്രഷനിലെ സ്ക്വയറുകളുടെ ശേഷിക്കുന്ന തുകയുടെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം (n-2) ആണ്. സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെ തുകയ്ക്കുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഒന്നിൻ്റെ എണ്ണം അനുസരിച്ചാണ്, കൂടാതെ സാമ്പിൾ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ ശരാശരി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യം നഷ്ടപ്പെടും, അതായത്. (n-1). അതിനാൽ, നമുക്ക് രണ്ട് തുല്യതകളുണ്ട്: തുകകൾക്കും സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ അളവുകൾക്കും. അതാകട്ടെ, സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ അളവിലുള്ള താരതമ്യപ്പെടുത്താവുന്ന വ്യതിയാനങ്ങളിലേക്ക് നമ്മെ തിരികെ കൊണ്ടുവരുന്നു, അതിൻ്റെ അനുപാതം ഫിഷർ മാനദണ്ഡം നൽകുന്നു.

25. വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും ഗുണകങ്ങളുടെയും വ്യക്തിഗത പാരാമീറ്ററുകളുടെ പ്രാധാന്യം വിലയിരുത്തൽ.

27. ലീനിയർ, നോൺലീനിയർ റിഗ്രഷനും അവരുടെ പഠനത്തിനുള്ള രീതികളും.

ലീനിയർ റിഗ്രഷനും അതിൻ്റെ ഗവേഷണ-മൂല്യനിർണ്ണയ രീതികളും വളരെ പ്രധാനമായിരിക്കില്ല, ഈ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതും എന്നാൽ ഇപ്പോഴും ഏറ്റവും ലളിതമായതുമായ കേസിന് പുറമേ, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ നോൺ-ലീനിയർ ഡിപൻഡൻസികൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉപകരണം അവരുടെ സഹായത്തോടെ ഞങ്ങൾ നേടിയില്ലെങ്കിൽ. നോൺ-ലീനിയർ റിഗ്രഷനുകളെ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം. ആദ്യത്തേതും ലളിതവുമായത് രേഖീയമല്ലാത്ത ഡിപൻഡൻസികളുടെ ക്ലാസാണ്, അതിൽ വിശദീകരണ വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് രേഖീയതയില്ല, എന്നാൽ അവയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പാരാമീറ്ററുകളിൽ രേഖീയമായി നിലനിൽക്കുകയും മൂല്യനിർണ്ണയത്തിന് വിധേയമാവുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇതിൽ ബഹുപദങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു വിവിധ ഡിഗ്രികൾഒരു സമഭുജ ഹൈപ്പർബോളയും.

വിശദീകരണത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള അത്തരം നോൺ-ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ, വേരിയബിളുകളെ ലളിതമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ (മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു) പുതിയ വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള സാധാരണ ലീനിയർ റിഗ്രഷനിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ചുരുക്കാം. അതിനാൽ, പരാമീറ്ററുകളിൽ ഡിപൻഡൻസികൾ രേഖീയമായതിനാൽ, ഈ കേസിൽ പാരാമീറ്ററുകളുടെ ഏകദേശം കുറഞ്ഞത് സ്ക്വയർ രീതിയിലൂടെയാണ് നടത്തുന്നത്. അതിനാൽ, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നത് ഒരു ഇക്വിലേറ്ററൽ ഹൈപ്പർബോള വിവരിക്കുന്ന രേഖീയമല്ലാത്ത ആശ്രിതത്വമാണ്:

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സ്ക്വയർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ നന്നായി വിലയിരുത്തപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഈ ആശ്രിതത്വം തന്നെ അസംസ്കൃത വസ്തുക്കളുടെ നിർദ്ദിഷ്ട ചെലവുകൾ, ഇന്ധനം, ഉൽപാദനത്തിൻ്റെ അളവിലുള്ള വസ്തുക്കൾ, ചരക്കുകളുടെ പ്രചാര സമയം, വ്യാപാരത്തിൻ്റെ അളവിലുള്ള ഈ ഘടകങ്ങൾ എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു. വിറ്റുവരവ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഫിലിപ്സ് കർവ് തൊഴിലില്ലായ്മ നിരക്കും വേതന വളർച്ചയുടെ ശതമാനവും തമ്മിലുള്ള രേഖീയമല്ലാത്ത ബന്ധത്തെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു.

കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്ററുകളിൽ രേഖീയമല്ലാത്ത റിഗ്രഷനുമായി സ്ഥിതി തികച്ചും വ്യത്യസ്തമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷൻ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതിൽ ഡിഗ്രി തന്നെ (അതിൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ്) ഒരു പാരാമീറ്ററാണ്, അല്ലെങ്കിൽ പാരാമീറ്ററിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ ആകാം, അവിടെ ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനം ഒരു പാരാമീറ്ററും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുമാണ്, അതിൽ വീണ്ടും സൂചകത്തിൽ ഒരു പാരാമീറ്ററോ പാരാമീറ്ററുകളുടെ സംയോജനമോ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഈ ക്ലാസ്, അതാകട്ടെ, രണ്ട് ഉപവിഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു: ഒന്ന് ബാഹ്യമായി രേഖീയമല്ലാത്തതും എന്നാൽ ആന്തരികമായി രേഖീയവുമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് മോഡൽ ഒരു രേഖീയ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, മോഡൽ ആന്തരികമായി നോൺ-ലീനിയർ ആണെങ്കിൽ, അത് ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ കഴിയില്ല.

അതിനാൽ, റിഗ്രഷൻ വിശകലനത്തിൽ ആന്തരികമായി രേഖീയമല്ലാത്ത മോഡലുകൾ മാത്രമേ യഥാർത്ഥത്തിൽ രേഖീയമല്ലാത്തതായി കണക്കാക്കൂ. പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ രേഖീയമായി ചുരുക്കാൻ കഴിയുന്ന മറ്റെല്ലാ കാര്യങ്ങളും അത്തരത്തിലുള്ളതായി കണക്കാക്കില്ല, കൂടാതെ ഇക്കണോമെട്രിക് പഠനങ്ങളിൽ ഏറ്റവും കൂടുതൽ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നത് അവരാണ്. അതേസമയം, ഇക്കണോമെട്രിക്സിൽ അടിസ്ഥാനപരമായി നോൺ-ലീനിയർ ഡിപൻഡൻസികൾ പഠിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണെന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല. മോഡൽ അതിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകളിൽ ആന്തരികമായി രേഖീയമല്ലെങ്കിൽ, പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കാൻ ആവർത്തന നടപടിക്രമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ വിജയം ഉപയോഗിക്കുന്ന ആവർത്തന രീതിയുടെ സവിശേഷതകൾക്കായുള്ള സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

നമുക്ക് ലീനിയറിലേക്ക് ചുരുക്കിയ ഡിപൻഡൻസികളിലേക്ക് മടങ്ങാം. പാരാമീറ്ററുകളിലും വേരിയബിളുകളിലും അവ രേഖീയമല്ലെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, y = a ഫോം X ൻ്റെ ശക്തിയാൽ ഗുണിച്ചാൽ, അതിൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് പരാമീറ്റർ ആണ് -  (ബീറ്റ):

വ്യക്തമായും, അത്തരമൊരു ബന്ധം ലളിതമായ ലോഗരിതം വഴി എളുപ്പത്തിൽ ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും.

ലോഗരിതം സൂചിപ്പിക്കുന്ന പുതിയ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിച്ച ശേഷം, ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം ലഭിക്കും. റിഗ്രഷൻ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം, യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളുടെ ലോഗരിതം എടുത്ത് ഓരോ നിരീക്ഷണത്തിനും പുതിയ വേരിയബിളുകൾ കണക്കാക്കുന്നത് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അപ്പോൾ പുതിയ വേരിയബിളുകളുടെ റിഗ്രഷൻ ആശ്രിതത്വം കണക്കാക്കുന്നു. ഒറിജിനൽ വേരിയബിളുകളിലേക്ക് പോകാൻ, നിങ്ങൾ ആൻ്റിലോഗരിതം എടുക്കണം, അതായത്, അവയുടെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾക്ക് പകരം ശക്തികളിലേക്ക് തന്നെ മടങ്ങുക (എല്ലാത്തിനുമുപരി, ലോഗരിതം എക്‌സ്‌പോണൻ്റാണ്). എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ അല്ലെങ്കിൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ കാര്യവും സമാനമായി പരിഗണിക്കാം.

കാര്യമായ നോൺ-ലീനിയർ റിഗ്രഷനിൽ, സാധാരണ റിഗ്രഷൻ എസ്റ്റിമേഷൻ നടപടിക്രമം പ്രയോഗിക്കാൻ സാധ്യമല്ല, കാരണം അനുബന്ധ ബന്ധം ലീനിയറിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പൊതു സ്കീം ഇപ്രകാരമാണ്:

1. ചില വിശ്വസനീയമായ പ്രാരംഭ പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾ സ്വീകരിച്ചു;

2. പ്രവചിച്ച Y മൂല്യങ്ങൾ ഈ പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് യഥാർത്ഥ X മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുന്നു;

3. സാമ്പിളിലെ എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങൾക്കും അവശിഷ്ടങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു, തുടർന്ന് അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക;

4. ഒന്നോ അതിലധികമോ പാരാമീറ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റുകളിൽ ചെറിയ മാറ്റങ്ങൾ വരുത്തിയിരിക്കുന്നു;

5. Y യുടെ പുതിയ പ്രവചിച്ച മൂല്യങ്ങൾ, അവശിഷ്ടങ്ങൾ, അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുക എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നു;

6. അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുക മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, പുതിയ പാരാമീറ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ മികച്ചതും ഒരു പുതിയ ആരംഭ പോയിൻ്റായി ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുമാണ്;

7. സ്ക്വയറുകളുടെ അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയിൽ മാറ്റം വരുത്തുന്ന പരാമീറ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റുകളിൽ അത്തരം മാറ്റങ്ങൾ വരുത്തുന്നത് അസാധ്യമാകുന്നതുവരെ 4, 5, 6 ഘട്ടങ്ങൾ വീണ്ടും ആവർത്തിക്കുന്നു;

8. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ചെറുതാക്കിയിട്ടുണ്ടെന്നും അന്തിമ പാരാമീറ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സ്ക്വയർ എസ്റ്റിമേറ്റുകളാണെന്നും നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

ചുരുക്കാൻ കഴിയുന്ന നോൺലീനിയർ ഫംഗ്ഷനുകളിൽ രേഖീയ രൂപം, പവർ ഫംഗ്ഷൻ ഇക്കോണോമെട്രിക്സിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇതിലെ പാരാമീറ്റർ ബിക്ക് വ്യക്തമായ വ്യാഖ്യാനമുണ്ട്, ഒരു ഇലാസ്തികത ഗുണകം. കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്ററുകളിൽ രേഖീയമല്ലാത്തതും എന്നാൽ രേഖീയ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാവുന്നതുമായ മോഡലുകളിൽ, രൂപാന്തരപ്പെട്ട സമവാക്യങ്ങളിൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചതുരങ്ങൾ രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചിഹ്നത്തിന് നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ ഇല്ലാത്തപ്പോൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രായോഗിക ഉപയോഗവും അതനുസരിച്ച് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളും സാധ്യമാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആട്രിബ്യൂട്ടിൻ്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, ഇക്കണോമെട്രിക്‌സിൽ പവർ-ലോ ഡിപൻഡൻസികൾ പ്രബലമാണ് (ഡിമാൻഡ് ആൻഡ് സപ്ലൈ കർവുകൾ, പ്രൊഡക്ഷൻ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ, ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ അധ്വാന തീവ്രത, ഉൽപാദനത്തിൻ്റെ തോത്, ആശ്രിതത്വം എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള ആഗിരണം വക്രങ്ങൾ. തൊഴിൽ തലത്തിൽ ജിഎൻഐയുടെ, എംഗൽ കർവുകൾ).

28. വിപരീത മാതൃകയും അതിൻ്റെ ഉപയോഗവും

ചിലപ്പോൾ വിപരീത മോഡൽ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അത് ആന്തരികമായി രേഖീയമല്ലാത്തതാണ്, എന്നാൽ അതിൽ, ഒരു ഇക്വിലേറ്ററൽ ഹൈപ്പർബോളയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഇത് പരിവർത്തനത്തിന് വിധേയമായ വിശദീകരണ വേരിയബിളല്ല, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആട്രിബ്യൂട്ട് Y. അതിനാൽ, വിപരീത മോഡൽ ഇതിലേക്ക് മാറുന്നു. ആന്തരികമായി രേഖീയമല്ല, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന Y ആട്രിബ്യൂട്ടിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾക്കും അവയുടെ വിപരീത മൂല്യങ്ങൾക്കും OLS ആവശ്യകത തൃപ്തികരമല്ല. നോൺ-ലീനിയർ റിഗ്രഷനുമായുള്ള പരസ്പര ബന്ധത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ അർഹിക്കുന്നു. പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഉയർന്ന ക്രമത്തിൻ്റെ പോളിനോമിയലുകൾ പോലെയുള്ള രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ പരവലയം, രേഖീയമാക്കുമ്പോൾ, ഒരു മൾട്ടിപ്പിൾ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപമെടുക്കുന്നു. രേഖീയമാക്കുമ്പോൾ, വിശദീകരിച്ച വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് രേഖീയമല്ലാത്ത ഒരു റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം ഒരു ലീനിയർ ജോടിയാക്കിയ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപമെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ബന്ധത്തിൻ്റെ അടുപ്പം വിലയിരുത്താൻ ഒരു ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉപയോഗിക്കാം.

റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തെ ലീനിയർ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നത് ആശ്രിത വേരിയബിളുമായി (ഫലപ്രദമായ സ്വഭാവം) ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ രൂപാന്തരപ്പെട്ട മൂല്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ബന്ധത്തിൻ്റെ ഏകദേശ കണക്ക് മാത്രമേ നൽകുന്നുള്ളൂ, അത് സംഖ്യാപരമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. പരസ്പര ബന്ധ സൂചിക. പരസ്പര ബന്ധ സൂചിക കണക്കാക്കുമ്പോൾ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവ സവിശേഷതയായ Y യുടെ സ്ക്വയർ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്, അല്ലാതെ അവയുടെ ലോഗരിതം അല്ല. പരസ്പര ബന്ധ സൂചികയുടെ പ്രാധാന്യം വിലയിരുത്തുന്നത് പരസ്പര ബന്ധത്തിൻ്റെ ഗുണകത്തിൻ്റെ വിശ്വാസ്യത (പ്രാധാന്യം) വിലയിരുത്തുന്നത് പോലെയാണ്. ഫിഷർ എഫ് ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് നോൺലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള പ്രാധാന്യം പരിശോധിക്കാൻ ഡിറ്റർമിനേഷൻ ഇൻഡക്‌സ് പോലെ തന്നെ കോറിലേഷൻ ഇൻഡക്‌സും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

രേഖീയമല്ലാത്ത മോഡലുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത, അവയെ ഒരു ലീനിയർ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിക്കൊണ്ട്, നോൺലീനിയർ റിഗ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട്, ഒരു വശത്ത്, റിഗ്രഷൻ വിശകലനത്തിൻ്റെ സാർവത്രികത വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു. മറുവശത്ത്, ഇത് ഗവേഷകൻ്റെ ചുമതലകളെ ഗണ്യമായി സങ്കീർണ്ണമാക്കുന്നു. ജോടിയാക്കിയ റിഗ്രഷൻ വിശകലനത്തിലേക്ക് സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ, Y, X എന്നിവയെ ഒരു സ്കാറ്റർ പ്ലോട്ടായി നമുക്ക് പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം. പലപ്പോഴും പലതരത്തിലുള്ള നോൺലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ചില വക്രങ്ങളിൽ കിടക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അവയുടെ ഏകദേശ നിരീക്ഷണങ്ങൾ. എന്നാൽ ഒന്നിലധികം റിഗ്രഷൻ വിശകലനത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, അത്തരമൊരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല.

ആശ്രിത വേരിയബിളിൻ്റെ അതേ നിർവചനമുള്ള ഇതര മോഡലുകൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, തിരഞ്ഞെടുക്കൽ നടപടിക്രമം താരതമ്യേന ലളിതമാണ്. സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയുന്ന എല്ലാ വിശ്വസനീയമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരാൾക്ക് ഒരു റിഗ്രഷൻ കണക്കാക്കാനും ആശ്രിത വേരിയബിളിലെ മാറ്റത്തെ ഏറ്റവും കൂടുതൽ വിശദീകരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കാനും കഴിയും. ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ y യിലെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഏകദേശം 64% വിശദീകരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു ഹൈപ്പർബോളിക് ഫംഗ്‌ഷൻ 99.9% വിശദീകരിക്കുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തേത് വ്യക്തമായി തിരഞ്ഞെടുക്കണം. പക്ഷെ എപ്പോള് വ്യത്യസ്ത മോഡലുകൾവ്യത്യസ്ത ഫംഗ്ഷണൽ ഫോമുകൾ ഉപയോഗിക്കുക, ഒരു മോഡൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാകുന്നു.

29. ബോക്സ്-കോക്സ് ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

കൂടുതൽ പൊതുവായി, ആശ്രിത വേരിയബിളിൻ്റെ അതേ നിർവചനമുള്ള ഇതര മോഡലുകൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ലളിതമാണ്. ആശ്രിത വേരിയബിളിലെ മാറ്റത്തെ ഏറ്റവും കൂടുതൽ വിശദീകരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിച്ച്, എല്ലാ വിശ്വസനീയമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി റിഗ്രഷൻ കണക്കാക്കുന്നത് ഏറ്റവും ന്യായമാണ്. ഡിറ്റർമിനേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് അളക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു സാഹചര്യത്തിൽ, റിഗ്രഷൻ മുഖേനയുള്ള വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ അനുപാതം, മറ്റൊന്നിൽ, ഈ ആശ്രിത വേരിയബിളിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിലെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ അനുപാതം റിഗ്രഷൻ വഴി വിശദീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ബുദ്ധിമുട്ടില്ലാതെ നടത്തുന്നു. രണ്ട് മോഡലുകൾക്കായുള്ള ഈ മൂല്യങ്ങൾ വളരെ അടുത്തായിരിക്കുകയും തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാകുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ ഇത് മറ്റൊരു കാര്യമാണ്.

ബോക്സ്-കോക്സ് ടെസ്റ്റിൻ്റെ രൂപത്തിൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് നടപടിക്രമം പ്രയോഗിക്കണം. ആശ്രിത വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു വകഭേദത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഫലപ്രദമായ ഘടകവും അതിൻ്റെ ലോഗരിതവും ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് മോഡലുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യണമെങ്കിൽ, സരെംബ്ക ടെസ്റ്റിൻ്റെ ഒരു പതിപ്പ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് നിരീക്ഷണ സ്കെയിൽ Y യുടെ പരിവർത്തനം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു, ഇത് ലീനിയർ, ലോഗരിഥമിക് മോഡലുകളിൽ റൂട്ട് ശരാശരി സ്ക്വയർ പിശക് (MSE) നേരിട്ട് താരതമ്യം ചെയ്യാൻ അനുവദിക്കുന്നു. അനുബന്ധ നടപടിക്രമത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു:

സാമ്പിളിലെ Y മൂല്യങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരി കണക്കാക്കുന്നു, ഇത് Y യുടെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗണിത ശരാശരിയുടെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുമായി യോജിക്കുന്നു;

നിരീക്ഷണങ്ങൾ Y വീണ്ടും കണക്കാക്കുന്നത് ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ ലഭിച്ച മൂല്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ്;

യഥാർത്ഥ Y മൂല്യങ്ങൾക്ക് പകരം സ്കെയിൽ ചെയ്‌ത Y മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു രേഖീയ മോഡലിന് റിഗ്രഷൻ കണക്കാക്കുന്നു, കൂടാതെ സ്‌കെയിൽ ചെയ്‌ത Y മൂല്യങ്ങളുടെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു ലോഗരിതം മോഡലിന് രണ്ട് റിഗ്രഷനുകൾക്കായുള്ള RMSE മൂല്യങ്ങൾ ഇപ്പോൾ താരതമ്യപ്പെടുത്താവുന്നതാണ് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ചെറിയ തുകയുള്ള മോഡൽ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ ബന്ധത്തിന് കൂടുതൽ അനുയോജ്യം നൽകുന്നു;

മോഡലുകളിലൊന്ന് കാര്യമായ മെച്ചപ്പെട്ട ഫിറ്റ് നൽകുന്നില്ലെന്ന് പരിശോധിക്കാൻ, വീണ്ടും കണക്കാക്കിയ റിഗ്രഷനുകളിൽ ആർഎംഎസ്ഇ മൂല്യങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഇരട്ടി നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ പകുതി എണ്ണത്തിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കാം. യഥാർത്ഥ മൂല്യംഈ മൂല്യം.

30. ഘടകങ്ങളുടെ പരസ്പര ബന്ധത്തിൻ്റെയും മൾട്ടികോളിനിയറിറ്റിയുടെയും ആശയങ്ങൾ.

34. MNC യുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങളും അതിൻ്റെ അപേക്ഷയുടെ സാധുതയും.

നമുക്ക് ഇപ്പോൾ OLS-ൻ്റെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ, അതിൻ്റെ ആപ്ലിക്കേഷൻ്റെ സാധുത (ഒന്നിലധികം റിഗ്രഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ), OLS ഉപയോഗിച്ച് ലഭിച്ച എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സവിശേഷതകൾ എന്നിവയിലേക്ക് തിരിയാം. വലത് വശത്ത് വിശകലനപരമായ ആശ്രിതത്വത്തോടൊപ്പം, വസ്തുതയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം റിഗ്രഷൻ സമവാക്യംക്രമരഹിതമായ പദവും ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. ഈ ക്രമരഹിതമായ ഘടകം നിരീക്ഷിക്കാനാകാത്ത അളവാണ്. സാമി സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ടെസ്റ്റുകൾറിഗ്രഷൻ പാരാമീറ്ററുകളും പരസ്പര ബന്ധ നടപടികളും മൾട്ടിപ്പിൾ റിഗ്രഷൻ്റെ ഈ ക്രമരഹിതമായ ഘടകത്തിൻ്റെ വിതരണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പരിശോധിക്കാനാവാത്ത അനുമാനങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഈ അനുമാനങ്ങൾ പ്രാഥമികം മാത്രമാണ്. റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം നിർമ്മിച്ചതിനുശേഷം മാത്രമേ, ക്രമരഹിതമായ അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ (റാൻഡം ഘടകത്തിൻ്റെ അനുഭവപരമായ അനലോഗ്) എസ്റ്റിമേറ്റുകൾക്ക് മുൻഗണനയുള്ള ഗുണങ്ങളുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കൂ. അടിസ്ഥാനപരമായി, മോഡൽ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആട്രിബ്യൂട്ടിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തികവും യഥാർത്ഥവുമായ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ ക്രമരഹിതമായ ഘടകം തന്നെ കണക്കാക്കുന്നതിനായി കണക്കാക്കുന്നു. നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ അജ്ഞാതമായ ശേഷിപ്പിൻ്റെ സാമ്പിൾ നടപ്പിലാക്കൽ മാത്രമാണിതെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.

സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന റിഗ്രഷൻ ഗുണകങ്ങൾ ബന്ധത്തിൻ്റെ ശക്തിയുടെ സാമ്പിൾ എസ്റ്റിമേറ്റുകളാണ്. പക്ഷപാതരഹിതമാകുമ്പോൾ മാത്രമേ അവയ്ക്ക് പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യമുള്ളൂ എന്നത് വ്യക്തമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ശരാശരി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ, അത് തുല്യമാണ്, എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ ശരാശരി കണക്കാക്കിയ പാരാമീറ്ററിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം. അപ്പോൾ അവശിഷ്ടങ്ങൾ സാമ്പിൾ എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ ഒരു വലിയ സംഖ്യയിൽ ശേഖരിക്കപ്പെടില്ല, കൂടാതെ കണ്ടെത്തിയ റിഗ്രഷൻ പാരാമീറ്റർ തന്നെ പക്ഷപാതമില്ലാത്ത ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ ശരാശരിയായി കണക്കാക്കാം.

കൂടാതെ, എസ്റ്റിമേറ്റുകൾക്ക് ഏറ്റവും ചെറിയ വ്യത്യാസം ഉണ്ടായിരിക്കണം, അതായത്. ഫലപ്രദമാകുകയും തുടർന്ന് പ്രായോഗികമായി അനുയോജ്യമല്ലാത്ത പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റുകളിൽ നിന്ന് ഇടവേള കണക്കാക്കലിലേക്ക് മാറുകയും ചെയ്യാം. അവസാനമായി, പരാമീറ്ററിൻ്റെ യഥാർത്ഥ (അജ്ഞാത) മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു നിശ്ചിത അകലത്തിൽ ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത ഒന്നിന് അടുത്തായിരിക്കുമ്പോൾ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ ഉപയോഗപ്രദമാണ്. അത്തരം എസ്റ്റിമേറ്റുകളെ സ്ഥിരത എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ സാമ്പിൾ വലുപ്പം വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് അവയുടെ കൃത്യതയിലെ വർദ്ധനവാണ് സ്ഥിരതയുടെ സ്വത്ത് സവിശേഷത.

എന്നിരുന്നാലും, സ്ഥിരത വ്യവസ്ഥ യാന്ത്രികമായി തൃപ്തികരമല്ല കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് പ്രധാന ആവശ്യകതകളുടെ പൂർത്തീകരണത്തെ ഗണ്യമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒന്നാമതായി, അവശിഷ്ടങ്ങൾ തന്നെ ഏറ്റവും വ്യക്തമായ യാദൃശ്ചികതയോടെ സ്‌റ്റോക്കാസ്റ്റിക് ആയിരിക്കണം, അതായത്. മൾട്ടിപ്പിൾ റിഗ്രഷൻ്റെ വിശകലന ഘടകത്തിൽ വ്യക്തമായി പ്രവർത്തനക്ഷമമായ എല്ലാ ഡിപൻഡൻസികളും പ്രത്യേകമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കണം, കൂടാതെ, അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത സാമ്പിളുകൾക്കായി പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി വിതരണം ചെയ്യണം (അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ യാന്ത്രിക ബന്ധമില്ല). രണ്ടാമത്തേത്, അത്ര പ്രാധാന്യമില്ലാത്ത ആവശ്യകതയാണ്, ഓരോ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെയും (അവശിഷ്ടം) വ്യതിയാനം X വേരിയബിളുകളുടെ (ഹോമോസെഡാസ്റ്റിസിറ്റി) എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും സമാനമാണ്. ആ. എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങൾക്കുമുള്ള വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ സ്ഥിരതയാൽ ഹോമോസെഡാസ്റ്റിസിറ്റി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

നേരെമറിച്ച്, വ്യത്യസ്‌ത നിരീക്ഷണങ്ങൾക്കായുള്ള വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ അത്തരം സ്ഥിരതയുടെ ലംഘനമാണ് ഹെറ്ററോസ്‌സെഡസ്‌റ്റിസിറ്റി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാമ്പിളിലെ വ്യത്യസ്ത നിരീക്ഷണങ്ങൾക്കായി ക്രമരഹിതമായ പദത്തിൻ്റെ വ്യത്യസ്ത സൈദ്ധാന്തിക വിതരണങ്ങളുള്ള ഉയർന്ന വ്യതിചലന മൂല്യങ്ങൾ നേടുന്നതിനുള്ള ഒരു പ്രിയോറി (നിരീക്ഷണങ്ങൾക്ക് മുമ്പ്) സാധ്യത താരതമ്യേന ഉയർന്നതായിരിക്കും.

അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ഓട്ടോകോറിലേഷൻ, അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലുള്ളതും മുമ്പത്തെ (തുടർന്നുള്ള) നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ അവശിഷ്ടങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള പരസ്പര ബന്ധത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യം സാധാരണ ലീനിയർ കോറിലേഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റെ മൂല്യത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഇത് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് കാര്യമായ വ്യത്യാസമുണ്ടെങ്കിൽ, അവശിഷ്ടങ്ങൾ യാന്ത്രികമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ, പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ (അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ വിതരണം) നിരീക്ഷണ പോയിൻ്റിനെയും മറ്റ് നിരീക്ഷണ പോയിൻ്റുകളിലെ ശേഷിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങളുടെ വിതരണത്തെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഫാക്ടർ X അനുസരിച്ച് നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ക്രമം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ലഭ്യമായ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ഓട്ടോകോറിലേഷൻ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

35. ഹോമോസ്‌സെഡസ്‌റ്റിസിറ്റിയും ഹെറ്ററോസ്‌സെഡാസ്‌റ്റിസിറ്റിയും, അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ഓട്ടോകോറിലേഷൻ, സാമാന്യവൽക്കരിച്ച കുറഞ്ഞ സ്‌ക്വയറുകൾ (ജിഎൽഎം).

OLS ഉപയോഗിച്ച് റിഗ്രഷൻ പാരാമീറ്ററുകളുടെ സ്ഥിരതയുള്ള കണക്കുകൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, X വേരിയബിളുകളുടെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കുമുള്ള അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ സമാനത, അല്ലെങ്കിൽ ഹോമോസെഡാസ്റ്റിസിറ്റി എന്നിവയും തികച്ചും ആവശ്യമാണ്. ഹോമോസ്‌സെഡാസ്‌റ്റിസിറ്റി എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതിൽ പരാജയപ്പെടുന്നത് ഹെറ്ററോസ്‌സെഡാസ്‌റ്റിസിറ്റി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഇത് റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ പക്ഷപാതപരമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ കാര്യക്ഷമത കുറയ്ക്കുന്നതിനെയാണ് ഹെറ്ററോസ്‌സെഡസ്‌റ്റിസിറ്റി പ്രധാനമായും ബാധിക്കുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശകിനായി ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത് പ്രത്യേകിച്ചും ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, ഇതിൻ്റെ ഉപയോഗം ഘടകത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ഏകീകൃത വ്യാപനം അനുമാനിക്കുന്നു. റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ നിഷ്പക്ഷതയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഇത് പ്രാഥമികമായി അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തെയും ഘടകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഹോമോസ്‌സെഡസ്‌റ്റിസിറ്റി പരീക്ഷിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യക്തവും കർക്കശമല്ലാത്തതും വൈദഗ്‌ധ്യം ആവശ്യമുള്ളതുമായ ഒരു മാർഗം, ശരാശരി കണക്കാക്കിയ (സൈദ്ധാന്തിക) ഫലമായ ആട്രിബ്യൂട്ടിനെയോ അനുബന്ധ കോറിലേഷൻ ഫീൽഡുകളിലെയോ അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം ഗ്രാഫിക്കായി പഠിക്കുക എന്നതാണ്. ഹെറ്ററോസെഡസ്‌റ്റിസിറ്റി പഠിക്കുന്നതിനും വിലയിരുത്തുന്നതിനുമുള്ള അനലിറ്റിക്കൽ രീതികൾ കൂടുതൽ കർശനമാണ്. ഹെറ്ററോസ്‌സെഡസ്‌റ്റിസിറ്റിയുടെ കാര്യമായ സാന്നിധ്യമുണ്ടെങ്കിൽ, OLS-ന് പകരം പൊതുവായ OLS (GLM) ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് ഉചിതം.

OLS-ൻ്റെ ഉപയോഗത്തിൽ നിന്ന് ഉണ്ടാകുന്ന ഒന്നിലധികം റിഗ്രഷൻ ആവശ്യകതകൾക്ക് പുറമേ, മോഡലിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വേരിയബിളുകളുടെ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കേണ്ടതും ആവശ്യമാണ്. ഇവയിൽ, ഒന്നാമതായി, നൽകിയിരിക്കുന്ന നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ (1 മുതൽ 7 വരെ) മോഡൽ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം സംബന്ധിച്ച ആവശ്യകതകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. അല്ലെങ്കിൽ, റിഗ്രഷൻ പാരാമീറ്ററുകൾ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് അപ്രധാനമായിരിക്കും. എൽഎസ്എം നടപ്പിലാക്കുമ്പോൾ അനുബന്ധ സംഖ്യാ രീതികൾ പ്രയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലപ്രാപ്തിയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കിയ പാരാമീറ്ററുകളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കൂടുതലായിരിക്കണം (സമവാക്യങ്ങളുടെ സമ്പ്രദായത്തിൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം ആവശ്യപ്പെട്ട എണ്ണത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. വേരിയബിളുകൾ).

അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളുടെ കാര്യമായ വികസനവും പരിഗണനയിലുള്ള ഫലങ്ങളുടെ സ്റ്റാറ്റിക് പ്രാധാന്യം തിരിച്ചറിയുന്നതിനുള്ള മാനദണ്ഡങ്ങളുടെ മെച്ചപ്പെടുത്തലുമാണ് ഇക്കണോമെട്രിക്സിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട നേട്ടം. ഇക്കാര്യത്തിൽ, വ്യത്യസ്ത അളവുകളിൽ പ്രകടമായ ഹെറ്ററോസ്‌കെഡാസ്‌റ്റിസിറ്റി കാരണം പരമ്പരാഗത OLS ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള അസാധ്യതയോ അപ്രായോഗികതയോ ഒരു സാമാന്യവൽക്കരിച്ച OLS (GLM) വികസിപ്പിക്കുന്നതിലേക്ക് നയിച്ചു. വാസ്തവത്തിൽ, റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ നിഷ്പക്ഷവും കാര്യക്ഷമവും സ്ഥിരതയുള്ളതുമായ എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉറപ്പാക്കുന്നതിന് മോഡൽ ക്രമീകരിക്കുന്നതും അതിൻ്റെ സ്പെസിഫിക്കേഷൻ മാറ്റുന്നതും യഥാർത്ഥ ഡാറ്റയെ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതും ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ശരാശരി പൂജ്യമാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ അവയുടെ വ്യാപനം സ്ഥിരമല്ല, മറിച്ച് K i യുടെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമാണ്, ഇവിടെ ഈ മൂല്യങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്തമായ ആനുപാതിക ഗുണകങ്ങളാണ്. ഘടകം x. അതിനാൽ, ഈ ഗുണകങ്ങളാണ് (K i മൂല്യങ്ങൾ) ചിതറിക്കിടക്കുന്നതിൻ്റെ വൈവിധ്യത്തെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത്. സ്വാഭാവികമായും, ഈ ആനുപാതിക ഗുണകങ്ങളുടെ ഒരു പൊതു ഘടകമായ വിതരണത്തിൻ്റെ അളവ് തന്നെ അജ്ഞാതമാണെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒറിജിനൽ മോഡൽ, ഈ ഗുണകങ്ങളെ ഒന്നിലധികം റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിലേക്ക് അവതരിപ്പിച്ചതിന് ശേഷം, ഹെറ്ററോസ്സെഡാസ്റ്റിക് ആയി തുടരുന്നു (കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, മോഡലിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ ഇവയാണ്). ഈ അവശിഷ്ടങ്ങൾ (അവശിഷ്ടങ്ങൾ) യാന്ത്രികമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കരുത്. i-th നിരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലമായി രേഖപ്പെടുത്തിയ പ്രാരംഭ മോഡൽ വേരിയബിളുകളെ ആനുപാതിക ഗുണകങ്ങളുടെ K i എന്ന വർഗ്ഗമൂലത്താൽ ഹരിച്ചുകൊണ്ട് ലഭിച്ച പുതിയ വേരിയബിളുകൾ നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം. രൂപാന്തരപ്പെട്ട വേരിയബിളുകളിൽ നമുക്ക് ഒരു പുതിയ സമവാക്യം ലഭിക്കും, അതിൽ അവശിഷ്ടങ്ങൾ ഹോമോസ്‌സെഡാസ്റ്റിക് ആയിരിക്കും. പുതിയ വേരിയബിളുകൾ തന്നെ വെയ്റ്റഡ് പഴയ (യഥാർത്ഥ) വേരിയബിളുകളാണ്.

അതിനാൽ, ഹോമോസെഡസ്റ്റിക് അവശിഷ്ടങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ രീതിയിൽ ലഭിച്ച പുതിയ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകളുടെ ഏകദേശ കണക്ക് വെയ്റ്റഡ് മിനിസ്റ്റ് സ്ക്വയർ രീതിയിലേക്ക് കുറയ്ക്കും (സാരാംശത്തിൽ, ഇത് OLS രീതിയാണ്). റിഗ്രഷൻ വേരിയബിളുകൾക്ക് പകരം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള അവയുടെ വ്യതിയാനങ്ങൾ, റിഗ്രഷൻ ഗുണകങ്ങളുടെ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതവും സ്റ്റാൻഡേർഡ് (യൂണിഫോം) രൂപവും കൈക്കൊള്ളുന്നു, ന്യൂമറേറ്ററിലെയും ഡിനോമിനേറ്ററിലെയും തിരുത്തൽ ഘടകം 1/K പ്രകാരം OLS-നും OLS-നും അല്പം വ്യത്യസ്തമാണ്. റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് നൽകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യ.

രൂപാന്തരപ്പെടുത്തിയ (ക്രമീകരിച്ച) മോഡലിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ ആനുപാതിക ഗുണകങ്ങളുടെ കെ ഐയുടെ അടിസ്ഥാനമായി ഏത് ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നത് ഓർമിക്കേണ്ടതാണ്. അവശിഷ്ടങ്ങൾ ഫാക്ടർ മൂല്യങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമാണെന്ന് പലപ്പോഴും അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. ക്രമത്തിലെ അവസാന ഘടകത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് ആനുപാതികമാണ് പിശകുകൾ എന്ന സിദ്ധാന്തം അംഗീകരിക്കപ്പെടുമ്പോൾ മോഡൽ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപം സ്വീകരിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ സോഴ്‌സ് വേരിയബിളുകളുമായുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് OLS-ൻ്റെ പ്രവർത്തനവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ റിഗ്രഷൻ പാരാമീറ്ററുകൾ നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ രൂപാന്തരപ്പെട്ട വേരിയബിളുകളുടെ ചെറിയ മൂല്യങ്ങളുള്ള നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഭാരം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നത് OLS സാധ്യമാക്കുന്നു. എന്നാൽ ഈ പുതിയ വേരിയബിളുകൾക്ക് ഇതിനകം മറ്റൊരു സാമ്പത്തിക ഉള്ളടക്കം ലഭിക്കുന്നു.

ഘടകത്തിൻ്റെ വലിപ്പത്തിന് അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ആനുപാതികതയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തത്തിന് ഒരു യഥാർത്ഥ അടിത്തറ ഉണ്ടായിരിക്കാം. ഒരേ സമയം വലുതും ചെറുതുമായ സംരംഭങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ, ഒരു നിശ്ചിത ഏകീകൃത ഡാറ്റ പ്രോസസ് ചെയ്യപ്പെടട്ടെ. അപ്പോൾ ഘടകത്തിൻ്റെ വലിയ വോള്യൂമെട്രിക് മൂല്യങ്ങൾ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ വലിയ വിതരണത്തിനും ശേഷിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങളുടെ വലിയ വിതരണത്തിനും യോജിക്കും. കൂടാതെ, OLS ൻ്റെ ഉപയോഗവും ആപേക്ഷിക മൂല്യങ്ങളിലേക്കുള്ള അനുബന്ധ പരിവർത്തനവും ഘടകം വ്യതിയാനം കുറയ്ക്കുക മാത്രമല്ല, പിശക് വ്യത്യാസം കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ, റിഗ്രഷൻ മോഡലുകളിലെ ഹെറ്ററോസ്‌കെഡാസ്റ്റിസിറ്റി കണക്കിലെടുക്കുന്നതിനും ശരിയാക്കുന്നതിനുമുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസ് OLS-ൻ്റെ ഉപയോഗത്തിലൂടെ സാക്ഷാത്കരിക്കപ്പെടുന്നു.

വെയ്റ്റഡ് OLS രൂപത്തിൽ OLS നടപ്പിലാക്കുന്നതിനുള്ള മേൽപ്പറഞ്ഞ സമീപനം തികച്ചും പ്രായോഗികമാണ് - ഇത് ലളിതമായി നടപ്പിലാക്കുകയും സുതാര്യമായ സാമ്പത്തിക വ്യാഖ്യാനവുമുണ്ട്. തീർച്ചയായും, ഇത് ഏറ്റവും സാധാരണമായ സമീപനമല്ല, ഇക്കണോമെട്രിക്സിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക അടിത്തറയായി വർത്തിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ, OLS നടപ്പിലാക്കുന്ന കൂടുതൽ കർശനമായ ഒരു രീതി ഞങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു. പൊതുവായ കാഴ്ച. അതിൽ, നിങ്ങൾ പിശക് വെക്റ്ററിൻ്റെ (അവശിഷ്ട കോളം) കോവേരിയൻസ് മാട്രിക്സ് അറിയേണ്ടതുണ്ട്. പ്രായോഗിക സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഇത് സാധാരണയായി അന്യായമാണ്, മാത്രമല്ല ഈ മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നത് അസാധ്യമാണ്. അതിനാൽ, പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, മാട്രിക്സിന് പകരം അനുബന്ധ ഫോർമുലകളിൽ അത്തരമൊരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ മാട്രിക്സ് എങ്ങനെയെങ്കിലും കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അങ്ങനെ, OMNC യുടെ വിവരിച്ച രൂപം അത്തരം വിലയിരുത്തലുകളിൽ ഒന്നിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഇതിനെ ചിലപ്പോൾ ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്ന സാമാന്യവൽക്കരിച്ച ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചതുരങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

OLS ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ ഫിറ്റിൻ്റെ ഗുണനിലവാരത്തിൻ്റെ തൃപ്തികരമായ അളവുകോലായി നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകം പ്രവർത്തിക്കില്ല എന്നതും കണക്കിലെടുക്കേണ്ടതാണ്. OLS-ൻ്റെ ഉപയോഗത്തിലേക്ക് മടങ്ങുമ്പോൾ, വെളുത്ത രൂപത്തിൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനുകൾ (സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശകുകൾ) ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതിക്ക് മതിയായ സാമാന്യതയുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. പിശക് വെക്റ്ററിൻ്റെ കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സ് ഡയഗണൽ ആണെങ്കിൽ ഈ രീതി ബാധകമാണ്. അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ (പിശകുകൾ) സ്വയമേവയുള്ള ബന്ധമുണ്ടെങ്കിൽ, കോവേരിയൻസ് മാട്രിക്സിലും പ്രധാന ഡയഗണലിനു പുറത്തും പൂജ്യമല്ലാത്ത ഘടകങ്ങൾ (ഗുണകങ്ങൾ) ഉള്ളപ്പോൾ, നെവ് വെസ്റ്റ് ഫോമിൽ കൂടുതൽ പൊതുവായ ഒരു സാധാരണ പിശക് രീതി ഉപയോഗിക്കണം. ഒരു പ്രധാന പരിമിതിയുണ്ട്: പ്രധാന ഡയഗണലിന് പുറമെ പൂജ്യമല്ലാത്ത മൂലകങ്ങൾ, പ്രധാന ഡയഗണലിൽ നിന്ന് ഒരു നിശ്ചിത തുകയിൽ കൂടാത്ത അകലത്തിൽ, അടുത്തുള്ള ഡയഗണലുകളിൽ മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ.

മേൽപ്പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന് ഹെറ്ററോസ്‌സെഡസ്‌റ്റിസിറ്റിക്കായി ഡാറ്റ പരിശോധിക്കാൻ കഴിയേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ചുവടെയുള്ള പരിശോധനകൾ ഈ ലക്ഷ്യം നിറവേറ്റുന്നു. ബദൽ സിദ്ധാന്തത്തിനെതിരായ അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ തുല്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രധാന സിദ്ധാന്തം അവർ പരിശോധിക്കുന്നു (ഈ അനുമാനങ്ങളുടെ അസമത്വത്തെക്കുറിച്ച്). കൂടാതെ, ഹെറ്ററോസ്‌സെഡസ്‌റ്റിസിറ്റിയുടെ സ്വഭാവത്തിന് മുൻഗണനയുള്ള ഘടനാപരമായ നിയന്ത്രണങ്ങളുണ്ട്. Goldfeld-Quandt ടെസ്റ്റ് സാധാരണയായി ചില സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യത്തെ നേരിട്ട് ആശ്രയിക്കുന്ന പിശക് വ്യത്യാസം (അവശിഷ്ടം) എന്ന അനുമാനം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ പരിശോധന ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കീം ഇപ്രകാരമാണ്. ആദ്യം, ഹെറ്ററോസ്‌സെഡസ്‌റ്റിസിറ്റി സംശയിക്കപ്പെടുന്ന സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ അവരോഹണ ക്രമത്തിലാണ് ഡാറ്റ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഈ ഓർഡർ ഡാറ്റ സെറ്റ് പിന്നീട് ശരാശരി കുറച്ച് നിരീക്ഷണങ്ങളെ ഇല്ലാതാക്കുന്നു, ഇവിടെ "കുറച്ച്" എന്ന വാക്കിൻ്റെ അർത്ഥം ഏകദേശം നാലിലൊന്ന് (25%) മൊത്തം എണ്ണംഎല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളും. അടുത്തതായി, ശേഷിക്കുന്ന (എലിമിനേഷനുശേഷം) ശരാശരി നിരീക്ഷണങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേതും ഈ ശേഷിക്കുന്ന ശരാശരി നിരീക്ഷണങ്ങളിൽ അവസാനത്തെ രണ്ടെണ്ണത്തിൽ രണ്ട് സ്വതന്ത്ര റിഗ്രഷനുകൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഇതിനുശേഷം, രണ്ട് അനുബന്ധ ശേഷിപ്പുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നു. അവസാനമായി, ഫിഷർ എഫ് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു, പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള അനുമാനം ശരിയാണെങ്കിൽ, എഫ് തീർച്ചയായും ഫിഷർ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനാണ്. അപ്പോൾ ഈ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിൻ്റെ ഒരു വലിയ മൂല്യം അർത്ഥമാക്കുന്നത് പരീക്ഷിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കപ്പെടണം എന്നാണ്. എലിമിനേഷൻ നടപടിയില്ലാതെ, ഈ പരിശോധനയുടെ ശക്തി കുറയുന്നു.

വ്യതിയാനങ്ങൾ ചില അധിക വേരിയബിളുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ ബ്രൂഷ്-പാഗൻ ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആദ്യം, സാധാരണ (സ്റ്റാൻഡേർഡ്) റിഗ്രഷൻ നടത്തുകയും അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ ഒരു വെക്റ്റർ ലഭിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. തുടർന്ന് ഒരു വേരിയൻസ് എസ്റ്റിമേറ്റ് നിർമ്മിക്കുന്നു. അടുത്തതായി, എംപിരിയൽ വേരിയൻസ് (വേരിയൻസ് എസ്റ്റിമേറ്റ്) കൊണ്ട് ഹരിച്ച അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ സ്ക്വയർ വെക്റ്ററിൻ്റെ ഒരു റിഗ്രഷൻ നടത്തുന്നു. അതിനായി (റിഗ്രഷൻ), വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ വിശദീകരിച്ച ഭാഗം കണ്ടെത്തി. ഇതിനായി, വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം, പകുതിയായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു. ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തം ശരിയാണെങ്കിൽ (ഹെറ്ററോസ്സെഡാസ്റ്റിസിറ്റി ശരിയല്ല), ഈ മൂല്യത്തിന് ഒരു വിതരണമുണ്ട് ഹി-സമചതുരം Samachathuram. നേരെമറിച്ച്, ടെസ്റ്റ് ഹെറ്ററോസ്‌കെഡാസ്‌റ്റിസിറ്റി വെളിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ, അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ വെക്‌ടറിൻ്റെ ഘടകങ്ങളെ നിരീക്ഷിച്ച സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ വെക്‌ടറിൻ്റെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ് യഥാർത്ഥ മോഡൽ രൂപാന്തരപ്പെടുന്നത്.

36. വെളുത്ത രൂപത്തിൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ രീതി.

ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാനാകും. ഹെറ്ററോസ്‌കെഡാസ്‌റ്റിസിറ്റിയുടെ സാന്നിധ്യത്തിൽ OLS-ൻ്റെ ഉപയോഗം വെയ്റ്റഡ് സ്‌ക്വയർഡ് ഡീവിയേഷനുകളുടെ ആകെത്തുക കുറയ്‌ക്കുന്നു. ലഭ്യമായ OLS-ൻ്റെ ഉപയോഗം കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്ററുകളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ വലിയ അളവിലുള്ള നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ആവശ്യകതയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. OLS ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും അനുകൂലമായ കേസ്, പിശക് (അവശിഷ്ടങ്ങൾ) ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിന് ആനുപാതികമാകുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ സ്ഥിരമാകുകയും ചെയ്യുന്ന സന്ദർഭമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഭിന്നശേഷിയുള്ള ഒരു മോഡലിൽ OLS അല്ല, സാധാരണ OLS ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, സ്ഥിരമായ എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, വൈറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ നെവ്ജെ-വെസ്റ്റ് രൂപത്തിൽ പിശക് എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കാം.

സമയ ശ്രേണി വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, വ്യത്യസ്ത സമയങ്ങളിൽ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ആശ്രിതത്വം കണക്കിലെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പരസ്പര ബന്ധമില്ലാത്ത പിശകുകളുടെ അനുമാനം തൃപ്തികരമല്ല. നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ലളിതമായ മോഡൽ, ഇതിൽ പിശകുകൾ ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഓട്ടോറിഗ്രസീവ് പ്രക്രിയയായി മാറുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പിശകുകൾ ഒരു ലളിതമായ ആവർത്തന ബന്ധത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അതിൻ്റെ വലത് വശത്ത് പദങ്ങളിലൊന്ന് പൂജ്യം ശരാശരിയും സ്ഥിരമായ വ്യതിയാനവുമുള്ള സ്വതന്ത്ര സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ്. രണ്ടാമത്തെ പദം പാരാമീറ്ററിൻ്റെ (ഓട്ടോറെഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്) മുൻകാല ഘട്ടത്തിലെ അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ്. പിശക് മൂല്യങ്ങളുടെ (അവശിഷ്ടങ്ങൾ) ക്രമം തന്നെ ഒരു നിശ്ചലമായ ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയയായി മാറുന്നു. ഒരു നിശ്ചലമായ ക്രമരഹിതമായ പ്രക്രിയയുടെ സവിശേഷത കാലക്രമേണ അതിൻ്റെ സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ സ്ഥിരതയാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും, ശരാശരിയും വ്യതിയാനവും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള കോവേറിയൻസ് മാട്രിക്സ് (അതിൻ്റെ നിബന്ധനകൾ) പാരാമീറ്ററിൻ്റെ ശക്തികൾ ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ എഴുതാം.

അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു പരാമീറ്ററിനുള്ള ഓട്ടോറിഗ്രസീവ് മോഡലിൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റ് OLS ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് റിഗ്രഷൻ മോഡലിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന പിശകുകൾ ഒരു മോഡലിലേക്ക് ലളിതമായ പരിവർത്തനത്തിലൂടെ യഥാർത്ഥ മോഡലിനെ ചുരുക്കിയാൽ മതിയാകും. ഇത് വളരെ അപൂർവമാണ്, പക്ഷേ ഇപ്പോഴും ഓട്ടോറിഗ്രഷൻ പാരാമീറ്റർ അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു സാഹചര്യമുണ്ട്. അതിനാൽ, ഒരു അജ്ഞാത ഓട്ടോറിഗ്രസീവ് പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് എസ്റ്റിമേഷൻ നടത്തേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ്. അത്തരം വിലയിരുത്തലിനായി ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന മൂന്ന് നടപടിക്രമങ്ങളുണ്ട്. കോക്രെയ്ൻ-ഓർക്കട്ട് രീതി, ഹിൽഡ്രെത്ത്-ലു നടപടിക്രമം, ഡർബിൻ രീതി.

പൊതുവേ, ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനങ്ങൾ ശരിയാണ്. സമയ ശ്രേണി വിശകലനത്തിന് പരമ്പരാഗത OLS തിരുത്തൽ ആവശ്യമാണ്, കാരണം ഈ കേസിലെ പിശകുകൾ സാധാരണയായി പരസ്പരബന്ധിതമാണ്. പലപ്പോഴും ഈ പിശകുകൾ ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ സ്റ്റേഷണറി ഓട്ടോറിഗ്രസീവ് പ്രക്രിയയായി മാറുന്നു. ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഓട്ടോറിഗ്രഷനുള്ള OLS എസ്റ്റിമേറ്ററുകൾ നിഷ്പക്ഷവും സ്ഥിരതയുള്ളതും എന്നാൽ ഫലപ്രദമല്ലാത്തതുമാണ്. അറിയപ്പെടുന്ന ഓട്ടോറിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച്, ഒറിജിനൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ലളിതമായ പരിവർത്തനങ്ങളിലേക്കും (തിരുത്തലുകൾ) സാധാരണ OLS-ൻ്റെ പ്രയോഗത്തിലേക്കും OLS കുറയ്ക്കുന്നു. പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നതുപോലെ, ഓട്ടോറിഗ്രസീവ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് അജ്ഞാതമാണെങ്കിൽ, OLS-ന് നിരവധി നടപടിക്രമങ്ങൾ ലഭ്യമാണ്, അതിൽ അജ്ഞാതമായ പാരാമീറ്റർ (കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്) കണക്കാക്കുന്നതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു, അതിനുശേഷം അറിയപ്പെടുന്നതിൻ്റെ മുമ്പത്തെ കേസിലെ അതേ പരിവർത്തനങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു. പരാമീറ്റർ.

37. ബ്രൂഷ്-പാഗൻ ടെസ്റ്റ്, ഗോൾഡ്‌ഫെൽഡ്-ക്വാണ്ട് ടെസ്റ്റ് എന്ന ആശയം

പ്രാധാന്യമുള്ള ലെവലിൽ b = 0.05-ൽ വ്യക്തിഗത റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ പൂജ്യത്തിലേക്കുള്ള തുല്യത (ബദൽ H 1 ന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ) സംബന്ധിച്ച ഹൈപ്പോതെസിസ് H 0 പരിശോധിക്കാം.

പ്രധാന സിദ്ധാന്തം തെറ്റാണെന്ന് തെളിഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ ബദൽ സ്വീകരിക്കുന്നു. ഈ സിദ്ധാന്തം പരിശോധിക്കുന്നതിന്, വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ടി-ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിരീക്ഷണ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തിയ ടി-മാനദണ്ഡ മൂല്യത്തെ (നിരീക്ഷിച്ചതോ യഥാർത്ഥമോ എന്നും വിളിക്കുന്നു) വിദ്യാർത്ഥി വിതരണ പട്ടികകളിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്ന ടാബുലേറ്റഡ് (നിർണ്ണായക) മൂല്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നു (സാധാരണയായി ഇത് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ് അല്ലെങ്കിൽ ഇക്കണോമെട്രിക്സ് സംബന്ധിച്ച പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെയും വർക്ക്ഷോപ്പുകളുടെയും അവസാനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു).

ലീനിയർ ജോഡി റിഗ്രഷൻ്റെ കാര്യത്തിൽ (n-2) തുല്യമായ, n എന്നത് നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്, പ്രാധാന്യം ലെവലും (b) സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണവും അനുസരിച്ചാണ് പട്ടിക മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്.

ടി-ടെസ്റ്റിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം ടാബുലേറ്റഡ് മൂല്യത്തേക്കാൾ (മൊഡ്യൂളോ) കൂടുതലാണെങ്കിൽ, പ്രധാന സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കുകയും പ്രോബബിലിറ്റി (1-ബി) ഉപയോഗിച്ച് ജനസംഖ്യയിലെ പാരാമീറ്റർ അല്ലെങ്കിൽ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സ്വഭാവം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് കാര്യമായ വ്യത്യാസമുണ്ടെന്ന് കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. .

ടി-ടെസ്റ്റിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം പട്ടിക മൂല്യത്തേക്കാൾ (മോഡുലോ) കുറവാണെങ്കിൽ, പ്രധാന സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കാൻ ഒരു കാരണവുമില്ല, അതായത്. ജനസംഖ്യയിലെ ഒരു പരാമീറ്റർ അല്ലെങ്കിൽ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സ്വഭാവം പ്രാധാന്യമുള്ള ലെവലിൽ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് കാര്യമായ വ്യത്യാസമില്ല.

t crit (n-m-1;b/2) = (30;0.025) = 2.042

1.7 മുതൽ< 2.042, то статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в ഈ സാഹചര്യത്തിൽഗുണകം b അവഗണിക്കാവുന്നതാണ്.

0.56 മുതൽ< 2.042, то статистическая значимость коэффициента регрессии a не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом a можно пренебречь.

റിഗ്രഷൻ സമവാക്യ ഗുണകങ്ങൾക്കുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേള.

റിഗ്രഷൻ ഗുണകങ്ങളുടെ വിശ്വാസ്യത ഇടവേളകൾ നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം, അത് 95% വിശ്വാസ്യതയോടെ ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും:

• (b - t crit S b ; b + t crit S b)
• (0.64 - 2.042 * 0.38; 0.64 + 2.042 * 0.38)
• (-0.13;1.41)

പോയിൻ്റ് 0 (പൂജ്യം) കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെല്ലിനുള്ളിലായതിനാൽ, കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് b യുടെ ഇടവേള എസ്റ്റിമേറ്റ് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിന് അപ്രധാനമാണ്.

• (a - t crit S a ; a + t crit S a)
• (24.56 - 2.042 * 44.25; 24.56 + 2.042 * 44.25)
• (-65.79;114.91)

95% സംഭാവ്യതയോടെ, ഈ പരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തിയ ഇടവേളയിലായിരിക്കുമെന്ന് പ്രസ്താവിക്കാം.

പോയിൻ്റ് 0 (പൂജ്യം) കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെല്ലിനുള്ളിലായതിനാൽ, a എന്ന ഗുണകത്തിൻ്റെ ഇടവേള എസ്റ്റിമേറ്റ് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിന് അപ്രധാനമാണ്.

2) എഫ്-സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ്. മത്സ്യത്തൊഴിലാളി മാനദണ്ഡം.

ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള പ്രാധാന്യം പരിശോധിക്കാൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഓഫ് ഡിറ്റർമിനേഷൻ R2 ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒരു റിഗ്രഷൻ മോഡലിൻ്റെ പ്രാധാന്യം പരിശോധിക്കുന്നത് ഫിഷേഴ്‌സ് എഫ് ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ചാണ്, ഇതിൻ്റെ കണക്കാക്കിയ മൂല്യം, പഠിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന സൂചകത്തിൻ്റെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ ശ്രേണിയുടെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ അനുപാതമായും ശേഷിക്കുന്ന ശ്രേണിയുടെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പക്ഷപാതരഹിതമായ വിലയിരുത്തലായി കണ്ടെത്തി. ഈ മോഡലിന്.

k 1 =(m) ഉം k 2 =(n-m-1) ഡിഗ്രി ഫ്രീഡവുമായുള്ള കണക്കാക്കിയ മൂല്യം, നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാധാന്യ തലത്തിൽ ടാബുലേറ്റ് ചെയ്ത മൂല്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, മോഡൽ പ്രാധാന്യമുള്ളതായി കണക്കാക്കുന്നു.

ഇവിടെ m എന്നത് മോഡലിലെ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്.

ജോടിയാക്കിയ ലീനിയർ റിഗ്രഷൻ്റെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രാധാന്യം ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് വിലയിരുത്തുന്നു:

• 1. സമവാക്യം മൊത്തത്തിൽ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് അപ്രധാനമാണെന്ന് ഒരു ശൂന്യ സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കുന്നു: H 0: R 2 =0 പ്രാധാന്യ തലത്തിൽ b.
• 2. അടുത്തതായി, F-മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുക:

പെയർവൈസ് റിഗ്രഷനുള്ള m=1 ഇവിടെ.

3. ഫിഷർ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ടേബിളിൽ നിന്ന് ഒരു നിശ്ചിത പ്രാധാന്യമുള്ള ലെവലിനായി ടാബുലേറ്റഡ് മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, മൊത്തം സ്ക്വയറുകളുടെ (വലിയ വേരിയൻസ്) സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം 1 ആണെന്നും ബാക്കിയുള്ളവയുടെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണവും കണക്കിലെടുക്കുന്നു. ലീനിയർ റിഗ്രഷനിലെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക (ചെറിയ വേരിയൻസ്) n-2 ആണ്.

എഫ് പട്ടികയാണ് പരമാവധി സാധ്യമായ അർത്ഥംനൽകിയിരിക്കുന്ന അളവിലുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യവും പ്രാധാന്യവും ഉള്ള ക്രമരഹിതമായ ഘടകങ്ങളുടെ സ്വാധീനത്തിലുള്ള മാനദണ്ഡം ബി. പ്രാധാന്യ നില b - ശരിയായ സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കാനുള്ള സാധ്യത, അത് ശരിയാണെങ്കിൽ. സാധാരണയായി b എന്നത് 0.05 അല്ലെങ്കിൽ 0.01 ന് തുല്യമാണ്.

4. എഫ്-ടെസ്റ്റിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം പട്ടിക മൂല്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കാൻ ഒരു കാരണവുമില്ലെന്ന് അവർ പറയുന്നു.

അല്ലാത്തപക്ഷം, ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കുകയും പ്രോബബിലിറ്റി (1-ബി) ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രാധാന്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഇതര സിദ്ധാന്തം അംഗീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

k 1 =1, k 2 =30, F ടേബിൾ = 4.17 എന്നീ ഡിഗ്രികളുള്ള മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ പട്ടിക മൂല്യം

എഫിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം മുതൽ< F табл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

ഫിഷർ എഫ്-ടെസ്റ്റും സ്റ്റുഡൻ്റ് ടി-സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം തുല്യതയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു:

റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണനിലവാര സൂചകങ്ങൾ.

അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ യാന്ത്രികബന്ധം പരിശോധിക്കുന്നു.

OLS ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഗുണപരമായ റിഗ്രഷൻ മോഡൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പ്രധാന മുൻവ്യവസ്ഥ മറ്റെല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളിലെയും വ്യതിയാനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള ക്രമരഹിതമായ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യമാണ്. ഏതെങ്കിലും വ്യതിയാനങ്ങൾ തമ്മിൽ യാതൊരു ബന്ധവുമില്ലെന്ന് ഇത് ഉറപ്പാക്കുന്നു, പ്രത്യേകിച്ച്, അടുത്തുള്ള വ്യതിയാനങ്ങൾ തമ്മിൽ.

ഓട്ടോകോറിലേഷൻ (സീരിയൽ കോറിലേഷൻ) സമയം (ടൈം സീരീസ്) അല്ലെങ്കിൽ സ്പേസ് (ക്രോസ് സീരീസ്) ക്രമീകരിച്ച നിരീക്ഷിച്ച സൂചകങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള പരസ്പര ബന്ധമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. സമയ ശ്രേണി ഡാറ്റ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ റിഗ്രഷൻ വിശകലനത്തിൽ അവശിഷ്ടങ്ങളുടെ (വ്യതിയാനങ്ങൾ) ഓട്ടോകോറിലേഷൻ സാധാരണമാണ്, ക്രോസ്-സെക്ഷണൽ ഡാറ്റ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ വളരെ അപൂർവമാണ്.

സാമ്പത്തിക പ്രശ്നങ്ങളിൽ, നെഗറ്റീവ് ഓട്ടോകോറിലേഷനേക്കാൾ പോസിറ്റീവ് ഓട്ടോകോറിലേഷൻ വളരെ സാധാരണമാണ്. മിക്ക കേസുകളിലും, പോസിറ്റീവ് ഓട്ടോകോറിലേഷൻ ദിശാബോധം മൂലമാണ് ഉണ്ടാകുന്നത് നിരന്തരമായ എക്സ്പോഷർമോഡലിൽ ചില ഘടകങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ല.

നെഗറ്റീവ് ഓട്ടോകോറിലേഷൻ അടിസ്ഥാനപരമായി അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു പോസിറ്റീവ് ഡീവിയേഷനുശേഷം ഒരു നെഗറ്റീവ്, തിരിച്ചും എന്നാണ്. ശീതളപാനീയങ്ങളുടെ ആവശ്യകതയും വരുമാനവും തമ്മിലുള്ള അതേ ബന്ധം സീസണൽ ഡാറ്റ (ശീതകാല-വേനൽക്കാലം) അനുസരിച്ച് പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ സാഹചര്യം ഉണ്ടാകാം.

യാന്ത്രിക ബന്ധത്തിന് കാരണമാകുന്ന പ്രധാന കാരണങ്ങളിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾപ്പെടുന്നു:

• 1. സ്പെസിഫിക്കേഷൻ പിശകുകൾ. മോഡലിലെ ഏതെങ്കിലും പ്രധാനപ്പെട്ട വിശദീകരണ വേരിയബിൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നതിൽ പരാജയപ്പെടുന്നത് അല്ലെങ്കിൽ ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൻ്റെ തെറ്റായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് സാധാരണയായി റിഗ്രഷൻ ലൈനിൽ നിന്നുള്ള നിരീക്ഷണ പോയിൻ്റുകളുടെ വ്യവസ്ഥാപരമായ വ്യതിയാനങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, ഇത് യാന്ത്രിക ബന്ധത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം.
• 2. ജഡത്വം. പലതും സാമ്പത്തിക സൂചകങ്ങൾ(പണപ്പെരുപ്പം, തൊഴിലില്ലായ്മ, ജിഎൻപി മുതലായവ) ബിസിനസ്സ് പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അലസതയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു നിശ്ചിത ചാക്രിക സ്വഭാവമുണ്ട്. അതിനാൽ, സൂചകങ്ങളിലെ മാറ്റം തൽക്ഷണം സംഭവിക്കുന്നില്ല, പക്ഷേ ഒരു നിശ്ചിത ജഡത്വമുണ്ട്.
• 3. സ്പൈഡർ വെബ് പ്രഭാവം. പല ഉൽപ്പാദനത്തിലും മറ്റ് മേഖലകളിലും, സാമ്പത്തിക സൂചകങ്ങൾ സാമ്പത്തിക സാഹചര്യങ്ങളിലെ മാറ്റങ്ങളോട് കാലതാമസത്തോടെ പ്രതികരിക്കുന്നു (സമയ കാലതാമസം).
• 4. ഡാറ്റ സുഗമമാക്കൽ. മിക്കപ്പോഴും, ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിലേക്കുള്ള ഡാറ്റ അതിൻ്റെ ഘടക ഇടവേളകളിൽ ശരാശരി ഡാറ്റയാണ് ലഭിക്കുന്നത്. ഇത് പരിഗണനയിലിരിക്കുന്ന കാലയളവിനുള്ളിൽ സംഭവിച്ച ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾ ഒരു നിശ്ചിത സുഗമമാക്കുന്നതിന് ഇടയാക്കും, ഇത് സ്വയം പരസ്പര ബന്ധത്തിന് കാരണമാകും.

ഓട്ടോകോറിലേഷൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങൾ ഹെറ്ററോസ്‌കെഡാസ്റ്റിസിറ്റിയുടെ അനന്തരഫലങ്ങൾക്ക് സമാനമാണ്: റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റിൻ്റെയും നിർണ്ണയത്തിൻ്റെ ഗുണകത്തിൻ്റെയും പ്രാധാന്യം നിർണ്ണയിക്കുന്ന t-, F- സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ നിന്നുള്ള നിഗമനങ്ങൾ തെറ്റാകാൻ സാധ്യതയുണ്ട്.