প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রকার, সমাধান পদ্ধতি

$y"+P\left(x\right)\cdot y=0$, যেখানে $P\left(x\right)$ একটি ক্রমাগত ফাংশন, তাকে রৈখিক সমজাতীয় বলা হয়। নাম "রৈখিক" ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে অজানা ফাংশন $y$ এবং এর প্রথম ডেরিভেটিভ $y"$ সমীকরণে রৈখিকভাবে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, অর্থাৎ প্রথম ডিগ্রি পর্যন্ত। সমীকরণের ডানদিকে একটি শূন্য রয়েছে এই বিষয়টি থেকে "সমজাতীয়" নামটি এসেছে।

এই ধরনের একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পরিবর্তনশীল পদ্ধতির বিচ্ছেদ ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। এর মধ্যে এটা কল্পনা করা যাক মান ফর্মপদ্ধতি: $y"=-P\left(x\right)\cdot y$, যেখানে $f_(1) \left(x\right)=-P\left(x\right)$ এবং $f_(2) \left(y\right)=y$।

আসুন অখণ্ড $I_(1) =\int f_(1) \left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $ হিসাব করি।

চলুন অখণ্ড $I_(2) =\int \frac(dy)(f_(2) \left(y\right)) =\int \frac(dy)(y) =\ln \left|y\right হিসাব করি |$

আসুন এটি লিখে রাখি সাধারণ সিদ্ধান্ত$\ln \left|y\right|+\int P\left(x\right)\cdot dx =\ln \left|C_(1) \right|$, যেখানে $\ln \left|C_ ( 1) \right|$ হল একটি নির্বিচারে ধ্রুবক, যা আরও রূপান্তরের জন্য সুবিধাজনক আকারে নেওয়া হয়।

আসুন রূপান্তরগুলি সম্পাদন করি:

\[\ln \left|y\right|-\ln \left|C_(1) \right|=-\int P\left(x\right)\cdot dx ; \ln \frac(\left|y\right|)(\left|C_(1) \right|) =-\int P\left(x\right)\cdot dx.\]

লগারিদমের সংজ্ঞা ব্যবহার করে, আমরা পাই: $\left|y\right|=\left|C_(1) \right|\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ . এই সমতা, ঘুরে, সমতা $y=\pm C_(1) \cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ এর সমতুল্য।

নির্বিচারে ধ্রুবক $C=\pm C_(1) $ প্রতিস্থাপন করে, আমরা লিনিয়ার সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান পাই: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $.

$f_(2) \left(y\right)=y=0$ সমীকরণটি সমাধান করার পরে, আমরা বিশেষ সমাধান খুঁজে পাই। একটি সাধারণ চেক করে আমরা নিশ্চিত যে $y=0$ ফাংশনটি এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি বিশেষ সমাধান।

যাইহোক, সাধারণ সমাধান $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $ থেকে $C=0$ রেখে একই সমাধান পাওয়া যেতে পারে।

সুতরাং চূড়ান্ত ফলাফল হল: $y=C\cdot e^(-\int P\left(x\right)\cdot dx ) $।

একটি প্রথম-ক্রম রৈখিক সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য সাধারণ পদ্ধতিকে নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

1. এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য, এটিকে প্রথমে $y"+P\left(x\right)\cdot y=0$ পদ্ধতির আদর্শ আকারে উপস্থাপন করতে হবে। যদি এটি অর্জন না করা হয়, তাহলে এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি অবশ্যই সমাধান করতে হবে একটি ভিন্ন পদ্ধতি।
2. আমরা অখণ্ড $I=\int P\left(x\right)\cdot dx$ গণনা করি।
3. আমরা $y=C\cdot e^(-I) $ আকারে সাধারণ সমাধান লিখি এবং প্রয়োজনে সরলীকৃত রূপান্তর সম্পাদন করি।

সমস্যা 1

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ $y"+3\cdot x^(2) \cdot y=0$-এর সাধারণ সমাধান খুঁজুন।

আমাদের স্ট্যান্ডার্ড আকারে প্রথম ক্রমটির একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণ রয়েছে, যার জন্য $P\left(x\right)=3\cdot x^(2) $।

আমরা $I=\int 3\cdot x^(2) \cdot dx =x^(3) $ গণনা করি।

সাধারণ সমাধানের ফর্ম আছে: $y=C\cdot e^(-x^(3) ) $।

প্রথম ক্রমের রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

সংজ্ঞা

একটি প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, যেখানে $P\left(x\right)$ এ উপস্থাপিত হতে পারে এবং $ Q\left(x\right)$ -- পরিচিত ক্রমাগত ফাংশন, একটি রৈখিক inhomogeneous ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়. "অসমজাতীয়" নামটি এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ডান দিকটি অশূন্য।

একটি জটিল রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান দুটি সরল সমীকরণের সমাধানে হ্রাস করা যেতে পারে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ. এটি করার জন্য, প্রয়োজনীয় ফাংশন $y$টিকে দুটি সহায়ক ফাংশন $u$ এবং $v$, অর্থাৎ $y=u\cdot v$ দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে হবে।

আমরা স্বীকৃত প্রতিস্থাপনের পার্থক্য করি: $\frac(dy)(dx) =\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) $। আমরা এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে ফলিত রাশিটি প্রতিস্থাপন করি: $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot u\cdot v= Q\ left(x\right)$ অথবা $\frac(du)(dx) \cdot v+u\cdot \left[\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v\ ডান] =Q\left(x\right)$।

মনে রাখবেন যে যদি $y=u\cdot v$ গৃহীত হয়, তাহলে অক্জিলিয়ারী ফাংশনগুলির একটিকে নির্বিচারে $u\cdot v$ পণ্যের অংশ হিসাবে বেছে নেওয়া যেতে পারে। আসুন অক্জিলিয়ারী ফাংশন $v$ নির্বাচন করি যাতে বর্গাকার বন্ধনীতে এক্সপ্রেশন শূন্য হয়ে যায়। এটি করার জন্য, $v$ ফাংশনের জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ $\frac(dv)(dx) +P\left(x\right)\cdot v=0$ সমাধান করা এবং এটির জন্য সবচেয়ে সহজ বিশেষ সমাধান বেছে নেওয়া যথেষ্ট। $v=v\left(x \right)$, অশূন্য। এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি রৈখিক সমজাতীয় এবং উপরে আলোচনা করা পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হয়।

আমরা এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে $v=v\left(x\right)$ প্রতিস্থাপন করি, এই সত্যটি বিবেচনায় নিয়ে যে এখন বর্গাকার বন্ধনীতে অভিব্যক্তিটি শূন্যের সমান, এবং আমরা আরেকটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পেয়েছি, কিন্তু এখন সম্মানের সাথে অক্জিলিয়ারী ফাংশনে $u$: $\ frac(du)(dx) \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$। এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি $\frac(du)(dx) =\frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) $ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যার পরে এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে এটি অবিলম্বে অনুমতি দেয় মিশ্রণ. এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য $u=u\left(x,\; C\right)$ আকারে একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করতে হবে।

এখন আমরা $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ আকারে এই প্রথম-ক্রম রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজে পেতে পারি।

একটি প্রথম-ক্রম রৈখিক অসংগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য সাধারণ পদ্ধতিকে নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

1. এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য, এটিকে প্রথমে $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$ পদ্ধতির আদর্শ আকারে উপস্থাপন করতে হবে। যদি এটি অর্জন করা না হয়, তাহলে এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ অন্য পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা আবশ্যক.
2. আমরা অখণ্ড $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx$ গণনা করি, $v\left(x\right)=e^(-I_(1) আকারে একটি নির্দিষ্ট সমাধান লিখি। ) $, সরলীকৃত রূপান্তরগুলি সম্পাদন করুন এবং $v\left(x\right)$ এর জন্য সহজতম অ-শূন্য বিকল্পটি বেছে নিন।
3. আমরা পূর্ণাঙ্গ $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $ গণনা করি, তারপরে আমরা $u আকারে অভিব্যক্তি লিখি \left(x, C\right)=I_(2) +C$।
4. আমরা $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ আকারে এই রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান লিখি এবং প্রয়োজনে সরলীকৃত রূপান্তর সম্পাদন করি।

সমস্যা 2

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ $y"-\frac(y)(x) =3\cdot x$-এর সাধারণ সমাধান খুঁজুন।

আমাদের স্ট্যান্ডার্ড আকারে একটি প্রথম-ক্রম রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ সমীকরণ রয়েছে, যার জন্য $P\left(x\right)=-\frac(1)(x) $ এবং $Q\left(x\right)=3\cdot x $

আমরা অখণ্ড $I_(1) =\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac(1)(x) \cdot dx=-\ln \left|x\right| গণনা করি। $

আমরা $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ আকারে একটি নির্দিষ্ট সমাধান লিখি এবং সরলীকৃত রূপান্তর সম্পাদন করি: $v\left(x\right)=e^(\ln \left) |x\ right|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. $v\left(x\right)$ এর জন্য আমরা সবচেয়ে সহজ অ-শূন্য বিকল্প বেছে নিই: $v\left(x\right)=x$।

আমরা অখণ্ড $I_(2) =\int \frac(Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx =\int \frac(3\cdot x)(x) গণনা করি ) \ cdot dx=3\cdot x $।

আমরা $u\left(x,C\right)=I_(2) +C=3\cdot x+C$ রাশি লিখি।

আমরা অবশেষে $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, অর্থাৎ $y=\left( আকারে এই রৈখিক অসঙ্গতিপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান লিখি। 3\cdot x+C \right)\cdot x$।

প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে সমাধান করা হয়েছে

প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করবেন

ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে আমাদের একটি প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা যাক:
.
এই সমীকরণটি , এ , দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই ফর্মের সমীকরণ:
,
কোথায় .

এর পরে, আমরা দেখতে চাই যে এই সমীকরণগুলি নীচে তালিকাভুক্ত প্রকারগুলির মধ্যে একটির অন্তর্গত কিনা। যদি না হয়, তাহলে আমরা ডিফারেনশিয়াল আকারে সমীকরণটি আবার লিখব। এটি করার জন্য, আমরা সমীকরণটি লিখি এবং গুন করি। আমরা ডিফারেনশিয়ালের আকারে একটি সমীকরণ পাই:
.

যদি এই সমীকরণটি একটি সমীকরণ না হয় সম্পূর্ণ ভিন্নতা, তারপর আমরা বিবেচনা করি যে এই সমীকরণে একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল, এবং এটি একটি ফাংশন। সমীকরণটি এভাবে ভাগ করুন:
.
এরপরে, আমরা দেখতে চাই যে এই সমীকরণটি নীচের তালিকাভুক্ত প্রকারগুলির মধ্যে একটির অন্তর্গত কিনা, আমরা স্থানগুলি অদলবদল করেছি তা বিবেচনা করে।

যদি এই সমীকরণের জন্য কোনো প্রকার খুঁজে না পাওয়া যায়, তাহলে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সরল প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে সমীকরণটিকে সরল করা সম্ভব কিনা। উদাহরণস্বরূপ, যদি সমীকরণ হয়:
,
তারপর আমরা তা লক্ষ্য করি। তারপর আমরা একটি প্রতিস্থাপন করা. এর পরে, সমীকরণটি একটি সহজ ফর্ম গ্রহণ করবে:
.

যদি এটি সাহায্য না করে, তাহলে আমরা ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর খুঁজে বের করার চেষ্টা করি।

বিভাজ্য সমীকরণ

;
.
দ্বারা বিভক্ত এবং একীভূত. যখন আমরা পাই:
.

বিভাজ্য সমীকরণে হ্রাসকারী সমীকরণ

সমজাতীয় সমীকরণ

আমরা প্রতিস্থাপন দ্বারা সমাধান:
,
যেখানে একটি ফাংশন. তারপর
;
.
আমরা ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করি এবং একত্রিত করি।

সমীকরণ সমজাতীয় থেকে হ্রাস করা

ভেরিয়েবল লিখুন এবং:
;
.
আমরা ধ্রুবক নির্বাচন করি এবং যাতে বিনামূল্যের পদগুলি অদৃশ্য হয়ে যায়:
;
.
ফলস্বরূপ, আমরা ভেরিয়েবল এবং তে একটি সমজাতীয় সমীকরণ পাই।

সাধারণীকৃত সমজাতীয় সমীকরণ

এর একটি প্রতিস্থাপন করা যাক. আমরা ভেরিয়েবলে একটি সমজাতীয় সমীকরণ পাই এবং

লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

রৈখিক সমীকরণ সমাধানের জন্য তিনটি পদ্ধতি রয়েছে।

2) বার্নউলির পদ্ধতি।
আমরা দুটি ফাংশন এবং একটি পরিবর্তনশীলের একটি পণ্য আকারে একটি সমাধান খুঁজছি:
.
;
.
আমরা নির্বিচারে এই ফাংশনগুলির মধ্যে একটি বেছে নিতে পারি। অতএব, আমরা সমীকরণের যেকোনো অ-শূন্য সমাধান বেছে নিই:
.

3) ধ্রুবকের পরিবর্তনের পদ্ধতি (ল্যাগ্রেঞ্জ)।
এখানে আমরা প্রথমে সমজাতীয় সমীকরণটি সমাধান করি:

সমজাতীয় সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম রয়েছে:
,
যেখানে একটি ধ্রুবক। এর পরে, আমরা ধ্রুবকটিকে একটি ফাংশন দিয়ে প্রতিস্থাপন করি যা ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে:
.
মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন। ফলস্বরূপ, আমরা একটি সমীকরণ পাই যা থেকে আমরা নির্ধারণ করি।

বার্নোলির সমীকরণ

প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে, বার্নোলির সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণে পরিণত হয়।

এই সমীকরণটি Bernoulli পদ্ধতি ব্যবহার করেও সমাধান করা যেতে পারে। অর্থাৎ, আমরা ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে দুটি ফাংশনের পণ্য আকারে একটি সমাধান খুঁজছি:
.
মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:
;
.
আমরা সমীকরণের যেকোনো অ-শূন্য সমাধান বেছে নিই:
.
নির্ধারণ করার পরে, আমরা এর জন্য বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণ পাই।

রিকাটি সমীকরণ

এটা সমাধান করা হয় না সাধারণ দৃষ্টিকোণ. প্রতিস্থাপন

রিকাটি সমীকরণটি আকারে হ্রাস করা হয়েছে:
,
যেখানে একটি ধ্রুবক; ; .
পরবর্তী, প্রতিস্থাপন দ্বারা:

এটি আকারে হ্রাস করা হয়:
,
কোথায় .

রিকাটি সমীকরণের বৈশিষ্ট্য এবং এর সমাধানের কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে পেজে উপস্থাপন করা হয়েছে
রিকাটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ >>>

জ্যাকোবি সমীকরণ

প্রতিস্থাপন দ্বারা সমাধান করা হয়েছে:
.

মোট পার্থক্য সমীকরণ

দেত্তয়া আছে
.
এই শর্ত পূরণ হলে, সমতার বাম দিকের অভিব্যক্তিটি কিছু ফাংশনের পার্থক্য:
.
তারপর
.
এখান থেকে আমরা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অবিচ্ছেদ্য অংশ পাই:
.

ফাংশন খুঁজে পেতে, সবচেয়ে সুবিধাজনক উপায় ক্রমিক ডিফারেনশিয়াল নিষ্কাশন পদ্ধতি। এটি করার জন্য, সূত্র ব্যবহার করুন:
;
;
;
.

ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর

যদি একটি প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ তালিকাভুক্ত প্রকারগুলির মধ্যে কমানো না যায়, তাহলে আপনি ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর খুঁজে বের করার চেষ্টা করতে পারেন। একটি ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর হল একটি ফাংশন, যার দ্বারা গুণ করা হলে, একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ মোট ডিফারেন্সিয়ালের একটি সমীকরণে পরিণত হয়। প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ আছে অসীম সংখ্যাইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর। যাইহোক, ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর খুঁজে বের করার জন্য কোন সাধারণ পদ্ধতি নেই।

ডেরিভেটিভ y" এর জন্য সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়নি

যে সমীকরণগুলি ডেরিভেটিভ y এর ক্ষেত্রে সমাধান করা যেতে পারে"

প্রথমে আপনাকে ডেরিভেটিভের সাথে সমীকরণটি সমাধান করার চেষ্টা করতে হবে। যদি সম্ভব হয়, সমীকরণটি উপরে তালিকাভুক্ত প্রকারগুলির একটিতে হ্রাস করা যেতে পারে।

যে সমীকরণগুলি ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে

যদি আপনি সমীকরণ ফ্যাক্টর করতে পারেন:
,
তারপর কাজ নিচে আসে সামঞ্জস্যপূর্ণ সমাধানসহজ সমীকরণ:
;
;

;
. আমরা বিশ্বাস করি. তারপর
অথবা
এরপরে আমরা সমীকরণটি সংহত করি:
;
.
ফলস্বরূপ, আমরা প্যারামিটারের মাধ্যমে দ্বিতীয় চলকের অভিব্যক্তিটি পাই।

আরও সাধারণ সমীকরণ:
বা
এছাড়াও প্যারামেট্রিক আকারে সমাধান করা হয়. এটি করার জন্য, আপনাকে এমন একটি ফাংশন বেছে নিতে হবে মূল সমীকরণপ্যারামিটারের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে।
প্যারামিটারের মাধ্যমে দ্বিতীয় চলকটি প্রকাশ করতে, আমরা সমীকরণটি একীভূত করি:
;
.

y এর জন্য সমীকরণ সমাধান করা হয়েছে

Clairaut সমীকরণ

এই সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান আছে

Lagrange সমীকরণ

আমরা প্যারামেট্রিক আকারে একটি সমাধান খুঁজছি। আমরা অনুমান করি কোথায় একটি পরামিতি।

বার্নোলির সমীকরণের দিকে পরিচালিত সমীকরণ

এই সমীকরণগুলিকে বার্নোলি সমীকরণে হ্রাস করা হয় যদি আমরা একটি প্যারামিটার প্রবর্তন করে এবং প্রতিস্থাপন তৈরি করে প্যারামেট্রিক আকারে তাদের সমাধানগুলি সন্ধান করি।

তথ্যসূত্র:
ভি.ভি. স্টেপানোভ, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কোর্স, "LKI", 2015।
এন.এম. গুন্থার, আর.ও. কুজমিন, উচ্চতর গণিতে সমস্যার সংগ্রহ, "ল্যান", 2003।

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যাতে একটি ফাংশন এবং এর এক বা একাধিক ডেরিভেটিভ জড়িত থাকে। অধিকাংশ ব্যবহারিক সমস্যা, ফাংশন হয় শারীরিক পরিমাণ, ডেরিভেটিভগুলি এই পরিমাণগুলির পরিবর্তনের হারের সাথে মিলে যায় এবং সমীকরণটি তাদের মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারণ করে৷

এই নিবন্ধটি নির্দিষ্ট ধরণের সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার পদ্ধতিগুলি নিয়ে আলোচনা করে, যার সমাধানগুলি আকারে লেখা যেতে পারে প্রাথমিক ফাংশন, অর্থাৎ, বহুপদী, সূচকীয়, লগারিদমিক এবং ত্রিকোণমিতিক, সেইসাথে তাদের বিপরীত ফাংশন। এই সমীকরণের মধ্যে অনেকগুলি উপস্থিত হয় বাস্তব জীবন, যদিও বেশিরভাগ অন্যান্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি এই পদ্ধতিগুলি দ্বারা সমাধান করা যায় না এবং তাদের জন্য উত্তরটি বিশেষ ফাংশন আকারে লেখা হয় বা শক্তি ধারা, বা সংখ্যাগত পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যায়।

এই নিবন্ধটি বোঝার জন্য, আপনাকে অবশ্যই ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসে দক্ষ হতে হবে, সেইসাথে আংশিক ডেরিভেটিভের কিছু বোঝার অধিকারী হতে হবে। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, বিশেষ করে সেকেন্ড-অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা রৈখিক বীজগণিতের মূল বিষয়গুলি জানারও সুপারিশ করা হয়, যদিও ডিফারেনশিয়াল এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের জ্ঞান তাদের সমাধান করার জন্য যথেষ্ট।

প্রাথমিক তথ্য

• ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি বিস্তৃত শ্রেণীবিভাগ রয়েছে। এই নিবন্ধটি সম্পর্কে কথা বলে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, অর্থাৎ, সমীকরণ সম্পর্কে যা একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন এবং এর ডেরিভেটিভস অন্তর্ভুক্ত করে। সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি বোঝা এবং সমাধান করা অনেক সহজ আংশিক পার্থক্যমূলক সমীকরণগুলি, যা বিভিন্ন ভেরিয়েবলের ফাংশন অন্তর্ভুক্ত করে। এই নিবন্ধটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ নিয়ে আলোচনা করে না, যেহেতু এই সমীকরণগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলি সাধারণত তাদের নির্দিষ্ট ফর্ম দ্বারা নির্ধারিত হয়।
  • নীচে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কিছু উদাহরণ দেওয়া হল।
    • d y d x = k y (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • নীচে আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কিছু উদাহরণ দেওয়া হল।
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\আংশিক y^(2))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x) ^(2)))=0)
• অর্ডারএকটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এই সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত সর্বোচ্চ ডেরিভেটিভের ক্রম দ্বারা নির্ধারিত হয়। উপরের সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির মধ্যে প্রথমটি প্রথম ক্রমে, যখন দ্বিতীয়টি একটি দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ। ডিগ্রীএকটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল সর্বোচ্চ শক্তি যার কাছে এই সমীকরণের একটি পদ উত্থাপিত হয়।
  • উদাহরণস্বরূপ, নীচের সমীকরণটি তৃতীয় ক্রম এবং দ্বিতীয় ডিগ্রি।
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ ডান)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণইভেন্টে যে ফাংশন এবং এর সমস্ত ডেরিভেটিভগুলি প্রথম ডিগ্রিতে থাকে। অন্যথায় সমীকরণ হয় অরৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ. রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি উল্লেখযোগ্য যে তাদের সমাধানগুলি রৈখিক সংমিশ্রণ তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা প্রদত্ত সমীকরণের সমাধানও হবে।
  • নীচে লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কিছু উদাহরণ দেওয়া হল।
  • নিচে ননলাইনার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কিছু উদাহরণ দেওয়া হল। সাইন শব্দটির কারণে প্রথম সমীকরণটি অরৈখিক।
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• সাধারণ সিদ্ধান্তসাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ অনন্য নয়, এটি অন্তর্ভুক্ত নির্বিচারে ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক. বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, নির্বিচারে ধ্রুবকের সংখ্যা সমীকরণের ক্রম সমান। অনুশীলনে, এই ধ্রুবকগুলির মান প্রদত্তের উপর ভিত্তি করে নির্ধারিত হয় প্রাথমিক শর্তাবলি, অর্থাৎ, ফাংশনের মান এবং এর ডেরিভেটিভ অনুযায়ী x = 0। (\displaystyle x=0.)প্রাথমিক অবস্থার সংখ্যা যা খুঁজে বের করতে হবে ব্যক্তিগত সমাধানডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে প্রদত্ত সমীকরণের ক্রম সমান।
  • উদাহরণস্বরূপ, এই নিবন্ধটি নীচের সমীকরণটি সমাধান করার দিকে নজর দেবে। এটি একটি দ্বিতীয় ক্রম লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। এর সাধারণ সমাধানে দুটি নির্বিচারে ধ্রুবক রয়েছে। এই ধ্রুবকগুলি খুঁজে পেতে প্রাথমিক শর্তগুলি জানা প্রয়োজন x (0) (\displaystyle x(0))এবং x ′ (0)। (\displaystyle x"(0))সাধারণত প্রাথমিক শর্ত বিন্দুতে নির্দিষ্ট করা হয় x = 0 , (\displaystyle x=0,), যদিও এটি প্রয়োজনীয় নয়। এই নিবন্ধটি প্রদত্ত প্রাথমিক অবস্থার জন্য নির্দিষ্ট সমাধানগুলি কীভাবে সন্ধান করতে হয় তা নিয়েও আলোচনা করবে।
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

ধাপ

অংশ 1

প্রথম ক্রম সমীকরণ

এই পরিষেবাটি ব্যবহার করার সময়, কিছু তথ্য YouTube-এ স্থানান্তরিত হতে পারে।

1. প্রথম অর্ডারের রৈখিক সমীকরণ।এই বিভাগটি সাধারণ এবং বিশেষ ক্ষেত্রে প্রথম-ক্রম রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার পদ্ধতিগুলি নিয়ে আলোচনা করে যখন কিছু পদ শূন্যের সমান হয়। এর ভান করা যাক y = y (x), (\displaystyle y=y(x),) p(x) (\displaystyle p(x))এবং q (x) (\displaystyle q(x))ফাংশন হয় এক্স. (\ ডিসপ্লেস্টাইল x।)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0। (\displaystyle p(x)=0।)প্রধান উপপাদ্য এক অনুযায়ী গাণিতিক বিশ্লেষণ, একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভের অবিচ্ছেদ্যও একটি ফাংশন। সুতরাং, এটির সমাধান খুঁজে পেতে সমীকরণটি কেবল সংহত করাই যথেষ্ট। গণনা করার সময় এটি বিবেচনায় নেওয়া উচিত অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যএকটি নির্বিচারে ধ্রুবক উপস্থিত হয়।

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0। (\displaystyle q(x)=0।)আমরা পদ্ধতি ব্যবহার করি ভেরিয়েবলের বিচ্ছেদ. এটি বিভিন্ন ভেরিয়েবলকে সমীকরণের বিভিন্ন দিকে নিয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি এখান থেকে সমস্ত সদস্য সরাতে পারেন y (\ প্রদর্শনশৈলী y)এক, এবং সঙ্গে সব সদস্য x (\displaystyle x)সমীকরণের অন্য দিকে সদস্যদেরও স্থানান্তর করা যেতে পারে d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)এবং d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), যা ডেরিভেটিভের অভিব্যক্তিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, তবে, এটি মনে রাখা উচিত যে এটি শুধুমাত্র একটি প্রতীক যা একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য করার সময় সুবিধাজনক। এই সদস্যদের আলোচনা, যা বলা হয় পার্থক্য, এই নিবন্ধের সুযোগের বাইরে।

   • প্রথমে, আপনাকে ভেরিয়েবলগুলিকে সমান চিহ্নের বিপরীত দিকে নিয়ে যেতে হবে।
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • আসুন সমীকরণের উভয় পক্ষকে একীভূত করি। ইন্টিগ্রেশনের পরে, উভয় দিকেই নির্বিচারে ধ্রুবক উপস্থিত হবে, যা সমীকরণের ডানদিকে স্থানান্তরিত হতে পারে।
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • উদাহরণ 1.1।শেষ ধাপে আমরা নিয়মটি ব্যবহার করেছি e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))এবং প্রতিস্থাপিত e C (\displaystyle e^(C))চালু সি (\ ডিসপ্লেস্টাইল সি), যেহেতু এটি একটি নির্বিচারে ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক।
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displayalign(bestyle) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(সারিবদ্ধ)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0। (\displaystyle p(x)\neq 0,\q(x)\neq 0।)একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করতে আমরা প্রবর্তিত ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টরএকটি কাজ হিসাবে x (\displaystyle x)কমাতে বাম পাশেসাধারণ ডেরিভেটিভের কাছে এবং এইভাবে সমীকরণটি সমাধান করুন।

   • উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μd y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • সাধারণ ডেরিভেটিভ থেকে বাম-হাতের দিকটি কমাতে, নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি করতে হবে:
     • d d x (μ y) = d μd x y + μd y d x = μd y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)(\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • শেষ সমতা মানে d μd x = μp (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )(\mathrm (d) )x))=\mu p). এটি একটি ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর যা যেকোনো প্রথম ক্রম রৈখিক সমীকরণ সমাধানের জন্য যথেষ্ট। এখন আমরা সাপেক্ষে এই সমীকরণটি সমাধানের সূত্রটি বের করতে পারি μ , (\displaystyle \mu ,)যদিও সমস্ত মধ্যবর্তী গণনা করা প্রশিক্ষণের জন্য এটি দরকারী।
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • উদাহরণ 1.2।এই উদাহরণটি দেখায় কিভাবে প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলির সাথে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করা যায়।
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(সারিবদ্ধ)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   প্রথম অর্ডারের রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করা (ইনটুইট দ্বারা রেকর্ড করা - জাতীয় উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়)।

2. অরৈখিক প্রথম ক্রম সমীকরণ. এই বিভাগে কিছু প্রথম-ক্রম অরৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। যদিও এই জাতীয় সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য কোনও সাধারণ পদ্ধতি নেই, তবে তাদের কয়েকটি নীচের পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে।

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y)। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y))যদি ফাংশন f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))একটি চলকের ফাংশনে বিভক্ত করা যেতে পারে, এই ধরনের সমীকরণ বলা হয় বিভাজ্য ভেরিয়েবলের সাথে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ. এই ক্ষেত্রে, আপনি উপরের পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )এক্স)
   • উদাহরণ 1.3।
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ শুরু (সারিবদ্ধ)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\শেষ(সারিবদ্ধ)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y)। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))))এর ভান করা যাক g (x, y) (\displaystyle g(x,y))এবং h (x, y) (\displaystyle h(x,y))ফাংশন হয় x (\displaystyle x)এবং y (\ প্রদর্শনশৈলী y.)তারপর সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণএকটি সমীকরণ যার মধ্যে g (\ ডিসপ্লেস্টাইল জি)এবং h (\ প্রদর্শনশৈলী h)হয় সমজাতীয় ফাংশনএকই মাত্রায় যে, ফাংশন শর্ত পূরণ করতে হবে g (α x , α y) = α k g (x , y), (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)কোথায় k (\ প্রদর্শনশৈলী k)একজাতীয়তার মাত্রা বলা হয়। যেকোন সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ উপযুক্ত দ্বারা ব্যবহার করা যেতে পারে ভেরিয়েবলের প্রতিস্থাপন (v = y / x (\displaystyle v=y/x)বা v = x/y (\displaystyle v=x/y)) একটি পৃথকযোগ্য সমীকরণে রূপান্তর করুন।

   • উদাহরণ 1.4।একজাতীয়তার উপরোক্ত বর্ণনা অস্পষ্ট মনে হতে পারে। আসুন একটি উদাহরণ সহ এই ধারণাটি দেখুন।
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • শুরুতে, এটি লক্ষ করা উচিত যে এই সমীকরণটি সাপেক্ষে অরৈখিক y (\ প্রদর্শনশৈলী y.)আমরা এটা দেখতে এক্ষেত্রেআপনি ভেরিয়েবল আলাদা করতে পারবেন না। একই সময়ে, এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমজাতীয়, যেহেতু লব এবং হর উভয়ই 3 এর শক্তি সহ একজাতীয়। তাই, আমরা চলকের পরিবর্তন করতে পারি v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x) ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))))ফলস্বরূপ, আমরা জন্য সমীকরণ আছে v (\ প্রদর্শনশৈলী v)বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ।
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n))এই বার্নোলি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ- প্রথম ডিগ্রির একটি বিশেষ ধরণের অরৈখিক সমীকরণ, যার সমাধান প্রাথমিক ফাংশন ব্যবহার করে লেখা যেতে পারে।

   • সমীকরণের উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • আমরা বাম দিকে একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য করার জন্য নিয়ম ব্যবহার করি এবং সমীকরণটিকে রূপান্তরিত করি একঘাত সমীকরণতুলনামূলকভাবে y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)যা উপরের পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে।
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\ mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M(x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)(\mathrm (d) )x))=0।)এই মোট পার্থক্য সমীকরণ. এটি তথাকথিত খুঁজে বের করা প্রয়োজন সম্ভাব্য ফাংশন φ (x, y), (\displaystyle \varphi (x,y),), যা শর্ত পূরণ করে d φ d x = 0। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi)((\mathrm (d) )x))=0।)

   • মৃত্যুদন্ড কার্যকর করার জন্য এই অবস্থাঅবশ্যই থাকতে হবে মোট ডেরিভেটিভ. মোট ডেরিভেটিভ অন্যান্য ভেরিয়েবলের উপর নির্ভরতা বিবেচনা করে। মোট ডেরিভেটিভ গণনা করতে φ (\displaystyle \varphi)দ্বারা x , (\displaystyle x,)আমরা যে অনুমান y (\ প্রদর্শনশৈলী y)এছাড়াও নির্ভর করতে পারে এক্স. (\ ডিসপ্লেস্টাইল x।)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))\varphi)((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi) )(\আংশিক x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)(\mathrm (d) )x)))
   • শর্তাবলী তুলনা আমাদের দেয় M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial x)))এবং N (x, y) = ∂ φ ∂ y। (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)))এটি বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের সমীকরণের জন্য একটি সাধারণ ফলাফল, যেখানে মসৃণ ফাংশনের মিশ্র ডেরিভেটিভগুলি একে অপরের সমান। কখনও কখনও এই মামলা বলা হয় Clairaut এর উপপাদ্য. এই ক্ষেত্রে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল একটি মোট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যদি পরবর্তী শর্ত:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • মোট ডিফারেনশিয়ালে সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতিটি বেশ কয়েকটি ডেরিভেটিভের উপস্থিতিতে সম্ভাব্য ফাংশন খুঁজে বের করার মতো, যা আমরা সংক্ষেপে আলোচনা করব। প্রথমে এর সংহত করা যাক M (\displaystyle M)দ্বারা এক্স. (\ ডিসপ্লেস্টাইল x।)কারন M (\displaystyle M)একটি ফাংশন এবং x (\displaystyle x), এবং y , (\displaystyle y,)ইন্টিগ্রেশনের পর আমরা একটি অসম্পূর্ণ ফাংশন পাই φ , (\displaystyle \varphi ,)হিসেবে মনোনীত φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi))). ফলাফলও নির্ভর করে y (\ প্রদর্শনশৈলী y)ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক।
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • এই পরে, পেতে c(y) (\displaystyle c(y))আমরা সাপেক্ষে ফলাফল ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভ নিতে পারি y , (\displaystyle y,)ফলাফল সমান N (x, y) (\displaystyle N(x,y))এবং সংহত করা। আপনি প্রথমে সংহত করতে পারেন N (\ প্রদর্শনশৈলী N), এবং তারপর সাপেক্ষে আংশিক ডেরিভেটিভ নিন x (\displaystyle x), যা আপনাকে একটি নির্বিচারে ফাংশন খুঁজে পেতে অনুমতি দেবে d(x) (\displaystyle d(x))উভয় পদ্ধতিই উপযুক্ত, এবং সাধারণত একীকরণের জন্য সহজ ফাংশন বেছে নেওয়া হয়।
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi)(\partial y))=(\frac (\ আংশিক (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • উদাহরণ 1.5।আপনি আংশিক ডেরিভেটিভস নিতে পারেন এবং দেখতে পারেন যে নীচের সমীকরণটি একটি মোট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)(\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\আংশিক \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(সারিবদ্ধ)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\ ডিসপ্লেস্টাইল (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • যদি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি মোট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ না হয়, কিছু ক্ষেত্রে আপনি একটি সমন্বিত ফ্যাক্টর খুঁজে পেতে পারেন যা আপনাকে এটিকে একটি মোট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে রূপান্তর করতে দেয়। যাইহোক, এই ধরনের সমীকরণগুলি খুব কমই অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়, এবং যদিও একীভূতকারী ফ্যাক্টর বিদ্যমান, এটা এটা খুঁজে ঘটবে সহজ নয়, তাই এই সমীকরণ এই নিবন্ধে বিবেচনা করা হয় না.

অংশ ২

দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ

1. সমজাতীয় রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সহ ধ্রুবক সহগ. এই সমীকরণগুলি অনুশীলনে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, তাই তাদের সমাধান প্রাথমিক গুরুত্বের। এই ক্ষেত্রে, আমরা সমজাতীয় ফাংশন সম্পর্কে কথা বলছি না, তবে সমীকরণের ডানদিকে 0 রয়েছে তা নিয়ে কথা বলছি। পরবর্তী বিভাগটি দেখাবে কীভাবে সংশ্লিষ্টটি সমাধান করতে হয় ভিন্নধর্মীডিফারেনশিয়াল সমীকরণ. নিচে a (\ প্রদর্শনশৈলী a)এবং b (\ ডিসপ্লেস্টাইল খ)ধ্রুবক

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ. এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি উল্লেখযোগ্য যে এটি খুব সহজেই সমাধান করা যেতে পারে যদি আপনি মনোযোগ দেন যে এর সমাধানগুলির কী বৈশিষ্ট্য থাকা উচিত। সমীকরণ থেকে এটা পরিষ্কার y (\ প্রদর্শনশৈলী y)এবং এর ডেরিভেটিভগুলি একে অপরের সমানুপাতিক। পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে, যা প্রথম-ক্রম সমীকরণের বিভাগে আলোচনা করা হয়েছিল, আমরা কেবল তা জানি ব্যাখ্যামূলক কাজ. অতএব, সামনে রাখা সম্ভব ansatz(একটি শিক্ষিত অনুমান) এই সমীকরণের সমাধান কী হবে সে সম্পর্কে।

   • সমাধানটি একটি সূচকীয় ফাংশনের আকার ধারণ করবে e r x , (\ displaystyle e^(rx),)কোথায় r (\ প্রদর্শনশৈলী r)একটি ধ্রুবক যার মান পাওয়া উচিত। এই ফাংশনটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন এবং নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি পান
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • এই সমীকরণটি নির্দেশ করে যে একটি সূচকীয় ফাংশনের গুণফল এবং একটি বহুপদ অবশ্যই শূন্যের সমান হবে। এটা জানা যায় যে ডিগ্রীর কোন মানের জন্য সূচকটি শূন্যের সমান হতে পারে না। এ থেকে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে বহুপদীটি শূন্যের সমান। এইভাবে, আমরা একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের সমস্যাটিকে একটি বীজগণিতীয় সমীকরণ সমাধানের আরও সহজ সমস্যা থেকে কমিয়ে দিয়েছি, যাকে একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের চরিত্রগত সমীকরণ বলা হয়।
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • আমরা দুটি শিকড় পেয়েছি। যেহেতু এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি রৈখিক, তাই এর সাধারণ সমাধান হল আংশিক সমাধানের একটি রৈখিক সমন্বয়। যেহেতু এটি একটি দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ, আমরা জানি যে এটি সত্যিইসাধারণ সমাধান, এবং অন্য কোন নেই। এর জন্য আরও কঠোর ন্যায্যতা একটি সমাধানের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতার উপর উপপাদ্যগুলির মধ্যে রয়েছে, যা পাঠ্যপুস্তকগুলিতে পাওয়া যেতে পারে।
   • দুটি সমাধান রৈখিকভাবে স্বাধীন কিনা তা পরীক্ষা করার একটি কার্যকর উপায় হল গণনা করা রনস্কিয়ানা. ভ্রনস্কিয়ান W (\ ডিসপ্লেস্টাইল W)একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক যার কলামে ফাংশন এবং তাদের ধারাবাহিক ডেরিভেটিভ রয়েছে। রৈখিক বীজগণিত উপপাদ্যটি বলে যে রনস্কিয়ানে অন্তর্ভুক্ত ফাংশনগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল যদি রনস্কিয়ান শূন্যের সমান হয়। এই বিভাগে আমরা দুটি সমাধান রৈখিকভাবে স্বাধীন কিনা তা পরীক্ষা করতে পারি - এটি করার জন্য আমাদের নিশ্চিত করতে হবে যে রনস্কিয়ান শূন্য নয়। বিভিন্ন পরামিতিগুলির পদ্ধতি দ্বারা ধ্রুবক সহগ সহ অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় রনস্কিয়ান গুরুত্বপূর্ণ।
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • রৈখিক বীজগণিতের পরিপ্রেক্ষিতে, একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমস্ত সমাধানের সেট একটি ভেক্টর স্থান গঠন করে যার মাত্রা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম সমান। এই স্থান থেকে কেউ একটি ভিত্তি চয়ন করতে পারেন রৈখিকভাবে স্বাধীনএকে অপরের কাছ থেকে সিদ্ধান্ত। এই কার্যকারিতার কারণে এটি সম্ভব y (x) (\displaystyle y(x))বৈধ লিনিয়ার অপারেটর. অমৌলিক হয়লিনিয়ার অপারেটর, যেহেতু এটি ডিফারেনশিয়াবল ফাংশনের স্থানকে সমস্ত ফাংশনের স্পেসে রূপান্তরিত করে। সমীকরণকে সেই ক্ষেত্রে সমজাতীয় বলা হয় যখন, কারো জন্য লিনিয়ার অপারেটর L (\displaystyle L)আমাদের সমীকরণের একটি সমাধান খুঁজে বের করতে হবে L [ y ] = 0। (\ displaystyle L[y] = 0।)

   আসুন এখন কয়েকটি নির্দিষ্ট উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। ক্রম হ্রাস করার বিভাগে আমরা একটু পরে বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের একাধিক মূলের ক্ষেত্রে বিবেচনা করব।

   যদি শিকড় r ± (\displaystyle r_(\pm ))বিভিন্ন বাস্তব সংখ্যা, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের নিম্নলিখিত সমাধান রয়েছে

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   দুটি জটিল শিকড়।বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য থেকে এটি অনুসরণ করে যে বাস্তব সহগ সহ বহুপদী সমীকরণের সমাধানগুলির মূল রয়েছে যা বাস্তব বা সংযোজক জোড়া তৈরি করে। অতএব, যদি জটিল সংখ্যা r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )চরিত্রগত সমীকরণের মূল, তাহলে r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )এই সমীকরণের মূলও। সুতরাং, আমরা ফর্মে সমাধান লিখতে পারি c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\আলফা-আই\বিটা)x),)যাইহোক, এটি একটি জটিল সংখ্যা এবং ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের জন্য এটি কাম্য নয়।

   • পরিবর্তে আপনি ব্যবহার করতে পারেন অয়লারের সূত্র e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), যা আমাদের ফর্মে সমাধান লিখতে দেয় ত্রিকোণমিতিক ফাংশন:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ বিটা x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • এখন আপনি একটি ধ্রুবক পরিবর্তে করতে পারেন c 1 + c 2 (\ ডিসপ্লেস্টাইল c_(1)+c_(2))লেখ c 1 (\ ডিসপ্লেস্টাইল c_(1)), এবং অভিব্যক্তি i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))পরিবর্তে গ 2। (\displaystyle c_(2))এর পরে আমরা নিম্নলিখিত সমাধান পেতে পারি:
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin\beta x))
   • প্রশস্ততা এবং ধাপের পরিপ্রেক্ষিতে সমাধানটি লেখার আরেকটি উপায় আছে, যা পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যার জন্য আরও উপযুক্ত।
   • উদাহরণ 2.1।আসুন আমরা প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলির সাথে নীচে প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান খুঁজে বের করি। এটি করার জন্য, আপনাকে ফলস্বরূপ সমাধানটি নিতে হবে, সেইসাথে এর ডেরিভেটিভ, এবং এগুলিকে প্রাথমিক অবস্থায় প্রতিস্থাপন করুন, যা আমাদের নির্বিচারে ধ্রুবক নির্ধারণ করতে দেয়।
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)(\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) ) আমি)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(সারিবদ্ধ)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   ধ্রুবক সহগ সহ nth ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা (Intuit - National Open University দ্বারা রেকর্ড করা)।

2. ক্রমহ্রাস।অর্ডার রিডাকশন হল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের একটি পদ্ধতি যখন একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান জানা যায়। এই পদ্ধতিতে সমীকরণের ক্রম এক দ্বারা কমানো থাকে, যা আপনাকে পূর্ববর্তী বিভাগে বর্ণিত পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে সমীকরণটি সমাধান করতে দেয়। সমাধান জানা যাক। অর্ডার হ্রাসের মূল ধারণাটি হল নীচের ফর্মটিতে একটি সমাধান খুঁজে বের করা, যেখানে ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন v (x) (\displaystyle v(x)), এটিকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে এবং খুঁজে বের করা v(x)। (\displaystyle v(x))ধ্রুব সহগ এবং একাধিক মূল সহ একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করতে অর্ডার হ্রাস কীভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে তা দেখা যাক।

   
   

   একাধিক শিকড়ধ্রুবক সহগ সহ একজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। মনে রাখবেন যে একটি দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণের দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান থাকতে হবে। যদি চরিত্রগত সমীকরণএকাধিক শিকড় আছে, অনেক সমাধান আছে নাএকটি স্থান গঠন করে যেহেতু এই সমাধানগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। এই ক্ষেত্রে, দ্বিতীয় রৈখিক স্বাধীন সমাধান খুঁজে পেতে অর্ডার হ্রাস ব্যবহার করা প্রয়োজন।

   • চরিত্রগত সমীকরণের একাধিক মূল থাকতে দিন r (\ প্রদর্শনশৈলী r). আসুন ধরে নিই যে দ্বিতীয় সমাধানটি আকারে লেখা যেতে পারে y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে এটি প্রতিস্থাপন করুন। এই ক্ষেত্রে, ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ সহ শব্দটি বাদ দিয়ে বেশিরভাগ পদ v , (\displaystyle v,)হ্রাস করা হবে।
     • v″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • উদাহরণ 2.2।নিম্নলিখিত সমীকরণ দেওয়া যাক যার একাধিক মূল রয়েছে r = − 4. (\displaystyle r=-4.)প্রতিস্থাপনের সময়, বেশিরভাগ পদ হ্রাস করা হয়।
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y″ = v″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\শেষ(সারিবদ্ধ)))
     • v″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\বাতিল (8v"e^(-4x)))+(\বাতিল (16ve^(-4x)))\\&+(\বাতিল (8v"e) ^(-4x)))-(\বাতিল (32ve^(-4x)))+(\বাতিল (16ve^(-4x)))=0\end(সারিবদ্ধ)))
   • ধ্রুবক সহগ সহ একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য আমাদের ansatz-এর মতো, এই ক্ষেত্রে শুধুমাত্র দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান হতে পারে। আমরা দুবার একত্রিত করি এবং এর জন্য পছন্দসই অভিব্যক্তি পাই v (\ প্রদর্শনশৈলী v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • তারপর যে ক্ষেত্রে চরিত্রগত সমীকরণের একাধিক মূল রয়েছে সেই ক্ষেত্রে ধ্রুবক সহগ সহ একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান নিম্নলিখিত আকারে লেখা যেতে পারে। সুবিধার জন্য, আপনি পেতে যে মনে রাখতে পারেন রৈখিক স্বাধীনতাশুধুমাত্র দ্বিতীয় পদটি দ্বারা গুণ করুন x (\displaystyle x). সমাধানের এই সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন, এবং এইভাবে আমরা এই সমীকরণের সমস্ত সমাধান খুঁজে পেয়েছি।
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0।)সমাধান জানা থাকলে আদেশ হ্রাস প্রযোজ্য y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), যা সমস্যা বিবৃতিতে পাওয়া বা দেওয়া যেতে পারে।

   • আমরা ফর্ম একটি সমাধান খুঁজছেন y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))এবং এই সমীকরণে এটি প্রতিস্থাপন করুন:
     • v″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • কারন y 1 (\displaystyle y_(1))একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান, সাথে সমস্ত পদ v (\ প্রদর্শনশৈলী v)হ্রাস করা হচ্ছে। শেষ পর্যন্ত তা থেকে যায় প্রথম ক্রম রৈখিক সমীকরণ. এটি আরও স্পষ্টভাবে দেখতে, চলকগুলির একটি পরিবর্তন করা যাক w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • যদি অখণ্ডগুলি গণনা করা যায়, আমরা প্রাথমিক ফাংশনগুলির সংমিশ্রণ হিসাবে সাধারণ সমাধান পাই। অন্যথায়, সমাধানটি অবিচ্ছেদ্য আকারে ছেড়ে দেওয়া যেতে পারে।

3. কচি-অয়লার সমীকরণ।কচি-অয়লার সমীকরণটি একটি দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উদাহরণ ভেরিয়েবলসহগ, যার সঠিক সমাধান রয়েছে। এই সমীকরণটি অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ, গোলাকার স্থানাঙ্কে ল্যাপ্লেস সমীকরণ সমাধান করতে।

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ।আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে, প্রতিটি পদে একটি পাওয়ার ফ্যাক্টর রয়েছে, যার মাত্রা সংশ্লিষ্ট ডেরিভেটিভের ক্রম সমান।

   • সুতরাং, আপনি ফর্মে একটি সমাধান সন্ধান করার চেষ্টা করতে পারেন y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)যেখানে এটি নির্ধারণ করা প্রয়োজন n (\ প্রদর্শনশৈলী n), ঠিক যেমন আমরা ধ্রুবক সহগ সহ একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য একটি সূচকীয় ফাংশনের আকারে একটি সমাধান খুঁজছিলাম। পার্থক্য এবং প্রতিস্থাপন পরে আমরা পেতে
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • চরিত্রগত সমীকরণ ব্যবহার করতে, আমাদের অবশ্যই ধরে নিতে হবে x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). ডট x = 0 (\displaystyle x=0)ডাকা নিয়মিত একবচন বিন্দুআঙ্গক. পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করার সময় এই ধরনের পয়েন্টগুলি গুরুত্বপূর্ণ। এই সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে, যা ভিন্ন এবং বাস্তব, একাধিক বা জটিল সংযোজক হতে পারে।
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   দুটি ভিন্ন বাস্তব শিকড়।যদি শিকড় n ± (\displaystyle n_(\pm ))বাস্তব এবং ভিন্ন, তারপর ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান নিম্নলিখিত ফর্ম আছে:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   দুটি জটিল শিকড়।যদি চরিত্রগত সমীকরণের শিকড় থাকে n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), সমাধান একটি জটিল ফাংশন.

   • সমাধানটিকে একটি বাস্তব ফাংশনে রূপান্তর করতে, আমরা ভেরিয়েবলের পরিবর্তন করি x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)এটাই t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)এবং অয়লারের সূত্র ব্যবহার করুন। নির্বিচারে ধ্রুবক নির্ধারণ করার সময় অনুরূপ কর্ম পূর্বে সঞ্চালিত হয়েছিল।
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • তাহলে সাধারণ সমাধান হিসেবে লেখা যাবে
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   একাধিক শিকড়।একটি দ্বিতীয় রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান পেতে, এটি আবার অর্ডার কমাতে প্রয়োজন।

   • এটি বেশ অনেক গণনা নেয়, তবে নীতিটি একই থাকে: আমরা প্রতিস্থাপন করি y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))একটি সমীকরণে যার প্রথম সমাধান y 1 (\displaystyle y_(1)). হ্রাস করার পরে, নিম্নলিখিত সমীকরণ প্রাপ্ত হয়:
     • v″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • এটি সাপেক্ষে একটি প্রথম ক্রম রৈখিক সমীকরণ v′ (x)। (\displaystyle v"(x))তার সমাধান v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x। (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x।)সুতরাং, সমাধানটি নিম্নলিখিত আকারে লেখা যেতে পারে। এটি মনে রাখা বেশ সহজ - দ্বিতীয় রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান পেতে কেবল একটি অতিরিক্ত শব্দ প্রয়োজন ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. ধ্রুবক সহগ সহ inhomogeneous লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। একজাতীয় সমীকরণমত চেহারা L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)কোথায় f(x) (\displaystyle f(x))- তথাকথিত বিনামূল্যে সদস্য. ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্ব অনুসারে, এই সমীকরণের সাধারণ সমাধান একটি সুপারপজিশন ব্যক্তিগত সমাধান y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))এবং অতিরিক্ত সমাধান y c (x)। (\displaystyle y_(c)(x))যাইহোক, এই ক্ষেত্রে, একটি নির্দিষ্ট সমাধান মানে প্রাথমিক অবস্থার দ্বারা প্রদত্ত একটি সমাধান নয়, বরং একটি সমাধান যা ভিন্নতা (একটি মুক্ত শব্দ) উপস্থিতির দ্বারা নির্ধারিত হয়। একটি অতিরিক্ত সমাধান হল সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের একটি সমাধান যার মধ্যে f (x) = 0। (\displaystyle f(x)=0।)সামগ্রিক সমাধান এই দুটি সমাধানের একটি সুপারপজিশন, যেহেতু L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\ displaystyle L=L+L=f(x)), এবং যেহেতু L [ y c ] = 0 , (\ displaystyle L=0,)যেমন একটি সুপারপজিশন প্রকৃতপক্ষে একটি সাধারণ সমাধান.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   পদ্ধতি অনিশ্চিত সহগ. অনির্দিষ্ট সহগ পদ্ধতিটি এমন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় যেখানে ডামি শব্দটি সূচকীয়, ত্রিকোণমিতিক, হাইপারবোলিক বা শক্তি ফাংশন. শুধুমাত্র এই ফাংশনগুলির একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক রৈখিক স্বাধীন ডেরিভেটিভ থাকার নিশ্চয়তা দেওয়া হয়। এই বিভাগে আমরা সমীকরণের একটি বিশেষ সমাধান পাব।

   • এর মধ্যে পদ তুলনা করা যাক f(x) (\displaystyle f(x))ধ্রুবক কারণগুলিতে মনোযোগ না দিয়ে শর্তাবলী সহ। তিনটি সম্ভাব্য মামলা আছে।
     • কোন দুই সদস্য এক নয়।এই ক্ষেত্রে, একটি বিশেষ সমাধান y p (\displaystyle y_(p))থেকে পদগুলির একটি রৈখিক সমন্বয় হবে y p (\displaystyle y_(p))
     • f(x) (\displaystyle f(x)) সদস্য রয়েছে x n (\displaystyle x^(n)) এবং থেকে সদস্য y c , (\displaystyle y_(c),) কোথায় n (\ প্রদর্শনশৈলী n) শূন্য বা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, এবং এই শব্দটি বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের একটি পৃথক মূলের সাথে মিলে যায়।এক্ষেত্রে y p (\displaystyle y_(p))ফাংশন একটি সমন্বয় গঠিত হবে x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)এর রৈখিকভাবে স্বাধীন ডেরিভেটিভ, সেইসাথে অন্যান্য পদ f(x) (\displaystyle f(x))এবং তাদের রৈখিকভাবে স্বাধীন ডেরিভেটিভস।
     • f(x) (\displaystyle f(x)) সদস্য রয়েছে h(x), (\displaystyle h(x),) যা একটি কাজ x n (\displaystyle x^(n)) এবং থেকে সদস্য y c , (\displaystyle y_(c),) কোথায় n (\ প্রদর্শনশৈলী n) 0 বা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমান, এবং এই শব্দটি অনুরূপ একাধিকচরিত্রগত সমীকরণের মূল।এক্ষেত্রে y p (\displaystyle y_(p))ফাংশনের একটি রৈখিক সমন্বয় x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(কোথায় s (\displaystyle s)- মূলের বহুগুণ) এবং এর রৈখিকভাবে স্বাধীন ডেরিভেটিভস, সেইসাথে ফাংশনের অন্যান্য সদস্য f(x) (\displaystyle f(x))এবং এর রৈখিকভাবে স্বাধীন ডেরিভেটিভস।
   • আসুন এটি লিখে রাখি y p (\displaystyle y_(p))উপরে তালিকাভুক্ত পদগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে। রৈখিক সংমিশ্রণে এই সহগগুলির জন্য ধন্যবাদ এই পদ্ধতিবলা হয় "অনির্ধারিত সহগ পদ্ধতি"। যখন অন্তর্ভুক্ত y c (\displaystyle y_(c))মধ্যে নির্বিচারে ধ্রুবকের উপস্থিতির কারণে সদস্যদের বাতিল করা যেতে পারে y গ. (\displaystyle y_(c))এই পরে আমরা বিকল্প y p (\displaystyle y_(p))সমীকরণের মধ্যে এবং অনুরূপ পদ সমতুল্য.
   • আমরা সহগ নির্ধারণ করি। এই পর্যায়ে সিস্টেম প্রাপ্ত হয় বীজগণিত সমীকরণ, যা সাধারণত ছাড়াই সমাধান করা যেতে পারে বিশেষ সমস্যা. এই সিস্টেমের সমাধান আমাদের প্রাপ্ত করতে পারবেন y p (\displaystyle y_(p))এবং এর মাধ্যমে সমীকরণটি সমাধান করুন।
   • উদাহরণ 2.3।আসুন আমরা একটি অসংলগ্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করি যার মুক্ত শব্দটিতে একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক রৈখিক স্বাধীন ডেরিভেটিভ রয়েছে। এই জাতীয় সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান অনির্দিষ্ট সহগ পদ্ধতির দ্বারা পাওয়া যেতে পারে।
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)(\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(সারিবদ্ধ)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\ displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ শেষ (কেস)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি। Lagrange পদ্ধতি, বা নির্বিচারে ধ্রুবকগুলির পরিবর্তনের পদ্ধতি, আরও একটি সাধারণ পদ্ধতিএকজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান করা, বিশেষ করে এমন ক্ষেত্রে যেখানে মুক্ত শব্দটিতে সীমাবদ্ধ সংখ্যক রৈখিক স্বাধীন ডেরিভেটিভ থাকে না। উদাহরণস্বরূপ, বিনামূল্যে সদস্যদের সাথে tan ⁡ x (\displaystyle \tan x)বা x − n (\displaystyle x^(-n))একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে পেতে ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি ব্যবহার করা প্রয়োজন। Lagrange পদ্ধতিটি এমনকি পরিবর্তনশীল সহগ সহ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে, যদিও এই ক্ষেত্রে, Cauchy-Euler সমীকরণ ব্যতীত, এটি কম ঘন ঘন ব্যবহার করা হয়, যেহেতু অতিরিক্ত সমাধানটি সাধারণত প্রাথমিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয় না।

   • আসুন ধরে নিই যে সমাধানটির নিম্নলিখিত ফর্ম রয়েছে। এর ডেরিভেটিভটি দ্বিতীয় লাইনে দেওয়া হয়েছে।
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • যেহেতু প্রস্তাবিত সমাধান রয়েছে দুইঅজানা পরিমাণ, এটা আরোপ করা প্রয়োজন অতিরিক্তঅবস্থা এর এই নির্বাচন করা যাক অতিরিক্ত শর্তনিম্নলিখিত আকারে:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • এখন আমরা দ্বিতীয় সমীকরণ পেতে পারি। সদস্যদের প্রতিস্থাপন এবং পুনর্বন্টন করার পরে, আপনি সদস্যদের সাথে একত্রিত করতে পারেন v 1 (\displaystyle v_(1))এবং সদস্যদের সাথে v 2 (\displaystyle v_(2)). এই পদগুলি হ্রাস করা হয় কারণ y 1 (\displaystyle y_(1))এবং y 2 (\displaystyle y_(2))সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সমীকরণের সমাধান। ফলে আমরা পাই নিম্নলিখিত সিস্টেমসমীকরণ
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(সারিবদ্ধ)))
   • এই সিস্টেমে রূপান্তর করা যেতে পারে ম্যাট্রিক্স সমীকরণধরনের A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)যার সমাধান x = A − 1 b। (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ))ম্যাট্রিক্সের জন্য 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) বিপরীত ম্যাট্রিক্সনির্ধারক দ্বারা ভাগ করে, তির্যক উপাদানগুলিকে পুনর্বিন্যাস করে এবং অ-তির্যক উপাদানগুলির চিহ্ন পরিবর্তন করে পাওয়া যায়। প্রকৃতপক্ষে, এই ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক একজন ক্রোনস্কিয়ান।
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ শেষ(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • জন্য অভিব্যক্তি v 1 (\displaystyle v_(1))এবং v 2 (\displaystyle v_(2))নিচে দেওয়া হল। অর্ডার হ্রাস পদ্ধতির মতো, এই ক্ষেত্রে, একীকরণের সময়, একটি নির্বিচারী ধ্রুবক উপস্থিত হয়, যা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধানে একটি অতিরিক্ত সমাধান অন্তর্ভুক্ত করে।
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\ mathrm (d) )x)
   
   ন্যাশনাল ওপেন ইউনিভার্সিটি ইনটুইট থেকে বক্তৃতা "ধ্রুবক সহগ সহ nth ক্রমের লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।"

বাস্তবিক ব্যবহার

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি একটি ফাংশন এবং এর এক বা একাধিক ডেরিভেটিভের মধ্যে একটি সম্পর্ক স্থাপন করে। যেহেতু এই ধরনের সংযোগগুলি অত্যন্ত সাধারণ, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সর্বাধিক ক্ষেত্রে ব্যাপক প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে বিভিন্ন এলাকায়, এবং যেহেতু আমরা চারটি মাত্রায় বাস করি, এই সমীকরণগুলি প্রায়শই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হয় ব্যক্তিগতডেরিভেটিভস এই বিভাগে এই ধরণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কিছু সমীকরণ রয়েছে।

• সূচকীয় বৃদ্ধি এবং ক্ষয়।তেজস্ক্রিয় ক্ষয়. চক্রবৃদ্ধিহারে সুদ. গতি রাসায়নিক বিক্রিয়ার. রক্তে ওষুধের ঘনত্ব। সীমাহীন জনসংখ্যা বৃদ্ধি। নিউটন-রিচম্যান আইন। বাস্তব জগতে, এমন অনেক ব্যবস্থা রয়েছে যেখানে যে কোনো নির্দিষ্ট সময়ে বৃদ্ধি বা ক্ষয়ের হার পরিমাণের সমানুপাতিক। এই মুহূর্তেসময় বা মডেল দ্বারা ভাল আনুমানিক হতে পারে. এর কারণ হল এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান, সূচকীয় ফাংশন সবচেয়ে বেশি গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনগণিত এবং অন্যান্য বিজ্ঞানে। আরো সাধারণ ক্ষেত্রেনিয়ন্ত্রিত জনসংখ্যা বৃদ্ধির সাথে, সিস্টেমে অতিরিক্ত সদস্য অন্তর্ভুক্ত হতে পারে যা বৃদ্ধিকে সীমিত করে। নীচের সমীকরণে, ধ্রুবক k (\ প্রদর্শনশৈলী k)শূন্যের চেয়ে বড় বা কম হতে পারে।
  • d y d x = k x (\ displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• হারমোনিক কম্পন।ক্লাসিক্যাল এবং কোয়ান্টাম মেকানিক্স উভয় ক্ষেত্রেই, হারমোনিক অসিলেটর অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ শারীরিক সিস্টেমতার সরলতা এবং ধন্যবাদ ব্যাপক আবেদনআনুমানিক আরো জটিল সিস্টেম, যেমন একটি সাধারণ পেন্ডুলাম। ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সে, সুরেলা কম্পনগুলিকে একটি সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয় যা হুকের সূত্রের মাধ্যমে একটি বস্তুগত বিন্দুর অবস্থানকে তার ত্বরণের সাথে সম্পর্কিত করে। এই ক্ষেত্রে, স্যাঁতসেঁতে এবং চালক শক্তিগুলিও বিবেচনায় নেওয়া যেতে পারে। নিচের অভিব্যক্তিতে x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- এর সময় ডেরিভেটিভ x , (\displaystyle x,) β (\ ডিসপ্লেস্টাইল \ বিটা)- প্যারামিটার যা স্যাঁতসেঁতে বলকে বর্ণনা করে, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- সিস্টেমের কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি, F(t) (\displaystyle F(t))- সময় নির্ভর চালিকা শক্তি. হারমোনিক অসিলেটর ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক অসিলেটরি সার্কিটেও উপস্থিত থাকে, যেখানে এটি যান্ত্রিক সিস্টেমের চেয়ে বেশি নির্ভুলতার সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে।
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• বেসেলের সমীকরণ।বেসেল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পদার্থবিদ্যার অনেক ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যার মধ্যে তরঙ্গ সমীকরণ, ল্যাপ্লেসের সমীকরণ এবং শ্রোডিঞ্জারের সমীকরণ, বিশেষ করে নলাকার বা গোলাকার প্রতিসাম্যের উপস্থিতিতে। পরিবর্তনশীল সহগ সহ এই দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি একটি কচি-অয়লার সমীকরণ নয়, তাই এর সমাধানগুলি প্রাথমিক ফাংশন হিসাবে লেখা যাবে না। বেসেল সমীকরণের সমাধান হল বেসেল ফাংশন, যা অনেক ক্ষেত্রে তাদের প্রয়োগের কারণে ভালভাবে অধ্যয়ন করা হয়। নিচের অভিব্যক্তিতে α (\ ডিসপ্লেস্টাইল \ আলফা)- একটি ধ্রুবক যা সঙ্গতিপূর্ণ ক্রমানুসারেবেসেল ফাংশন।
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)(\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ।লরেন্টজ বলের পাশাপাশি, ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণগুলি ক্লাসিক্যাল ইলেক্ট্রোডাইনামিকসের ভিত্তি তৈরি করে। এই বৈদ্যুতিক জন্য চারটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ E (r , t) (\ ডিসপ্লেস্টাইল (\ mathbf (E) )((\ mathbf (r) ),t))এবং চৌম্বক B (r , t) (\ ডিসপ্লেস্টাইল (\ mathbf (B) )((\ mathbf (r) ),t))ক্ষেত্র নীচের অভিব্যক্তি মধ্যে ρ = ρ (r, t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- চার্জ ঘনত্ব, J = J (r, t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- বর্তমান ঘনত্ব, এবং ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))এবং μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- যথাক্রমে বৈদ্যুতিক এবং চৌম্বকীয় ধ্রুবক।
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(bla \cdo)\na (\ mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\আংশিক (\mathbf (E) ))(\আংশিক t))\end(সারিবদ্ধ)))
• শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ।কোয়ান্টাম মেকানিক্সে, শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ হল গতির মৌলিক সমীকরণ, যা তরঙ্গ ফাংশনের পরিবর্তন অনুসারে কণার গতিবিধি বর্ণনা করে। Ψ = Ψ (r, t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))সময়ের সাথে সাথে. গতির সমীকরণ আচরণ দ্বারা বর্ণিত হয় হ্যামিলটোনিয়ান H^(\displaystyle (\hat (H))) - অপারেটর, যা সিস্টেমের শক্তি বর্ণনা করে। ব্যাপকভাবে এক বিখ্যাত উদাহরণপদার্থবিজ্ঞানে শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ হল একটি একক অ-আপেক্ষিক কণার জন্য একটি সমীকরণ যা একটি সম্ভাব্য দ্বারা কাজ করে V (r , t) (\ displaystyle V((\ mathbf (r) ),t)). অনেক সিস্টেম সময়-নির্ভর শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়, এবং সমীকরণের বাম দিকে E Ψ , (\ ডিসপ্লেস্টাইল E\ Psi ,)কোথায় ই (\ ডিসপ্লেস্টাইল ই)- কণা শক্তি। নীচের অভিব্যক্তি মধ্যে ℏ (\displaystyle \hbar)- প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক হ্রাস।
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r, t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi)(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• তরঙ্গ সমীকরণ।পদার্থবিদ্যা এবং প্রযুক্তি তরঙ্গ ছাড়া কল্পনা করা যায় না; তারা সব ধরনের সিস্টেমে উপস্থিত। সাধারণভাবে, তরঙ্গ নীচের সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়, যার মধ্যে u = u (r, t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))পছন্দসই ফাংশন, এবং c (\ ডিসপ্লেস্টাইল গ)- পরীক্ষামূলকভাবে নির্ধারিত ধ্রুবক। ডি'আলেমবার্টই প্রথম আবিষ্কার করেছিলেন যে এক-মাত্রিক ক্ষেত্রে তরঙ্গ সমীকরণের সমাধান যেকোনোযুক্তি সহ ফাংশন x − c t (\displaystyle x-ct), যা ডানদিকে প্রচারিত নির্বিচারে আকৃতির একটি তরঙ্গ বর্ণনা করে। এক-মাত্রিক ক্ষেত্রের সাধারণ সমাধান হল আর্গুমেন্ট সহ একটি দ্বিতীয় ফাংশনের সাথে এই ফাংশনের একটি রৈখিক সমন্বয় x + c t (\displaystyle x+ct), যা বাম দিকে প্রচারিত একটি তরঙ্গ বর্ণনা করে। এই সমাধানটি দ্বিতীয় লাইনে উপস্থাপন করা হয়েছে।
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x, t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণ।নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলি তরলগুলির গতিবিধি বর্ণনা করে। যেহেতু তরল পদার্থগুলি কার্যত বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির প্রতিটি ক্ষেত্রে উপস্থিত রয়েছে, এই সমীকরণগুলি আবহাওয়ার পূর্বাভাস, বিমানের নকশা, সমুদ্রের স্রোত অধ্যয়ন এবং অন্যান্য অনেক প্রয়োগ সমস্যা সমাধানের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলি অরৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, এবং বেশিরভাগ ক্ষেত্রে সেগুলি সমাধান করা খুব কঠিন কারণ অরৈখিকতা অশান্তির দিকে পরিচালিত করে, এবং সংখ্যাগত পদ্ধতি দ্বারা একটি স্থিতিশীল সমাধান পেতে খুব ছোট কোষে বিভাজন প্রয়োজন, যার জন্য উল্লেখযোগ্য কম্পিউটিং শক্তি প্রয়োজন। হাইড্রোডাইনামিক্সের ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে, অশান্ত প্রবাহের মডেল করার জন্য সময় গড় পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এমনকি আরও মৌলিক প্রশ্ন যেমন সমাধানের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা অরৈখিক সমীকরণআংশিক ডেরিভেটিভগুলিতে, এবং তিনটি মাত্রায় নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের সমাধানের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা প্রমাণ করা সহস্রাব্দের গাণিতিক সমস্যাগুলির মধ্যে একটি। নীচে অসংকোচনীয় তরল প্রবাহ সমীকরণ এবং ধারাবাহিকতা সমীকরণ রয়েছে।
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u)) ) )(\আংশিক টি))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u))-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• অনেক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি উপরের পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে সমাধান করা যায় না, বিশেষত শেষ বিভাগে উল্লিখিত। এটি প্রযোজ্য হয় যখন সমীকরণে পরিবর্তনশীল সহগ থাকে এবং এটি একটি কচি-অয়লার সমীকরণ নয়, অথবা যখন সমীকরণটি অরৈখিক হয়, খুব বিরল কিছু ক্ষেত্রে ছাড়া। যাইহোক, উপরের পদ্ধতিগুলি অনেকগুলি গুরুত্বপূর্ণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে পারে যা প্রায়শই বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে সম্মুখীন হয়।
• পার্থক্যের বিপরীতে, যা আপনাকে যেকোন ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে দেয়, অনেক এক্সপ্রেশনের ইন্টিগ্র্যাল প্রকাশ করা যায় না প্রাথমিক ফাংশন. সুতরাং একটি অবিচ্ছেদ্য গণনা করার চেষ্টা করে সময় নষ্ট করবেন না যেখানে এটি অসম্ভব। অখণ্ডের সারণী দেখুন। যদি একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান প্রাথমিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা না যায়, তবে কখনও কখনও এটি অবিচ্ছেদ্য আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং এই ক্ষেত্রে এই অখণ্ডটিকে বিশ্লেষণাত্মকভাবে গণনা করা যায় কিনা তা বিবেচ্য নয়।

সতর্কতা

• চেহারাডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিভ্রান্তিকর হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নীচে দুটি প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ রয়েছে। এই নিবন্ধে বর্ণিত পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে প্রথম সমীকরণটি সহজেই সমাধান করা যেতে পারে। প্রথম নজরে, একটি ছোট পরিবর্তন y (\ প্রদর্শনশৈলী y)চালু y 2 (\displaystyle y^(2))দ্বিতীয় সমীকরণে এটি অ-রৈখিক করে এবং সমাধান করা খুব কঠিন হয়ে পড়ে।
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

শিক্ষা প্রতিষ্ঠান "বেলারুশিয়ান রাজ্য

কৃষি একাডেমী"

উচ্চতর গণিত বিভাগ

প্রথম আদেশের ভিন্ন সমীকরণ

অ্যাকাউন্টিং ছাত্রদের জন্য বক্তৃতা নোট

শিক্ষার চিঠিপত্র ফর্ম (NISPO)

গোর্কি, 2013

ফার্স্ট অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধারণা। সাধারণ এবং বিশেষ সমাধান

বিভিন্ন ঘটনা অধ্যয়ন করার সময়, স্বাধীন পরিবর্তনশীল এবং পছন্দসই ফাংশনকে সরাসরি সংযুক্ত করে এমন একটি আইন খুঁজে পাওয়া প্রায়শই সম্ভব হয় না, তবে পছন্দসই ফাংশন এবং এর ডেরিভেটিভগুলির মধ্যে একটি সংযোগ স্থাপন করা সম্ভব।

স্বাধীন চলক, কাঙ্খিত ফাংশন এবং এর ডেরিভেটিভের সাথে সংযোগকারী সম্পর্ককে বলা হয় আঙ্গক :

এখানে এক্স- স্বাধীন চলক, y- প্রয়োজনীয় ফাংশন,
- পছন্দসই ফাংশনের ডেরিভেটিভস। এই ক্ষেত্রে, সম্পর্ক (1) এর কমপক্ষে একটি ডেরিভেটিভ থাকতে হবে।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম সমীকরণে অন্তর্ভুক্ত সর্বোচ্চ ডেরিভেটিভের ক্রম বলা হয়।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন

. (2)

যেহেতু এই সমীকরণটি শুধুমাত্র একটি প্রথম-ক্রম ডেরিভেটিভ অন্তর্ভুক্ত করে, এটি বলা হয় একটি প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।

যদি সমীকরণ (2) ডেরিভেটিভের সাপেক্ষে সমাধান করা যায় এবং আকারে লিখিত হয়

, (3)

তাহলে এই ধরনের সমীকরণকে স্বাভাবিক আকারে প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়।

অনেক ক্ষেত্রে ফর্মের একটি সমীকরণ বিবেচনা করার পরামর্শ দেওয়া হয়

চমগ্মজগচ ডিফারেনশিয়াল আকারে লেখা একটি প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ।

কারণ
, তারপর সমীকরণ (3) আকারে লেখা যেতে পারে
বা
, যেখানে আমরা গণনা করতে পারি
এবং
. এর মানে হল যে সমীকরণ (3) সমীকরণে রূপান্তরিত হয় (4)।

সমীকরণ (4) আকারে লিখি
. তারপর
,
,
, যেখানে আমরা গণনা করতে পারি
, অর্থাৎ ফর্মের একটি সমীকরণ (3) পাওয়া যায়। সুতরাং, সমীকরণ (3) এবং (4) সমতুল্য।

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা (2) বা (3) যে কোন ফাংশন বলা হয়
, যা, এটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করার সময় (2) বা (3), এটিকে একটি পরিচয়ে পরিণত করে:

বা
.

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমস্ত সমাধান খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াটিকে বলা হয় মিশ্রণ , এবং সমাধান গ্রাফ
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয় অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা এই সমীকরণ।

যদি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান অন্তর্নিহিত আকারে পাওয়া যায়
, তারপর এটা বলা হয় অবিচ্ছেদ্য এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের।

সাধারণ সমাধান একটি প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল ফর্মের ফাংশনগুলির একটি পরিবার
, একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের উপর নির্ভর করে সঙ্গে, যার প্রতিটি একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের যে কোনও গ্রহণযোগ্য মানের জন্য একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান সঙ্গে. এইভাবে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

ব্যক্তিগত সিদ্ধান্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য সাধারণ সমাধান সূত্র থেকে প্রাপ্ত একটি সমাধান সঙ্গে, সহ
.

কচি সমস্যা এবং এর জ্যামিতিক ব্যাখ্যা

সমীকরণ (2) এর অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে। এই সেট থেকে একটি সমাধান নির্বাচন করার জন্য, যাকে একটি ব্যক্তিগত বলা হয়, আপনাকে কিছু অতিরিক্ত শর্ত সেট করতে হবে।

প্রদত্ত অবস্থার অধীনে সমীকরণ (2) এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করার সমস্যা বলা হয় কচি সমস্যা . ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বে এই সমস্যাটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।

কচি সমস্যাটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে: সমীকরণের সমস্ত সমাধানের মধ্যে (2) এমন একটি সমাধান বের করুন
, যার মধ্যে ফাংশন
প্রদত্ত সাংখ্যিক মান নেয় , যদি স্বাধীন পরিবর্তনশীল হয় এক্স প্রদত্ত সাংখ্যিক মান নেয় , অর্থাৎ

,
, (5)

কোথায় ডি- ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেইন
.

অর্থ ডাকা ফাংশনের প্রাথমিক মান , এ – স্বাধীন ভেরিয়েবলের প্রাথমিক মান . শর্ত (5) বলা হয় প্রাথমিক অবস্থা বা কচি অবস্থা .

সঙ্গে জ্যামিতিক বিন্দুএকটি দৃষ্টিকোণ থেকে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (2) এর জন্য কচি সমস্যাটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে: সমীকরণ (2) এর অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখার সেট থেকে, একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি নির্বাচন করুন
.

বিভাজ্য ভেরিয়েবল সহ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির একটি সহজ প্রকার হল একটি প্রথম-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যাতে পছন্দসই ফাংশন থাকে না:

. (6)

সেই বিবেচনায়
, আমরা ফর্মে সমীকরণ লিখি
বা
. শেষ সমীকরণের উভয় পক্ষকে একীভূত করে, আমরা পাই:
বা

. (7)

সুতরাং, (7) হল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান (6)।

উদাহরণ 1 . ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন
.

সমাধান . আকারে সমীকরণ লিখি
বা
. আসুন ফলাফল সমীকরণের উভয় পক্ষকে একীভূত করি:
,
. আমরা অবশেষে এটি লিখব
.

উদাহরণ 2 . সমীকরণের সমাধান খুঁজুন
দেত্তয়া আছে
.

সমাধান . আসুন সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করা যাক:
,
,
,
. শর্ত অনুসারে
,
. আসুন সাধারণ সমাধানে প্রতিস্থাপন করা যাক:
বা
. আমরা সাধারণ সমাধানের সূত্রে একটি নির্বিচারে ধ্রুবকের পাওয়া মান প্রতিস্থাপন করি:
. এটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান যা প্রদত্ত শর্তকে সন্তুষ্ট করে।

সমীকরণটি

(8)

ডাকল একটি প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যাতে একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল থাকে না . ফর্মে লিখি
বা
. চলুন শেষ সমীকরণের উভয় পক্ষকে একীভূত করি:
বা
- সমীকরণের সাধারণ সমাধান (8)।

উদাহরণ . সমীকরণের সাধারণ সমাধান খুঁজুন
.

সমাধান . আসুন এই সমীকরণটি আকারে লিখি:
বা
. তারপর
,
,
,
. এইভাবে,
এই সমীকরণের সাধারণ সমাধান।

ফর্মের সমীকরণ

(9)

ভেরিয়েবলের বিচ্ছেদ ব্যবহার করে সংহত করে। এটি করার জন্য, আমরা ফর্মটিতে সমীকরণটি লিখি
, এবং তারপর গুণ এবং ভাগের ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে আমরা এটিকে এমন একটি আকারে নিয়ে আসি যে একটি অংশে শুধুমাত্র এর ফাংশন অন্তর্ভুক্ত থাকে এক্সএবং ডিফারেনশিয়াল dx, এবং দ্বিতীয় অংশে - এর ফাংশন এএবং ডিফারেনশিয়াল dy. এটি করার জন্য, সমীকরণের উভয় দিক দিয়ে গুণ করতে হবে dxএবং দ্বারা ভাগ
. ফলস্বরূপ, আমরা সমীকরণ প্রাপ্ত

, (10)

যার মধ্যে ভেরিয়েবল এক্সএবং এপৃথক আসুন সমীকরণের উভয় দিককে একীভূত করি (10):
. ফলস্বরূপ সম্পর্কটি সমীকরণের সাধারণ অখণ্ডতা (9)।

উদাহরণ 3 . সমীকরণ সংহত করুন
.

সমাধান . আসুন সমীকরণটি রূপান্তর করি এবং ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করি:
,
. আসুন একীভূত করি:
,
অথবা এই সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য অংশ।
.

সমীকরণটি আকারে দেওয়া যাক

এই সমীকরণ বলা হয় বিভাজ্য ভেরিয়েবলের সাথে প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একটি প্রতিসম আকারে।

ভেরিয়েবলগুলিকে আলাদা করতে, আপনাকে সমীকরণের উভয় দিক দিয়ে ভাগ করতে হবে
:

. (12)

ফলস্বরূপ সমীকরণ বলা হয় বিচ্ছিন্ন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ . আসুন সমীকরণ একীভূত করি (12):

.(13)

সম্পর্ক (13) হল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের (11) সাধারণ অবিচ্ছেদ্য অংশ।

উদাহরণ 4 . একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সংহত করুন।

সমাধান . আকারে সমীকরণ লিখি

এবং উভয় অংশ দ্বারা বিভক্ত
,
. ফলস্বরূপ সমীকরণ:
একটি পৃথক পরিবর্তনশীল সমীকরণ। আসুন এটি একত্রিত করি:

,
,

,
. শেষ সমতা এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য।

উদাহরণ 5 . ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজুন
, শর্ত সন্তুষ্ট
.

সমাধান . সেই বিবেচনায়
, আমরা ফর্মে সমীকরণ লিখি
বা
. চলুন ভেরিয়েবল আলাদা করা যাক:
. আসুন এই সমীকরণটি সংহত করি:
,
,
. ফলস্বরূপ সম্পর্ক এই সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য। শর্ত অনুসারে
. এর সাধারণ অবিচ্ছেদ্য মধ্যে এটি প্রতিস্থাপন করা যাক এবং খুঁজে সঙ্গে:
,সঙ্গে=1। তারপর অভিব্যক্তি
একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি আংশিক সমাধান, একটি আংশিক অবিচ্ছেদ্য হিসাবে লেখা।

প্রথম অর্ডারের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

সমীকরণটি

(14)

ডাকা প্রথম অর্ডারের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ . অজানা ফাংশন
এবং এর ডেরিভেটিভ এই সমীকরণে রৈখিকভাবে প্রবেশ করে এবং ফাংশনগুলি
এবং
একটানা.

যদি
, তারপর সমীকরণ

(15)

ডাকা রৈখিক সমজাতীয় . যদি
, তারপর সমীকরণ (14) বলা হয় রৈখিক inhomogeneous .

সমীকরণের সমাধান খুঁজতে (14) একজন সাধারণত ব্যবহার করে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (বার্নৌলি) , যার সারমর্ম নিম্নরূপ।

আমরা দুটি ফাংশনের গুণফল আকারে সমীকরণ (14) এর সমাধান খুঁজব

, (16)

কোথায়
এবং
- কিছু একটানা ফাংশন। এর বিকল্প করা যাক
এবং ডেরিভেটিভ
সমীকরণে (14):

ফাংশন vআমরা এমনভাবে নির্বাচন করব যাতে শর্তটি সন্তুষ্ট হয়
. তারপর
. সুতরাং, সমীকরণ (14) এর সমাধান খুঁজতে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করা প্রয়োজন

সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটি একটি রৈখিক সমজাতীয় সমীকরণ এবং ভেরিয়েবলের পৃথকীকরণ পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে:
,
,
,
,
. একটি ফাংশন হিসাবে
আপনি সমজাতীয় সমীকরণের একটি আংশিক সমাধান নিতে পারেন, যেমন এ সঙ্গে=1:
. সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা যাক:
বা
.তারপর
. সুতরাং, প্রথম ক্রম রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধানের ফর্ম রয়েছে
.

উদাহরণ 6 . সমীকরণটি সমাধান করুন
.

সমাধান . আমরা ফর্মে সমীকরণের সমাধান খুঁজব
. তারপর
. আসুন সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা যাক:

বা
. ফাংশন vএমনভাবে নির্বাচন করুন যাতে সমতা বজায় থাকে
. তারপর
. চলক বিভাজনের পদ্ধতি ব্যবহার করে এই সমীকরণগুলির প্রথমটি সমাধান করা যাক:
,
,
,
,. ফাংশন vদ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা যাক:
,
,
,
. এই সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল
.

জ্ঞানের স্ব-নিয়ন্ত্রণের জন্য প্রশ্ন

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কি?

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রম কী?

কোন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে ফার্স্ট অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়?

কিভাবে একটি প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ডিফারেনশিয়াল আকারে লেখা হয়?

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান কী?

একটি অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা কি?

প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান কী?

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের আংশিক সমাধানকে কী বলা হয়?

প্রথম অর্ডার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য কচি সমস্যাটি কীভাবে তৈরি করা হয়?

কচি সমস্যার জ্যামিতিক ব্যাখ্যা কি?

প্রতিসম আকারে বিভাজ্য চলকের সাথে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ কীভাবে লিখবেন?

কোন সমীকরণকে প্রথম ক্রম রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়?

প্রথম-ক্রম রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করতে কোন পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে এবং এই পদ্ধতির সারমর্ম কী?

স্বাধীন কাজের জন্য কাজ

বিভাজ্য ভেরিয়েবল দিয়ে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করুন:

ক)
; খ)
;

ভি)
; ছ)
.

2. প্রথম ক্রম লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করুন:

ক)
; খ)
; ভি)
;

ছ)
; ঘ)
.

1. প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ফর্ম আছে

যদি এই সমীকরণটি সাপেক্ষে সমাধান করা যায় তবে এটি হিসাবে লেখা যেতে পারে

এই ক্ষেত্রে আমরা বলি যে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি ডেরিভেটিভের সাপেক্ষে সমাধান করা হয়েছে। এই ধরনের একটি সমীকরণের জন্য নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি বৈধ, যাকে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের অস্তিত্ব এবং অনন্যতার উপর উপপাদ্য বলা হয়। উপপাদ্য। যদি Eq.

ফাংশন এবং y এর সাপেক্ষে এর আংশিক ডেরিভেটিভ কিছু বিন্দু সমন্বিত সমতলের কিছু ডোমেইন D-এ অবিচ্ছিন্ন থাকে, তাহলে এই সমীকরণের একটি অনন্য সমাধান রয়েছে

এ শর্ত সন্তুষ্ট

এই উপপাদ্যটি § 27 অধ্যায়ে প্রমাণিত হবে। XVI.

উপপাদ্যটির জ্যামিতিক অর্থ হল একটি অনন্য ফাংশন রয়েছে যার গ্রাফ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়

উপপাদ্য থেকে এটি অনুসরণ করে যে সমীকরণটিতে অসীম সংখ্যক বিভিন্ন সমাধান রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, একটি সমাধান যার গ্রাফ একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, আরেকটি সমাধান যার গ্রাফ একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, ইত্যাদি, যদি শুধুমাত্র এই বিন্দুগুলি অঞ্চলে থাকে

যে শর্তে y ফাংশন একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার সমান হতে হবে তাকে প্রাথমিক অবস্থা বলে। এটি প্রায়শই আকারে লেখা হয়

সংজ্ঞা 1. প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ সমাধান হল ফাংশন

যা একটি নির্বিচারে ধ্রুবক C এর উপর নির্ভর করে এবং নিম্নলিখিত শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে:

ক) এটি ধ্রুবক C-এর কোনো নির্দিষ্ট মানের জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে;

খ) প্রাথমিক অবস্থা যাই হোক না কেন, ফাংশনটি প্রদত্ত প্রাথমিক অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি মান খুঁজে পাওয়া সম্ভব। এই ক্ষেত্রে, এটি অনুমান করা হয় যে মানগুলি x এবং y ভেরিয়েবলগুলির পরিবর্তনের অঞ্চলের অন্তর্গত যেখানে অস্তিত্বের উপপাদ্য এবং সমাধানের অনন্যতার শর্তগুলি সন্তুষ্ট।

2. একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান খোঁজার প্রক্রিয়ায়, আমরা প্রায়শই ফর্মের একটি সম্পর্কে আসি

y সম্পর্কে অনুমোদিত নয়। y এর জন্য এই সম্পর্কটি সমাধান করে, আমরা একটি সাধারণ সমাধান পাই। যাইহোক, প্রাথমিক ফাংশনে সম্পর্ক (2) থেকে y প্রকাশ করা সবসময় সম্ভব নয়; এই ধরনের ক্ষেত্রে সাধারণ সমাধান নিহিত রাখা হয়। ফর্মের একটি সমতা যা অন্তর্নিহিতভাবে একটি সাধারণ সমাধান নির্দিষ্ট করে তাকে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাধারণ অবিচ্ছেদ্য বলা হয়।

সংজ্ঞা 2. একটি নির্দিষ্ট সমাধান হল যে কোনও ফাংশন যা সাধারণ সমাধান থেকে প্রাপ্ত হয় যদি পরবর্তীতে একটি নির্বিচারে ধ্রুবক C একটি নির্দিষ্ট মান দেওয়া হয়। এই ক্ষেত্রে সম্পর্কটিকে সমীকরণের একটি আংশিক অবিচ্ছেদ্য বলা হয়।

উদাহরণ 1. প্রথম ক্রম সমীকরণের জন্য

সাধারণ সমাধান হবে ফাংশনের একটি পরিবার; এটি সমীকরণে সহজ প্রতিস্থাপন দ্বারা যাচাই করা যেতে পারে।

আসুন আমরা একটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করি যা নিম্নলিখিত প্রাথমিক শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে: এই মানগুলিকে সূত্রে প্রতিস্থাপন করার সময়, আমরা প্রাপ্ত করি বা তাই, কাঙ্ক্ষিত বিশেষ সমাধানটি হবে ফাংশন

জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, সাধারণ অখণ্ড হল স্থানাঙ্ক সমতলে বক্ররেখার একটি পরিবার, একটি নির্বিচারে ধ্রুবক C (বা যেমন তারা বলে, একটি প্যারামিটার C এর উপর) নির্ভর করে।

এই বক্ররেখাগুলিকে প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা বলা হয়। আংশিক অবিচ্ছেদ্য সমতলের কিছু নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া এই পরিবারের একটি বক্ররেখার সাথে মিলে যায়।

এইভাবে, শেষ উদাহরণে, সাধারণ অখণ্ডকে জ্যামিতিকভাবে হাইপারবোলাসের একটি পরিবার দ্বারা উপস্থাপিত করা হয়, এবং নির্দেশিত প্রাথমিক অবস্থা দ্বারা সংজ্ঞায়িত বিশেষ অবিচ্ছেদ্যটি চিত্রের বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া এই হাইপারবোলাগুলির একটি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। 251 প্যারামিটারের কিছু মানের সাথে সম্পর্কিত পরিবারের বক্ররেখা দেখায়: ইত্যাদি।

যুক্তিটিকে আরও স্পষ্ট করার জন্য, আমরা এখন থেকে সমীকরণের সমাধানকে কেবলমাত্র সেই ফাংশনই নয় যা সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, একই সাথে সংশ্লিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখাও বলব। এই বিষয়ে, আমরা কথা বলব, উদাহরণস্বরূপ, পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সমাধান সম্পর্কে।

মন্তব্য করুন। চিত্রের অক্ষে থাকা একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমীকরণটির কোনো সমাধান নেই। 251), যেহেতু সমীকরণের ডানদিকের দিকটি সংজ্ঞায়িত করা হয়নি এবং তাই, অবিচ্ছিন্ন নয়।

সমাধান করা বা, যেমন তারা প্রায়শই বলে, একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সংহত করার অর্থ হল:

ক) এর সাধারণ সমাধান বা সাধারণ অবিচ্ছেদ্য (যদি প্রাথমিক শর্ত দেওয়া না থাকে) বা

খ) সমীকরণের সেই বিশেষ সমাধানটি খুঁজুন যা প্রদত্ত প্রাথমিক শর্তগুলিকে (যদি থাকে) সন্তুষ্ট করে।

3. প্রথম ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া যাক।

একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দেওয়া যাক যা ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে সমাধান করা হয়েছে:

এবং এই সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান হতে দিন। এই সাধারণ সমাধান সমতলে অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখার একটি পরিবারকে সংজ্ঞায়িত করে

x এবং y স্থানাঙ্ক সহ প্রতিটি বিন্দু M-এর জন্য সমীকরণ (G) ডেরিভেটিভের মান নির্ধারণ করে, অর্থাৎ, এই বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া অখণ্ড বক্ররেখার স্পর্শকের কৌণিক সহগ। এইভাবে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (D) নির্দেশের একটি সেট দেয় বা, যেমন তারা বলে, সমতলের দিকনির্দেশের ক্ষেত্র নির্ধারণ করে

অতএব, জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সংহত করার সমস্যা হল এমন বক্ররেখা খুঁজে বের করা যার স্পর্শকগুলি সংশ্লিষ্ট বিন্দুতে ক্ষেত্রের মতো একই দিকনির্দেশিত।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য (1), বিন্দুর জ্যামিতিক অবস্থান যেখানে সম্পর্কটি সন্তুষ্ট হয় তাকে এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের আইসোলাইন বলা হয়।

k এর বিভিন্ন মানের জন্য আমরা বিভিন্ন আইসোলাইন পাই। k এর মানের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ আইসোক্লাইনের সমীকরণটি স্পষ্টতই হবে আইসোক্লাইনগুলির একটি পরিবার তৈরি করে, কেউ প্রায় অখণ্ড বক্ররেখার একটি পরিবার তৈরি করতে পারে। তারা বলে যে, আইসোলাইনগুলি জেনে, কেউ সমতলে অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখার অবস্থান গুণগতভাবে নির্ধারণ করতে পারে।