տուն Օրթոպեդիա Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում. Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսակները, լուծման մեթոդները

Օրթոպեդիա

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում. Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսակները, լուծման մեթոդները

Առաջին կարգը, ունենալով $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, որտեղ $P\left(x\right)$-ը շարունակական ֆունկցիա է, կոչվում է գծային միատարր: Անունը «գծային» բացատրվում է այն փաստով, որ $y$ անհայտ ֆունկցիան և նրա առաջին ածանցյալը $y"$ ներառված են հավասարման մեջ գծային, այսինքն՝ մինչև առաջին աստիճանը։ «Համասեռ» անվանումը գալիս է նրանից, որ հավասարման աջ կողմում կա զրո։

Նման դիֆերենցիալ հավասարումը կարող է լուծվել փոփոխականների տարանջատման մեթոդով: Եկեք պատկերացնենք այն ներսում ստանդարտ ձևմեթոդ՝ $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, որտեղ $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\աջ)$ և $f_(2) \ձախ(y\աջ)=y$:

Եկեք հաշվարկենք $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $ ինտեգրալը:

Եկեք հաշվարկենք ինտեգրալը $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right |$ .

Կատարենք փոխակերպումները.

Օգտագործելով լոգարիթմի սահմանումը, մենք ստանում ենք՝ $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx) $ . Այս հավասարությունն իր հերթին համարժեք է $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx) $ հավասարությանը:

Փոխարինելով $C=\pm C_(1) $ կամայական հաստատունը՝ ստանում ենք գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը՝ $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx: ) $.

Լուծելով $f_(2) \left(y\right)=y=0$ հավասարումը, գտնում ենք հատուկ լուծումներ։ Սովորական ստուգմամբ մենք համոզվում ենք, որ $y=0$ ֆունկցիան այս դիֆերենցիալ հավասարման հատուկ լուծումն է։

Սակայն նույն լուծումը կարելի է ստանալ $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx) $ ընդհանուր լուծումից՝ մեջը դնելով $C=0$։

Այսպիսով, վերջնական արդյունքը հետևյալն է. $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx) $:

Առաջին կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման լուծման ընդհանուր մեթոդը կարող է ներկայացվել հետևյալ ալգորիթմի տեսքով.

Այս հավասարումը լուծելու համար այն նախ պետք է ներկայացվի $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ մեթոդի ստանդարտ ձևով: Եթե դա չի ստացվել, ապա այս դիֆերենցիալ հավասարումը պետք է լուծվի հետևյալ կերպ. այլ մեթոդ.
Մենք հաշվարկում ենք $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $ ինտեգրալը։
Ընդհանուր լուծումը գրում ենք $y=C\cdot e^(-I) $ ձևով և անհրաժեշտության դեպքում կատարում ենք պարզեցնող փոխակերպումներ։

Խնդիր 1

Գտե՛ք $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը։

Մենք ունենք ստանդարտ ձևով առաջին կարգի գծային միատարր հավասարում, որի համար $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $:

Մենք հաշվարկում ենք $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $ ինտեգրալը։

Ընդհանուր լուծումն ունի $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $:

Առաջին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ

Սահմանում

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում, որը կարող է ներկայացվել $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, որտեղ $P\left(x\աջ)$ և $ Q\left(x\right)$ -- հայտնի է շարունակական գործառույթներ, կոչվում է գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարում։ «Անհամասեռ» անվանումը բացատրվում է նրանով, որ դիֆերենցիալ հավասարման աջ կողմը զրոյական չէ։

Մեկ բարդ գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը կարող է կրճատվել երկու պարզագույնի լուծման դիֆերենցիալ հավասարումներ. Դա անելու համար անհրաժեշտ $y$ ֆունկցիան պետք է փոխարինել $u$ և $v$ երկու օժանդակ ֆունկցիաների արտադրյալով, այսինքն՝ դնել $y=u\cdot v$։

Մենք տարբերակում ենք ընդունված փոխարինումը. $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $: Ստացված արտահայտությունը փոխարինում ենք այս դիֆերենցիալ հավասարման մեջ. $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ ձախ(x\աջ)$ կամ $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\աջ)\cdot v\ աջ] =Q\ձախ(x\աջ)$:

Նկատի ունեցեք, որ եթե $y=u\cdot v$-ն ընդունված է, ապա օժանդակ գործառույթներից մեկը կարող է կամայականորեն ընտրվել որպես $u\cdot v$ արտադրանքի մաս: Եկեք ընտրենք $v$ օժանդակ ֆունկցիան, որպեսզի քառակուսի փակագծերի արտահայտությունը դառնա զրո: Դա անելու համար բավական է $v$ ֆունկցիայի համար լուծել $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ դիֆերենցիալ հավասարումը և ընտրել դրա համար ամենապարզ կոնկրետ լուծումը: $v=v\ ձախ (x \աջ)$, ոչ զրոյական: Այս դիֆերենցիալ հավասարումը գծային միատարր է և լուծվում է վերը քննարկված մեթոդով:

Ստացված $v=v\left(x\right)$ լուծումը փոխարինում ենք այս դիֆերենցիալ հավասարման մեջ՝ հաշվի առնելով այն փաստը, որ այժմ քառակուսի փակագծերի արտահայտությունը հավասար է զրոյի, և մենք ստանում ենք մեկ այլ դիֆերենցիալ հավասարում, բայց այժմ՝ կապված. օժանդակ գործառույթին $u$՝ $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$: Այս դիֆերենցիալ հավասարումը կարող է ներկայացվել $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $, որից հետո ակնհայտ է դառնում, որ այն թույլ է տալիս անմիջապես ինտեգրում։ Այս դիֆերենցիալ հավասարման համար անհրաժեշտ է գտնել ընդհանուր լուծում $u=u\left(x,\; C\right)$ ձևով։

Այժմ մենք կարող ենք գտնել այս առաջին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ ձևով:

Առաջին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման լուծման ընդհանուր մեթոդը կարող է ներկայացվել հետևյալ ալգորիթմի տեսքով.

Այս հավասարումը լուծելու համար այն նախ պետք է ներկայացվի $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ մեթոդի ստանդարտ ձևով: Եթե դա չի հաջողվել, ապա այս դիֆերենցիալ հավասարումը պետք է լուծվի մեկ այլ մեթոդով:
Մենք հաշվարկում ենք $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx $ ինտեգրալը, գրում ենք որոշակի լուծում $v\left(x\right)=e^(-I_(1) տեսքով: ) $, կատարեք պարզեցնող փոխակերպումներ և ընտրեք ամենապարզ ոչ զրոյական տարբերակը $v\left(x\right)$-ի համար։
Հաշվում ենք $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $ ինտեգրալը, որից հետո արտահայտությունը գրում ենք $u ձևով. \left(x, C\right)=I_(2) +C$.
Այս գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը գրում ենք $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ ձևով և անհրաժեշտության դեպքում կատարում ենք պարզեցնող փոխակերպումներ։

Խնդիր 2

Գտե՛ք $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Մենք ունենք առաջին կարգի գծային անհամասեռ հավասարում ստանդարտ ձևով, որի համար $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ և $Q\left(x\right)=3\cdot x $.

Մենք հաշվարկում ենք ինտեգրալը $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Մենք գրում ենք որոշակի լուծում $v\left(x\right)=e^(-I_(1)) $ ձևով և կատարում ենք պարզեցնող փոխակերպումներ՝ $v\left(x\right)=e^(\ln \left: |x\ ճիշտ|) $; $\ln v\left(x\right)=\ln \ձախ|x\աջ|$; $v\left(x\right)=\ձախ|x\աջ|$: $v\left(x\right)$-ի համար մենք ընտրում ենք ամենապարզ ոչ զրոյական տարբերակը՝ $v\left(x\right)=x$:

Մենք հաշվարկում ենք $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) ինտեգրալը ) \ cdot dx=3\cdot x $.

Գրում ենք $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$ արտահայտությունը։

Մենք վերջապես գրում ենք այս գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, այսինքն՝ $y=\left( 3\cdot x+C \right)\cdot x$.

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծված ածանցյալի նկատմամբ

Ինչպես լուծել առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումները

Եկեք ունենանք առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում, որը լուծված է ածանցյալի նկատմամբ.
.
Այս հավասարումը բաժանելով , ժամը -ի վրա, մենք ստանում ենք ձևի հավասարումը:
,
Որտեղ.

Հաջորդը, մենք նայում ենք, թե արդյոք այս հավասարումները պատկանում են ստորև թվարկված տեսակներից մեկին: Եթե ոչ, ապա մենք կվերագրենք հավասարումը դիֆերենցիալների տեսքով: Դա անելու համար մենք գրում և բազմապատկում ենք հավասարումը . Դիֆերենցիալների տեսքով հավասարում ենք ստանում.
.

Եթե այս հավասարումը հավասարում չէ լրիվ դիֆերենցիալներ, ապա մենք համարում ենք, որ այս հավասարման մեջ անկախ փոփոխական է և ֆունկցիա է . Հավասարումը բաժանեք հետևյալի.
.
Հաջորդը, մենք նայում ենք, թե արդյոք այս հավասարումը պատկանում է ստորև թվարկված տեսակներից մեկին, հաշվի առնելով, որ մենք փոխել ենք տեղերը:

Եթե այս հավասարման համար տեսակ չի գտնվել, ապա մենք տեսնում ենք, թե արդյոք հնարավոր է պարզեցնել հավասարումը պարզ փոխարինմամբ: Օրինակ, եթե հավասարումը հետևյալն է.
,
ապա մենք նկատում ենք, որ. Այնուհետև մենք կատարում ենք փոխարինում: Դրանից հետո հավասարումը կստանա ավելի պարզ ձև.
.

Եթե դա չի օգնում, ապա մենք փորձում ենք գտնել ինտեգրող գործոնը:

Բաժանելի հավասարումներ

;
.
Բաժանել ըստ և ինտեգրվել: Երբ մենք ստանում ենք.
.

Հավասարումներ, որոնք վերածվում են բաժանելի հավասարումների

Միատարր հավասարումներ

Փոխարինման միջոցով լուծում ենք.
,
որտեղ է ֆունկցիան: Հետո
;
.
Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականները և ինտեգրում։

Հավասարումներ, որոնք վերածվում են միատարրության

Մուտքագրեք փոփոխականները և.
;
.
Մենք ընտրում ենք հաստատուններ և այնպես, որ ազատ տերմինները վերանան.
;
.
Արդյունքում մենք ստանում ենք միատարր հավասարում փոփոխականներում և .

Ընդհանրացված միատարր հավասարումներ

Եկեք փոխարինում կատարենք. Մենք ստանում ենք միատարր հավասարում փոփոխականներում և .

Գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ

Գծային հավասարումների լուծման երեք եղանակ կա.

2) Բեռնուլիի մեթոդը.
Մենք լուծում ենք փնտրում երկու ֆունկցիաների և փոփոխականի արտադրյալի տեսքով.
.
;
.
Մենք կարող ենք կամայականորեն ընտրել այս գործառույթներից մեկը: Հետևաբար, մենք ընտրում ենք հավասարման ցանկացած ոչ զրոյական լուծում հետևյալ կերպ.
.

3) հաստատունի փոփոխության մեթոդ (Լագրանժ).
Այստեղ մենք նախ լուծում ենք միատարր հավասարումը.

Միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև.
,
որտեղ հաստատուն է. Հաջորդը, մենք փոխարինում ենք հաստատունը մի ֆունկցիայով, որը կախված է փոփոխականից.
.
Փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ: Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարում, որից որոշում ենք.

Բեռնուլիի հավասարումները

Փոխարինման միջոցով Բեռնուլիի հավասարումը վերածվում է գծային հավասարման։

Այս հավասարումը կարող է լուծվել նաև Բեռնուլիի մեթոդով։ Այսինքն՝ մենք լուծում ենք փնտրում երկու ֆունկցիաների արտադրյալի տեսքով՝ կախված փոփոխականից.
.
Փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ.
;
.
Մենք ընտրում ենք հավասարման ցանկացած ոչ զրոյական լուծում հետևյալ կերպ.
.
Որոշելուց հետո մենք ստանում ենք հավասարում բաժանելի փոփոխականներով .

Ռիկկատիի հավասարումներ

Այն չի լուծվում ընդհանուր տեսարան. Փոխարինում

Riccati հավասարումը կրճատվում է ձևի.
,
որտեղ է հաստատունը; ; .
Հաջորդը, ըստ փոխարինման.

այն կրճատվում է ձևի.
,
Որտեղ.

Էջում ներկայացված են Riccati հավասարման հատկությունները և դրա լուծման որոշ հատուկ դեպքեր
Riccati դիֆերենցիալ հավասարում >>>

Յակոբիի հավասարումներ

Լուծվում է փոխարինմամբ.
.

Հավասարումներ ընդհանուր դիֆերենցիալներում

Հաշվի առնելով, որ
.
Եթե այս պայմանը բավարարված է, ապա հավասարության ձախ կողմի արտահայտությունը որոշ ֆունկցիայի դիֆերենցիալն է.
.
Հետո
.
Այստեղից մենք ստանում ենք դիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրալը.
.

Ֆունկցիան գտնելու համար ամենահարմար միջոցը հաջորդական դիֆերենցիալ արդյունահանման մեթոդն է։ Դա անելու համար օգտագործեք բանաձևերը.
;
;
;
.

Ինտեգրող գործոն

Եթե առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը չի կարող կրճատվել թվարկված տեսակներից որևէ մեկի վրա, ապա կարող եք փորձել գտնել ինտեգրող գործոնը: Ինտեգրող գործոնը ֆունկցիա է, որով բազմապատկելիս դիֆերենցիալ հավասարումը դառնում է հավասարում ընդհանուր դիֆերենցիալներում: Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումն ունի անսահման թիվինտեգրող գործոններ. Այնուամենայնիվ, ինտեգրող գործոնը գտնելու ընդհանուր մեթոդներ չկան:

y» ածանցյալի համար չլուծված հավասարումներ

Հավասարումներ, որոնք կարելի է լուծել y» ածանցյալի նկատմամբ

Նախ պետք է փորձել լուծել հավասարումը ածանցյալի նկատմամբ: Հնարավորության դեպքում հավասարումը կարող է կրճատվել վերը թվարկված տեսակներից մեկի վրա:

Հավասարումներ, որոնք կարող են ֆակտորիզացվել

Եթե կարող եք հաշվի առնել հավասարումը.
,
ապա առաջադրանքը իջնում է հետևողական լուծումավելի պարզ հավասարումներ.
;
;

;
. Մենք հավատում ենք. Հետո
կամ .
Այնուհետև մենք ինտեգրում ենք հավասարումը.
;
.
Արդյունքում պարամետրի միջոցով ստանում ենք երկրորդ փոփոխականի արտահայտությունը։

Ավելին ընդհանուր հավասարումներ:
կամ
լուծվում են նաև պարամետրային ձևով։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է այնպիսի գործառույթ ընտրել, որ բնօրինակ հավասարումըկարող է արտահայտվել կամ պարամետրի միջոցով:
Երկրորդ փոփոխականը պարամետրի միջոցով արտահայտելու համար մենք ինտեգրում ենք հավասարումը.
;
.

y-ի համար լուծված հավասարումներ

Clairaut հավասարումներ

Այս հավասարումն ունի ընդհանուր լուծում

Լագրանժի հավասարումներ

Մենք լուծում ենք փնտրում պարամետրային տեսքով։ Մենք ենթադրում ենք, թե որտեղ է պարամետրը:

Բեռնուլիի հավասարման տանող հավասարումներ

Այս հավասարումները կրճատվում են մինչև Բեռնուլիի հավասարումը, եթե մենք փնտրում ենք դրանց լուծումները պարամետրային տեսքով՝ ներմուծելով պարամետր և կատարելով փոխարինում։

Հղումներ:
Վ.Վ. Ստեփանով, Դիֆերենցիալ հավասարումների դասընթաց, «LKI», 2015 թ.
Ն.Մ. Գյունթեր, Ռ.Օ. Կուզմին, Բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու, «Լան», 2003 թ.

Դիֆերենցիալ հավասարումը այն հավասարումն է, որը ներառում է ֆունկցիա և դրա մեկ կամ մի քանի ածանցյալներ: Գործնական խնդիրների մեծ մասում գործառույթներն են ֆիզիկական մեծություններ, ածանցյալները համապատասխանում են այդ մեծությունների փոփոխության տեմպերին, և հավասարումը որոշում է նրանց միջև կապը։

Այս հոդվածում քննարկվում են սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ տեսակների լուծման մեթոդներ, որոնց լուծումները կարող են գրվել ձևով. տարրական գործառույթներ, այսինքն՝ բազմանդամ, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և եռանկյունաչափական, ինչպես նաև դրանց հակադարձ ֆունկցիաները։ Այս հավասարումներից շատերը հայտնվում են իրական կյանք, չնայած այլ դիֆերենցիալ հավասարումների մեծ մասը չի կարող լուծվել այս մեթոդներով, և նրանց համար պատասխանը գրված է հատուկ ֆունկցիաների կամ հզորության շարք, կամ գտնում են թվային մեթոդներով։

Այս հոդվածը հասկանալու համար դուք պետք է տիրապետեք դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկներին, ինչպես նաև որոշ չափով հասկանաք մասնակի ածանցյալները: Խորհուրդ է տրվում նաև իմանալ գծային հանրահաշվի հիմունքները, որոնք կիրառվում են դիֆերենցիալ հավասարումների, հատկապես երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների նկատմամբ, թեև դրանք լուծելու համար բավարար է դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի իմացությունը:

Նախնական տեղեկություն

Դիֆերենցիալ հավասարումները ունեն ընդարձակ դասակարգում։ Այս հոդվածը խոսում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ, այսինքն՝ հավասարումների մասին, որոնք ներառում են մեկ փոփոխականի ֆունկցիա և նրա ածանցյալները։ Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումները շատ ավելի հեշտ են հասկանալ և լուծել, քան մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք ներառում են մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաներ։ Այս հոդվածը չի քննարկում մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումները, քանի որ այդ հավասարումների լուծման մեթոդները սովորաբար որոշվում են դրանց հատուկ ձևով:
- Ստորև բերված են սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների մի քանի օրինակ:
  - d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))=ky)
  - d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+kx=0)
- Ստորև բերված են մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների մի քանի օրինակ:
  - ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\ցուցադրման ոճ (\frac (\մասնակի ^(2)f)(\մասնակի x^(2))+(\frac (\մասնակի ^(2 )զ)(\մասնակի y^(2)))=0)
  - ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
Պատվերդիֆերենցիալ հավասարումը որոշվում է այս հավասարման մեջ ներառված ամենաբարձր ածանցյալի կարգով: Վերոնշյալ սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներից առաջինը առաջին կարգի է, մինչդեռ երկրորդը երկրորդ կարգի հավասարում է: Աստիճանդիֆերենցիալ հավասարման ամենաբարձր հզորությունն է, որին բարձրացվում է այս հավասարման տերմիններից մեկը:
- Օրինակ, ստորև բերված հավասարումը երրորդ կարգի և երկրորդ աստիճանի է:
  - (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d)) ^(3)y)((\mathrm (d))x^(3))\ աջ)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))=0)
Դիֆերենցիալ հավասարումն է գծային դիֆերենցիալ հավասարումայն դեպքում, երբ ֆունկցիան և նրա բոլոր ածանցյալները գտնվում են առաջին աստիճանում։ Հակառակ դեպքում հավասարումը հետևյալն է ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարում. Գծային դիֆերենցիալ հավասարումները ուշագրավ են նրանով, որ դրանց լուծումները կարող են օգտագործվել գծային համակցություններ կազմելու համար, որոնք նույնպես կլինեն տվյալ հավասարման լուծումներ։
- Ստորև բերված են գծային դիֆերենցիալ հավասարումների մի քանի օրինակ:
- Ստորև բերված են ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումների օրինակներ: Առաջին հավասարումը սինուսային անդամի պատճառով ոչ գծային է:
  - d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d))t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
  - d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)(\mathrm (d))t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d))x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
Ընդհանուր որոշումսովորական դիֆերենցիալ հավասարումը եզակի չէ, այն ներառում է կամայական ինտեգրման հաստատուններ. Շատ դեպքերում կամայական հաստատունների թիվը հավասար է հավասարման կարգին: Գործնականում այս հաստատունների արժեքները որոշվում են տրվածի հիման վրա նախնական պայմանները, այսինքն՝ ըստ ֆունկցիայի և դրա ածանցյալների արժեքների x = 0. (\displaystyle x=0.)Նախնական պայմանների քանակը, որոնք անհրաժեշտ են գտնելու համար մասնավոր լուծումդիֆերենցիալ հավասարումը, շատ դեպքերում նույնպես հավասար է տվյալ հավասարման կարգին։
- Օրինակ, այս հոդվածում կքննարկվի ստորև ներկայացված հավասարումը: Սա երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում է: Դրա ընդհանուր լուծումը պարունակում է երկու կամայական հաստատուն։ Այս հաստատունները գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ սկզբնական պայմանները x (0) (\displaystyle x(0))Եվ x ′ (0) . (\displaystyle x"(0):)Սովորաբար սկզբնական պայմանները նշված են կետում x = 0, (\displaystyle x=0,), թեև դա անհրաժեշտ չէ։ Այս հոդվածը կքննարկի նաև, թե ինչպես գտնել որոշակի լուծումներ տվյալ սկզբնական պայմանների համար:
  - d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+k^(2 )x=0)
  - x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Քայլեր

Մաս 1

Առաջին կարգի հավասարումներ

Այս ծառայությունից օգտվելիս որոշ տեղեկություններ կարող են փոխանցվել YouTube-ին:

Առաջին կարգի գծային հավասարումներ.Այս բաժնում քննարկվում են առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդները ընդհանուր և հատուկ դեպքերում, երբ որոշ անդամներ հավասար են զրոյի: Եկեք այդպես ձևացնենք y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))Եվ q (x) (\displaystyle q(x))գործառույթներ են x. (\displaystyle x.)
D y d x + p (x) y = q (x) (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)Հիմնական թեորեմներից մեկի համաձայն մաթեմատիկական վերլուծություն, ֆունկցիայի ածանցյալի ինտեգրալը նույնպես ֆունկցիա է։ Այսպիսով, բավական է պարզապես ինտեգրել հավասարումը դրա լուծումը գտնելու համար։ Պետք է հաշվի առնել, որ հաշվարկելիս անորոշ ինտեգրալհայտնվում է կամայական հաստատուն:
- y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)
Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)Մենք օգտագործում ենք մեթոդը փոփոխականների տարանջատում. Սա տարբեր փոփոխականներ տեղափոխում է հավասարման տարբեր կողմեր: Օրինակ, դուք կարող եք տեղափոխել բոլոր անդամներին y (\displaystyle y)մեկ, և բոլոր անդամները հետ x (\displaystyle x)դեպի հավասարման մյուս կողմը: Անդամները կարող են նաև տեղափոխվել d x (\displaystyle (\mathrm (d))x)Եվ d y (\ցուցադրման ոճ (\mathrm (d) )y), որոնք ներառված են ածանցյալների արտահայտություններում, այնուամենայնիվ, պետք է հիշել, որ սա ընդամենը խորհրդանիշ է, որը հարմար է բարդ ֆունկցիան տարբերակելիս։ Այս անդամների քննարկում, որոնք կոչվում են դիֆերենցիալներ, դուրս է այս հոդվածի շրջանակներից։
- Նախ, դուք պետք է տեղափոխեք փոփոխականները հավասար նշանի հակառակ կողմերում:
  - 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
- Եկեք ինտեգրենք հավասարման երկու կողմերը: Ինտեգրումից հետո երկու կողմերում կհայտնվեն կամայական հաստատուններ, որոնք կարող են տեղափոխվել հավասարման աջ կողմ։
  - ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
  - y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Օրինակ 1.1.Վերջին քայլում մենք օգտագործեցինք կանոնը e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))և փոխարինվել e C (\displaystyle e^(C))վրա C (\displaystyle C), քանի որ սա նույնպես կամայական ինտեգրման հաստատուն է։
  - d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
  - 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\ցուցադրված ոճը (\սկիզբ )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d))y&=\sin x(\mathrm (d))x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\վերջ (հավասարեցված)))
P (x) ≠ 0, q (x) ≠ 0. (\ցուցադրման ոճ p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)Ընդհանուր լուծում գտնելու համար մենք ներկայացրել ենք ինտեգրող գործոնորպես ֆունկցիա x (\displaystyle x)նվազեցնել ձախ կողմընդհանուր ածանցյալին և այդպիսով լուծել հավասարումը:
- Բազմապատկեք երկու կողմերը μ (x) (\ցուցադրման ոճ \mu (x))
  - μ d y d x + μ p y = μ q (\ցուցադրման ոճ \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))+\mu py=\mu q)
- Ձախ կողմը ընդհանուր ածանցյալին նվազեցնելու համար պետք է կատարվեն հետևյալ փոխակերպումները.
  - d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\ցուցադրման ոճ (\frac (\mathrm (d))((\mathrm (d))x))(\mu y)=(\ frac ((\ mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
- Վերջին հավասարությունը դա նշանակում է d μ d x = μ p (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d))\mu)((\mathrm (d))x))=\mu p). Սա ինտեգրող գործոն է, որը բավարար է ցանկացած առաջին կարգի գծային հավասարումը լուծելու համար: Այժմ մենք կարող ենք դուրս բերել այս հավասարումը լուծելու բանաձևը առնչությամբ μ , (\displaystyle \mu,)չնայած մարզումների համար օգտակար է կատարել բոլոր միջանկյալ հաշվարկները:
  - μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
- Օրինակ 1.2.Այս օրինակը ցույց է տալիս, թե ինչպես կարելի է գտնել դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում՝ տրված նախնական պայմաններով:
  - t d y d t + 2 y = t 2, y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\քառատ y(2)=3)
  - d y d t + 2 t y = t (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
  - μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\n t)=t^(2))
  - d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(հավասարեցված)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d))t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\վերջ (հավասարեցված)))
  - 3 = y (2) = 1 + C 4, C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
  - y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
Առաջին կարգի գծային հավասարումների լուծում (գրանցվել է Intuit - National Open University-ի կողմից):
Ոչ գծային առաջին կարգի հավասարումներ. Այս բաժնում քննարկվում են որոշ առաջին կարգի ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդներ: Չնայած նման հավասարումների լուծման ընդհանուր մեթոդ չկա, դրանցից մի քանիսը կարելի է լուծել ստորև ներկայացված մեթոդներով:
D y d x = f (x, y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)Եթե ֆունկցիան f (x, y) = h (x) g (y) (\ցուցադրման ոճ f(x,y)=h(x)g(y))կարելի է բաժանել մեկ փոփոխականի ֆունկցիաների, այդպիսի հավասարումը կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարում բաժանելի փոփոխականներով. Այս դեպքում կարող եք օգտագործել վերը նշված մեթոդը.
- ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
- Օրինակ 1.3.
  - d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
  - ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\ցուցադրման ոճ (\ սկիզբ (հավասարեցված)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\վերջ(հավասարեցված)))
D y d x = g (x, y) h (x, y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))):Եկեք այդպես ձևացնենք g (x, y) (\displaystyle g(x,y))Եվ h (x, y) (\ցուցադրման ոճ h(x,y))գործառույթներ են x (\displaystyle x)Եվ y. (\displaystyle y.)Հետո միատարր դիֆերենցիալ հավասարումհավասարում է, որում g (\displaystyle g)Եվ h (\displaystyle h)են միատարր գործառույթներնույն աստիճանի։ Այսինքն՝ գործառույթները պետք է բավարարեն պայմանին g (α x, α y) = α k g (x, y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)Որտեղ k (\displaystyle k)կոչվում է միատարրության աստիճան։ Ցանկացած միատարր դիֆերենցիալ հավասարում կարող է օգտագործվել համապատասխան փոփոխականների փոխարինում (v = y / x (\displaystyle v=y/x)կամ v = x / y (\displaystyle v=x/y)) վերածել բաժանելի հավասարման:
- Օրինակ 1.4.Միատարրության վերը նկարագրված նկարագրությունը կարող է անհասկանալի թվալ: Դիտարկենք այս հայեցակարգը օրինակով:
  - d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
  - Սկզբից պետք է նշել, որ այս հավասարումը ոչ գծային է y. (\displaystyle y.)Մենք դա տեսնում ենք նաև այս դեպքումԴուք չեք կարող տարանջատել փոփոխականները: Միևնույն ժամանակ, այս դիֆերենցիալ հավասարումը միատարր է, քանի որ և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը միատարր են 3-ի հզորությամբ: Հետևաբար, մենք կարող ենք փոխել փոփոխականները: v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
  - d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
  - y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (դ) )վ)((\մաթրմ (դ) )x))x+v)
  - d v d x x = − 1 v 2: (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d))v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))))Արդյունքում մենք ունենք հավասարումը v (\displaystyle v)տարանջատելի փոփոխականներով։
  - v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
  - y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
D y d x = p (x) y + q (x) y n. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)Սա Բեռնուլիի դիֆերենցիալ հավասարումը- առաջին աստիճանի ոչ գծային հավասարման հատուկ տեսակ, որի լուծումը կարելի է գրել տարրական ֆունկցիաների միջոցով:
- Բազմապատկեք հավասարման երկու կողմերը (1 − n) y − n (\ցուցադրման ոճ (1-n)y^(-n)):
  - (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\ցուցադրման ոճ (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
- Մենք օգտագործում ենք ձախ կողմում բարդ ֆունկցիան տարբերելու կանոնը և հավասարումը վերածում ենք գծային հավասարումհամեմատաբար y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)որը կարելի է լուծել վերը նշված մեթոդներով:
  - d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\ mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
M (x, y) + N (x, y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d))y)(\mathrm (դ) )x))=0.)Սա հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալներում. Անհրաժեշտ է գտնել այսպես կոչված պոտենցիալ գործառույթ φ (x, y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), որը բավարարում է պայմանին d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi)((\mathrm (d))x))=0.)
- Կատարման համար այս պայմանըպետք է ունենալ ընդհանուր ածանցյալ. Ընդհանուր ածանցյալը հաշվի է առնում կախվածությունը այլ փոփոխականներից: Ընդհանուր ածանցյալը հաշվարկելու համար φ (\displaystyle \varphi)Ըստ x , (\displaystyle x,)մենք ենթադրում ենք, որ y (\displaystyle y)կարող է նաև կախված լինել x. (\displaystyle x.)
  - d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi)((\mathrm (d))x))=(\frac (\partial \varphi )(\մասնակի x))+(\frac (\մասնակի \varphi)(\մասնակի y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
- Պայմանների համեմատությունը մեզ տալիս է M (x, y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\մասնակի x)))Եվ N (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\մասնակի y)):Սա տիպիկ արդյունք է մի քանի փոփոխականների հավասարումների համար, որոնցում հարթ ֆունկցիաների խառը ածանցյալները հավասար են միմյանց։ Երբեմն այս դեպքը կոչվում է Կլարաութի թեորեմ. Այս դեպքում դիֆերենցիալ հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալ հավասարում է, եթե հաջորդ պայմանը:
  - ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\մասնակի M)(\մասնակի y))=(\frac (\մասնակի N)(\մասնակի x)))
- Ընդհանուր դիֆերենցիալներում հավասարումների լուծման մեթոդը նման է մի քանի ածանցյալների առկայության դեպքում պոտենցիալ ֆունկցիաներ գտնելուն, որոնք մենք հակիրճ կքննարկենք: Նախ, եկեք ինտեգրվենք M (\displaystyle M)Ըստ x. (\displaystyle x.)Քանի որ M (\displaystyle M)ֆունկցիա է և x (\displaystyle x), Եվ y , (\displaystyle y,)ինտեգրվելիս մենք ստանում ենք թերի ֆունկցիա φ , (\displaystyle \varphi,)նշանակված է որպես φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). Արդյունքը նույնպես կախված է y (\displaystyle y)ինտեգրման հաստատուն:
  - φ (x, y) = ∫ M (x, y) d x = φ ~ (x, y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (դ) )x=(\tilde (\varphi))(x,y)+c(y))
- Սրանից հետո ստանալ c (y) (\displaystyle c(y))մենք կարող ենք վերցնել ստացված ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալը նկատմամբ y , (\displaystyle y,)հավասարեցնել արդյունքը N (x, y) (\displaystyle N(x,y))և ինտեգրվել: Դուք կարող եք նաև նախ ինտեգրվել N (\displaystyle N), և ապա վերցրեք մասնակի ածանցյալը նկատմամբ x (\displaystyle x), որը թույլ կտա գտնել կամայական ֆունկցիա d (x). (\displaystyle d(x).)Երկու մեթոդներն էլ հարմար են, և սովորաբար ինտեգրման համար ընտրվում է ավելի պարզ ֆունկցիա:
  - N (x, y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y))=(\frac (\ մասնակի (\tilde (\varphi )))(\մասնակի y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
- Օրինակ 1.5.Դուք կարող եք վերցնել մասնակի ածանցյալներ և տեսնել, որ ստորև բերված հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալ հավասարում է:
  - 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d))y)((\mathrm (d))x) )=0)
  - φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x, y) = 2 x y + d c d y (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ (հավասարեցված)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\մասնակի \varphi )(\մասնակի y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(հավասարեցված)))
  - d c d y = 0, c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))c)((\mathrm (d))y))=0,\quad c(y)=C)
  - x 3 + x y 2 = C (\ցուցադրման ոճ x^(3)+xy^(2)=C)
- Եթե դիֆերենցիալ հավասարումը ընդհանուր դիֆերենցիալ հավասարում չէ, որոշ դեպքերում կարող եք գտնել ինտեգրող գործոն, որը թույլ է տալիս այն վերածել ընդհանուր դիֆերենցիալ հավասարման: Այնուամենայնիվ, նման հավասարումները գործնականում հազվադեպ են օգտագործվում, և թեև ինտեգրող գործոնը գոյություն ունի, պատահում է գտնել այն հեշտ չէ, հետևաբար այս հավասարումները չեն դիտարկվում այս հոդվածում։

Մաս 2

Երկրորդ կարգի հավասարումներ

Միատարր գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ հետ հաստատուն գործակիցներ. Այս հավասարումները գործնականում լայնորեն կիրառվում են, ուստի դրանց լուծումը առաջնային նշանակություն ունի։ Տվյալ դեպքում խոսքը միատարր ֆունկցիաների մասին չէ, այլ այն մասին, որ հավասարման աջ կողմում կա 0։Հաջորդ բաժինը ցույց կտա, թե ինչպես լուծել համապատասխանը։ տարասեռդիֆերենցիալ հավասարումներ. Ստորև a (\displaystyle a)Եվ b (\displaystyle b)հաստատուններ են:
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)(\mathrm (d))x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Բնութագրական հավասարում. Այս դիֆերենցիալ հավասարումը ուշագրավ է նրանով, որ այն կարելի է շատ հեշտությամբ լուծել, եթե ուշադրություն դարձնեք, թե ինչ հատկություններ պետք է ունենան դրա լուծումները։ Հավասարումից պարզ է դառնում, որ y (\displaystyle y)և նրա ածանցյալները համեմատական են միմյանց: Նախորդ օրինակներից, որոնք քննարկվել են առաջին կարգի հավասարումների բաժնում, մենք գիտենք միայն դա էքսպոնենցիալ ֆունկցիա. Հետեւաբար կարելի է առաջ քաշել անսաց(կրթված ենթադրություն) այն մասին, թե ինչպիսին կլինի տրված հավասարման լուծումը:
- Լուծումը կունենա էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ձև e r x , (\displaystyle e^(rx),)Որտեղ r (\displaystyle r)հաստատուն է, որի արժեքը պետք է գտնել: Այս ֆունկցիան փոխարինի՛ր հավասարման մեջ և ստացի՛ր հետևյալ արտահայտությունը
  - e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
- Այս հավասարումը ցույց է տալիս, որ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի և բազմանդամի արտադրյալը պետք է հավասար լինի զրո: Հայտնի է, որ աստիճանի որևէ արժեքի համար ցուցիչը չի կարող հավասար լինել զրոյի: Այստեղից եզրակացնում ենք, որ բազմանդամը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, մենք կրճատել ենք դիֆերենցիալ հավասարման լուծման խնդիրը հանրահաշվական հավասարման լուծման շատ ավելի պարզ խնդրի, որը կոչվում է տվյալ դիֆերենցիալ հավասարման բնորոշ հավասարում։
  - r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
  - r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm)=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
- Մենք երկու արմատ ենք ստացել. Քանի որ այս դիֆերենցիալ հավասարումը գծային է, դրա ընդհանուր լուծումը մասնակի լուծումների գծային համակցություն է: Քանի որ սա երկրորդ կարգի հավասարում է, մենք գիտենք, որ դա այդպես է իսկապեսընդհանուր լուծում, իսկ ուրիշներ չկան։ Դրա ավելի խիստ հիմնավորումը լուծման գոյության և եզակիության թեորեմներն են, որոնք կարելի է գտնել դասագրքերում:
- Երկու լուծումների գծային անկախությունը ստուգելու օգտակար միջոցը հաշվարկելն է Վրոնսկիանա. Վրոնսկյանը W (\displaystyle W)այն մատրիցայի որոշիչն է, որի սյունակները պարունակում են ֆունկցիաներ և դրանց հաջորդական ածանցյալներ: Գծային հանրահաշվի թեորեմը նշում է, որ Վրոնսկյանում ներառված ֆունկցիաները գծային կախված են, եթե Վրոնսկյանը հավասար է զրոյի։ Այս բաժնում մենք կարող ենք ստուգել, թե արդյոք երկու լուծումները գծային անկախ են. դա անելու համար մենք պետք է համոզվենք, որ Wronskian-ը զրո չէ: Վրոնսկյանը կարևոր է կայուն գործակիցներով անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ փոփոխվող պարամետրերի մեթոդով լուծելիս:
  - W = | y 1 y 2 y 1 "y 2 " | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
- Գծային հանրահաշիվով տրված դիֆերենցիալ հավասարման բոլոր լուծումների բազմությունը կազմում է վեկտորային տարածություն, որի չափը հավասար է դիֆերենցիալ հավասարման կարգին։ Այս տարածքում կարելի է հիմք ընտրել գծային անկախորոշումներ միմյանցից։ Դա հնարավոր է շնորհիվ այն բանի, որ ֆունկցիան y (x) (\ցուցադրման ոճ y(x))վավեր գծային օպերատոր. Ածանցյալ էգծային օպերատոր, քանի որ այն փոխակերպում է տարբերվող ֆունկցիաների տարածությունը բոլոր ֆունկցիաների տարածության։ Հավասարումները կոչվում են միատարր այն դեպքերում, երբ ոմանց համար գծային օպերատոր L (\displaystyle L)մենք պետք է գտնենք հավասարման լուծում L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)
Այժմ անցնենք մի քանի կոնկրետ օրինակների դիտարկմանը։ Բնութագրական հավասարման բազմաթիվ արմատների դեպքը կքննարկենք մի փոքր ուշ՝ հերթականության կրճատման բաժնում։
Եթե արմատները r ± (\displaystyle r_(\pm))տարբեր իրական թվեր են, դիֆերենցիալ հավասարումն ունի հետևյալ լուծումը
- y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))
Երկու բարդ արմատներ.Հանրահաշվի հիմնարար թեորեմից հետևում է, որ իրական գործակիցներով բազմանդամ հավասարումների լուծումներն ունեն արմատներ, որոնք իրական են կամ կազմում են խոնարհված զույգեր։ Հետեւաբար, եթե համալիր համարը r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta)բնորոշ հավասարման արմատն է, ապա r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta)նույնպես այս հավասարման արմատն է։ Այսպիսով, մենք կարող ենք լուծումը գրել ձևով c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\ցուցադրման ոճ c_(1)e^((\ալֆա +i\բետա)x)+c_(2)e^( (\ալֆա -i\բետա)x)սակայն այն բարդ թիվ է և ցանկալի չէ գործնական խնդիրներ լուծելու համար։
- Փոխարենը կարող եք օգտագործել Էյլերի բանաձեւը e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), որը թույլ է տալիս լուծումը գրել ձևով եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ:
  - e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ բետա x+ic_(1)\sin \բետա x+c_(2)\cos \բետա x-ic_(2)\sin \բետա x))
- Այժմ դուք կարող եք մշտականի փոխարեն c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))գրի առնել c 1 (\displaystyle c_(1)), և արտահայտությունը i (c 1 - c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))փոխարինվել է գ 2. (\displaystyle c_(2).)Դրանից հետո մենք ստանում ենք հետևյալ լուծումը.
  - y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
- Գոյություն ունի լուծումը ամպլիտուդով և փուլով գրելու մեկ այլ տարբերակ, որն ավելի հարմար է ֆիզիկայի խնդիրների համար։
- Օրինակ 2.1.Գտնենք ստորև տրված դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը տրված սկզբնական պայմաններով: Դա անելու համար դուք պետք է վերցնեք ստացված լուծումը, ինչպես նաև դրա ածանցյալը, և դրանք փոխարինել սկզբնական պայմաններով, ինչը թույլ կտա մեզ որոշել կամայական հաստատունները։
  - d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = − 1 (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
  - r 2 + 3 r + 10 = 0, r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
  - x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\աջ))
  - x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
  - x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(հավասարեցված)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\ձախ(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\աջ)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31)) (2)) c_ (2) \ cos (\ frac (\ sqrt (31)) (2)) t \ աջ) \ վերջ (հավասարեցված)))
  - x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2, c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
  - x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\աջ))
Լուծելով n-րդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ հաստատուն գործակիցներով (գրանցվել է Intuit - National Open University-ի կողմից):
Նվազող կարգը.Կարգի կրճատումը դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդ է, երբ հայտնի է մեկ գծային անկախ լուծում: Այս մեթոդը բաղկացած է հավասարման կարգը մեկով իջեցնելուց, ինչը թույլ է տալիս լուծել հավասարումը նախորդ բաժնում նկարագրված մեթոդներով: Թող հայտնի լինի լուծումը. Պատվերի կրճատման հիմնական գաղափարը ստորև ներկայացված ձևով լուծում գտնելն է, որտեղ անհրաժեշտ է սահմանել գործառույթը v (x) (\displaystyle v(x)), այն փոխարինելով դիֆերենցիալ հավասարման մեջ և գտնելով v(x). (\displaystyle v(x).)Տեսնենք, թե ինչպես կարելի է կարգի կրճատումը օգտագործել հաստատուն գործակիցներով և բազմակի արմատներով դիֆերենցիալ հավասարումը լուծելու համար:

Բազմաթիվ արմատներմիատարր դիֆերենցիալ հավասարում հաստատուն գործակիցներով. Հիշեցնենք, որ երկրորդ կարգի հավասարումը պետք է ունենա երկու գծային անկախ լուծում: Եթե բնորոշ հավասարումունի բազմաթիվ արմատներ, բազմաթիվ լուծումներ Ոչկազմում է տարածություն, քանի որ այս լուծումները գծային կախված են: Այս դեպքում անհրաժեշտ է օգտագործել պատվերի կրճատումը երկրորդ գծային անկախ լուծում գտնելու համար:
- Թող բնորոշ հավասարումը ունենա բազմաթիվ արմատներ r (\displaystyle r). Ենթադրենք, որ երկրորդ լուծումը կարելի է գրել ձևով y (x) = e r x v (x) (\ցուցադրման ոճ y(x)=e^(rx)v(x)), և այն փոխարինեք դիֆերենցիալ հավասարման մեջ: Այս դեպքում տերմինների մեծ մասը, բացառությամբ ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալ տերմինի v , (\displaystyle v,)կկրճատվի։
  - v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
- Օրինակ 2.2.Թող տրվի հետևյալ հավասարումը, որն ունի բազմաթիվ արմատներ r = − 4. (\displaystyle r=-4.)Փոխարինման ժամանակ ժամկետների մեծ մասը կրճատվում է:
  - d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
  - y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(հավասարեցված)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\վերջ(հավասարեցված)))
  - v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ (հավասարեցված )v""e^(-4x)&-(\չեղարկել (8v"e^(-4x)))+(\չեղարկել (16ve^(-4x)))\\&+(\չեղարկել (8v"e ^(-4x)))-(\չեղարկել (32ve^(-4x)))+(\չեղարկել (16ve^(-4x)))=0\վերջ (հավասարեցված)))
- Ինչպես հաստատուն գործակիցներով դիֆերենցիալ հավասարման համար մեր ansatz-ը, այս դեպքում միայն երկրորդ ածանցյալը կարող է հավասար լինել զրոյի: Մենք երկու անգամ ինտեգրվում ենք և ստանում ենք ցանկալի արտահայտությունը v (\displaystyle v):
  - v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
- Այնուհետև հաստատուն գործակիցներով դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը այն դեպքում, երբ բնորոշ հավասարումն ունի բազմաթիվ արմատներ, կարելի է գրել հետևյալ ձևով. Հարմարության համար դուք կարող եք հիշել, որ ձեռք բերելու համար գծային անկախությունպարզապես երկրորդ անդամը բազմապատկեք x (\displaystyle x). Լուծումների այս բազմությունը գծայինորեն անկախ է, և այդպիսով մենք գտել ենք այս հավասարման բոլոր լուծումները:
  - y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))
D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)(\mathrm (d))x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))+q(x)y=0.)Պատվերի նվազեցումը կիրառելի է, եթե լուծումը հայտնի է y 1 (x) (\ցուցադրման ոճ y_(1)(x)), որը կարելի է գտնել կամ տրվել խնդրի հայտարարության մեջ:
- Մենք լուծում ենք փնտրում ձևի մեջ y (x) = v (x) y 1 (x) (\ցուցադրման ոճ y(x)=v(x)y_(1)(x))և այն փոխարինիր հետևյալ հավասարմամբ.
  - v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
- Քանի որ y 1 (\displaystyle y_(1))Դիֆերենցիալ հավասարման լուծում է, բոլոր անդամները հետ v (\displaystyle v)կրճատվում են։ Ի վերջո մնում է առաջին կարգի գծային հավասարում. Սա ավելի պարզ տեսնելու համար եկեք փոփոխականների փոփոխություն կատարենք w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
  - y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\ցուցադրման ոճ y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
  - w (x) = exp⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d))x\right))
  - v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
- Եթե ինտեգրալները կարելի է հաշվարկել, ապա ընդհանուր լուծումը ստանում ենք որպես տարրական ֆունկցիաների համակցություն։ Հակառակ դեպքում լուծումը կարող է մնալ ամբողջական տեսքով:
Քոշի-Էյլերի հավասարումը.Կոշի-Էյլերի հավասարումը երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման օրինակ է փոփոխականներգործակիցներ, որն ունի ճշգրիտ լուծումներ։ Այս հավասարումը գործնականում օգտագործվում է, օրինակ, Լապլասի հավասարումը գնդային կոորդինատներով լուծելու համար։
X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)(\mathrm (d))x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
Բնութագրական հավասարում.Ինչպես տեսնում եք, այս դիֆերենցիալ հավասարման մեջ յուրաքանչյուր անդամ պարունակում է հզորության գործակից, որի աստիճանը հավասար է համապատասխան ածանցյալի կարգին։
- Այսպիսով, դուք կարող եք փորձել լուծում փնտրել ձևի մեջ y (x) = x n, (\displaystyle y(x)=x^(n),)որտեղ անհրաժեշտ է որոշել n (\displaystyle n), ճիշտ այնպես, ինչպես մենք լուծում էինք փնտրում հաստատուն գործակիցներով գծային դիֆերենցիալ հավասարման էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի տեսքով։ Տարբերակումից և փոխարինումից հետո մենք ստանում ենք
  - x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
- Բնութագրական հավասարումն օգտագործելու համար պետք է ենթադրել, որ x ≠ 0 (\ցուցադրման ոճ x\neq 0). Կետ x = 0 (\displaystyle x=0)կանչեց կանոնավոր եզակի կետդիֆերենցիալ հավասարում. Նման կետերը կարևոր են դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելիս՝ օգտագործելով հզորության շարքերը։ Այս հավասարումն ունի երկու արմատ, որոնք կարող են լինել տարբեր և իրական, բազմակի կամ բարդ խոնարհված։
  - n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b ))) (2)))
Երկու տարբեր իրական արմատներ.Եթե արմատները n ± (\displaystyle n_(\pm))իրական են և տարբեր, ապա դիֆերենցիալ հավասարման լուծումն ունի հետևյալ ձևը.
- y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))
Երկու բարդ արմատներ.Եթե բնորոշ հավասարումը արմատներ ունի n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), լուծումը բարդ ֆունկցիա է։
- Լուծումը իրական ֆունկցիայի վերածելու համար մենք կատարում ենք փոփոխականների փոփոխություն x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)այն է t = ln ⁡ x, (\displaystyle t=\ln x,)և օգտագործել Էյլերի բանաձևը. Նմանատիպ գործողություններ կատարվել են նախկինում կամայական հաստատուններ որոշելիս:
  - y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
- Այնուհետև ընդհանուր լուծումը կարելի է գրել այսպես
  - y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha)(c_(1)\ cos(\բետա \ln x)+c_(2)\sin(\բետա \ln x)))
Բազմաթիվ արմատներ.Երկրորդ գծային անկախ լուծում ստանալու համար անհրաժեշտ է կրկին կրճատել պատվերը:
- Բավականին շատ հաշվարկներ են պահանջվում, բայց սկզբունքը մնում է նույնը՝ փոխարինում ենք y = v (x) y 1 (\ցուցադրման ոճ y=v(x)y_(1))մի հավասարման մեջ, որի առաջին լուծումն է y 1 (\displaystyle y_(1)). Կրճատումներից հետո ստացվում է հետևյալ հավասարումը.
  - v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
- Սա առաջին կարգի գծային հավասարումն է v ′ (x) . (\displaystyle v"(x):)Նրա լուծումն է v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Այսպիսով, լուծումը կարելի է գրել հետևյալ ձևով. Սա բավականին հեշտ է հիշել. երկրորդ գծային անկախ լուծումը ստանալու համար պարզապես անհրաժեշտ է լրացուցիչ ժամկետ ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
  - y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\ցուցադրման ոճ y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))
Անհամասեռ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով: Անհամասեռ հավասարումներնման լինել L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)Որտեղ f (x) (\displaystyle f(x))- այսպես կոչված ազատ անդամ. Համաձայն դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության՝ այս հավասարման ընդհանուր լուծումը սուպերպոզիցիա է մասնավոր լուծում y p (x) (\ցուցադրման ոճ y_(p)(x))Եվ լրացուցիչ լուծում y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)Այնուամենայնիվ, այս դեպքում կոնկրետ լուծում չի նշանակում նախնական պայմաններով տրված լուծում, այլ ավելի շուտ լուծում, որը որոշվում է տարասեռության առկայությամբ (ազատ տերմին): Լրացուցիչ լուծում է համարվում համապատասխան միատարր հավասարման լուծումը, որում f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)Ընդհանուր լուծումը այս երկու լուծումների սուպերպոզիցիան է, քանի որ L [y p + y c] = L [y p] + L [y c] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), և քանի որ L [ y c ] = 0, (\displaystyle L=0,)նման սուպերպոզիցիան իսկապես ընդհանուր լուծում է:
D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
Մեթոդ անորոշ գործակիցներ. Անորոշ գործակիցների մեթոդը օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ կեղծ տերմինը էքսպոնենցիալ, եռանկյունաչափական, հիպերբոլիկ կամ հզորության գործառույթներ. Միայն այս ֆունկցիաները երաշխավորված են ունենալ վերջավոր թվով գծային անկախ ածանցյալներ: Այս բաժնում մենք կգտնենք հավասարման որոշակի լուծում:
- Եկեք համեմատենք տերմինները f (x) (\displaystyle f(x))տերմիններով՝ առանց մշտական գործոնների ուշադրություն դարձնելու։ Հնարավոր է երեք դեպք.
  - Ոչ մի երկու անդամ նույնը չէ:Այս դեպքում կոնկրետ լուծում y p (\displaystyle y_(p))կլինի տերմինների գծային համակցություն y p (\displaystyle y_(p))
  - f (x) (\displaystyle f(x)) պարունակում է անդամ x n (\displaystyle x^(n)) և անդամ y c , (\displaystyle y_(c),) Որտեղ n (\displaystyle n) զրո է կամ դրական ամբողջ թիվ, և այս տերմինը համապատասխանում է բնորոշ հավասարման առանձին արմատին:Այս դեպքում y p (\displaystyle y_(p))բաղկացած կլինի ֆունկցիայի համակցությունից x n + 1 ժ (x) , (\ցուցադրման ոճ x^(n+1)h(x),)դրա գծային անկախ ածանցյալները, ինչպես նաև այլ տերմիններ f (x) (\displaystyle f(x))և դրանց գծային անկախ ածանցյալները։
  - f (x) (\displaystyle f(x)) պարունակում է անդամ h (x) , (\displaystyle h(x),) որը ստեղծագործություն է x n (\displaystyle x^(n)) և անդամ y c , (\displaystyle y_(c),) Որտեղ n (\displaystyle n) հավասար է 0-ի կամ դրական ամբողջ թվի, և այս տերմինը համապատասխանում է բազմակիբնորոշ հավասարման արմատը:Այս դեպքում y p (\displaystyle y_(p))ֆունկցիայի գծային համակցությունն է x n + s h (x) (\ցուցադրման ոճ x^(n+s)h(x))(Որտեղ s (\displaystyle s)- արմատի բազմապատկություն) և նրա գծային անկախ ածանցյալները, ինչպես նաև ֆունկցիայի այլ անդամները f (x) (\displaystyle f(x))և դրա գծային անկախ ածանցյալները։
- Եկեք գրենք այն y p (\displaystyle y_(p))որպես վերը թվարկված տերմինների գծային համակցություն: Այս գործակիցների շնորհիվ գծային համադրությամբ այս մեթոդըկոչվում է «չորոշված գործակիցների մեթոդ»: Երբ պարունակվում է y c (\displaystyle y_(c))անդամները կարող են հեռացվել կամայական հաստատունների առկայության պատճառով y գ . (\displaystyle y_(c).)Դրանից հետո մենք փոխարինում ենք y p (\displaystyle y_(p))մեջ հավասարման մեջ և հավասարեցնել նմանատիպ տերմինները:
- Մենք որոշում ենք գործակիցները. Այս փուլում համակարգը ձեռք է բերվում հանրահաշվական հավասարումներ, որը սովորաբար կարելի է լուծել առանց հատուկ խնդիրներ. Այս համակարգի լուծումը թույլ է տալիս ձեռք բերել y p (\displaystyle y_(p))և դրանով իսկ լուծիր հավասարումը։
- Օրինակ 2.3.Դիտարկենք անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումը, որի ազատ անդամը պարունակում է վերջավոր թվով գծային անկախ ածանցյալներ: Նման հավասարման կոնկրետ լուծում կարելի է գտնել անորոշ գործակիցների մեթոդով:
  - d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)(\mathrm (d))t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
  - y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
  - y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
  - 9 A e 3 t − 25 B cos⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(հավասարեցված)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(հավասարեցված)))
  - ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(դեպքեր)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ վերջ (դեպքեր)))
  - y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)
Լագրանժի մեթոդ.Լագրանժի մեթոդը կամ կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը ավելին է ընդհանուր մեթոդանհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում, հատկապես այն դեպքերում, երբ ազատ անդամը չի պարունակում վերջավոր թվով գծային անկախ ածանցյալներ։ Օրինակ՝ անվճար պայմաններով tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)կամ x − n (\ցուցադրման ոճ x^(-n))Որոշակի լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել Լագրանժի մեթոդը: Լագրանժի մեթոդը նույնիսկ կարող է օգտագործվել փոփոխական գործակիցներով դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելու համար, թեև այս դեպքում, բացառությամբ Կոշի-Էյլերի հավասարման, այն օգտագործվում է ավելի քիչ հաճախ, քանի որ լրացուցիչ լուծումը սովորաբար չի արտահայտվում տարրական գործառույթներով:
- Ենթադրենք, որ լուծումն ունի հետևյալ ձևը. Երկրորդ տողում տրված է դրա ածանցյալը։
  - y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\ցուցադրման ոճ y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
  - y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\ցուցադրման ոճ y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) «+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
- Քանի որ առաջարկվող լուծումը պարունակում է երկուանհայտ քանակություններ, անհրաժեշտ է պարտադրել լրացուցիչվիճակ. Եկեք ընտրենք սա լրացուցիչ պայմանհետևյալ ձևով.
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\ցուցադրման ոճ v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
  - y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\ցուցադրման ոճ y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
  - y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\ցուցադրման ոճ y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
- Այժմ մենք կարող ենք ստանալ երկրորդ հավասարումը. Անդամների փոխարինումից և վերաբաշխումից հետո կարող եք խմբավորել անդամների հետ միասին v 1 (\displaystyle v_(1))և անդամների հետ v 2 (\displaystyle v_(2)). Այս ժամկետները կրճատվում են, քանի որ y 1 (\displaystyle y_(1))Եվ y 2 (\displaystyle y_(2))համապատասխան միատարր հավասարման լուծումներ են։ Արդյունքում մենք ստանում ենք հետևյալ համակարգըհավասարումներ
  - v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(հավասարեցված)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\վերջ (հավասարեցված)))
- Այս համակարգը կարող է փոխակերպվել մատրիցային հավասարումբարի A x = b, (\displaystyle A(\mathbf (x))=(\mathbf (b)))որի լուծումն է x = A − 1 բ. (\displaystyle (\mathbf (x))=A^(-1)(\mathbf (b) ))Մատրիցայի համար 2 × 2 (\ցուցադրման ոճ 2\ անգամ 2) հակադարձ մատրիցաԳտնվում է որոշիչով բաժանելով, անկյունագծային տարրերը վերադասավորելով և ոչ անկյունագծային տարրերի նշանը փոխելով։ Փաստորեն, այս մատրիցայի որոշիչը Վրոնսկյան է:
  - (v 1 ′ v 2 ′) = 1 Վտ (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ վերջ (pmatrix)) (\ Begin (pmatrix) 0 \\ f (x) \ end (pmatrix)))
- Արտահայտություններ համար v 1 (\displaystyle v_(1))Եվ v 2 (\displaystyle v_(2))տրված են ստորև։ Ինչպես պատվերի կրճատման մեթոդում, այս դեպքում էլ ինտեգրման ժամանակ առաջանում է կամայական հաստատուն, որը ներառում է լրացուցիչ լուծում դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ։
  - v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2) (x) (\ mathrm (d) )x)
  - v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
Դասախոսություն Ազգային բաց համալսարանի ինտուիտից՝ «N-րդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ հաստատուն գործակիցներով» վերնագրով։

Գործնական օգտագործում

Դիֆերենցիալ հավասարումները կապ են հաստատում ֆունկցիայի և նրա մեկ կամ մի քանի ածանցյալների միջև: Քանի որ նման կապերը չափազանց տարածված են, դիֆերենցիալ հավասարումները մեծ կիրառություն են գտել տարբեր տարածքներ, և քանի որ մենք ապրում ենք չորս հարթություններում, այս հավասարումները հաճախ դիֆերենցիալ հավասարումներ են մասնավորածանցյալներ. Այս բաժինն ընդգրկում է այս տեսակի ամենակարևոր հավասարումները:

Էքսպոնենցիալ աճ և քայքայում:Ռադիոակտիվ քայքայումը. Բաղադրություն հետաքրքրությունը. Արագություն քիմիական ռեակցիաներ. Արյան մեջ դեղերի կոնցենտրացիան. Բնակչության անսահմանափակ աճ. Նյուտոն-Ռիչմանի օրենքը. Իրական աշխարհում կան բազմաթիվ համակարգեր, որոնցում աճի կամ քայքայման արագությունը ցանկացած պահի համաչափ է այս պահինժամանակը կամ կարող է լավ մոտավորվել մոդելով: Դա պայմանավորված է նրանով, որ այս դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը՝ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան, ամենաշատերից մեկն է կարևոր գործառույթներմաթեմատիկայի և այլ գիտությունների մեջ։ Ավելի շատ ընդհանուր դեպքԲնակչության վերահսկվող աճի դեպքում համակարգը կարող է ներառել լրացուցիչ անդամներ, որոնք սահմանափակում են աճը: Ստորև բերված հավասարման մեջ հաստատունը k (\displaystyle k)կարող է լինել զրոյից մեծ կամ փոքր:
- d y d x = k x (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
Հարմոնիկ թրթռումներ.Թե՛ դասական, թե՛ քվանտային մեխանիկայի մեջ ներդաշնակ տատանիչն ամենակարևորներից է ֆիզիկական համակարգերշնորհիվ իր պարզության և լայն կիրառությունավելի մոտավոր համարելու համար բարդ համակարգեր, օրինակ՝ պարզ ճոճանակ։ Դասական մեխանիկայի մեջ ներդաշնակ թրթռումները նկարագրվում են հավասարմամբ, որը կապում է նյութական կետի դիրքը նրա արագացման հետ Հուկի օրենքի միջոցով։ Այս դեպքում կարելի է հաշվի առնել նաև խոնավեցնող և շարժիչ ուժերը: Ստորև բերված արտահայտության մեջ x ˙ (\ցուցադրման ոճ (\կետ (x)))- ժամանակի ածանցյալ x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \բետա)- պարամետր, որը նկարագրում է խոնավացման ուժը, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- համակարգի անկյունային հաճախականությունը, F (t) (\displaystyle F(t))- կախված ժամանակից առաջ մղող ուժ. Հարմոնիկ տատանվողը առկա է նաև էլեկտրամագնիսական տատանողական սխեմաներում, որտեղ այն կարող է իրականացվել ավելի մեծ ճշգրտությամբ, քան մեխանիկական համակարգերում։
- x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\ցուցադրման ոճ (\ddot (x))+2\բետա (\կետ (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
Բեսելի հավասարումը.Բեսելի դիֆերենցիալ հավասարումը օգտագործվում է ֆիզիկայի շատ ոլորտներում, ներառյալ ալիքի հավասարումը, Լապլասի հավասարումը և Շրյոդինգերի հավասարումը, հատկապես գլանաձև կամ գնդաձև սիմետրիայի առկայության դեպքում։ Փոփոխական գործակիցներով այս երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը Կոշի-Էյլերի հավասարում չէ, ուստի դրա լուծումները չեն կարող գրվել որպես տարրական ֆունկցիաներ։ Բեսելի հավասարման լուծումները Բեսելի ֆունկցիաներն են, որոնք լավ ուսումնասիրված են բազմաթիվ ոլորտներում կիրառման շնորհիվ։ Ստորև բերված արտահայտության մեջ α (\displaystyle \alpha)- հաստատուն, որը համապատասխանում է որպեսզիԲեսելի գործառույթները.
- x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 - α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\ mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
Մաքսվելի հավասարումները.Լորենցի ուժի հետ մեկտեղ Մաքսվելի հավասարումները կազմում են դասական էլեկտրադինամիկայի հիմքը։ Սրանք էլեկտրականության չորս մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ են E (r , t) (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (E) )((\mathbf (r)),t))և մագնիսական B (r , t) (\ցուցադրման ոճ (\mathbf (B) )((\mathbf (r)),t))դաշտերը. Ստորև բերված արտահայտություններում ρ = ρ (r , t) (\ցուցադրման ոճ \rho =\rho ((\mathbf (r)),t))- լիցքավորման խտությունը, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J))=(\mathbf (J))((\mathbf (r)),t))- հոսանքի խտությունը, և ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))Եվ μ 0 (\ցուցադրման ոճ \mu _(0))- էլեկտրական և մագնիսական հաստատուններ, համապատասխանաբար.
- ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\ցուցադրման ոճ (\սկիզբ (հավասարեցված)\nabla (\mathbf (E))&=(\frac (\rho)(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B))&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B))&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\մասնակի (\mathbf (E) ))(\մասնակի t))\վերջ (հավասարեցված)))
Շրյոդինգերի հավասարումը.Քվանտային մեխանիկայում Շրյոդինգերի հավասարումը շարժման հիմնարար հավասարումն է, որը նկարագրում է մասնիկների շարժումը՝ ալիքի ֆունկցիայի փոփոխությանը համապատասխան։ Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r)),t))ժամանակի հետ. Շարժման հավասարումը նկարագրվում է վարքագծով Համիլտոնյանը H^(\displaystyle (\hat (H))) - օպերատոր, որը նկարագրում է համակարգի էներգիան։ Մեկը լայնորեն հայտնի օրինակներՇրյոդինգերի հավասարումը ֆիզիկայում հավասարում է մեկ ոչ հարաբերական մասնիկի համար, որի վրա գործում է պոտենցիալ V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r)),t)). Շատ համակարգեր նկարագրված են ժամանակից կախված Շրյոդինգերի հավասարմամբ, իսկ հավասարման ձախ կողմում E Ψ, (\displaystyle E\Psi,)Որտեղ E (\displaystyle E)- մասնիկների էներգիա. Ստորև բերված արտահայտություններում ℏ (\displaystyle \hbar)- կրճատված Պլանկի հաստատուն:
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\մասնակի \Psi)(\մասնակի t))=(\hat (H))\Psi)
- i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 մ ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi)(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r)),t)\աջ)\Psi)
Ալիքի հավասարում.Ֆիզիկան և տեխնիկան հնարավոր չէ պատկերացնել առանց ալիքների, դրանք առկա են բոլոր տեսակի համակարգերում: Ընդհանուր առմամբ, ալիքները նկարագրվում են ստորև բերված հավասարմամբ, որում u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r)),t))ցանկալի ֆունկցիան է, և c (\displaystyle c)- փորձնականորեն որոշված հաստատուն. դ'Ալեմբերն առաջինն էր, ով հայտնաբերեց, որ միաչափ դեպքի համար ալիքի հավասարման լուծումը հետևյալն է. ցանկացածֆունկցիա արգումենտով x − c t (\displaystyle x-ct), որը նկարագրում է կամայական ձևի ալիքը, որը տարածվում է դեպի աջ: Միաչափ դեպքի ընդհանուր լուծումը այս ֆունկցիայի գծային համակցությունն է երկրորդ ֆունկցիայի հետ արգումենտով x + c t (\displaystyle x+ct), որը նկարագրում է դեպի ձախ տարածվող ալիքը։ Այս լուծումը ներկայացված է երկրորդ տողում.
- ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\մասնակի ^(2)u)(\մասնակի t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
- u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
Նավիեր-Սթոքսի հավասարումներ.Նավիեր-Սթոքսի հավասարումները նկարագրում են հեղուկների շարժումը։ Քանի որ հեղուկները առկա են գիտության և տեխնիկայի գրեթե բոլոր բնագավառներում, այս հավասարումները չափազանց կարևոր են եղանակի կանխատեսման, ինքնաթիռների նախագծման, օվկիանոսի հոսանքների ուսումնասիրման և բազմաթիվ այլ կիրառական խնդիրների լուծման համար: Նավիեր-Սթոքսի հավասարումները ոչ գծային մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ են, և շատ դեպքերում դրանք շատ դժվար է լուծել, քանի որ ոչ գծայինությունը հանգեցնում է տուրբուլենտության, իսկ թվային մեթոդներով կայուն լուծում ստանալը պահանջում է բաժանում շատ փոքր բջիջների, ինչը պահանջում է զգալի հաշվողական հզորություն: Հիդրոդինամիկայի գործնական նպատակների համար օգտագործվում են այնպիսի մեթոդներ, ինչպիսիք են ժամանակի միջինացումը՝ տուրբուլենտ հոսքերը մոդելավորելու համար: Նույնիսկ ավելի հիմնական հարցեր, ինչպիսիք են լուծումների առկայությունը և եզակիությունը ոչ գծային հավասարումներմասնակի ածանցյալներում, իսկ Նավիեր-Սթոքսի հավասարումների լուծման գոյությունն ու եզակիությունը եռաչափում ապացուցելը հազարամյակի մաթեմատիկական խնդիրներից է։ Ստորև բերված են անսեղմելի հեղուկի հոսքի հավասարումը և շարունակականության հավասարումը:
- ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\ցուցադրման ոճ (\frac (\մասնակի (\mathbf (u)) )(\մասնակի t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u))=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho)(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

Շատ դիֆերենցիալ հավասարումներ պարզապես չեն կարող լուծվել վերը նշված մեթոդներով, հատկապես վերջին բաժնում նշված մեթոդներով: Սա վերաբերում է այն դեպքերին, երբ հավասարումը պարունակում է փոփոխական գործակիցներ և Կոշի-Էյլերի հավասարում չէ, կամ երբ հավասարումը ոչ գծային է, բացառությամբ մի քանի շատ հազվադեպ դեպքերի: Այնուամենայնիվ, վերը նշված մեթոդները կարող են լուծել շատ կարևոր դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք հաճախ հանդիպում են գիտության տարբեր ոլորտներում:
Ի տարբերություն տարբերակման, որը թույլ է տալիս գտնել ցանկացած ֆունկցիայի ածանցյալ, շատ արտահայտությունների ինտեգրալը չի կարող արտահայտվել. տարրական գործառույթներ. Այսպիսով, ժամանակ մի վատնեք՝ փորձելով հաշվարկել ինտեգրալը, որտեղ դա անհնար է: Նայեք ինտեգրալների աղյուսակին. Եթե դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը չի կարող արտահայտվել տարրական ֆունկցիաներով, երբեմն այն կարող է ներկայացվել ինտեգրալ ձևով, և այս դեպքում կարևոր չէ, թե արդյոք այս ինտեգրալը կարող է վերլուծական հաշվարկվել։

Զգուշացումներ

Արտաքին տեսքդիֆերենցիալ հավասարումը կարող է ապակողմնորոշիչ լինել: Օրինակ, ստորև ներկայացված են երկու առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ: Առաջին հավասարումը կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ օգտագործելով այս հոդվածում նկարագրված մեթոդները: Առաջին հայացքից աննշան փոփոխություն y (\displaystyle y)վրա y 2 (\displaystyle y^(2))երկրորդ հավասարման մեջ այն դարձնում է ոչ գծային և դառնում է շատ դժվար լուծելի:
- d y d x = x 2 + y (\ցուցադրման ոճ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
- d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))=x^(2)+y^(2))

Ուսումնական հաստատություն «Բելառուսական պետություն

գյուղատնտեսական ակադեմիա»

Բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժին

ԱՌԱՋԻՆ ԿԱՐԳԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Դասախոսությունների նշումներ հաշվապահական հաշվառման ուսանողների համար

կրթության նամակագրության ձև (NISPO)

Գորկի, 2013 թ

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ

Դիֆերենցիալ հավասարման հայեցակարգը. Ընդհանուր և հատուկ լուծումներ

Տարբեր երևույթներ ուսումնասիրելիս հաճախ հնարավոր չէ գտնել անկախ փոփոխականն ու ցանկալի ֆունկցիան ուղղակիորեն կապող օրենք, սակայն հնարավոր է կապ հաստատել ցանկալի ֆունկցիայի և նրա ածանցյալների միջև։

Անկախ փոփոխականը, ցանկալի ֆունկցիան և դրա ածանցյալները կապող հարաբերությունը կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարում :

Այստեղ x- անկախ փոփոխական, y- պահանջվող գործառույթը,
- ցանկալի ֆունկցիայի ածանցյալներ. Այս դեպքում (1) հարաբերությունը պետք է ունենա առնվազն մեկ ածանցյալ:

Դիֆերենցիալ հավասարման կարգը կոչվում է հավասարման մեջ ներառված ամենաբարձր ածանցյալի կարգը։

Դիտարկենք դիֆերենցիալ հավասարումը

. (2)

Քանի որ այս հավասարումը ներառում է միայն առաջին կարգի ածանցյալ, այն կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում է։

Եթե (2) հավասարումը կարող է լուծվել ածանցյալի նկատմամբ և գրվել ձևով

, (3)

ապա նման հավասարումը կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում նորմալ ձևով:

Շատ դեպքերում նպատակահարմար է դիտարկել ձևի հավասարումը

որը կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում, որը գրված է դիֆերենցիալ ձևով:

Որովհետեւ
, ապա (3) հավասարումը կարելի է գրել ձևով
կամ
, որտեղ կարող ենք հաշվել
Եվ
. Սա նշանակում է, որ (3) հավասարումը վերածվում է հավասարման (4):

Եկեք գրենք (4) հավասարումը ձևով
. Հետո
,
,
, որտեղ կարող ենք հաշվել
, այսինքն. ստացվում է (3) ձևի հավասարումը։ Այսպիսով, (3) և (4) հավասարումները համարժեք են:

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծում (2) կամ (3)-ը կոչվում է ցանկացած ֆունկցիա
, որը, երբ այն փոխարինում է (2) կամ (3) հավասարման մեջ, այն վերածում է ինքնության.

կամ
.

Դիֆերենցիալ հավասարման բոլոր լուծումները գտնելու գործընթացը կոչվում է իր ինտեգրում , և լուծման գրաֆիկը
կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարում ինտեգրալ կոր այս հավասարումը.

Եթե դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը ստացվում է անուղղակի ձևով
, ապա այն կոչվում է անբաժանելի այս դիֆերենցիալ հավասարման.

Ընդհանուր լուծում առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը ձևի ֆունկցիաների ընտանիք է
, կախված կամայական հաստատունից ՀԵՏ, որոնցից յուրաքանչյուրը կամայական հաստատունի ցանկացած թույլատրելի արժեքի համար տրված դիֆերենցիալ հավասարման լուծում է ՀԵՏ. Այսպիսով, դիֆերենցիալ հավասարումն ունի անսահման թվով լուծումներ։

Մասնավոր որոշում դիֆերենցիալ հավասարումը կամայական հաստատունի որոշակի արժեքի լուծման ընդհանուր բանաձևից ստացված լուծում է ՀԵՏ, այդ թվում
.

Կոշիի խնդիրը և դրա երկրաչափական մեկնաբանությունը

Հավասարումը (2) ունի անսահման թվով լուծումներ: Այս հավաքածուից մեկ լուծում ընտրելու համար, որը կոչվում է մասնավոր, դուք պետք է որոշ լրացուցիչ պայմաններ սահմանեք:

Տրված պայմաններում (2) հավասարման որոշակի լուծում գտնելու խնդիրը կոչվում է Կոշի խնդիր . Այս խնդիրն ամենակարևորներից է դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության մեջ։

Քոշիի խնդիրը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. (2) հավասարման բոլոր լուծումների մեջ գտնել այդպիսի լուծում
, որում ֆունկցիան
վերցնում է տրված թվային արժեքը , եթե անկախ փոփոխականը x վերցնում է տրված թվային արժեքը , այսինքն.

,
, (5)

Որտեղ Դ- ֆունկցիայի սահմանման տիրույթ
.

Իմաստը կանչեց ֆունկցիայի սկզբնական արժեքը , Ա – անկախ փոփոխականի սկզբնական արժեքը . (5) պայմանը կոչվում է նախնական վիճակ կամ Կոշի վիճակ .

ՀԵՏ երկրաչափական կետՏեսանկյունից Քոշիի խնդիրը դիֆերենցիալ հավասարման համար (2) կարող է ձևակերպվել հետևյալ կերպ. (2) հավասարման ինտեգրալ կորերի բազմությունից ընտրե՛ք այն, որն անցնում է տվյալ կետով
.

Դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ բաժանելի փոփոխականներով

Դիֆերենցիալ հավասարումների ամենապարզ տեսակներից մեկը առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումն է, որը չի պարունակում ցանկալի ֆունկցիա.

. (6)

Հաշվի առնելով դա
, հավասարումը գրում ենք ձևով
կամ
. Ինտեգրելով վերջին հավասարման երկու կողմերը՝ մենք ստանում ենք.
կամ

. (7)

Այսպիսով, (7)-ը (6) հավասարման ընդհանուր լուծումն է:

Օրինակ 1 . Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը
.

Լուծում . Հավասարումը գրենք ձևով
կամ
. Եկեք ինտեգրենք ստացված հավասարման երկու կողմերը.
,
. Վերջապես կգրենք
.

Օրինակ 2 . Գտե՛ք հավասարման լուծումը
հաշվի առնելով, որ
.

Լուծում . Գտնենք հավասարման ընդհանուր լուծումը.
,
,
,
. Ըստ պայմանի
,
. Փոխարինենք ընդհանուր լուծմանը.
կամ
. Մենք կամայական հաստատունի գտած արժեքը փոխարինում ենք ընդհանուր լուծման բանաձևով.
. Սա դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում է, որը բավարարում է տվյալ պայմանը:

Հավասարումը

(8)

Կանչել առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում, որը չի պարունակում անկախ փոփոխական . Եկեք այն գրենք ձևով
կամ
. Եկեք ինտեգրենք վերջին հավասարման երկու կողմերը.
կամ
- (8) հավասարման ընդհանուր լուծում.

Օրինակ . Գտե՛ք հավասարման ընդհանուր լուծումը
.

Լուծում . Այս հավասարումը գրենք ձևով.
կամ
. Հետո
,
,
,
. Այսպիսով,
այս հավասարման ընդհանուր լուծումն է:

Ձևի հավասարումը

(9)

ինտեգրվում է՝ օգտագործելով փոփոխականների տարանջատումը: Դա անելու համար մենք հավասարումը գրում ենք ձևով
, և այնուհետև օգտագործելով բազմապատկման և բաժանման գործողությունները՝ այն բերում ենք այնպիսի ձևի, որ մի մասը ներառում է միայն ֆունկցիան. Xև դիֆերենցիալ dx, իսկ երկրորդ մասում՝ ֆունկցիան ժամըև դիֆերենցիալ դի. Դա անելու համար անհրաժեշտ է հավասարման երկու կողմերը բազմապատկել dxև բաժանել ըստ
. Արդյունքում մենք ստանում ենք հավասարումը

, (10)

որում փոփոխականները XԵվ ժամըառանձնացված. Եկեք ինտեգրենք (10) հավասարման երկու կողմերը.
. Ստացված կապը (9) հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է։

Օրինակ 3 . Ինտեգրել հավասարումը
.

Լուծում . Փոխակերպենք հավասարումը և առանձնացնենք փոփոխականները.
,
. Եկեք ինտեգրվենք.
,
կամ այս հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է։
.

Թող հավասարումը տրվի ձևով

Այս հավասարումը կոչվում է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում բաժանելի փոփոխականներով սիմետրիկ ձևով.

Փոփոխականները առանձնացնելու համար պետք է հավասարման երկու կողմերը բաժանել
:

. (12)

Ստացված հավասարումը կոչվում է տարանջատված դիֆերենցիալ հավասարում . Եկեք ինտեգրենք (12) հավասարումը.

.(13)

Հարաբերությունը (13) դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է (11):

Օրինակ 4 . Ինտեգրել դիֆերենցիալ հավասարումը:

Լուծում . Հավասարումը գրենք ձևով

և երկու մասերն էլ բաժանիր
,
. Ստացված հավասարումը.
տարանջատված փոփոխական հավասարում է: Եկեք ինտեգրենք այն.

,
,

,
. Վերջին հավասարությունը այս դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է:

Օրինակ 5 . Գտեք դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում
, բավարարելով պայմանը
.

Լուծում . Հաշվի առնելով դա
, հավասարումը գրում ենք ձևով
կամ
. Առանձնացնենք փոփոխականները.
. Եկեք ինտեգրենք այս հավասարումը.
,
,
. Ստացված կապը այս հավասարման ընդհանուր ինտեգրալն է։ Ըստ պայմանի
. Փոխարինենք այն ընդհանուր ինտեգրալով և գտնենք ՀԵՏ:
,ՀԵՏ=1. Հետո արտահայտությունը
տրված դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծումն է՝ գրված որպես մասնակի ինտեգրալ։

Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ

Հավասարումը

(14)

կանչեց առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում . Անհայտ գործառույթ
և դրա ածանցյալը մտնում են այս հավասարման մեջ գծային, իսկ ֆունկցիաները
Եվ
շարունակական։

Եթե
, ապա հավասարումը

(15)

կանչեց գծային միատարր . Եթե
, ապա կանչվում է (14) հավասարումը գծային անհամասեռ .

(14) հավասարման լուծումը գտնելու համար սովորաբար օգտագործում են փոխարինման մեթոդ (Bernoulli) , որի էությունը հետեւյալն է.

Մենք կփնտրենք (14) հավասարման լուծումը երկու ֆունկցիաների արտադրյալի տեսքով

, (16)

Որտեղ
Եվ
- որոշ շարունակական գործառույթներ: Եկեք փոխարինենք
և ածանցյալ
հավասարման մեջ (14):

Գործառույթ vմենք կընտրենք այնպես, որ պայմանը բավարարվի
. Հետո
. Այսպիսով, (14) հավասարման լուծումը գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը

Համակարգի առաջին հավասարումը գծային միատարր հավասարում է և կարող է լուծվել փոփոխականների տարանջատման մեթոդով.
,
,
,
,
. Որպես գործառույթ
կարող եք վերցնել միատարր հավասարման մասնակի լուծումներից մեկը, այսինքն. ժամը ՀԵՏ=1:
. Փոխարինենք համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ.
կամ
.Հետո
. Այսպիսով, առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև
.

Օրինակ 6 . Լուծե՛ք հավասարումը
.

Լուծում . Հավասարման լուծումը կփնտրենք ձևով
. Հետո
. Փոխարինենք հավասարման մեջ.

կամ
. Գործառույթ vընտրել այնպես, որ հավասարությունը պահպանվի
. Հետո
. Այս հավասարումներից առաջինը լուծենք փոփոխականների տարանջատման մեթոդով.
,
,
,
,. Գործառույթ vՓոխարինենք երկրորդ հավասարման մեջ.
,
,
,
. Այս հավասարման ընդհանուր լուծումն է
.

Գիտելիքների ինքնատիրապետման հարցեր

Ի՞նչ է դիֆերենցիալ հավասարումը:

Ո՞րն է դիֆերենցիալ հավասարման կարգը:

Ո՞ր դիֆերենցիալ հավասարումն է կոչվում առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում:

Ինչպե՞ս է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը գրվում դիֆերենցիալ ձևով:

Ո՞րն է դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը:

Ի՞նչ է ինտեգրալ կորը:

Ո՞րն է առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Ի՞նչ է կոչվում դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծում:

Ինչպե՞ս է ձևակերպվում Քոշիի խնդիրը առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման համար:

Ո՞րն է Քոշիի խնդրի երկրաչափական մեկնաբանությունը:

Ինչպե՞ս գրել դիֆերենցիալ հավասարում սիմետրիկ ձևով բաժանելի փոփոխականներով:

Ո՞ր հավասարումն է կոչվում առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում:

Ի՞նչ մեթոդով կարելի է լուծել առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումը և ո՞րն է այս մեթոդի էությունը:

Անկախ աշխատանքի առաջադրանքներ

Լուծել դիֆերենցիալ հավասարումներ բաժանելի փոփոխականներով.

Ա)
; բ)
;

V)
; G)
.

2. Լուծե՛ք առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Ա)
; բ)
; V)
;

G)
; դ)
.

1. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումն ունի ձևը

Եթե այս հավասարումը կարելի է լուծել, ապա այն կարելի է գրել այսպես

Այս դեպքում մենք ասում ենք, որ դիֆերենցիալ հավասարումը լուծվում է ածանցյալի նկատմամբ: Նման հավասարման համար վավեր է հետևյալ թեորեմը, որը կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման լուծման գոյության և եզակիության թեորեմ։ Թեորեմ. Եթե հավասարում.

ֆունկցիան և նրա մասնակի ածանցյալը y-ի նկատմամբ շարունակական են որոշ D տիրույթում ինչ-որ կետ պարունակող հարթության վրա, ապա այս հավասարման եզակի լուծում կա.

պայմանը բավարարելով ժամը

Այս թեորեմը կհաստատվի § 27-րդ գլխում: XVI.

Թեորեմի երկրաչափական իմաստն այն է, որ կա եզակի ֆունկցիա, որի գրաֆիկն անցնում է կետով

Նոր ասված թեորեմից հետևում է, որ հավասարումն ունի անվերջ թվով տարբեր լուծումներ (օրինակ՝ լուծում, որի գրաֆիկն անցնում է կետով, մեկ այլ լուծում, որի գրաֆիկն անցնում է կետով և այլն, եթե միայն այս կետերը գտնվում են տարածաշրջանում։

Այն պայմանը, երբ y ֆունկցիան պետք է հավասար լինի տրված թվին, կոչվում է սկզբնական պայման։ Այն հաճախ գրվում է ձևով

Սահմանում 1. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը ֆունկցիան է

որը կախված է մեկ կամայական C հաստատունից և բավարարում է հետևյալ պայմանները.

ա) այն բավարարում է C հաստատունի ցանկացած կոնկրետ արժեքի դիֆերենցիալ հավասարումը.

բ) ինչ էլ որ լինի սկզբնական պայմանը, հնարավոր է գտնել այնպիսի արժեք, որ ֆունկցիան բավարարի տվյալ սկզբնական պայմանին: Այս դեպքում ենթադրվում է, որ արժեքները պատկանում են x և y փոփոխականների տատանումների տարածաշրջանին, որտեղ բավարարված են լուծման գոյության թեորեմի և եզակիության պայմանները։

2. Դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում գտնելու գործընթացում մենք հաճախ հանգում ենք ձևի հարաբերակցության.

չի թույլատրվում y-ի վերաբերյալ։ Լուծելով այս կապը y-ի համար՝ ստանում ենք ընդհանուր լուծում։ Այնուամենայնիվ, միշտ չէ, որ հնարավոր է y-ն արտահայտել (2) առնչությունից տարրական ֆունկցիաներում. Նման դեպքերում ընդհանուր լուծումը մնում է անուղղակի: Ձևի հավասարությունը, որը անուղղակիորեն նշում է ընդհանուր լուծումը, կոչվում է դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալ:

Սահմանում 2. Առանձին լուծում է համարվում ցանկացած ֆունկցիա, որը ստացվում է ընդհանուր լուծումից, եթե վերջինում կամայական C հաստատունին տրվում է որոշակի արժեք։Հարաբերությունը այս դեպքում կոչվում է հավասարման մասնակի ինտեգրալ։

Օրինակ 1. Առաջին կարգի հավասարման համար

Ընդհանուր լուծումը կլինի ֆունկցիաների ընտանիքը, որը կարելի է հաստատել պարզ փոխարինելով հավասարման մեջ:

Եկեք գտնենք որոշակի լուծում, որը բավարարում է հետևյալ նախնական պայմանը. այս արժեքները բանաձևի մեջ փոխարինելիս մենք ստանում ենք կամ, հետևաբար, ցանկալի կոնկրետ լուծումը կլինի գործառույթը.

Երկրաչափական տեսանկյունից ընդհանուր ինտեգրալը կորերի ընտանիք է կոորդինատային հարթության վրա՝ կախված մեկ կամայական C հաստատունից (կամ, ինչպես ասում են, մեկ պարամետրից C)։

Այս կորերը կոչվում են տվյալ դիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրալ կորեր։ Մասնակի ինտեգրալը համապատասխանում է այս ընտանիքի մեկ կորին, որն անցնում է հարթության որոշակի կետով:

Այսպիսով, վերջին օրինակում ընդհանուր ինտեգրալը երկրաչափորեն ներկայացված է հիպերբոլաների ընտանիքով, իսկ նշված սկզբնական պայմանով սահմանված առանձնահատուկ ինտեգրալը ներկայացված է այս հիպերբոլաներից մեկով, որն անցնում է Նկ. 251-ը ցույց է տալիս պարամետրի որոշ արժեքներին համապատասխանող ընտանիքի կորերը.

Պատճառաբանությունն ավելի պարզ դարձնելու համար այսուհետ հավասարման լուծում կանվանենք ոչ միայն հավասարումը բավարարող ֆունկցիա, այլև համապատասխան ինտեգրալ կոր։ Այս առումով մենք կխոսենք, օրինակ, կետի միջով անցնող լուծման մասին:

Մեկնաբանություն. Հավասարումը չունի լուծում, որն անցնում է Նկ.-ի առանցքի վրա ընկած կետով: 251), քանի որ համարի հավասարման աջ կողմը սահմանված չէ և, հետևաբար, շարունակական չէ:

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը կամ, ինչպես հաճախ ասում են, ինտեգրելը նշանակում է.

ա) գտնել դրա ընդհանուր լուծումը կամ ընդհանուր ինտեգրալը (եթե նախնական պայմանները տրված չեն) կամ

բ) գտնել հավասարման այն կոնկրետ լուծումը, որը բավարարում է տրված սկզբնական պայմաններին (եթե այդպիսիք կան):

3. Տանք առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման երկրաչափական մեկնաբանություն:

Թող տրվի դիֆերենցիալ հավասարում, որը լուծվում է ածանցյալի նկատմամբ.

և թող լինի այս հավասարման ընդհանուր լուծումը: Այս ընդհանուր լուծումը սահմանում է հարթության վրա ինտեգրալ կորերի ընտանիք

X և y կոորդինատներով M կետի հավասարումը (G) որոշում է ածանցյալի արժեքը, այսինքն՝ այս կետով անցնող ինտեգրալ կորին շոշափողի անկյունային գործակիցը: Այսպիսով, դիֆերենցիալ հավասարումը (D) տալիս է ուղղությունների մի շարք կամ, ինչպես ասում են, որոշում է ուղղությունների դաշտը հարթության վրա.

Հետևաբար, երկրաչափական տեսանկյունից դիֆերենցիալ հավասարման ինտեգրման խնդիրն է գտնել կորեր, որոնց շոշափողներն ունեն դաշտի նույն ուղղությունը համապատասխան կետերում:

Դիֆերենցիալ հավասարման համար (1) այն կետերի երկրաչափական տեղանքը, որոնցում կապը բավարարված է, կոչվում է այս դիֆերենցիալ հավասարման իզոկլին:

k-ի տարբեր արժեքների համար մենք ստանում ենք տարբեր իզոկլիններ: Կ-ի արժեքին համապատասխանող իզոկլինի հավասարումը ակնհայտորեն կլինի Կառուցելով իզոկլինների ընտանիք՝ կարելի է մոտավորապես կառուցել ինտեգրալ կորերի ընտանիք: Նրանք ասում են, որ, իմանալով իզոկլինները, կարելի է որակապես որոշել հարթության վրա ինտեգրալ կորերի գտնվելու վայրը։