লিনিয়ার সিস্টেমের সমাধান বীজগণিত সমীকরণ(SLAE) নিঃসন্দেহে লিনিয়ার বীজগণিত কোর্সের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। অনেক পরিমাণগণিতের সমস্ত শাখার সমস্যাগুলি সমাধান পদ্ধতিতে হ্রাস করা হয় রৈখিক সমীকরণ. এই কারণগুলি এই নিবন্ধটির কারণ ব্যাখ্যা করে। নিবন্ধের উপাদান নির্বাচন করা হয়েছে এবং গঠন করা হয়েছে যাতে এর সাহায্যে আপনি করতে পারেন
- আপনার রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেম সমাধানের জন্য সর্বোত্তম পদ্ধতি বেছে নিন,
- নির্বাচিত পদ্ধতির তত্ত্ব অধ্যয়ন করুন,
- সাধারণ উদাহরণ এবং সমস্যার বিস্তারিত সমাধান বিবেচনা করে আপনার রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করুন।
নিবন্ধ উপাদান সংক্ষিপ্ত বিবরণ.
প্রথমত, আমরা সমস্ত প্রয়োজনীয় সংজ্ঞা, ধারণা এবং স্বরলিপি প্রবর্তন করি।
এর পরে, আমরা রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণগুলির পদ্ধতিগুলি সমাধানের পদ্ধতিগুলি বিবেচনা করব যেখানে সমীকরণের সংখ্যা অজানা চলকের সংখ্যার সমান এবং যার একটি অনন্য সমাধান রয়েছে। প্রথমত, আমরা ক্রেমার পদ্ধতিতে ফোকাস করব, দ্বিতীয়ত, আমরা এই ধরনের সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি দেখাব, তৃতীয়ত, আমরা গাউস পদ্ধতি (পদ্ধতি) বিশ্লেষণ করব অনুক্রমিক নির্মূলঅজানা ভেরিয়েবল)। তত্ত্বকে একত্রিত করার জন্য, আমরা অবশ্যই বিভিন্ন উপায়ে বেশ কয়েকটি SLAE সমাধান করব।
এর পরে, আমরা রৈখিক বীজগাণিতিক সমীকরণগুলির সমাধান পদ্ধতিতে এগিয়ে যাব সাধারণ দৃষ্টিকোণ, যাতে সমীকরণের সংখ্যা অজানা চলকের সংখ্যার সাথে মিলে না বা সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্স একবচন। আসুন আমরা ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য প্রণয়ন করি, যা আমাদের SLAE-এর সামঞ্জস্য স্থাপন করতে দেয়। আসুন আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের বেসিস মাইনর ধারণা ব্যবহার করে সিস্টেমের সমাধান (যদি তারা সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়) বিশ্লেষণ করি। আমরা গাউস পদ্ধতিটিও বিবেচনা করব এবং উদাহরণগুলির সমাধানগুলি বিশদভাবে বর্ণনা করব।
আমরা অবশ্যই রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সমজাতীয় এবং অসংলগ্ন সিস্টেমের সাধারণ সমাধানের কাঠামোর উপর আলোকপাত করব। আসুন আমরা সমাধানের একটি মৌলিক পদ্ধতির ধারণা দিই এবং কীভাবে লিখতে হয় তা দেখাই সাধারণ সিদ্ধান্তমৌলিক সমাধান সিস্টেমের ভেক্টর ব্যবহার করে SLAE। আরও ভাল বোঝার জন্য, আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি।
উপসংহারে, আমরা সমীকরণের সিস্টেমগুলি বিবেচনা করব যেগুলিকে রৈখিকগুলিতে হ্রাস করা যেতে পারে, পাশাপাশি বিভিন্ন কাজ, সমাধান করার সময় কোন SLAEগুলি দেখা দেয়৷
পৃষ্ঠা নেভিগেশন.
সংজ্ঞা, ধারণা, উপাধি।
আমরা p রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণগুলির n অজানা চলকগুলির সাথে (p n এর সমান হতে পারে) সিস্টেমগুলি বিবেচনা করব
অজানা চলক - সহগ (কিছু বাস্তব বা জটিল সংখ্যা), - বিনামূল্যের পদ (এছাড়াও বাস্তব বা জটিল সংখ্যা)।
রেকর্ডিং SLAE এই ফর্ম বলা হয় সমন্বয়.
ভিতরে ম্যাট্রিক্স ফর্মএই সমীকরণ পদ্ধতি লেখার ফর্ম আছে,
কোথায় 
- সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্স, - অজানা ভেরিয়েবলের একটি কলাম ম্যাট্রিক্স, - মুক্ত পদগুলির একটি কলাম ম্যাট্রিক্স।
যদি আমরা ম্যাট্রিক্স A-তে (n+1)তম কলাম হিসাবে মুক্ত পদগুলির একটি ম্যাট্রিক্স-কলাম যোগ করি, আমরা তথাকথিত পাই বর্ধিত ম্যাট্রিক্সরৈখিক সমীকরণের সিস্টেম। সাধারণত, একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স T অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং মুক্ত পদের কলামটি অবশিষ্ট কলামগুলি থেকে একটি উল্লম্ব রেখা দ্বারা পৃথক করা হয়, অর্থাৎ, 
রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করাঅজানা ভেরিয়েবলের মানের একটি সেট বলা হয় যা সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণকে পরিচয়ে পরিণত করে। ম্যাট্রিক্স সমীকরণঅজানা ভেরিয়েবলের প্রদত্ত মানগুলির জন্যও একটি পরিচয় হয়ে যায়।
যদি সমীকরণের একটি সিস্টেমের অন্তত একটি সমাধান থাকে, তাহলে তাকে বলা হয় যৌথ.
যদি কোনো সমীকরণ পদ্ধতির কোনো সমাধান না থাকে, তাহলে তাকে বলা হয় অ জয়েন্ট.
যদি একটি SLAE এর একটি অনন্য সমাধান থাকে, তাহলে এটি বলা হয় নিশ্চিত; যদি একাধিক সমাধান থাকে, তাহলে- অনিশ্চিত.
যদি সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণের মুক্ত পদ শূন্যের সমান হয় 
, তারপর সিস্টেম বলা হয় সমজাতীয়, অন্যথায় - ভিন্নধর্মী.
রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের প্রাথমিক সিস্টেমগুলি সমাধান করা।
যদি একটি সিস্টেমের সমীকরণের সংখ্যা অজানা চলকের সংখ্যার সমান হয় এবং এর প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্যের সমান না হয়, তাহলে এই ধরনের SLAEs বলা হবে প্রাথমিক. সমীকরণ এই ধরনের সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে, এবং ক্ষেত্রে একজাতীয় সিস্টেমসমস্ত অজানা ভেরিয়েবল শূন্য।
আমরা হাই স্কুলে এই ধরনের SLAE পড়া শুরু করি। এগুলি সমাধান করার সময়, আমরা একটি সমীকরণ নিয়েছিলাম, একটি অজানা চলকটিকে অন্যের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করেছি এবং এটিকে অবশিষ্ট সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করেছি, তারপর পরবর্তী সমীকরণটি নিয়েছি, পরবর্তী অজানা চলকটিকে প্রকাশ করেছি এবং এটিকে অন্যান্য সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করেছি এবং আরও অনেক কিছু। অথবা তারা যোগ পদ্ধতি ব্যবহার করেছে, অর্থাৎ তারা কিছু অজানা ভেরিয়েবল দূর করতে দুই বা ততোধিক সমীকরণ যোগ করেছে। আমরা এই পদ্ধতিগুলি সম্পর্কে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব না, কারণ এগুলি মূলত গাউস পদ্ধতির পরিবর্তন।
রৈখিক সমীকরণের প্রাথমিক পদ্ধতিগুলি সমাধানের প্রধান পদ্ধতিগুলি হল ক্রেমার পদ্ধতি, ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি এবং গাউস পদ্ধতি। তাদের বাছাই করা যাক.
ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করা।
ধরুন আমাদের রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে 
যেখানে সমীকরণের সংখ্যা অজানা ভেরিয়েবলের সংখ্যার সমান এবং সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্য থেকে আলাদা, অর্থাৎ .
সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক হতে দিন, এবং 
- প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে A থেকে প্রাপ্ত ম্যাট্রিসের নির্ধারক ১ম, ২য়, …, নমমুক্ত সদস্যদের কলামে যথাক্রমে কলাম: 
এই স্বরলিপির সাহায্যে, ক্র্যামারের পদ্ধতির সূত্রগুলি ব্যবহার করে অজানা ভেরিয়েবলগুলি গণনা করা হয় 
. ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি পদ্ধতির সমাধান এভাবেই পাওয়া যায়।
উদাহরণ।
ক্রেমারের পদ্ধতি 
.
সমাধান।
সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্স ফর্ম আছে 
. আসুন এর নির্ধারক গণনা করি (যদি প্রয়োজন হয়, নিবন্ধটি দেখুন): 
যেহেতু সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকটি অশূন্য, সিস্টেমটির একটি অনন্য সমাধান রয়েছে যা ক্রেমার পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যেতে পারে।
আসুন প্রয়োজনীয় নির্ধারকগুলি রচনা এবং গণনা করি 
(আমরা ম্যাট্রিক্স A-এর প্রথম কলামটিকে মুক্ত পদের একটি কলাম দিয়ে প্রতিস্থাপন করে নির্ণায়ক, দ্বিতীয় কলামটিকে বিনামূল্যের শর্তাবলীর একটি কলাম দিয়ে প্রতিস্থাপন করে এবং ম্যাট্রিক্স A-এর তৃতীয় কলামটিকে বিনামূল্যে পদের একটি কলাম দিয়ে প্রতিস্থাপন করে নির্ধারক পাই) : 
সূত্র ব্যবহার করে অজানা ভেরিয়েবল খোঁজা 
:
উত্তর:
ক্র্যামারের পদ্ধতির প্রধান অসুবিধা (যদি এটি একটি অসুবিধা বলা যেতে পারে) হ'ল সিস্টেমে সমীকরণের সংখ্যা তিনটির বেশি হলে নির্ধারক গণনা করার জটিলতা।
ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি (একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে) ব্যবহার করে রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণগুলির সমাধান করা।
রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম ম্যাট্রিক্স আকারে দেওয়া যাক, যেখানে ম্যাট্রিক্স A-এর মাত্রা n দ্বারা n এবং এর নির্ধারক হল অশূন্য।
যেহেতু , তাহলে ম্যাট্রিক্স A ইনভার্টেবল, অর্থাৎ একটি ইনভার্স ম্যাট্রিক্স আছে। যদি আমরা সমতার উভয় দিককে বাম দ্বারা গুণ করি, তাহলে আমরা অজানা ভেরিয়েবলের একটি ম্যাট্রিক্স-কলাম খুঁজে পাওয়ার জন্য একটি সূত্র পাব। এইভাবে আমরা রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের সিস্টেমের একটি সমাধান পেয়েছি ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি.
উদাহরণ।
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি।
সমাধান।
আসুন ম্যাট্রিক্স আকারে সমীকরণের সিস্টেমটি পুনরায় লিখি: 
কারণ
তারপর ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে SLAE সমাধান করা যেতে পারে। ব্যবহার করে বিপরীত ম্যাট্রিক্সএই সিস্টেমের সমাধান হিসাবে পাওয়া যাবে 
.
এর থেকে ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স তৈরি করি বীজগণিত সংযোজনম্যাট্রিক্স A এর উপাদান (যদি প্রয়োজন হয়, নিবন্ধটি দেখুন): 
ইনভার্স ম্যাট্রিক্সকে গুণ করে অজানা ভেরিয়েবলের ম্যাট্রিক্স গণনা করা বাকি থাকে 
বিনামূল্যে সদস্যদের একটি ম্যাট্রিক্স-কলামে (যদি প্রয়োজন হয়, নিবন্ধটি দেখুন): 
উত্তর:
অথবা অন্য স্বরলিপিতে x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1।
ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক বীজগাণিতিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির সমাধান খুঁজে বের করার সময় প্রধান সমস্যা হল বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করার জটিলতা, বিশেষ করে তৃতীয় থেকে বেশি ক্রম বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য।
গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করা।
ধরুন আমাদের n অজানা চলক সহ n রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান খুঁজতে হবে 
যার প্রধান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্য থেকে আলাদা।
গাউস পদ্ধতির সারমর্মঅজানা ভেরিয়েবলের অনুক্রমিক বর্জন নিয়ে গঠিত: প্রথম, x 1 সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়া হয়, দ্বিতীয় থেকে শুরু করে, তারপর x 2 সমস্ত সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়া হয়, তৃতীয় থেকে শুরু করে, এবং তাই, শুধুমাত্র অজানা পরিবর্তনশীল x n পর্যন্ত শেষ সমীকরণে থেকে যায়। অজানা চলকগুলিকে ক্রমানুসারে নির্মূল করার জন্য সিস্টেমের সমীকরণগুলিকে রূপান্তরিত করার এই প্রক্রিয়াটিকে বলা হয় সরাসরি গাউসিয়ান পদ্ধতি. শেষ করার পর ফরোয়ার্ড স্ট্রোকগাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে, x n শেষ সমীকরণ থেকে পাওয়া যায়, এই মানটি ব্যবহার করে, x n-1 উপান্তর সমীকরণ থেকে গণনা করা হয় এবং একইভাবে, x 1 প্রথম সমীকরণ থেকে পাওয়া যায়। সিস্টেমের শেষ সমীকরণ থেকে প্রথম সমীকরণে যাওয়ার সময় অজানা চলক গণনা করার প্রক্রিয়াকে বলা হয় গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীত.
আসুন সংক্ষেপে অজানা ভেরিয়েবল দূর করার জন্য অ্যালগরিদম বর্ণনা করি।
আমরা ধরে নেব যে, যেহেতু আমরা সর্বদা সিস্টেমের সমীকরণগুলিকে পুনর্বিন্যাস করে এটি অর্জন করতে পারি। দ্বিতীয়টি দিয়ে শুরু করে সিস্টেমের সমস্ত সমীকরণ থেকে অজানা চলক x 1 বাদ দেওয়া যাক। এটি করার জন্য, সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণে আমরা প্রথমটি যোগ করি, গুন করে, তৃতীয় সমীকরণে আমরা প্রথমটি যোগ করি, গুন করে, এবং তাই, nম সমীকরণে আমরা প্রথমটি যোগ করি, গুন করে। এই ধরনের রূপান্তরের পরে সমীকরণের সিস্টেম রূপ নেবে 
কোথায় এবং 
.
আমরা একই ফলাফলে পৌঁছে যেতাম যদি আমরা সিস্টেমের প্রথম সমীকরণে অন্যান্য অজানা ভেরিয়েবলের পরিপ্রেক্ষিতে x 1 প্রকাশ করতাম এবং ফলাফলের অভিব্যক্তিটিকে অন্য সমস্ত সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করতাম। সুতরাং, চলক x 1 দ্বিতীয় থেকে শুরু করে সমস্ত সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়া হয়েছে।
এরপরে, আমরা একইভাবে এগিয়ে যাই, তবে শুধুমাত্র ফলাফলের সিস্টেমের অংশ দিয়ে, যা চিত্রে চিহ্নিত করা হয়েছে 
এটি করার জন্য, সিস্টেমের তৃতীয় সমীকরণে আমরা দ্বিতীয়টি যোগ করি, গুন করে, চতুর্থ সমীকরণে আমরা দ্বিতীয়টি যোগ করি, গুন করে, এবং তাই, nম সমীকরণে আমরা দ্বিতীয়টি যোগ করি, দ্বারা গুণ করে। এই ধরনের রূপান্তরের পরে সমীকরণের সিস্টেম রূপ নেবে 
কোথায় এবং 
. এইভাবে, চলক x 2টি তৃতীয় থেকে শুরু করে সমস্ত সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়া হয়েছে।
এরপরে, আমরা অজানা x 3 মুছে ফেলতে এগিয়ে যাই, যখন আমরা চিত্রে চিহ্নিত সিস্টেমের অংশের সাথে একইভাবে কাজ করি। 
সুতরাং সিস্টেমটি রূপ না নেওয়া পর্যন্ত আমরা গাউসিয়ান পদ্ধতির সরাসরি অগ্রগতি চালিয়ে যাচ্ছি 
এখন থেকে আমরা শুরু করি বিপরীত স্ট্রোকগাউস পদ্ধতি: আমরা শেষ সমীকরণ থেকে x n গণনা করি, x n এর প্রাপ্ত মান ব্যবহার করে আমরা উপান্তর সমীকরণ থেকে x n-1 খুঁজে পাই এবং একইভাবে, আমরা প্রথম সমীকরণ থেকে x 1 পাই।
উদাহরণ।
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন গাউস পদ্ধতি।
সমাধান।
সিস্টেমের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণ থেকে অজানা চলক x 1 বাদ দেওয়া যাক। এটি করার জন্য, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণের উভয় পাশে আমরা প্রথম সমীকরণের সংশ্লিষ্ট অংশগুলি যোগ করি, যথাক্রমে দ্বারা এবং দ্বারা গুণিত: 
এখন আমরা তৃতীয় সমীকরণ থেকে x 2 কে এর বাম এবং ডান দিকে যোগ করে দ্বিতীয় সমীকরণের বাম এবং ডান দিক যোগ করে, এর দ্বারা গুণিত করি: 
এটি গাউস পদ্ধতির ফরোয়ার্ড স্ট্রোক সম্পূর্ণ করে; আমরা বিপরীত স্ট্রোক শুরু করি।
সমীকরণের ফলাফল সিস্টেমের শেষ সমীকরণ থেকে আমরা x 3 পাই: 
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা পাই।
প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা অবশিষ্ট অজানা চলকটি খুঁজে পাই এবং এর মাধ্যমে গাউস পদ্ধতির বিপরীতটি সম্পূর্ণ করি।
উত্তর:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1।
সাধারণ ফর্মের রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের সমাধান পদ্ধতি।
ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রেসিস্টেম p এর সমীকরণের সংখ্যা অজানা ভেরিয়েবল n এর সংখ্যার সাথে মিলে না:
এই ধরনের SLAE-এর কোনো সমাধান নাও থাকতে পারে, একক সমাধান থাকতে পারে বা অসীমভাবে অনেকগুলো সমাধান থাকতে পারে। এই বিবৃতিটি সমীকরণের সিস্টেমগুলির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য যার প্রধান ম্যাট্রিক্স হল বর্গ এবং একবচন।
ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য।
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান খোঁজার আগে, এটির সামঞ্জস্য স্থাপন করা প্রয়োজন। কখন SLAE সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং কখন এটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ এই প্রশ্নের উত্তর দ্বারা দেওয়া হয় ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য:
n অজানাগুলির সাথে p সমীকরণের একটি সিস্টেমের জন্য (p n এর সমান হতে পারে) সামঞ্জস্যপূর্ণ হওয়ার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান হবে, অর্থাৎ , Rank(A)=Rank(T)।
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের সামঞ্জস্য নির্ধারণের জন্য ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্যের প্রয়োগকে উদাহরণ হিসেবে বিবেচনা করা যাক।
উদাহরণ।
রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম আছে কিনা তা খুঁজে বের করুন 
সমাধান
সমাধান।
. আসুন নাবালকদের বর্ডারিং পদ্ধতি ব্যবহার করি। দ্বিতীয় আদেশের নাবালক 
শূন্য থেকে ভিন্ন। আসুন এটির সীমান্তবর্তী তৃতীয়-ক্রম নাবালকদের দিকে তাকাই: 
যেহেতু তৃতীয় ক্রমটির সমস্ত সীমানা নাবালক শূন্যের সমান, তাই মূল ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক দুটির সমান।
ঘুরে, বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক 
তিনের সমান, যেহেতু নাবালকটি তৃতীয় ক্রমে 
শূন্য থেকে ভিন্ন।
এইভাবে, রঙ্গ(এ), তাই, ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে রৈখিক সমীকরণের মূল সিস্টেমটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ।
উত্তর:
সিস্টেমের কোন সমাধান নেই।
সুতরাং, আমরা ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি সিস্টেমের অসঙ্গতি স্থাপন করতে শিখেছি।
কিন্তু একটি SLAE এর সামঞ্জস্যতা প্রতিষ্ঠিত হলে তার সমাধান কিভাবে খুঁজে পাওয়া যায়?
এটি করার জন্য, আমাদের একটি ম্যাট্রিক্সের একটি বেসিস মাইনর ধারণা এবং একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক সম্পর্কে একটি উপপাদ্য প্রয়োজন।
গৌণ সর্বোচ্চ আদেশম্যাট্রিক্স A, শূন্য থেকে ভিন্ন, বলা হয় মৌলিক.
একটি বেসিস মাইনর এর সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে এর ক্রমটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান। একটি নন-জিরো ম্যাট্রিক্স A এর জন্য অনেকগুলো বেসিস মাইনর থাকতে পারে;
উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন 
.
এই ম্যাট্রিক্সের সমস্ত তৃতীয়-ক্রম অপ্রাপ্তবয়স্ক শূন্যের সমান, যেহেতু এই ম্যাট্রিক্সের তৃতীয় সারির উপাদানগুলি হল প্রথম এবং দ্বিতীয় সারির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সমষ্টি৷
নিম্নলিখিত দ্বিতীয়-ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কগুলি মৌলিক, যেহেতু তারা শূন্য নয়৷ 
নাবালক 
মৌলিক নয়, যেহেতু তারা শূন্যের সমান।
ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্কের উপপাদ্য।
n দ্বারা ক্রম p এর ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক যদি r এর সমান হয়, তবে ম্যাট্রিক্সের সমস্ত সারি (এবং কলাম) উপাদানগুলি যেগুলি নির্বাচিত ভিত্তি গৌণ গঠন করে না সেগুলি সংশ্লিষ্ট সারি (এবং কলাম) উপাদানগুলির গঠনের পরিপ্রেক্ষিতে রৈখিকভাবে প্রকাশ করা হয় ভিত্তি ছোট।
ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্কের উপপাদ্যটি আমাদের কী বলে?
যদি, ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য অনুসারে, আমরা সিস্টেমের সামঞ্জস্যতা প্রতিষ্ঠা করেছি, তাহলে আমরা সিস্টেমের মূল ম্যাট্রিক্সের যেকোন বেসিস মাইনর বাছাই করি (এর ক্রম r এর সমান), এবং সিস্টেম থেকে সমস্ত সমীকরণ বাদ দিই যা করে নির্বাচিত ভিত্তি গৌণ গঠন না. এইভাবে প্রাপ্ত SLAE মূল সমীকরণের সমতুল্য হবে, যেহেতু বাতিল সমীকরণগুলি এখনও অপ্রয়োজনীয় (ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্কের উপপাদ্য অনুসারে, এগুলি অবশিষ্ট সমীকরণগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ)।
ফলস্বরূপ, সিস্টেমের অপ্রয়োজনীয় সমীকরণ বর্জন করার পরে, দুটি ক্ষেত্রে সম্ভব।
ফলাফল সিস্টেমে r সমীকরণের সংখ্যা যদি অজানা চলকের সংখ্যার সমান হয়, তবে এটি সুনির্দিষ্ট হবে এবং ক্রেমার পদ্ধতি, ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি বা গাউস পদ্ধতি দ্বারা একমাত্র সমাধান পাওয়া যেতে পারে।
উদাহরণ।
.
সমাধান।
সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক 
দুটির সমান, যেহেতু নাবালকটি দ্বিতীয় ক্রমে 
শূন্য থেকে ভিন্ন। বর্ধিত ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক 
দুই এর সমান, যেহেতু একমাত্র তৃতীয় ক্রম অপ্রধান শূন্য 
এবং উপরে বিবেচিত দ্বিতীয়-ক্রমের অপ্রাপ্তবয়স্কটি শূন্য থেকে আলাদা। ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে, আমরা রৈখিক সমীকরণের মূল সিস্টেমের সামঞ্জস্যতা নিশ্চিত করতে পারি, যেহেতু Rank(A)=Rank(T)=2।
একটি বেসিস মাইনর হিসেবে আমরা গ্রহণ করি . এটি প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণের সহগ দ্বারা গঠিত হয়: 
সিস্টেমের তৃতীয় সমীকরণটি বেসিস মাইনর গঠনে অংশগ্রহণ করে না, তাই আমরা ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের উপর ভিত্তি করে সিস্টেম থেকে এটিকে বাদ দিই: 
এইভাবে আমরা রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি প্রাথমিক সিস্টেম পেয়েছি। আসুন ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি সমাধান করি: 
উত্তর:
x 1 = 1, x 2 = 2।
যদি ফলস্বরূপ SLAE-এ r সমীকরণের সংখ্যা অজানা চলক n-এর সংখ্যার চেয়ে কম হয়, তাহলে সমীকরণের বাম দিকে আমরা সেই পদগুলিকে রেখে দেই যা ভিত্তিকে ছোট করে, এবং আমরা অবশিষ্ট পদগুলিকে এর ডান দিকে স্থানান্তর করি। বিপরীত চিহ্ন সহ সিস্টেমের সমীকরণ।
সমীকরণের বাম পাশে অবশিষ্ট অজানা চলক (আর) বলা হয় প্রধান.
অজানা ভেরিয়েবল (এখানে n - r টুকরা আছে) যেগুলি ডান দিকে থাকে তাদের বলা হয় বিনামূল্যে.
এখন আমরা বিশ্বাস করি যে মুক্ত অজানা ভেরিয়েবলগুলি নির্বিচারে মান নিতে পারে, যখন r প্রধান অজানা ভেরিয়েবলগুলি একটি অনন্য উপায়ে বিনামূল্যে অজানা ভেরিয়েবলের মাধ্যমে প্রকাশ করা হবে। ক্রেমার পদ্ধতি, ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি বা গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে ফলাফল SLAE সমাধান করে তাদের অভিব্যক্তি পাওয়া যেতে পারে।
একটি উদাহরণ সহ এটি তাকান.
উদাহরণ।
রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন 
.
সমাধান।
চলুন সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক বের করা যাক 
অপ্রাপ্তবয়স্ক সীমানা পদ্ধতি দ্বারা. 1 1 = 1 কে প্রথম ক্রমটির একটি নন-জিরো মাইনর হিসাবে ধরা যাক। আসুন এই নাবালকের সীমানায় দ্বিতীয় ক্রমটির একটি অ-শূন্য নাবালকের জন্য অনুসন্ধান শুরু করি: 
এইভাবে আমরা দ্বিতীয় অর্ডারের একটি অ-শূন্য নাবালক খুঁজে পেয়েছি। আসুন তৃতীয় অর্ডারের একটি শূন্য বর্ডারিং নাবালকের জন্য অনুসন্ধান শুরু করি: 
সুতরাং, মূল ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক তিনটি। বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কও তিনটির সমান, অর্থাৎ সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ।
আমরা তৃতীয় ক্রমটির পাওয়া নন-জিরো মাইনরটিকে ভিত্তি হিসাবে গ্রহণ করি।
স্বচ্ছতার জন্য, আমরা সেই উপাদানগুলি দেখাই যেগুলি ভিত্তি গৌণ গঠন করে: 
আমরা সিস্টেমের সমীকরণের বাম দিকে বেসিসে গৌণভাবে জড়িত শর্তগুলি ছেড়ে দিই এবং বাকিগুলি থেকে স্থানান্তর করি বিপরীত লক্ষণডান দিকে: 
আসুন বিনামূল্যে অজানা ভেরিয়েবল x 2 এবং x 5 নির্বিচারে মান দিন, অর্থাৎ আমরা গ্রহণ করি 
, যেখানে নির্বিচারে সংখ্যা আছে। এই ক্ষেত্রে, SLAE ফর্ম নেবে 
আসুন ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের ফলস্বরূপ প্রাথমিক সিস্টেমটি সমাধান করি: 
তাই, .
আপনার উত্তরে, বিনামূল্যে অজানা ভেরিয়েবলগুলি নির্দেশ করতে ভুলবেন না।
উত্তর:
যেখানে নির্বিচারে সংখ্যা।
সারসংক্ষেপ।
সাধারণ রৈখিক বীজগাণিতিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে, আমরা প্রথমে ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য ব্যবহার করে এর সামঞ্জস্যতা নির্ধারণ করি। যদি প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান না হয়, তাহলে আমরা উপসংহারে পৌঁছাই যে সিস্টেমটি বেমানান।
যদি প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান হয়, তাহলে আমরা একটি বেসিস মাইনর নির্বাচন করি এবং সিস্টেমের সমীকরণগুলি বাতিল করি যা নির্বাচিত বেসিস মাইনর গঠনে অংশগ্রহণ করে না।
যদি বেসিস মাইনর-এর ক্রম অজানা ভেরিয়েবলের সংখ্যার সমান হয়, তাহলে SLAE-এর একটি অনন্য সমাধান রয়েছে, যা আমাদের কাছে পরিচিত যে কোনও পদ্ধতি দ্বারা পাওয়া যেতে পারে।
যদি বেসিস মাইনর এর ক্রম অজানা ভেরিয়েবলের সংখ্যার চেয়ে কম হয়, তাহলে সিস্টেম সমীকরণের বাম দিকে আমরা প্রধান অজানা ভেরিয়েবল সহ পদগুলি রেখে দেই, অবশিষ্ট পদগুলিকে ডান দিকে স্থানান্তরিত করি এবং এর মধ্যে নির্বিচারে মান প্রদান করি বিনামূল্যের অজানা ভেরিয়েবল। রৈখিক সমীকরণের ফলস্বরূপ সিস্টেম থেকে আমরা ক্রেমার পদ্ধতি, ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি বা গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রধান অজানা চলকগুলি খুঁজে পাই।
সাধারণ ফর্মের রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য গাউস পদ্ধতি।
গাউস পদ্ধতিটি সামঞ্জস্যের জন্য প্রথমে পরীক্ষা না করে যেকোন ধরণের রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। অজানা ভেরিয়েবলের ক্রমিক নির্মূল প্রক্রিয়াটি SLAE এর সামঞ্জস্য এবং অসামঞ্জস্যতা উভয় সম্পর্কে একটি উপসংহার টানা সম্ভব করে তোলে এবং যদি একটি সমাধান বিদ্যমান থাকে তবে এটি এটি খুঁজে পাওয়া সম্ভব করে তোলে।
একটি গণনাগত দৃষ্টিকোণ থেকে, গাউসিয়ান পদ্ধতি পছন্দনীয়।
এটা দেখ বিস্তারিত বিবরণএবং প্রবন্ধে সাধারণ ফর্মের রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য গাউস পদ্ধতির উদাহরণ বিশ্লেষণ করা হয়েছে।
সমাধানের মৌলিক সিস্টেমের ভেক্টর ব্যবহার করে সমজাতীয় এবং অসঙ্গতিহীন রৈখিক বীজগণিত সিস্টেমের একটি সাধারণ সমাধান লেখা।
এই গ্রুপ এ আমরা কথা বলতে পারবেনরৈখিক বীজগাণিতিক সমীকরণের একযোগে সমজাতীয় এবং অসংলগ্ন সিস্টেমে যেখানে অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।
আসুন প্রথমে সমজাতীয় সিস্টেম নিয়ে কাজ করি।
সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা n অজানা ভেরিয়েবল সহ p রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের সমজাতীয় সিস্টেম এই সিস্টেমের (n – r) রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানগুলির একটি সংগ্রহ, যেখানে r হল সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের বেসিস মাইনর এর ক্রম।
যদি আমরা X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) হিসাবে একটি সমজাতীয় SLAE-এর রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানগুলিকে n মাত্রার স্তম্ভকার ম্যাট্রিক্স হিসাবে চিহ্নিত করি। 1 দ্বারা) , তারপর এই সমজাতীয় সিস্টেমের সাধারণ সমাধানকে নির্বিচারে ধ্রুবক সহগ C 1, C 2, ..., C (n-r), অর্থাৎ, .
রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের (ওরোস্লাউ) সমজাতীয় সিস্টেমের সাধারণ সমাধান শব্দটির অর্থ কী?
অর্থ সহজ: সূত্র সবকিছু সেট করে সম্ভাব্য সমাধানমূল SLAE, অন্য কথায়, নির্বিচারে ধ্রুবক C 1, C 2, ..., C (n-r) এর মানগুলির যেকোন সেট গ্রহণ করে, সূত্রটি ব্যবহার করে আমরা মূল সমজাতীয় SLAE-এর সমাধানগুলির একটি পাব।
এইভাবে, যদি আমরা সমাধানের একটি মৌলিক ব্যবস্থা খুঁজে পাই, তাহলে আমরা এই সমজাতীয় SLAE-এর সমস্ত সমাধানকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি।
আসুন আমরা একটি সমজাতীয় SLAE-এর সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম তৈরির প্রক্রিয়া দেখাই।
আমরা রৈখিক সমীকরণের মূল সিস্টেমের বেসিস মাইনর নির্বাচন করি, সিস্টেম থেকে অন্যান্য সমস্ত সমীকরণ বাদ দিই এবং বিপরীত চিহ্ন সহ সিস্টেম সমীকরণের ডানদিকে বিনামূল্যে অজানা ভেরিয়েবল সম্বলিত সমস্ত পদ স্থানান্তর করি। চলুন বিনামূল্যে অজানা দিতে পরিবর্তনশীল মান 1,0,0,…,0 এবং যেকোন উপায়ে রৈখিক সমীকরণের ফলস্বরূপ প্রাথমিক সিস্টেম সমাধান করে প্রধান অজানাগুলি গণনা করুন, উদাহরণস্বরূপ, ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে। এর ফলে X (1) হবে - মৌলিক সিস্টেমের প্রথম সমাধান। যদি ফ্রি দেন অজানা মান 0,1,0,0,…,0 এবং প্রধান অজানা গণনা করলে আমরা X (2) পাই। ইত্যাদি। যদি আমরা 0.0,…,0.1 মানগুলি বিনামূল্যে অজানা ভেরিয়েবলগুলিতে বরাদ্দ করি এবং প্রধান অজানাগুলি গণনা করি, আমরা X (n-r) পাই। এইভাবে, একটি সমজাতীয় SLAE-এর সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম তৈরি করা হবে এবং এর সাধারণ সমাধান আকারে লেখা যেতে পারে।
রৈখিক বীজগাণিতিক সমীকরণের অসঙ্গতিপূর্ণ সিস্টেমের জন্য, সাধারণ সমাধানটি আকারে উপস্থাপিত হয়, যেখানে সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের সাধারণ সমাধান এবং এটি মূল অসংগতিহীন SLAE-এর বিশেষ সমাধান, যা আমরা বিনামূল্যে অজানাকে মান প্রদান করে পাই। 0,0,...,0 এবং প্রধান অজানাগুলির মান গণনা করা।
এর উদাহরণ তাকান.
উদাহরণ।
সমাধানের মৌলিক পদ্ধতি এবং রৈখিক বীজগণিতীয় সমীকরণের সমজাতীয় সিস্টেমের সাধারণ সমাধান খুঁজুন 
.
সমাধান।
রৈখিক সমীকরণের সমজাতীয় সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক সর্বদা বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান। নাবালকদের বর্ডারিং পদ্ধতি ব্যবহার করে মূল ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক বের করা যাক। প্রথম ক্রমটির একটি নন-জিরো মাইনর হিসাবে, আমরা সিস্টেমের প্রধান ম্যাট্রিক্সের একটি 1 1 = 9 উপাদান নিই। দ্বিতীয় ক্রমটির বর্ডারিং অ-শূন্য মাইনর খুঁজে বের করা যাক: 
দ্বিতীয় অর্ডারের একটি নাবালক, শূন্য থেকে ভিন্ন, পাওয়া গেছে। চলুন একটি অ-শূন্যের সন্ধানে এটির সীমান্তবর্তী তৃতীয়-ক্রমের নাবালকদের মধ্য দিয়ে যাই: 
সমস্ত তৃতীয়-ক্রম বর্ডারিং অপ্রাপ্তবয়স্করা শূন্যের সমান, তাই, প্রধান এবং বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক দুটির সমান। নেওয়া যাক। স্বচ্ছতার জন্য, আমাদের সিস্টেমের উপাদানগুলি নোট করুন যা এটি গঠন করে: 
মূল SLAE-এর তৃতীয় সমীকরণ বেসিস মাইনর গঠনে অংশগ্রহণ করে না, অতএব, এটি বাদ দেওয়া যেতে পারে: 
আমরা সমীকরণের ডানদিকে প্রধান অজানা সম্বলিত শর্তাবলী রেখে দেই, এবং বিনামূল্যে অজানা সহ পদগুলিকে ডান দিকে স্থানান্তর করি:
আসুন আমরা রৈখিক সমীকরণের মূল সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধানের একটি মৌলিক সিস্টেম তৈরি করি। এই SLAE-এর সমাধানের মৌলিক ব্যবস্থা দুটি সমাধান নিয়ে গঠিত, যেহেতু মূল SLAE-তে চারটি অজানা ভেরিয়েবল রয়েছে এবং এর ভিত্তি গৌণটির ক্রম দুটির সমান। X (1) খুঁজে বের করতে, আমরা বিনামূল্যে অজানা ভেরিয়েবলকে x 2 = 1, x 4 = 0 মান দিই, তারপর আমরা সমীকরণের সিস্টেম থেকে প্রধান অজানাগুলি খুঁজে পাই। 
.
§1। রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম।
সিস্টেম দেখুন
একটি সিস্টেম বলা হয় মিসঙ্গে রৈখিক সমীকরণ nঅজানা
এখানে 
- অজানা, 
- অজানা জন্য সহগ, 
- সমীকরণের বিনামূল্যে শর্তাবলী।
সমীকরণের সমস্ত মুক্ত পদ শূন্যের সমান হলে, সিস্টেমকে বলা হয় সমজাতীয়.সিদ্ধান্তের মাধ্যমেসিস্টেমকে সংখ্যার সংগ্রহ বলা হয় 
, অজানাদের পরিবর্তে সিস্টেমে তাদের প্রতিস্থাপন করার সময়, সমস্ত সমীকরণ পরিচয়ে পরিণত হয়। সিস্টেম বলা হয় যৌথ, যদি এটির অন্তত একটি সমাধান থাকে। একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেম যা একটি অনন্য সমাধান আছে বলা হয় নিশ্চিত. দুটি সিস্টেম বলা হয় সমতুল্য, যদি তাদের সমাধানের সেটগুলি মিলে যায়।
সিস্টেম (1) সমীকরণ ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে
(2)
.
§2। রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের সামঞ্জস্য।
সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সকে (1) ম্যাট্রিক্স বলি
ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য. সিস্টেম (1) সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি এবং শুধুমাত্র যদি সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্কের সমান হয়:
.
§3। সিস্টেম সমাধানn সঙ্গে রৈখিক সমীকরণn অজানা
একটি inhomogenous সিস্টেম বিবেচনা করুন nসঙ্গে রৈখিক সমীকরণ nঅজানা:
(3)
ক্রেমারের উপপাদ্যযদি সিস্টেমের প্রধান নির্ধারক (3) 
, তারপর সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে, সূত্র দ্বারা নির্ধারিত:
সেগুলো. 
,
কোথায় 
- নির্ধারক থেকে প্রাপ্ত নির্ধারক 
প্রতিস্থাপন 
বিনামূল্যে সদস্যদের কলাম থেকে তম কলাম.
যদি 
, এবং অন্তত একটি 
≠0, তাহলে সিস্টেমের কোন সমাধান নেই।
যদি 
, তারপর সিস্টেম অসীম অনেক সমাধান আছে.
সিস্টেম (3) এর ম্যাট্রিক্স ফর্ম (2) ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক হলে কসমান n, অর্থাৎ 
, তারপর ম্যাট্রিক্স কএকটি বিপরীত আছে 
. ম্যাট্রিক্স সমীকরণ গুণ করা 
ম্যাট্রিক্সে 
বাম দিকে, আমরা পাই:
.
শেষ সমতা একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার পদ্ধতি প্রকাশ করে।
উদাহরণ।একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন।
সমাধান।
ম্যাট্রিক্স 
অ অধঃপতিত, যেহেতু 
, যার মানে একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স আছে। চলুন বিপরীত ম্যাট্রিক্স গণনা করা যাক: 
.
,
ব্যায়াম. Cramer এর পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করুন।
§4। রৈখিক সমীকরণের নির্বিচারে ব্যবস্থা সমাধান করা।
ফর্ম (1) এর রৈখিক সমীকরণের একটি অ-সমজাতীয় সিস্টেম দেওয়া যাক।
আসুন আমরা অনুমান করি যে সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ, যেমন ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্যের অবস্থা সন্তুষ্ট: 
. ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক হলে 
(অজানা সংখ্যা), তারপর সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে। যদি 
, তারপর সিস্টেম অসীম অনেক সমাধান আছে. আমাকে বিস্তারিত বলতে দাও.
ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক যাক r(ক)=
r<
n. কারন 
, তারপর অর্ডারের কিছু অ-শূন্য গৌণ আছে r. এটাকে বেসিক মাইনর বলি। অজানা যেগুলির সহগগুলি একটি ভিত্তি গৌণ গঠন করে তাদের মৌলিক চলক বলা হবে। আমরা অবশিষ্ট অজানা ফ্রি ভেরিয়েবল কল. আসুন সমীকরণগুলিকে পুনর্বিন্যাস করি এবং ভেরিয়েবলগুলিকে পুনরায় সংখ্যা করি যাতে এই মাইনরটি সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের উপরের বাম কোণে অবস্থিত হয়:
.
প্রথম rলাইনগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন, বাকিগুলি তাদের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। অতএব, এই লাইন (সমীকরণ) বাতিল করা যেতে পারে. আমরা পেতে:
চলুন ফ্রি ভেরিয়েবলগুলিকে নির্বিচারে সংখ্যাসূচক মান দেওয়া যাক: . আসুন বাম দিকে শুধুমাত্র মৌলিক ভেরিয়েবলগুলি ছেড়ে দেই এবং মুক্তগুলিকে ডান দিকে নিয়ে যাই।
সিস্টেম পেয়েছি rসঙ্গে রৈখিক সমীকরণ rঅজানা, যার নির্ধারক 0 থেকে আলাদা। এটির একটি অনন্য সমাধান রয়েছে।
এই সিস্টেমটিকে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের সাধারণ সমাধান বলা হয় (1)। অন্যথায়: মুক্তগুলির মাধ্যমে মৌলিক চলকের প্রকাশকে বলা হয় সাধারণ সিদ্ধান্তসিস্টেম এটি থেকে আপনি একটি অসীম সংখ্যা পেতে পারেন ব্যক্তিগত সমাধান, বিনামূল্যে ভেরিয়েবলকে নির্বিচারে মান প্রদান করে। মুক্ত ভেরিয়েবলের শূন্য মানের জন্য সাধারণ একটি থেকে প্রাপ্ত একটি নির্দিষ্ট সমাধান বলা হয় মৌলিক সমাধান. বিভিন্ন মৌলিক সমাধানের সংখ্যা অতিক্রম করে না 
. অ-নেতিবাচক উপাদান সহ একটি মৌলিক সমাধান বলা হয় সমর্থনসিস্টেম সমাধান।
উদাহরণ.
,r=2.
ভেরিয়েবল 
- মৌলিক, 
- বিনামূল্যে
এর সমীকরণ যোগ করা যাক; এর প্রকাশ করা যাক 
মাধ্যম 
:
- সাধারণ সিদ্ধান্ত।
- জন্য ব্যক্তিগত সমাধান 
.
- মৌলিক সমাধান, রেফারেন্স।
§5। গাউস পদ্ধতি।
গাউস পদ্ধতি রৈখিক সমীকরণের অধ্যয়ন এবং নির্বিচারে সমাধান করার জন্য একটি সর্বজনীন পদ্ধতি। এটি সিস্টেমের সমতা লঙ্ঘন করে না এমন প্রাথমিক রূপান্তরগুলি ব্যবহার করে ক্রমানুসারে অজানাগুলিকে নির্মূল করে একটি তির্যক (বা ত্রিভুজাকার) আকারে সিস্টেমকে হ্রাস করে। একটি ভেরিয়েবল বাদ দেওয়া বলে বিবেচিত হয় যদি এটি 1 এর সহগ সিস্টেমের শুধুমাত্র একটি সমীকরণে থাকে।
প্রাথমিক রূপান্তরসিস্টেমগুলি হল:
একটি সমীকরণকে শূন্য ব্যতীত অন্য একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করা;
অন্য একটি সমীকরণের সাথে যেকোনো সংখ্যা দ্বারা গুণিত একটি সমীকরণ যোগ করা;
সমীকরণ পুনর্বিন্যাস;
0 = 0 সমীকরণ প্রত্যাখ্যান করা।
প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সমীকরণের উপর নয়, ফলস্বরূপ সমতুল্য সিস্টেমগুলির বর্ধিত ম্যাট্রিসেসগুলিতে সঞ্চালিত হতে পারে।
উদাহরণ.
সমাধান।আসুন সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স লিখি:
.
প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সম্পাদন করে, আমরা ম্যাট্রিক্সের বাম দিকটিকে একক আকারে কমিয়ে দেব: আমরা মূল তির্যকটিতে একটি তৈরি করব এবং এর বাইরে শূন্যগুলি তৈরি করব।
মন্তব্য করুন. যদি, প্রাথমিক রূপান্তর সম্পাদন করার সময়, ফর্ম 0 এর একটি সমীকরণ পাওয়া যায় = k(কোথায় প্রতি
0),
তারপর সিস্টেম অসঙ্গত.
অজানা ক্রমিক নির্মূল পদ্ধতি দ্বারা রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির সমাধান ফর্মটিতে লেখা যেতে পারে টেবিল.
টেবিলের বাম কলামে বাদ দেওয়া (বেসিক) ভেরিয়েবল সম্পর্কে তথ্য রয়েছে। অবশিষ্ট কলামে অজানা সহগ এবং সমীকরণের মুক্ত পদ রয়েছে।
সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স উৎস টেবিলে রেকর্ড করা হয়। এর পরে, আমরা জর্ডান রূপান্তরগুলি সম্পাদন করতে শুরু করি:
1. একটি পরিবর্তনশীল নির্বাচন করুন 
, যা ভিত্তি হয়ে উঠবে। সংশ্লিষ্ট কলামটিকে কী কলাম বলা হয়। একটি সমীকরণ চয়ন করুন যেখানে এই পরিবর্তনশীলটি অন্যান্য সমীকরণ থেকে বাদ দেওয়ার পরেও থাকবে। সংশ্লিষ্ট টেবিল সারিকে কী রো বলা হয়। গুণাঙ্ক 
, একটি কী সারি এবং একটি কী কলামের সংযোগস্থলে দাঁড়ানোকে কী বলে।
2. কী স্ট্রিং উপাদানগুলি কী উপাদানে বিভক্ত।
3. কী কলামটি শূন্য দিয়ে পূর্ণ।
4. অবশিষ্ট উপাদানগুলি আয়তক্ষেত্রের নিয়ম ব্যবহার করে গণনা করা হয়। একটি আয়তক্ষেত্র তৈরি করুন, যার বিপরীত শীর্ষবিন্দুতে একটি মূল উপাদান এবং একটি পুনরায় গণনা করা উপাদান রয়েছে; মূল উপাদানের সাথে আয়তক্ষেত্রের তির্যকটিতে অবস্থিত উপাদানগুলির গুণফল থেকে, অন্যান্য তির্যকের উপাদানগুলির গুণফল বিয়োগ করা হয়, এবং ফলস্বরূপ পার্থক্যটি মূল উপাদান দ্বারা ভাগ করা হয়।
উদাহরণ. সমীকরণ পদ্ধতির সাধারণ সমাধান এবং মৌলিক সমাধান খুঁজুন:
সমাধান।
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||
|
| ||||||
|
|
সিস্টেমের সাধারণ সমাধান:
মৌলিক সমাধান: 
.
একটি একক প্রতিস্থাপন রূপান্তর আপনাকে সিস্টেমের একটি ভিত্তি থেকে অন্যটিতে যেতে দেয়: মূল ভেরিয়েবলগুলির একটির পরিবর্তে, একটি মুক্ত ভেরিয়েবল ভিত্তিতে প্রবর্তন করা হয়। এটি করার জন্য, মুক্ত পরিবর্তনশীল কলামে একটি মূল উপাদান নির্বাচন করুন এবং উপরের অ্যালগরিদম অনুযায়ী রূপান্তরগুলি সম্পাদন করুন।
§6। সমর্থন সমাধান খোঁজা
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের রেফারেন্স সমাধান হল একটি মৌলিক সমাধান যাতে নেতিবাচক উপাদান থাকে না।
সিস্টেমের রেফারেন্স সমাধানগুলি গাউসিয়ান পদ্ধতিতে পাওয়া যায় যখন নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করা হয়।
1. মূল সিস্টেমে, সমস্ত বিনামূল্যের পদ অবশ্যই অ-নেতিবাচক হতে হবে: 
.
2. ধনাত্মক সহগগুলির মধ্যে মূল উপাদানটি নির্বাচন করা হয়।
3. যদি ভিত্তির মধ্যে প্রবর্তিত একটি পরিবর্তনশীলের বেশ কয়েকটি ধনাত্মক সহগ থাকে, তাহলে মূল লাইনটি হল সেই একটি যেখানে মুক্ত পদের অনুপাত ধনাত্মক সহগ সবচেয়ে ছোট।
নোট 1. যদি, অজানাগুলি দূর করার প্রক্রিয়ায়, একটি সমীকরণ উপস্থিত হয় যেখানে সমস্ত সহগ অ-ধনাত্মক এবং মুক্ত শব্দ 
, তাহলে সিস্টেমের কোন অ-নেতিবাচক সমাধান নেই।
নোট 2. যদি মুক্ত ভেরিয়েবলের জন্য সহগগুলির কলামে একটি একক ইতিবাচক উপাদান না থাকে, তাহলে অন্য রেফারেন্স সমাধানে স্থানান্তর করা অসম্ভব।
উদাহরণ।
|
|
|
যাইহোক, অনুশীলনে আরও দুটি ক্ষেত্রে বিস্তৃত:
- সিস্টেমটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ (কোন সমাধান নেই);
- সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং অসীমভাবে অনেকগুলি সমাধান রয়েছে।
বিঃদ্রঃ : "সংগতি" শব্দটি বোঝায় যে সিস্টেমের অন্তত কিছু সমাধান আছে। বেশ কয়েকটি সমস্যায়, প্রথমে সামঞ্জস্যের জন্য সিস্টেমটি পরীক্ষা করা প্রয়োজন, এটি কীভাবে করা যায়, নিবন্ধটি দেখুন ম্যাট্রিক্সের পদমর্যাদা.
এই সিস্টেমগুলির জন্য, সমস্ত সমাধান পদ্ধতির মধ্যে সবচেয়ে সর্বজনীন ব্যবহার করা হয় - গাউসিয়ান পদ্ধতি. প্রকৃতপক্ষে, "স্কুল" পদ্ধতিটিও উত্তরের দিকে নিয়ে যাবে, তবে উচ্চতর গণিতে এটি অজানাকে ক্রমিক নির্মূল করার জন্য গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করার প্রথাগত। যারা গাউসিয়ান পদ্ধতির অ্যালগরিদমের সাথে পরিচিত নন, অনুগ্রহ করে প্রথমে পাঠটি অধ্যয়ন করুন ডামিদের জন্য গাউসিয়ান পদ্ধতি.
প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স রূপান্তরগুলি নিজেই ঠিক একই, পার্থক্য সমাধান শেষ হবে. প্রথমে, আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি যখন সিস্টেমের কোন সমাধান নেই (অসংলগ্ন)।
উদাহরণ 1
কি অবিলম্বে এই সিস্টেম সম্পর্কে আপনার চোখ ক্যাচ? ভেরিয়েবলের সংখ্যার তুলনায় সমীকরণের সংখ্যা কম। যদি সমীকরণের সংখ্যা চলকের সংখ্যার চেয়ে কম হয়, তাহলে আমরা অবিলম্বে বলতে পারি যে সিস্টেমটি হয় অসামঞ্জস্যপূর্ণ বা অসীমভাবে অনেকগুলি সমাধান রয়েছে৷ এবং যা বাকি আছে তা হল খুঁজে বের করা।
সমাধানের শুরুটি সম্পূর্ণ সাধারণ - আমরা সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স লিখে রাখি এবং প্রাথমিক রূপান্তরগুলি ব্যবহার করে এটিকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসে:
(1) উপরের বাম ধাপে আমাদের +1 বা –1 পেতে হবে। প্রথম কলামে এমন কোন সংখ্যা নেই, তাই সারিগুলিকে পুনর্বিন্যাস করলে কিছুই হবে না। ইউনিট নিজেকে সংগঠিত করতে হবে, এবং এটি বিভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে। আমি এটি করেছি: প্রথম লাইনে আমরা -1 দ্বারা গুণিত তৃতীয় লাইন যোগ করি।
(2) এখন আমরা প্রথম কলামে দুটি শূন্য পাব। দ্বিতীয় লাইনে আমরা 3 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইন যোগ করি। তৃতীয় লাইনে আমরা 5 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইন যোগ করি।
(3) রূপান্তর সম্পন্ন হওয়ার পরে, এটি সর্বদা দেখার পরামর্শ দেওয়া হয় যে ফলাফল স্ট্রিংগুলিকে সরলীকরণ করা সম্ভব কিনা? করতে পারা. আমরা দ্বিতীয় লাইনটিকে 2 দ্বারা ভাগ করি, একই সাথে দ্বিতীয় ধাপে প্রয়োজনীয় -1 পাচ্ছি। তৃতীয় লাইনটিকে –3 দ্বারা ভাগ করুন।
(4) তৃতীয় লাইনে দ্বিতীয় লাইন যোগ করুন।
সম্ভবত সবাই প্রাথমিক রূপান্তরের ফলে খারাপ লাইনটি লক্ষ্য করেছে: 
. এটা স্পষ্ট যে এটি এমন হতে পারে না। প্রকৃতপক্ষে, আসুন আমরা ফলাফল ম্যাট্রিক্স পুনরায় লিখি 
রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমে ফিরে যান: 
যদি, প্রাথমিক রূপান্তরের ফলস্বরূপ, ফর্মের একটি স্ট্রিং পাওয়া যায়, যেখানে শূন্য ব্যতীত একটি সংখ্যা থাকে, তাহলে সিস্টেমটি অসঙ্গত (কোনও সমাধান নেই)।
একটি কাজের সমাপ্তি কীভাবে লিখবেন? আসুন সাদা চক দিয়ে আঁকুন: "প্রাথমিক রূপান্তরের ফলস্বরূপ, ফর্মের একটি স্ট্রিং , যেখানে " প্রাপ্ত হয় এবং উত্তর দিন: সিস্টেমের কোনও সমাধান নেই (অসংলগ্ন)।
যদি, শর্ত অনুসারে, সামঞ্জস্যের জন্য সিস্টেমটি অনুসন্ধান করা প্রয়োজন, তবে ধারণাটি ব্যবহার করে আরও শক্ত শৈলীতে সমাধানটিকে আনুষ্ঠানিক করা প্রয়োজন। ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক এবং ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য.
অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে এখানে গাউসিয়ান অ্যালগরিদমের কোন পরিবর্তন নেই - কোন সমাধান নেই এবং খুঁজে পাওয়ার মতো কিছুই নেই।
উদাহরণ 2
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন 
এই জন্য একটি উদাহরণ স্বাধীন সিদ্ধান্ত. সম্পূর্ণ সমাধানএবং পাঠ শেষে উত্তর। আমি আপনাকে আবার মনে করিয়ে দিচ্ছি যে আপনার সমাধান আমার সমাধান থেকে ভিন্ন হতে পারে;
সমাধানের আরেকটি প্রযুক্তিগত বৈশিষ্ট্য: প্রাথমিক রূপান্তর বন্ধ করা যেতে পারে একবার, সাথে সাথে একটি লাইন যেমন, কোথায়। চলো বিবেচনা করি শর্তসাপেক্ষ উদাহরণ: ধরুন যে প্রথম রূপান্তরের পরে ম্যাট্রিক্স প্রাপ্ত হয় 
. ম্যাট্রিক্সটি এখনও ইচেলন ফর্মে কমানো হয়নি, তবে আরও প্রাথমিক রূপান্তরের প্রয়োজন নেই, যেহেতু ফর্মের একটি লাইন উপস্থিত হয়েছে, যেখানে। উত্তরটি অবিলম্বে দেওয়া উচিত যে সিস্টেমটি বেমানান।
যখন রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের কোনও সমাধান থাকে না, এটি প্রায় একটি উপহার, কারণ একটি সংক্ষিপ্ত সমাধান পাওয়া যায়, কখনও কখনও আক্ষরিকভাবে 2-3 ধাপে।
কিন্তু এই বিশ্বের সবকিছুই ভারসাম্যপূর্ণ, এবং একটি সমস্যা যেখানে সিস্টেমের অসীমভাবে অনেকগুলি সমাধান রয়েছে তা আরও দীর্ঘ।
উদাহরণ 3
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন 
এখানে 4টি সমীকরণ এবং 4টি অজানা রয়েছে, তাই সিস্টেমের হয় একটি একক সমাধান থাকতে পারে, বা কোনও সমাধান নেই, বা অসীমভাবে অনেকগুলি সমাধান থাকতে পারে। যাই হোক না কেন, গাউসিয়ান পদ্ধতি যেকোনো ক্ষেত্রেই আমাদের উত্তরের দিকে নিয়ে যাবে। এটি তার বহুমুখিতা।
শুরুটা আবার মানসম্মত। আসুন আমরা সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স লিখি এবং প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে এটিকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসি: 
এই সব, এবং আপনি ভয় ছিল.
(1) দয়া করে মনে রাখবেন যে প্রথম কলামের সমস্ত সংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য, তাই 2 উপরের বাম ধাপে ঠিক আছে। দ্বিতীয় লাইনে আমরা প্রথম লাইন যোগ করি, -4 দ্বারা গুণিত। তৃতীয় লাইনে আমরা প্রথম লাইন যোগ করি, -2 দ্বারা গুণ করে। চতুর্থ লাইনে আমরা প্রথম লাইন যোগ করি, -1 দ্বারা গুণ করে।
মনোযোগ!চতুর্থ লাইন দেখে অনেকেই প্রলুব্ধ হতে পারেন বিয়োগপ্রথম লাইন. এটি করা যেতে পারে, তবে এটি প্রয়োজনীয় নয় অভিজ্ঞতা দেখায় যে গণনায় ত্রুটির সম্ভাবনা কয়েকগুণ বেড়ে যায় শুধু যোগ করুন: চতুর্থ লাইনে -1 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইন যোগ করুন ঠিক!
(2) শেষ তিনটি লাইন সমানুপাতিক, তাদের দুটি মুছে ফেলা যেতে পারে।
এখানে আবার দেখাতে হবে মনোযোগ বৃদ্ধি, কিন্তু লাইন কি সত্যিই সমানুপাতিক? নিরাপদে থাকার জন্য (বিশেষ করে চাপাতার জন্য), দ্বিতীয় লাইনটিকে –1 দ্বারা গুণ করা এবং চতুর্থ লাইনটিকে 2 দ্বারা ভাগ করা একটি ভাল ধারণা হবে, যার ফলে তিনটি অভিন্ন লাইন হবে। এবং তার পরেই তাদের দুজনকে সরিয়ে ফেলুন।
প্রাথমিক রূপান্তরের ফলস্বরূপ, সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স ধাপে ধাপে হ্রাস করা হয়: 
একটি নোটবুকে একটি টাস্ক লেখার সময়, স্পষ্টতার জন্য পেন্সিলে একই নোট তৈরি করার পরামর্শ দেওয়া হয়।
আসুন সমীকরণের সংশ্লিষ্ট সিস্টেমটি পুনরায় লিখি: 
এখানে সিস্টেমে একটি "সাধারণ" একক সমাধানের কোন গন্ধ নেই। কোনো খারাপ লাইনও নেই। এর মানে হল যে এটি তৃতীয় অবশিষ্ট কেস - সিস্টেমে অসীমভাবে অনেকগুলি সমাধান রয়েছে। কখনও কখনও, শর্ত অনুসারে, সিস্টেমের সামঞ্জস্যতা তদন্ত করা প্রয়োজন (অর্থাৎ একটি সমাধান বিদ্যমান রয়েছে তা প্রমাণ করুন), আপনি নিবন্ধের শেষ অনুচ্ছেদে এটি সম্পর্কে পড়তে পারেন কিভাবে একটি ম্যাট্রিক্স র্যাঙ্ক খুঁজে বের করতে?তবে আপাতত মূল বিষয়গুলি নিয়ে যাওয়া যাক:
একটি সিস্টেমের সমাধানের একটি অসীম সেট সংক্ষেপে তথাকথিত আকারে লেখা হয় সিস্টেমের সাধারণ সমাধান .
আমরা গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীত ব্যবহার করে সিস্টেমের সাধারণ সমাধান খুঁজে পাই।
প্রথমে আমাদের সংজ্ঞায়িত করতে হবে যে আমাদের কী ভেরিয়েবল আছে মৌলিক, এবং কি ভেরিয়েবল বিনামূল্যে. আপনাকে রৈখিক বীজগণিতের শর্তাবলী নিয়ে নিজেকে বিরক্ত করতে হবে না, শুধু মনে রাখবেন যে এরকম আছে মৌলিক ভেরিয়েবলএবং বিনামূল্যের ভেরিয়েবল.
মৌলিক ভেরিয়েবল সবসময় ম্যাট্রিক্সের ধাপে কঠোরভাবে "বসে".
এই উদাহরণে, মৌলিক ভেরিয়েবল হল এবং
ফ্রি ভেরিয়েবল সব কিছু অবশিষ্টভেরিয়েবল যা একটি ধাপ পায়নি। আমাদের ক্ষেত্রে, তাদের মধ্যে দুটি রয়েছে: – মুক্ত ভেরিয়েবল।
এখন আপনি প্রয়োজন সব মৌলিক ভেরিয়েবলপ্রকাশ করা শুধুমাত্র মাধ্যমে বিনামূল্যের ভেরিয়েবল.
গাউসিয়ান অ্যালগরিদমের বিপরীতটি ঐতিহ্যগতভাবে নিচ থেকে কাজ করে।
সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা মৌলিক পরিবর্তনশীল প্রকাশ করি:
এখন প্রথম সমীকরণটি দেখুন: 
. প্রথমে আমরা এতে পাওয়া অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করি: 
এটি মুক্ত ভেরিয়েবলের পরিপ্রেক্ষিতে মৌলিক পরিবর্তনশীলকে প্রকাশ করতে রয়ে গেছে: 
শেষ পর্যন্ত আমরা যা প্রয়োজন তা পেয়েছি - সবমৌলিক ভেরিয়েবল ( এবং ) প্রকাশ করা হয় শুধুমাত্র মাধ্যমেবিনামূল্যের ভেরিয়েবল: 
আসলে, সাধারণ সমাধান প্রস্তুত: 
কিভাবে সাধারণ সমাধান সঠিকভাবে লিখতে হয়?
ফ্রি ভেরিয়েবলগুলি সাধারণ সমাধান "নিজেদের দ্বারা" এবং কঠোরভাবে তাদের জায়গায় লেখা হয়। ভিতরে এক্ষেত্রেমুক্ত ভেরিয়েবলগুলি দ্বিতীয় এবং চতুর্থ অবস্থানে লেখা উচিত: 
.
মৌলিক ভেরিয়েবলের জন্য প্রাপ্ত অভিব্যক্তি 
এবং স্পষ্টতই প্রথম এবং তৃতীয় অবস্থানে লিখতে হবে: 
বিনামূল্যে ভেরিয়েবল প্রদান নির্বিচারে মান, আপনি অসীম অনেক খুঁজে পেতে পারেন ব্যক্তিগত সমাধান. সর্বাধিক জনপ্রিয় মানগুলি হল শূন্য, যেহেতু বিশেষ সমাধানটি পাওয়া সবচেয়ে সহজ। আসুন সাধারণ সমাধানে প্রতিস্থাপন করা যাক: 
- ব্যক্তিগত সমাধান।
আরেকটি মিষ্টি জোড়া হল, আসুন সেগুলিকে সাধারণ সমাধানে প্রতিস্থাপন করি: 
- আরেকটি ব্যক্তিগত সমাধান।
এটা দেখতে সহজ যে সমীকরণ সিস্টেম আছে অসীম অনেক সমাধান(যেহেতু আমরা বিনামূল্যে ভেরিয়েবল দিতে পারি যেকোনোমান)
প্রতিটিবিশেষ সমাধান সন্তুষ্ট করা আবশ্যক প্রতিটিসিস্টেমের সমীকরণ। এটি সমাধানের সঠিকতা একটি "দ্রুত" চেক করার ভিত্তি। উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট সমাধান নিন এবং মূল সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণের বাম দিকে এটি প্রতিস্থাপন করুন: 
সবকিছু একসাথে আসতে হবে। এবং আপনি প্রাপ্ত কোনো বিশেষ সমাধান সঙ্গে, সবকিছুও একমত হওয়া উচিত।
কিন্তু, কঠোরভাবে বলতে গেলে, একটি নির্দিষ্ট সমাধান পরীক্ষা করা কখনও কখনও প্রতারণামূলক, যেমন কিছু নির্দিষ্ট সমাধান সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করতে পারে, কিন্তু সাধারণ সমাধানটি আসলেই ভুলভাবে পাওয়া যায়।
অতএব, সাধারণ সমাধানের যাচাইকরণ আরও পুঙ্খানুপুঙ্খ এবং নির্ভরযোগ্য। কিভাবে ফলাফল সাধারণ সমাধান চেক 
?
এটা কঠিন নয়, কিন্তু বেশ ক্লান্তিকর। আমাদের অভিব্যক্তি নিতে হবে মৌলিকভেরিয়েবল, এই ক্ষেত্রে 
এবং , এবং সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণের বাম দিকে তাদের প্রতিস্থাপন করুন।
সিস্টেমের প্রথম সমীকরণের বাম দিকে: 
সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণের বাম দিকে: 
মূল সমীকরণের ডান দিকটি পাওয়া যায়।
উদাহরণ 4
গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করুন। সাধারণ সমাধান এবং দুটি বিশেষ সমাধান খুঁজুন। সাধারণ সমাধান পরীক্ষা করুন। 
এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। এখানে, যাইহোক, আবার সমীকরণের সংখ্যা অজানা সংখ্যার চেয়ে কম, যার মানে এটি অবিলম্বে স্পষ্ট যে সিস্টেমটি হয় অসামঞ্জস্যপূর্ণ হবে বা অসীম সংখ্যক সমাধান থাকবে। সিদ্ধান্ত প্রক্রিয়া নিজেই গুরুত্বপূর্ণ কি? মনোযোগ, এবং আবার মনোযোগ. পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।
এবং উপাদানটিকে শক্তিশালী করার জন্য আরও কয়েকটি উদাহরণ
উদাহরণ 5
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন। যদি সিস্টেমে অসীমভাবে অনেকগুলি সমাধান থাকে তবে দুটি নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজুন এবং সাধারণ সমাধান পরীক্ষা করুন 
সমাধান: চলুন সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্স লিখি এবং প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে এটিকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসা যাক: 
(1) দ্বিতীয় লাইনে প্রথম লাইন যোগ করুন। তৃতীয় লাইনে আমরা 2 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইন যোগ করি। চতুর্থ লাইনে আমরা 3 দ্বারা গুণিত প্রথম লাইন যোগ করি।
(2) তৃতীয় লাইনে আমরা -5 দ্বারা গুণিত দ্বিতীয় লাইন যোগ করি। চতুর্থ লাইনে আমরা দ্বিতীয় লাইন যোগ করি, -7 দিয়ে গুণ করে।
(3) তৃতীয় এবং চতুর্থ লাইন একই, আমরা তাদের একটি মুছে ফেলি।
এটি এমন সৌন্দর্য: 
বেসিক ভেরিয়েবল ধাপে বসে, তাই - মৌলিক ভেরিয়েবল।
শুধুমাত্র একটি বিনামূল্যের ভেরিয়েবল আছে যা একটি পদক্ষেপ পায়নি:
বিপরীত:
একটি মুক্ত ভেরিয়েবলের মাধ্যমে মৌলিক ভেরিয়েবল প্রকাশ করা যাক:
তৃতীয় সমীকরণ থেকে: 
আসুন দ্বিতীয় সমীকরণটি বিবেচনা করি এবং এতে পাওয়া অভিব্যক্তিটিকে প্রতিস্থাপন করি: 
আসুন প্রথম সমীকরণটি বিবেচনা করি এবং পাওয়া অভিব্যক্তিগুলি এবং এতে প্রতিস্থাপন করি: 
হ্যাঁ, একটি ক্যালকুলেটর যা সাধারণ ভগ্নাংশ গণনা করে তা এখনও সুবিধাজনক।
সুতরাং সাধারণ সমাধান হল: 
আবার, এটা কিভাবে পরিণত? মুক্ত ভেরিয়েবলটি তার সঠিক চতুর্থ স্থানে একা বসে। মৌলিক ভেরিয়েবলের ফলে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিগুলিও তাদের ক্রমানুসারী স্থান গ্রহণ করে।
আমাদের অবিলম্বে সাধারণ সমাধান পরীক্ষা করা যাক। কাজটি কালোদের জন্য, তবে আমি ইতিমধ্যে এটি করেছি, তাই ধরুন =)
আমরা সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণের বাম দিকে তিনটি নায়ক , , প্রতিস্থাপন করি:
সমীকরণগুলির সংশ্লিষ্ট ডানদিকের দিকগুলি পাওয়া যায়, এইভাবে সাধারণ সমাধানটি সঠিকভাবে পাওয়া যায়।
এখন পাওয়া সাধারণ সমাধান থেকে 
আমরা দুটি বিশেষ সমাধান প্রাপ্ত. এখানে একমাত্র ফ্রি ভেরিয়েবল হল শেফ। আপনার মস্তিষ্ক তাক করার দরকার নেই।
তাহলেই হোক 
- ব্যক্তিগত সমাধান।
তাহলেই হোক 
- আরেকটি ব্যক্তিগত সমাধান।
উত্তর: সাধারণ সিদ্ধান্ত: 
, ব্যক্তিগত সমাধান: 
, .
কালোদের কথা আমার মনে রাখা উচিত ছিল না... ...কারণ আমার মাথায় সব ধরনের দুঃখজনক উদ্দেশ্য এসেছিল এবং আমার সেই বিখ্যাত ফটোশপের কথা মনে পড়ে গেল যেখানে সাদা পোশাকে কু ক্লাক্স ক্ল্যান্সম্যানরা একজন কালো ফুটবল খেলোয়াড়ের পরে মাঠ জুড়ে দৌড়াচ্ছে। আমি চুপচাপ বসে হাসছি। আপনি জানেন কিভাবে বিভ্রান্তিকর ...
অনেক গণিত ক্ষতিকারক, তাই এটি নিজেই সমাধান করার জন্য একটি অনুরূপ চূড়ান্ত উদাহরণ।
উদাহরণ 6
রৈখিক সমীকরণ পদ্ধতির সাধারণ সমাধান খুঁজুন। 
আমি ইতিমধ্যে সাধারণ সমাধান চেক করেছি, উত্তর বিশ্বাস করা যেতে পারে। আপনার সমাধান আমার সমাধান থেকে ভিন্ন হতে পারে, প্রধান জিনিস হল যে সাধারণ সমাধানগুলি মিলে যায়।
অনেক লোক সম্ভবত সমাধানগুলিতে একটি অপ্রীতিকর মুহূর্ত লক্ষ্য করেছে: প্রায়শই, গাউস পদ্ধতিটি বিপরীত করার সময়, আমাদের সাথে টিঙ্কার করতে হয়েছিল সাধারণ ভগ্নাংশ. বাস্তবে, এটি এমন ঘটনা যেখানে কোন ভগ্নাংশ নেই অনেক কম সাধারণ। মানসিকভাবে এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, প্রযুক্তিগতভাবে প্রস্তুত থাকুন।
আমি সমাধানের কিছু বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করব যা সমাধান করা উদাহরণগুলিতে পাওয়া যায়নি।
সিস্টেমের সাধারণ সমাধান কখনও কখনও একটি ধ্রুবক (বা ধ্রুবক) অন্তর্ভুক্ত করতে পারে, উদাহরণস্বরূপ: . এখানে মৌলিক ভেরিয়েবলগুলির একটি ধ্রুবক সংখ্যার সমান: . এই সম্পর্কে বহিরাগত কিছুই নেই, এটা ঘটে. স্পষ্টতই, এই ক্ষেত্রে, কোনো বিশেষ সমাধানে প্রথম অবস্থানে একটি পাঁচ থাকবে।
কদাচিৎ, কিন্তু সিস্টেম আছে যা সমীকরণের সংখ্যা ভেরিয়েবলের সংখ্যার চেয়ে বেশি. গাউসিয়ান পদ্ধতিটি সবচেয়ে গুরুতর পরিস্থিতিতে কাজ করে; একজনকে শান্তভাবে একটি স্ট্যান্ডার্ড অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সকে কমিয়ে আনা উচিত। এই ধরনের একটি সিস্টেম অসামঞ্জস্যপূর্ণ হতে পারে, অসীমভাবে অনেক সমাধান থাকতে পারে, এবং অদ্ভুতভাবে যথেষ্ট, একটি একক সমাধান থাকতে পারে।
গাউসিয়ান পদ্ধতি, যাকে অজানাকে ক্রমিক নির্মূল করার পদ্ধতিও বলা হয়, নিম্নরূপ। প্রাথমিক রূপান্তর ব্যবহার করে, রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমকে এমন আকারে আনা হয় যে এর সহগগুলির ম্যাট্রিক্স পরিণত হয় ট্র্যাপিজয়েডাল (ত্রিভুজাকার বা ধাপের মতো) বা ট্র্যাপিজয়েডালের কাছাকাছি (গাউসিয়ান পদ্ধতির সরাসরি স্ট্রোক, এরপরে কেবল সোজা স্ট্রোক)। এই জাতীয় সিস্টেমের একটি উদাহরণ এবং এর সমাধান উপরের চিত্রে রয়েছে।
এই ধরনের সিস্টেমে, শেষ সমীকরণে শুধুমাত্র একটি চলক থাকে এবং এর মান দ্ব্যর্থহীনভাবে পাওয়া যায়। এই ভেরিয়েবলের মানটি পূর্ববর্তী সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হয় ( গাউসিয়ান পদ্ধতির বিপরীত , তারপর শুধু বিপরীত), যেখান থেকে পূর্ববর্তী ভেরিয়েবলটি পাওয়া যায়, ইত্যাদি।
একটি ট্র্যাপিজয়েডাল (ত্রিভুজাকার) সিস্টেমে, যেমনটি আমরা দেখি, তৃতীয় সমীকরণে আর ভেরিয়েবল থাকে না yএবং এক্স, এবং দ্বিতীয় সমীকরণ হল পরিবর্তনশীল এক্স .
সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স একবার ট্র্যাপিজয়েডাল আকার ধারণ করলে, সিস্টেমের সামঞ্জস্যের সমস্যাটি বোঝা, সমাধানের সংখ্যা নির্ধারণ করা এবং সমাধানগুলি নিজেরাই খুঁজে পাওয়া কঠিন নয়।
পদ্ধতির সুবিধা:
- তিনটির বেশি সমীকরণ এবং অজানা সহ রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার সময়, গাউস পদ্ধতি ক্রেমার পদ্ধতির মতো জটিল নয়, যেহেতু গাউস পদ্ধতিতে সমাধান করতে কম গণনার প্রয়োজন হয়;
- গাউস পদ্ধতি রৈখিক সমীকরণের অনিশ্চিত সিস্টেমগুলিকে সমাধান করতে পারে, অর্থাৎ, একটি সাধারণ সমাধান রয়েছে (এবং আমরা এই পাঠে সেগুলি বিশ্লেষণ করব), এবং ক্রেমার পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা কেবল বলতে পারি যে সিস্টেমটি অনিশ্চিত;
- আপনি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করতে পারেন যেখানে অজানা সংখ্যা সমীকরণের সংখ্যার সমান নয় (আমরা এই পাঠে সেগুলিও বিশ্লেষণ করব);
- পদ্ধতিটি প্রাথমিক (স্কুল) পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে - অজানা প্রতিস্থাপনের পদ্ধতি এবং সমীকরণ যোগ করার পদ্ধতি, যা আমরা সংশ্লিষ্ট নিবন্ধে স্পর্শ করেছি।
রৈখিক সমীকরণের ট্র্যাপিজয়েডাল (ত্রিভুজাকার, ধাপ) সিস্টেমগুলি যে সরলতার সাথে সমাধান করা হয় তা প্রত্যেকের বোঝার জন্য, আমরা বিপরীত গতি ব্যবহার করে এই জাতীয় সিস্টেমের একটি সমাধান উপস্থাপন করি। দ্রুত সিদ্ধান্তএই সিস্টেমটি পাঠের শুরুতে ছবিতে দেখানো হয়েছিল।
উদাহরণ 1.বিপরীত ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন:
সমাধান। এই ট্র্যাপিজয়েডাল সিস্টেমে পরিবর্তনশীল zতৃতীয় সমীকরণ থেকে অনন্যভাবে পাওয়া যাবে। আমরা এর মানটিকে দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং চলকের মান পাই y:
এখন আমরা দুটি ভেরিয়েবলের মান জানি - zএবং y. আমরা তাদের প্রথম সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং চলকের মান পাই এক্স:
পূর্ববর্তী ধাপগুলি থেকে আমরা সমীকরণ সিস্টেমের সমাধান লিখি:
রৈখিক সমীকরণের এমন একটি ট্র্যাপিজয়েডাল সিস্টেম পেতে, যা আমরা খুব সহজভাবে সমাধান করেছি, রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের প্রাথমিক রূপান্তরের সাথে যুক্ত একটি ফরোয়ার্ড স্ট্রোক ব্যবহার করা প্রয়োজন। এটাও খুব একটা কঠিন নয়।
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের প্রাথমিক রূপান্তর
বীজগাণিতিকভাবে একটি সিস্টেমের সমীকরণ যোগ করার স্কুল পদ্ধতির পুনরাবৃত্তি করে, আমরা জানতে পেরেছি যে সিস্টেমের একটি সমীকরণের সাথে আমরা সিস্টেমের আরেকটি সমীকরণ যোগ করতে পারি এবং প্রতিটি সমীকরণকে কিছু সংখ্যা দ্বারা গুণ করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ, আমরা এটির সমতুল্য রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই। এটিতে, একটি সমীকরণে ইতিমধ্যে শুধুমাত্র একটি পরিবর্তনশীল রয়েছে, যার মানটিকে অন্যান্য সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আমরা একটি সমাধানে আসি। এই ধরনের সংযোজন সিস্টেমের প্রাথমিক রূপান্তরের এক প্রকার। গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করার সময়, আমরা বিভিন্ন ধরনের রূপান্তর ব্যবহার করতে পারি।
উপরের অ্যানিমেশনটি দেখায় কিভাবে সমীকরণের সিস্টেমটি ধীরে ধীরে একটি ট্র্যাপিজয়েডালে পরিণত হয়। অর্থাৎ, যেটিকে আপনি প্রথম অ্যানিমেশনে দেখেছেন এবং নিজেকে নিশ্চিত করেছেন যে এটি থেকে সমস্ত অজানা মান খুঁজে পাওয়া সহজ। কিভাবে এই ধরনের একটি রূপান্তর সঞ্চালন এবং, অবশ্যই, উদাহরণ আরও আলোচনা করা হবে।
সমীকরণের সিস্টেমে এবং সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সে যে কোনও সংখ্যক সমীকরণ এবং অজানা সহ রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার সময় করতে পারা:
- লাইনগুলি পুনরায় সাজান (এই নিবন্ধের একেবারে শুরুতে এটি উল্লেখ করা হয়েছিল);
- যদি অন্যান্য রূপান্তরের ফলে সমান বা সমানুপাতিক সারি হয়, তবে একটি বাদে সেগুলি মুছে ফেলা যেতে পারে;
- "শূন্য" সারিগুলি সরান যেখানে সমস্ত সহগ শূন্যের সমান;
- কোনো স্ট্রিংকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করুন;
- যেকোন লাইনে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দিয়ে গুণ করে অন্য লাইন যোগ করুন।
রূপান্তরের ফলস্বরূপ, আমরা এটির সমতুল্য রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই।
অ্যালগরিদম এবং গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের উদাহরণ
আসুন প্রথমে রৈখিক সমীকরণের সমাধান পদ্ধতি বিবেচনা করি যেখানে অজানা সংখ্যা সমীকরণের সংখ্যার সমান। এই ধরনের সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স বর্গাকার, অর্থাৎ এতে সারির সংখ্যা কলামের সংখ্যার সমান।
উদাহরণ 2।গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন
স্কুল পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধান করার সময়, আমরা একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা পদ দ্বারা একটি সমীকরণ পদকে গুণ করেছি, যাতে দুটি সমীকরণের প্রথম চলকের সহগগুলি বিপরীত সংখ্যা ছিল। সমীকরণ যোগ করার সময়, এই পরিবর্তনশীলটি বাদ দেওয়া হয়। গাউস পদ্ধতি একইভাবে কাজ করে।
সরলভাবে চেহারাসমাধান সিস্টেমের একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স তৈরি করা যাক:
এই ম্যাট্রিক্সে, অজানাগুলির সহগগুলি উল্লম্ব রেখার আগে বাম দিকে অবস্থিত এবং মুক্ত পদগুলি উল্লম্ব রেখার পরে ডানদিকে অবস্থিত।
ভেরিয়েবলের জন্য সহগ ভাগ করার সুবিধার জন্য (একতা দ্বারা বিভাজন পেতে) সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের প্রথম এবং দ্বিতীয় সারি অদলবদল করা যাক. আমরা এটির সমতুল্য একটি সিস্টেম পাই, যেহেতু রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমে সমীকরণগুলি বিনিময় করা যেতে পারে:
নতুন প্রথম সমীকরণ ব্যবহার করে পরিবর্তনশীল দূর করুন এক্সদ্বিতীয় এবং পরবর্তী সমস্ত সমীকরণ থেকে. এটি করার জন্য, ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় সারিতে আমরা প্রথম সারিটি যোগ করি, দ্বারা গুণিত (আমাদের ক্ষেত্রে, দ্বারা), তৃতীয় সারিতে - প্রথম সারি, দ্বারা গুণিত (আমাদের ক্ষেত্রে, দ্বারা)।
এটা সম্ভব কারণ
যদি আমাদের সমীকরণ সিস্টেম ছিল তিনের বেশি, তারপর একটি বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে নেওয়া সংশ্লিষ্ট সহগগুলির অনুপাত দ্বারা গুণিত প্রথম লাইনটি পরবর্তী সমস্ত সমীকরণে যোগ করা প্রয়োজন।
ফলস্বরূপ, আমরা এই সিস্টেমের সমতুল্য একটি ম্যাট্রিক্স পাই নতুন সিস্টেমসমীকরণ যেখানে সমস্ত সমীকরণ, দ্বিতীয় থেকে শুরু করে একটি পরিবর্তনশীল ধারণ করবেন না এক্স :
ফলস্বরূপ সিস্টেমের দ্বিতীয় লাইনটিকে সরল করার জন্য, আমরা এটিকে গুণ করি এবং আবার এই সিস্টেমের সমতুল্য সমীকরণের সিস্টেমের ম্যাট্রিক্সটি পাই:
এখন, ফলাফল সিস্টেমের প্রথম সমীকরণ অপরিবর্তিত রেখে, দ্বিতীয় সমীকরণ ব্যবহার করে আমরা ভেরিয়েবলটি নির্মূল করি y সমস্ত পরবর্তী সমীকরণ থেকে। এটি করার জন্য, সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের তৃতীয় সারিতে আমরা দ্বিতীয় সারিটি দ্বারা গুণিত (আমাদের ক্ষেত্রে ) যোগ করি।
যদি আমাদের সিস্টেমে তিনটির বেশি সমীকরণ থাকত, তাহলে আমাদের পরবর্তী সমস্ত সমীকরণে একটি দ্বিতীয় লাইন যোগ করতে হবে, একটি বিয়োগ চিহ্নের সাথে নেওয়া সংশ্লিষ্ট সহগগুলির অনুপাত দ্বারা গুণ করে।
ফলস্বরূপ, আমরা আবার রৈখিক সমীকরণের এই সিস্টেমের সমতুল্য একটি সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স পাই:
আমরা রৈখিক সমীকরণের একটি সমতুল্য ট্র্যাপিজয়েডাল সিস্টেম পেয়েছি:
যদি আমাদের উদাহরণের তুলনায় সমীকরণ এবং ভেরিয়েবলের সংখ্যা বেশি হয়, তাহলে আমাদের ডেমো উদাহরণের মতো সিস্টেম ম্যাট্রিক্স ট্র্যাপিজয়েডাল না হওয়া পর্যন্ত ক্রমানুসারে ভেরিয়েবলগুলিকে নির্মূল করার প্রক্রিয়া চলতে থাকে।
আমরা "শেষ থেকে" সমাধানটি খুঁজে পাব - বিপরীত পদক্ষেপ. এই জন্য শেষ সমীকরণ থেকে আমরা নির্ধারণ করি z:
.
এই মানটিকে আগের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আমরা খুঁজে পাব y:
প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা খুঁজে পাব এক্স:
উত্তর: এই সমীকরণ পদ্ধতির সমাধান হল 
.
: এই ক্ষেত্রে একই উত্তর দেওয়া হবে যদি সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান থাকে। যদি সিস্টেমে অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে, তবে এটি হবে উত্তর, এবং এটি এই পাঠের পঞ্চম অংশের বিষয়।
গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম নিজেই সমাধান করুন এবং তারপর সমাধানটি দেখুন
এখানে আবার আমাদের কাছে রৈখিক সমীকরণের একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং নির্দিষ্ট সিস্টেমের উদাহরণ রয়েছে, যেখানে সমীকরণের সংখ্যা অজানা সংখ্যার সমান। অ্যালগরিদম থেকে আমাদের ডেমো উদাহরণ থেকে পার্থক্য হল যে ইতিমধ্যে চারটি সমীকরণ এবং চারটি অজানা রয়েছে৷
উদাহরণ 4.গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন:
এখন আপনাকে পরবর্তী সমীকরণ থেকে ভেরিয়েবল বাদ দিতে দ্বিতীয় সমীকরণটি ব্যবহার করতে হবে। এর সঞ্চালন করা যাক প্রস্তুতিমূলক কাজ. সহগ অনুপাতের সাথে এটি আরও সুবিধাজনক করতে, আপনাকে দ্বিতীয় সারির দ্বিতীয় কলামে একটি পেতে হবে। এটি করার জন্য, দ্বিতীয় লাইন থেকে তৃতীয়টি বিয়োগ করুন এবং ফলস্বরূপ দ্বিতীয় লাইনটিকে -1 দ্বারা গুণ করুন।
আসুন এখন তৃতীয় এবং চতুর্থ সমীকরণ থেকে চলকের প্রকৃত নির্মূল করা যাক। এটি করার জন্য, দ্বিতীয় লাইনটি যোগ করুন, , দ্বারা গুণিত , তৃতীয় লাইনে এবং দ্বিতীয়টি, দ্বারা গুণিত , চতুর্থ লাইনে।
এখন, তৃতীয় সমীকরণটি ব্যবহার করে, আমরা চতুর্থ সমীকরণ থেকে চলকটিকে বাদ দিই। এটি করার জন্য, চতুর্থ লাইনে তৃতীয় লাইন যোগ করুন, গুন করুন। আমরা একটি বর্ধিত trapezoidal ম্যাট্রিক্স প্রাপ্ত.
আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পেয়েছি যার প্রদত্ত সিস্টেমটি সমতুল্য:
ফলস্বরূপ, ফলাফল এবং প্রদত্ত সিস্টেমগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং নির্দিষ্ট। চূড়ান্ত সিদ্ধান্তআমরা "শেষ থেকে" খুঁজে পাই। চতুর্থ সমীকরণ থেকে আমরা সরাসরি "x চতুর্থ" ভেরিয়েবলের মান প্রকাশ করতে পারি:
আমরা এই মানটিকে সিস্টেমের তৃতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং পাই
,
,
অবশেষে, মান প্রতিস্থাপন
প্রথম সমীকরণ দেয়
,
কোথায় আমরা "x প্রথম" খুঁজে পাই:
উত্তর: এই সমীকরণ পদ্ধতির একটি অনন্য সমাধান রয়েছে 
.
আপনি ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ক্যালকুলেটরে সিস্টেমের সমাধানও পরীক্ষা করতে পারেন: এই ক্ষেত্রে, সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান থাকলে একই উত্তর দেওয়া হবে।
গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রয়োগকৃত সমস্যার সমাধান সংকর ধাতুর সমস্যার উদাহরণ ব্যবহার করে
রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলি ভৌত জগতে বাস্তব বস্তুর মডেল করতে ব্যবহৃত হয়। আসুন এই সমস্যার একটি সমাধান করা যাক - সংকর ধাতু। অনুরূপ সমস্যা - মিশ্রণ, খরচ বা সমস্যা আপেক্ষিক গুরুত্ব স্বতন্ত্র পণ্যএকটি পণ্য গ্রুপ এবং মত মধ্যে.
উদাহরণ 5।খাদের তিনটি টুকরার মোট ভর 150 কেজি। প্রথম খাদটিতে 60% তামা, দ্বিতীয়টিতে - 30%, তৃতীয় - 10% রয়েছে। অধিকন্তু, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সংকর ধাতুতে প্রথম সংকর ধাতুর তুলনায় 28.4 কেজি কম তামা রয়েছে এবং তৃতীয় সংকর ধাতুতে দ্বিতীয়টির তুলনায় 6.2 কেজি কম তামা রয়েছে। সংকর ধাতুর প্রতিটি অংশের ভর খুঁজুন।
সমাধান। আমরা রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম রচনা করি:
আমরা দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সমীকরণকে 10 দ্বারা গুণ করি, আমরা রৈখিক সমীকরণের একটি সমতুল্য সিস্টেম পাই:
আমরা সিস্টেমের একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স তৈরি করি:
মনোযোগ, সরাসরি এগিয়ে. যোগ করে (আমাদের ক্ষেত্রে, বিয়োগ করে) একটি সারি একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করে (আমরা এটি দুবার প্রয়োগ করি), সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের সাথে নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি ঘটে:
সরাসরি পদক্ষেপ শেষ। আমরা একটি প্রসারিত ট্র্যাপিজয়েডাল ম্যাট্রিক্স পেয়েছি।
আমরা বিপরীত পদক্ষেপ প্রয়োগ করি। আমরা শেষ থেকে সমাধান খুঁজে. আমরা যে দেখতে.
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা খুঁজে পাই
তৃতীয় সমীকরণ থেকে -
আপনি ক্র্যামারের পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি ক্যালকুলেটরে সিস্টেমের সমাধানও পরীক্ষা করতে পারেন: এই ক্ষেত্রে, সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান থাকলে একই উত্তর দেওয়া হবে।
গাউসের পদ্ধতির সরলতা প্রমাণ করে যে এটি আবিষ্কার করতে জার্মান গণিতবিদ কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস মাত্র 15 মিনিট সময় নিয়েছেন। তাঁর নামে নামকরণ করা পদ্ধতির পাশাপাশি, "আমাদের কাছে যা অবিশ্বাস্য এবং অপ্রাকৃতিক বলে মনে হয় তাকে একেবারে অসম্ভব বলে বিভ্রান্ত করা উচিত নয়" এই কথাটি গাউসের কাজ থেকে জানা যায় - এক ধরণের সংক্ষিপ্ত নির্দেশাবলীআবিষ্কার করতে।
অনেক প্রয়োগ সমস্যায় তৃতীয় সীমাবদ্ধতা নাও থাকতে পারে, অর্থাৎ একটি তৃতীয় সমীকরণ, তাহলে আপনাকে গাউসিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করে তিনটি অজানা সহ দুটি সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে, বা বিপরীতভাবে, সমীকরণের চেয়ে কম অজানা আছে। আমরা এখন সমীকরণের এই জাতীয় সিস্টেমগুলি সমাধান করতে শুরু করব।
গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে, আপনি নির্ধারণ করতে পারেন যে কোনও সিস্টেম সামঞ্জস্যপূর্ণ বা বেমানান কিনা nসঙ্গে রৈখিক সমীকরণ nভেরিয়েবল
অসীম সংখ্যক সমাধান সহ রৈখিক সমীকরণের গাউস পদ্ধতি এবং সিস্টেম
পরবর্তী উদাহরণ হল রৈখিক সমীকরণের একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ কিন্তু অনির্দিষ্ট ব্যবস্থা, অর্থাৎ অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।
সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর সম্পাদন করার পরে (সারি পুনর্বিন্যাস করা, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা সারিগুলিকে গুণ করা এবং ভাগ করা, একটি সারিতে আরেকটি যোগ করা), ফর্মের সারিগুলি উপস্থিত হতে পারে
যদি সমস্ত সমীকরণে ফর্ম থাকে
মুক্ত পদগুলি শূন্যের সমান, এর মানে হল যে সিস্টেমটি অনির্দিষ্ট, অর্থাৎ, এটির অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে এবং এই ধরণের সমীকরণগুলি "অতিরিক্ত" এবং আমরা সেগুলিকে সিস্টেম থেকে বাদ দিই।
উদাহরণ 6.
সমাধান। সিস্টেমের একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স তৈরি করা যাক। তারপর, প্রথম সমীকরণটি ব্যবহার করে, আমরা পরবর্তী সমীকরণগুলি থেকে পরিবর্তনশীলটিকে বাদ দিই। এটি করার জন্য, প্রথমটি দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ লাইনে যোগ করুন, দ্বারা গুণ করুন:
এখন তৃতীয় এবং চতুর্থ লাইনে দ্বিতীয় লাইন যোগ করা যাক।
ফলস্বরূপ, আমরা সিস্টেমে পৌঁছান
শেষ দুটি সমীকরণ ফর্মের সমীকরণে পরিণত হয়েছে। এই সমীকরণগুলি অজানা যেকোন মানের জন্য সন্তুষ্ট এবং বাতিল করা যেতে পারে।
দ্বিতীয় সমীকরণটি সন্তুষ্ট করতে, আমরা এবং এর জন্য নির্বিচারে মান নির্বাচন করতে পারি, তারপরের মানটি অনন্যভাবে নির্ধারণ করা হবে: 
. প্রথম সমীকরণ থেকে এর মানটিও অনন্যভাবে পাওয়া যায়: 
.
প্রদত্ত এবং শেষ সিস্টেম উভয়ই সামঞ্জস্যপূর্ণ, কিন্তু অনিশ্চিত, এবং সূত্র
নির্বিচারে জন্য এবং আমাদের একটি প্রদত্ত সিস্টেমের সমস্ত সমাধান দিন।
গাউস পদ্ধতি এবং সমাধান ছাড়াই রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম
পরবর্তী উদাহরণ হল রৈখিক সমীকরণের একটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেম, যেটির কোনো সমাধান নেই। এই ধরনের সমস্যার উত্তর এইভাবে তৈরি করা হয়: সিস্টেমের কোন সমাধান নেই।
যেমনটি ইতিমধ্যে প্রথম উদাহরণের সাথে সম্পর্কিত উল্লেখ করা হয়েছে, রূপান্তর সম্পাদন করার পরে, ফর্মের সারিগুলি সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সে উপস্থিত হতে পারে
ফর্মের একটি সমীকরণের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ
যদি তাদের মধ্যে একটি অশূন্য মুক্ত শব্দ (অর্থাৎ) সহ অন্তত একটি সমীকরণ থাকে, তাহলে এই সমীকরণের সিস্টেমটি অসঙ্গতিপূর্ণ, অর্থাৎ এর কোনো সমাধান নেই এবং এর সমাধান সম্পূর্ণ।
উদাহরণ 7।গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতিটি সমাধান করুন:
সমাধান। আমরা সিস্টেমের একটি বর্ধিত ম্যাট্রিক্স রচনা করি। প্রথম সমীকরণ ব্যবহার করে, আমরা পরবর্তী সমীকরণ থেকে চলকটিকে বাদ দিই। এটি করার জন্য, প্রথম লাইনটি দ্বিতীয় লাইনে গুন করে, তৃতীয় লাইনের সাথে গুন করা প্রথম লাইনটি এবং চতুর্থ লাইনের সাথে গুন করা প্রথম লাইনটি যোগ করুন।
এখন আপনাকে পরবর্তী সমীকরণ থেকে ভেরিয়েবল বাদ দিতে দ্বিতীয় সমীকরণটি ব্যবহার করতে হবে। সহগগুলির পূর্ণসংখ্যা অনুপাত পেতে, আমরা সিস্টেমের বর্ধিত ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সারিগুলিকে অদলবদল করি।
তৃতীয় এবং চতুর্থ সমীকরণটি বাদ দিতে, দ্বিতীয়টি , তৃতীয় লাইনে এবং দ্বিতীয়টি দ্বারা গুণিত , চতুর্থ লাইনে যোগ করুন।
এখন, তৃতীয় সমীকরণটি ব্যবহার করে, আমরা চতুর্থ সমীকরণ থেকে চলকটিকে বাদ দিই। এটি করার জন্য, চতুর্থ লাইনে তৃতীয় লাইন যোগ করুন, গুন করুন।
প্রদত্ত সিস্টেমটি তাই নিম্নলিখিতগুলির সমতুল্য:
ফলস্বরূপ সিস্টেমটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ, যেহেতু এর শেষ সমীকরণটি অজানা কোন মান দ্বারা সন্তুষ্ট হতে পারে না। অতএব, এই সিস্টেমের কোন সমাধান নেই।
পাঠের বিষয়বস্তুদুটি ভেরিয়েবলে রৈখিক সমীকরণ
একটি স্কুলছাত্রের স্কুলে দুপুরের খাবার খেতে 200 রুবেল আছে। একটি কেকের দাম 25 রুবেল এবং এক কাপ কফির দাম 10 রুবেল। আপনি 200 রুবেল জন্য কত কেক এবং কফি কাপ কিনতে পারেন?
কেক সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা যাক এক্স, এবং মাধ্যমে কফি কাপ সংখ্যা y. তারপর কেকের দাম 25 দ্বারা চিহ্নিত করা হবে এক্স, এবং 10 কাপ কফির দাম y .
25এক্স-মূল্য এক্সকেক
10y —মূল্য yকাপ কফি
মোট পরিমাণ 200 রুবেল হওয়া উচিত। তারপর আমরা দুটি ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণ পাব এক্সএবং y
25এক্স+ 10y= 200
এই সমীকরণের কয়টি মূল আছে?
এটা সব শিক্ষার্থীর রুচির উপর নির্ভর করে। তিনি যদি 6 কেক এবং 5 কাপ কফি কেনেন, তাহলে সমীকরণের মূল সংখ্যা 6 এবং 5 হবে।
6 এবং 5 মানের জোড়াকে 25 সমীকরণের মূল বলা হয় এক্স+ 10y= 200। (6; 5) হিসাবে লেখা, প্রথম সংখ্যাটি চলকের মান সহ এক্স, এবং দ্বিতীয়টি - ভেরিয়েবলের মান y .
6 এবং 5 একমাত্র মূল নয় যা 25 সমীকরণকে বিপরীত করে এক্স+ 10y= 200 থেকে পরিচয়। যদি ইচ্ছা হয়, একই 200 রুবেলের জন্য একজন শিক্ষার্থী 4টি কেক এবং 10 কাপ কফি কিনতে পারে:
এই ক্ষেত্রে, সমীকরণের মূল 25 এক্স+ 10y= 200 হল এক জোড়া মান (4; 10)।
তদুপরি, একটি স্কুলছাত্র মোটেও কফি নাও কিনতে পারে, তবে পুরো 200 রুবেলের জন্য কেক কিনতে পারে। তারপর সমীকরণ 25 এর মূল এক্স+ 10y= 200 হবে 8 এবং 0 এর মান
অথবা এর বিপরীতে, কেক কিনবেন না, কিন্তু পুরো 200 রুবেলের জন্য কফি কিনুন। তারপর সমীকরণ 25 এর মূল এক্স+ 10y= 200 এর মান হবে 0 এবং 20
আসুন 25 সমীকরণের সমস্ত সম্ভাব্য মূল তালিকা করার চেষ্টা করি এক্স+ 10y= 200। আমাদের মান যে মান এক্সএবং yপূর্ণসংখ্যার সেটের অন্তর্গত। এবং এই মানগুলিকে শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান হতে দিন:
এক্স∈জেড, ওয়াই∈ জেড;
x ≥ 0, y ≥ 0
এটি শিক্ষার্থীর নিজের জন্য সুবিধাজনক হবে। উদাহরণস্বরূপ, বেশ কয়েকটি সম্পূর্ণ কেক এবং অর্ধেক কেকের চেয়ে পুরো কেক কেনা আরও সুবিধাজনক। উদাহরণস্বরূপ, বেশ কয়েকটি পুরো কাপ এবং আধা কাপের চেয়ে পুরো কাপে কফি নেওয়া আরও সুবিধাজনক।
বিজোড় জন্য যে নোট এক্সকোনো অবস্থাতেই সমতা অর্জন করা অসম্ভব y. তারপর মান এক্সনিচের সংখ্যাগুলো থাকবে 0, 2, 4, 6, 8। এবং জানা এক্সসহজেই নির্ধারণ করা যায় y
এইভাবে, আমরা নিম্নলিখিত জোড়া মান পেয়েছি (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). এই জোড়াগুলি হল 25 সমীকরণের সমাধান বা মূল এক্স+ 10y= 200. তারা এই সমীকরণটিকে একটি পরিচয়ে পরিণত করে।
ফর্মের সমীকরণ ax + by = cডাকা দুটি ভেরিয়েবল সহ রৈখিক সমীকরণ. এই সমীকরণের সমাধান বা মূল হল এক জোড়া মান ( এক্স; y), যা একে পরিচয়ে পরিণত করে।
আরও লক্ষ্য করুন যে যদি দুটি চলক সহ একটি রৈখিক সমীকরণ আকারে লেখা হয় ax + b y = c ,তারপর তারা বলে যে এটা লেখা আছে ক্যানোনিকাল(স্বাভাবিক) ফর্ম।
দুটি ভেরিয়েবলের কিছু রৈখিক সমীকরণ ক্যানোনিকাল আকারে হ্রাস করা যেতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ 2(16এক্স+ 3y − 4) = 2(12 + 8এক্স − y) মনে আনা যেতে পারে ax + by = c. এই সমীকরণের উভয় পাশে বন্ধনী খুলুন এবং পান 32এক্স + 6y − 8 = 24 + 16এক্স − 2y . আমরা সমীকরণের বাম দিকে অজানা সম্বলিত পদগুলি এবং ডানদিকে অজানা মুক্ত পদগুলিকে গোষ্ঠীবদ্ধ করি৷ তারপর আমরা পেতে 32x− 16এক্স+ 6y+ 2y = 24 + 8 . আমরা উভয় পক্ষের অনুরূপ পদ উপস্থাপন করি, আমরা 16 সমীকরণ পাই এক্স+ 8y= 32. এই সমীকরণটি আকারে ছোট করা হয়েছে ax + by = cএবং ক্যানোনিকাল।
সমীকরণ 25 আগে আলোচনা করা হয়েছে এক্স+ 10y= 200 হল একটি রৈখিক সমীকরণ যার দুটি ভেরিয়েবল ক্যানোনিকাল আকারে। এই সমীকরণে পরামিতি ক , খএবং গযথাক্রমে 25, 10 এবং 200 মানের সমান।
আসলে সমীকরণ ax + by = cঅসংখ্য সমাধান আছে। সমীকরণ সমাধান 25এক্স+ 10y= 200, আমরা শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যার সেটে এর শিকড় সন্ধান করেছি। ফলস্বরূপ, আমরা বেশ কয়েকটি জোড়া মান পেয়েছি যা এই সমীকরণটিকে একটি পরিচয়ে পরিণত করেছে। কিন্তু অনেকের উপর মূলদ সংখ্যাসমীকরণ 25 এক্স+ 10y= 200 অসীমভাবে অনেক সমাধান থাকবে।
মানগুলির নতুন জোড়া পেতে, আপনাকে এর জন্য একটি নির্বিচারে মান নিতে হবে এক্স, তারপর প্রকাশ করুন y. উদাহরণস্বরূপ, চলকের জন্য নেওয়া যাক এক্সমান 7. তারপর আমরা একটি চলকের সাথে একটি সমীকরণ পাব 25×7 + 10y= 200 যার মধ্যে কেউ প্রকাশ করতে পারে y
দিন এক্স= 15টি। তারপর সমীকরণ 25এক্স+ 10y= 200 25 × 15 হয় + 10y= 200. এখান থেকে আমরা সেটা খুঁজে পাই y = −17,5
দিন এক্স= −3। তারপর সমীকরণ 25এক্স+ 10y= 200 হয় 25 × (−3) + 10y= 200. এখান থেকে আমরা সেটা খুঁজে পাই y = −27,5
দুটি ভেরিয়েবল সহ দুটি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম
সমীকরণের জন্য ax + by = cআপনি যতবার খুশি ততবার ইচ্ছামত মান নিতে পারেন এক্সএবং এর জন্য মান খুঁজুন y. আলাদাভাবে নেওয়া হলে, এই জাতীয় সমীকরণের অগণিত সমাধান থাকবে।
কিন্তু এটাও ঘটে যে ভেরিয়েবল এক্সএবং yএকটি দ্বারা নয়, দুটি সমীকরণ দ্বারা সংযুক্ত। এই ক্ষেত্রে তারা তথাকথিত গঠন করে দুটি ভেরিয়েবলে রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম. এই ধরনের সমীকরণ পদ্ধতিতে এক জোড়া মান থাকতে পারে (বা অন্য কথায়: "এক সমাধান")।
এটি এমনও হতে পারে যে সিস্টেমের কোনও সমাধান নেই। রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমে বিরল এবং ব্যতিক্রমী ক্ষেত্রে অসংখ্য সমাধান থাকতে পারে।
দুটি রৈখিক সমীকরণ একটি সিস্টেম গঠন করে যখন মান এক্সএবং yএই সমীকরণ প্রতিটি প্রবেশ.
আসুন প্রথম সমীকরণ 25-এ ফিরে যাই এক্স+ 10y= 200। এই সমীকরণের জন্য মানগুলির একটি জোড়া ছিল জোড়া (6; 5)। এটি এমন একটি ক্ষেত্রে যখন 200 রুবেলের জন্য আপনি 6 কেক এবং 5 কাপ কফি কিনতে পারেন।
আসুন সমস্যাটি তৈরি করি যাতে জোড়া (6; 5) সমীকরণ 25 এর একমাত্র সমাধান হয়ে যায় এক্স+ 10y= 200। এটি করার জন্য, আসুন আরেকটি সমীকরণ তৈরি করি যা একই সাথে সংযোগ করবে এক্সকেক এবং yকাপ কফি
আসুন সমস্যার পাঠ্যটি নিম্নরূপ বর্ণনা করি:
“ছাত্রটি 200 রুবেল দিয়ে বেশ কয়েকটি কেক এবং বেশ কয়েকটি কাপ কফি কিনেছিল। একটি কেকের দাম 25 রুবেল এবং এক কাপ কফির দাম 10 রুবেল। কফির কাপের সংখ্যার চেয়ে কেকের সংখ্যা এক একক বেশি বলে জানা থাকলে শিক্ষার্থী কত কেক এবং কফির কাপ কিনেছিল?
আমরা ইতিমধ্যে প্রথম সমীকরণ আছে. এটি 25 সমীকরণ এক্স+ 10y= 200। এখন শর্তের জন্য একটি সমীকরণ তৈরি করা যাক "কেকের সংখ্যা কফির কাপের চেয়ে এক ইউনিট বেশি" .
কেকের সংখ্যা হল এক্স, এবং কফি কাপ সংখ্যা হয় y. আপনি সমীকরণ ব্যবহার করে এই বাক্যাংশ লিখতে পারেন x−y= 1. এই সমীকরণটি বোঝাবে যে কেক এবং কফির মধ্যে পার্থক্য হল 1।
x = y+ 1। এই সমীকরণের অর্থ হল কেকের সংখ্যা কফির কাপের সংখ্যার চেয়ে এক বেশি। অতএব, সমতা পেতে, এক কাপ কফির সংখ্যায় যোগ করা হয়। এটি সহজে বোঝা যাবে যদি আমরা সহজতম সমস্যাগুলি অধ্যয়ন করার সময় বিবেচনা করা স্কেলগুলির মডেলটি ব্যবহার করি:
আমরা দুটি সমীকরণ পেয়েছি: 25 এক্স+ 10y= 200 এবং x = y+ 1. যেহেতু মান এক্সএবং y, যথা 6 এবং 5 এই সমীকরণগুলির প্রতিটিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তারপর তারা একসাথে একটি সিস্টেম তৈরি করে। আসুন এই সিস্টেমটি লিখুন। যদি সমীকরণগুলি একটি সিস্টেম গঠন করে, তবে সেগুলি সিস্টেম চিহ্ন দ্বারা তৈরি করা হয়। সিস্টেম প্রতীক একটি কোঁকড়া বন্ধনী:
সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক এই সিস্টেম. এটি আমাদের দেখতে দেয় যে আমরা 6 এবং 5 মানগুলিতে কীভাবে পৌঁছাব। এই ধরনের সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য অনেকগুলি পদ্ধতি রয়েছে। আসুন তাদের মধ্যে সবচেয়ে জনপ্রিয় তাকান।
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি
এই পদ্ধতির নাম নিজেই কথা বলে। এর সারমর্ম হল একটি সমীকরণকে অন্য একটি সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা, পূর্বে একটি ভেরিয়েবল প্রকাশ করা হয়েছে।
আমাদের সিস্টেমে কিছু প্রকাশ করার প্রয়োজন নেই। দ্বিতীয় সমীকরণে এক্স = y+ 1 পরিবর্তনশীল এক্সইতিমধ্যে প্রকাশ করা হয়েছে। এই চলকটি অভিব্যক্তির সমান y+ 1। তারপর আপনি পরিবর্তনশীল এর পরিবর্তে প্রথম সমীকরণে এই অভিব্যক্তিটি প্রতিস্থাপন করতে পারেন এক্স
অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপনের পর yপরিবর্তে প্রথম সমীকরণে + 1 এক্স, আমরা সমীকরণ পেতে 25(y+ 1) + 10y= 200 . এটি একটি পরিবর্তনশীল সহ একটি রৈখিক সমীকরণ। এই সমীকরণটি সমাধান করা বেশ সহজ:
আমরা ভেরিয়েবলের মান খুঁজে পেয়েছি y. এখন এই মানটিকে একটি সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা যাক এবং মানটি বের করা যাক এক্স. এর জন্য দ্বিতীয় সমীকরণটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক এক্স = y+ 1। এর মধ্যে মান প্রতিস্থাপন করা যাক y
এর মানে হল যে জোড়া (6; 5) হল সমীকরণের সিস্টেমের একটি সমাধান, যেমনটি আমরা চেয়েছিলাম। আমরা পরীক্ষা করে নিশ্চিত করি যে জোড়া (6; 5) সিস্টেমটি সন্তুষ্ট করে:
উদাহরণ 2
প্রথম সমীকরণটি প্রতিস্থাপন করা যাক এক্স= 2 + yদ্বিতীয় সমীকরণ 3 এ x− 2y= 9। প্রথম সমীকরণে পরিবর্তনশীল এক্সঅভিব্যক্তি 2 + এর সমান y. এর পরিবর্তে দ্বিতীয় সমীকরণে এই অভিব্যক্তিটিকে প্রতিস্থাপন করা যাক এক্স
এখন মান খুঁজে বের করা যাক এক্স. এটি করতে, এর মান প্রতিস্থাপন করা যাক yপ্রথম সমীকরণে এক্স= 2 + y
এর মানে হল যে সিস্টেমের সমাধান হল জোড়া মান (5; 3)
উদাহরণ 3. প্রতিস্থাপন দ্বারা সমাধান নিম্নলিখিত সিস্টেমসমীকরণ:
এখানে, পূর্ববর্তী উদাহরণগুলির বিপরীতে, একটি ভেরিয়েবল স্পষ্টভাবে প্রকাশ করা হয় না।
একটি সমীকরণকে অন্য সমীকরণে প্রতিস্থাপন করতে, আপনাকে প্রথমে প্রয়োজন।
যে চলকের একটি সহগ আছে তাকে প্রকাশ করা যুক্তিযুক্ত। ভেরিয়েবলের একটি সহগ আছে এক্স, যা প্রথম সমীকরণে রয়েছে এক্স+ 2y= 11টি। এই চলক প্রকাশ করা যাক.
পরিবর্তনশীল অভিব্যক্তির পরে এক্স, আমাদের সিস্টেম নিম্নলিখিত ফর্ম গ্রহণ করবে:
এখন প্রথম সমীকরণটিকে দ্বিতীয়টিতে প্রতিস্থাপন করা যাক এবং মানটি বের করা যাক y
এর বিকল্প করা যাক y এক্স
এর মানে হল সিস্টেমের সমাধান হল এক জোড়া মান (3; 4)
অবশ্যই, আপনি একটি পরিবর্তনশীল প্রকাশ করতে পারেন y. শিকড় বদলাবে না। তবে প্রকাশ করলে y,ফলাফলটি খুব সাধারণ সমীকরণ নয়, যা সমাধান করতে আরও সময় লাগবে। এটি এই মত দেখাবে:
আমরা এই উদাহরণে যে আমরা প্রকাশ দেখতে এক্সপ্রকাশ করার চেয়ে অনেক বেশি সুবিধাজনক y .
উদাহরণ 4. প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে নিম্নলিখিত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করুন:
প্রথম সমীকরণে প্রকাশ করা যাক এক্স. তারপর সিস্টেম ফর্ম গ্রহণ করবে:
y
এর বিকল্প করা যাক yপ্রথম সমীকরণে প্রবেশ করুন এবং খুঁজুন এক্স. আপনি মূল সমীকরণ 7 ব্যবহার করতে পারেন এক্স+ 9y= 8, অথবা যে সমীকরণে ভেরিয়েবল প্রকাশ করা হয়েছে তা ব্যবহার করুন এক্স. আমরা এই সমীকরণটি ব্যবহার করব কারণ এটি সুবিধাজনক:
এর মানে হল সিস্টেমের সমাধান হল এক জোড়া মান (5; −3)
সংযোজন পদ্ধতি
সংযোজন পদ্ধতিটি মেয়াদ দ্বারা সিস্টেম টার্মে অন্তর্ভুক্ত সমীকরণগুলিকে যুক্ত করে। এই যোগের ফলে একটি পরিবর্তনশীলের সাথে একটি নতুন সমীকরণ তৈরি হয়। এবং এই জাতীয় সমীকরণ সমাধান করা বেশ সহজ।
আসুন নিম্নলিখিত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করি:
দ্বিতীয় সমীকরণের বাম পাশের সাথে প্রথম সমীকরণের বাম দিক যোগ করি। এবং প্রথম সমীকরণের ডান পাশে ডান পাশদ্বিতীয় সমীকরণ। আমরা নিম্নলিখিত সমতা পাই:
আসুন অনুরূপ পদগুলি দেখুন:
ফলস্বরূপ, আমরা সবচেয়ে সহজ সমীকরণ 3 পেয়েছি এক্স= 27 যার মূল 9. মান জানা এক্সআপনি মান খুঁজে পেতে পারেন y. এর মান প্রতিস্থাপন করা যাক এক্সদ্বিতীয় সমীকরণে x−y= 3। আমরা 9 − পাই y= 3। এখান থেকে y= 6 .
এর মানে হল যে সিস্টেমের সমাধান হল এক জোড়া মান (9; 6)
উদাহরণ 2
দ্বিতীয় সমীকরণের বাম পাশের সাথে প্রথম সমীকরণের বাম দিক যোগ করি। এবং প্রথম সমীকরণের ডান পাশে দ্বিতীয় সমীকরণের ডান পাশে। ফলস্বরূপ সমতায় আমরা অনুরূপ পদ উপস্থাপন করি:
ফলস্বরূপ, আমরা সবচেয়ে সহজ সমীকরণ 5 পেয়েছি এক্স= 20, যার মূল 4. মান জানা এক্সআপনি মান খুঁজে পেতে পারেন y. এর মান প্রতিস্থাপন করা যাক এক্সপ্রথম সমীকরণ 2 এ x+y= 11টি। আসুন 8+ পাই y= 11টি। এখান থেকে y= 3 .
এর মানে হল সিস্টেমের সমাধান হল এক জোড়া মান (4;3)
সংযোজন প্রক্রিয়া বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করা হয় না। এটা মানসিকভাবে করতে হবে। যোগ করার সময়, উভয় সমীকরণকে অবশ্যই ক্যানোনিকাল আকারে হ্রাস করতে হবে। যে, উপায় দ্বারা ac + by = c .
বিবেচিত উদাহরণগুলি থেকে, এটি স্পষ্ট যে সমীকরণ যোগ করার মূল উদ্দেশ্য হল একটি ভেরিয়েবল থেকে পরিত্রাণ পাওয়া। কিন্তু সংযোজন পদ্ধতি ব্যবহার করে সমীকরণের একটি সিস্টেমকে অবিলম্বে সমাধান করা সবসময় সম্ভব নয়। প্রায়শই, সিস্টেমটিকে প্রথমে একটি ফর্মে আনা হয় যেখানে এই সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত সমীকরণগুলি যোগ করা যেতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ, সিস্টেম 
সংযোজন দ্বারা অবিলম্বে সমাধান করা যেতে পারে। উভয় সমীকরণ যোগ করার সময়, পদ yএবং −yঅদৃশ্য হয়ে যাবে কারণ তাদের যোগফল শূন্য। ফলস্বরূপ, সবচেয়ে সহজ সমীকরণ 11 গঠিত হয় এক্স= 22, যার মূল 2। তাহলে নির্ণয় করা সম্ভব হবে y 5 এর সমান।
এবং সমীকরণ সিস্টেম 
সংযোজন পদ্ধতিটি অবিলম্বে সমাধান করা যাবে না, যেহেতু এটি একটি ভেরিয়েবলের অন্তর্ধানের দিকে পরিচালিত করবে না। যোগের ফলে সমীকরণ 8 হবে এক্স+ y= 28, যার অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।
যদি সমীকরণের উভয় দিক একই সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয়, শূন্যের সমান না হয়, আপনি প্রদত্ত একটির সমতুল্য একটি সমীকরণ পাবেন। এই নিয়ম দুটি ভেরিয়েবল সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের জন্যও সত্য। একটি সমীকরণ (বা উভয় সমীকরণ) যেকোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ করা যেতে পারে। ফলাফলটি একটি সমতুল্য সিস্টেম হবে, যার শিকড়গুলি পূর্ববর্তীটির সাথে মিলে যাবে।
আসুন প্রথম সিস্টেমে ফিরে আসি, যা বর্ণনা করে যে একজন স্কুলছাত্র কত কেক এবং কাপ কফি কিনেছিল। এই সিস্টেমের সমাধান ছিল এক জোড়া মান (6; 5)।
এই সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত উভয় সমীকরণকে কিছু সংখ্যা দ্বারা গুণ করা যাক। ধরা যাক আমরা প্রথম সমীকরণটিকে 2 দ্বারা এবং দ্বিতীয়টিকে 3 দ্বারা গুণ করি
ফলস্বরূপ, আমরা একটি সিস্টেম পেয়েছি 
এই সিস্টেমের সমাধান এখনও মানগুলির জোড়া (6; 5)
এর মানে হল যে সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত সমীকরণগুলি সংযোজন পদ্ধতি প্রয়োগের জন্য উপযুক্ত একটি ফর্মে হ্রাস করা যেতে পারে।
সিস্টেমে ফিরে আসা যাক , যা আমরা সংযোজন পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করতে পারিনি।
প্রথম সমীকরণটিকে 6 দ্বারা এবং দ্বিতীয়টিকে −2 দ্বারা গুণ করুন
তারপর আমরা নিম্নলিখিত সিস্টেম পেতে:
চলুন এই সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত সমীকরণ যোগ করা যাক. উপাদান যোগ করা 12 এক্সএবং −12 এক্সফলাফল 0, যোগ 18 হবে yএবং 4 y 22 দিবে y, এবং 108 এবং −20 যোগ করলে 88 পাওয়া যায়। তারপর আমরা 22 সমীকরণ পাব y= 88, এখান থেকে y = 4 .
যদি প্রথমে আপনার মাথায় সমীকরণ যোগ করা কঠিন হয়, তাহলে আপনি কীভাবে এটি যোগ করে তা লিখতে পারেন বাম পাশেদ্বিতীয় সমীকরণের বাম পাশের প্রথম সমীকরণের এবং দ্বিতীয় সমীকরণের ডান পাশের প্রথম সমীকরণের ডান পাশে:
চলকের মান জেনেও y 4 এর সমান, আপনি মান খুঁজে পেতে পারেন এক্স. এর বিকল্প করা যাক yএকটি সমীকরণে, উদাহরণস্বরূপ প্রথম সমীকরণ 2-এ এক্স+ 3y= 18টি। তারপর আমরা একটি ভেরিয়েবল 2 এর সাথে একটি সমীকরণ পাব এক্স+ 12 = 18। 12 ডান দিকে সরানো যাক, চিহ্ন পরিবর্তন করে, আমরা 2 পাব এক্স= 6, এখান থেকে এক্স = 3 .
উদাহরণ 4. সংযোজন পদ্ধতি ব্যবহার করে নিম্নলিখিত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করুন:
দ্বিতীয় সমীকরণটিকে −1 দ্বারা গুণ করি। তারপর সিস্টেম নিম্নলিখিত ফর্ম গ্রহণ করবে:
উভয় সমীকরণ যোগ করা যাক. উপাদান যোগ করা হচ্ছে এক্সএবং −xফলাফল 0, যোগ 5 হবে yএবং 3 y 8 দেবে y, এবং 7 এবং 1 যোগ করলে 8 পাওয়া যায়। ফলাফল হল সমীকরণ 8 y= 8 যার মূল 1। জেনে রাখা মান y 1 এর সমান, আপনি মান খুঁজে পেতে পারেন এক্স .
এর বিকল্প করা যাক yপ্রথম সমীকরণের মধ্যে, আমরা পেতে এক্স+ 5 = 7, তাই এক্স= 2
উদাহরণ 5. সংযোজন পদ্ধতি ব্যবহার করে নিম্নলিখিত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করুন:
এটি বাঞ্ছনীয় যে একই ভেরিয়েবল সম্বলিত পদগুলি একটির নীচে একটি অবস্থিত। অতএব, দ্বিতীয় সমীকরণে পদ 5 yএবং −2 এক্সএর স্থান অদলবদল করা যাক. ফলস্বরূপ, সিস্টেমটি ফর্মটি গ্রহণ করবে:
আসুন দ্বিতীয় সমীকরণটিকে 3 দ্বারা গুণ করি। তারপর সিস্টেমটি রূপ নেবে:
এখন উভয় সমীকরণ যোগ করা যাক. যোগের ফলে আমরা সমীকরণ 8 পাই y= 16, যার মূল 2।
এর বিকল্প করা যাক yপ্রথম সমীকরণে, আমরা 6 পাই এক্স− 14 = 40। আসুন −14 শব্দটিকে ডানদিকে নিয়ে যাই, চিহ্ন পরিবর্তন করি এবং 6 পাই এক্স= 54। এখান থেকে এক্স= 9.
উদাহরণ 6. সংযোজন পদ্ধতি ব্যবহার করে নিম্নলিখিত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করুন:
চলুন ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে. প্রথম সমীকরণটি 36 দ্বারা এবং দ্বিতীয়টি 12 দ্বারা গুণ করুন
ফলে সিস্টেমে 
প্রথম সমীকরণটি −5 দ্বারা এবং দ্বিতীয়টি 8 দ্বারা গুণ করা যেতে পারে
চলুন ফলাফল সিস্টেমে সমীকরণ যোগ করা যাক. তাহলে আমরা সহজতম সমীকরণ −13 পাব y= −156। এখান থেকে y= 12টি। এর বিকল্প করা যাক yপ্রথম সমীকরণে প্রবেশ করুন এবং খুঁজুন এক্স
উদাহরণ 7. সংযোজন পদ্ধতি ব্যবহার করে নিম্নলিখিত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করুন:
উভয় সমীকরণকে স্বাভাবিক আকারে নিয়ে আসা যাক। এখানে উভয় সমীকরণে অনুপাতের নিয়ম প্রয়োগ করা সুবিধাজনক। যদি প্রথম সমীকরণে ডান দিকটি , এবং দ্বিতীয় সমীকরণের ডান দিকটি হিসাবে উপস্থাপন করা হয়, তাহলে সিস্টেমটি ফর্মটি গ্রহণ করবে:
আমরা একটি অনুপাত আছে. এর চরম এবং মধ্য পদ গুন করা যাক. তারপর সিস্টেম ফর্ম গ্রহণ করবে:
প্রথম সমীকরণটিকে −3 দ্বারা গুণ করি এবং দ্বিতীয়টিতে বন্ধনী খুলি:
এখন উভয় সমীকরণ যোগ করা যাক. এই সমীকরণগুলি যোগ করার ফলে, আমরা উভয় দিকে শূন্য সহ একটি সমতা পাই:
দেখা যাচ্ছে যে সিস্টেমের অগণিত সমাধান রয়েছে।
কিন্তু আমরা শুধু আকাশ থেকে স্বেচ্ছাচারী মান নিতে পারি না এক্সএবং y. আমরা একটি মান নির্দিষ্ট করতে পারি, এবং অন্যটি নির্ধারণ করা হবে আমাদের নির্দিষ্ট করা মানটির উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, যাক এক্স= 2। সিস্টেমে এই মান প্রতিস্থাপন করা যাক:
একটি সমীকরণ সমাধানের ফলে, এর মান y, যা উভয় সমীকরণকে সন্তুষ্ট করবে:
ফলের জোড়া মান (2; −2) সিস্টেমটিকে সন্তুষ্ট করবে:
এর মান আরেকটি জোড়া খুঁজে. দিন এক্স= 4. সিস্টেমে এই মান প্রতিস্থাপন করা যাক:
আপনি চোখ দিয়ে বলতে পারেন যে মান yশূন্যের সমান। তারপরে আমরা একটি জোড়া মান (4; 0) পাই যা আমাদের সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে:
উদাহরণ 8. সংযোজন পদ্ধতি ব্যবহার করে নিম্নলিখিত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করুন:
প্রথম সমীকরণটি 6 দ্বারা এবং দ্বিতীয়টি 12 দ্বারা গুণ করুন
যা বাকি আছে তা আবার লিখি:
প্রথম সমীকরণটিকে −1 দ্বারা গুণ করি। তারপর সিস্টেম ফর্ম গ্রহণ করবে:
এখন উভয় সমীকরণ যোগ করা যাক. যোগের ফলে, সমীকরণ 6 গঠিত হয় খ= 48, যার মূল 8. বিকল্প খপ্রথম সমীকরণে প্রবেশ করুন এবং খুঁজুন ক
তিনটি ভেরিয়েবল সহ রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম
তিনটি ভেরিয়েবল সহ একটি রৈখিক সমীকরণে সহগ সহ তিনটি ভেরিয়েবল, সেইসাথে একটি ইন্টারসেপ্ট টার্ম অন্তর্ভুক্ত থাকে। ক্যানোনিকাল আকারে এটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
ax + by + cz = d
এই সমীকরণের অগণিত সমাধান রয়েছে। দুটি ভেরিয়েবলকে ভিন্ন ভিন্ন মান দিলে তৃতীয় একটি মান পাওয়া যাবে। এই ক্ষেত্রে সমাধান হল মানগুলির ট্রিপল ( এক্স; y; z) যা সমীকরণটিকে একটি পরিচয়ে পরিণত করে।
ভেরিয়েবল হলে x, y, zতিনটি সমীকরণ দ্বারা পরস্পর সংযুক্ত, তারপর তিনটি চলক সহ তিনটি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম গঠিত হয়। এই ধরনের একটি সিস্টেম সমাধান করার জন্য, আপনি একই পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন যা দুটি ভেরিয়েবল সহ রৈখিক সমীকরণে প্রযোজ্য: প্রতিস্থাপন পদ্ধতি এবং যোগ পদ্ধতি।
উদাহরণ 1. প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে নিম্নলিখিত সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করুন:
তৃতীয় সমীকরণে প্রকাশ করা যাক এক্স. তারপর সিস্টেম ফর্ম গ্রহণ করবে:
এখন প্রতিস্থাপন করা যাক. পরিবর্তনশীল এক্সঅভিব্যক্তির সমান 3 − 2y − 2z . আসুন এই অভিব্যক্তিটিকে প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:
আসুন উভয় সমীকরণে বন্ধনী খুলি এবং অনুরূপ পদ উপস্থাপন করি:
আমরা দুটি ভেরিয়েবল সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমে পৌঁছেছি। এই ক্ষেত্রে, সংযোজন পদ্ধতি ব্যবহার করা সুবিধাজনক। ফলস্বরূপ, পরিবর্তনশীল yঅদৃশ্য হয়ে যাবে এবং আমরা ভেরিয়েবলের মান খুঁজে পেতে পারি z
এখন মান খুঁজে বের করা যাক y. এটি করার জন্য, সমীকরণটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক y+ z= 4. এতে মান প্রতিস্থাপন করুন z
এখন মান খুঁজে বের করা যাক এক্স. এটি করার জন্য, সমীকরণটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক এক্স= 3 − 2y − 2z . এর মধ্যে মান প্রতিস্থাপন করা যাক yএবং z
সুতরাং, ট্রিপল অফ ভ্যালু (3; −2; 2) আমাদের সিস্টেমের একটি সমাধান। চেক করে আমরা নিশ্চিত করি যে এই মানগুলি সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে:
উদাহরণ 2. সংযোজন পদ্ধতি ব্যবহার করে সিস্টেমটি সমাধান করুন
দ্বিতীয়টির সাথে প্রথম সমীকরণ যোগ করা যাক, −2 দ্বারা গুণ করা যাক।
দ্বিতীয় সমীকরণটিকে −2 দ্বারা গুণ করা হলে, এটি রূপ নেয় −6এক্স+ 6y − 4z = −4 . এখন প্রথম সমীকরণে এটি যোগ করা যাক:
আমরা দেখতে পাই যে প্রাথমিক রূপান্তরের ফলস্বরূপ, চলকের মান নির্ধারণ করা হয়েছিল এক্স. এটি একটির সমান।
মূল সিস্টেমে ফিরে আসা যাক। তৃতীয়টির সাথে দ্বিতীয় সমীকরণ যোগ করা যাক, −1 দ্বারা গুণ করা যাক। তৃতীয় সমীকরণটিকে −1 দ্বারা গুণ করা হলে, এটি রূপ নেয় −4এক্স + 5y − 2z = −1 . এখন দ্বিতীয় সমীকরণে এটি যোগ করা যাক:
আমরা সমীকরণ পেয়েছি x− 2y= −1। এর মধ্যে মান প্রতিস্থাপন করা যাক এক্সযা আমরা আগে পেয়েছি। তারপর আমরা মান নির্ধারণ করতে পারেন y
এখন আমরা অর্থ জানি এক্সএবং y. এটি আপনাকে মান নির্ধারণ করতে দেয় z. আসুন সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত সমীকরণগুলির একটি ব্যবহার করি:
সুতরাং, ট্রিপল অফ ভ্যালু (1; 1; 1) আমাদের সিস্টেমের সমাধান। চেক করে আমরা নিশ্চিত করি যে এই মানগুলি সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে:
রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম রচনায় সমস্যা
সমীকরণের সিস্টেম রচনার কাজটি বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবল প্রবেশ করে সমাধান করা হয়। এর পরে, সমীকরণগুলি সমস্যার শর্তগুলির উপর ভিত্তি করে সংকলিত হয়। সংকলিত সমীকরণগুলি থেকে তারা একটি সিস্টেম তৈরি করে এবং এটি সমাধান করে। সিস্টেমটি সমাধান করার পরে, এটির সমাধানটি সমস্যার শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে কিনা তা পরীক্ষা করা দরকার।
সমস্যা 1. একটি ভলগা গাড়ি শহর থেকে সম্মিলিত খামারে চলে গেছে। তিনি অন্য একটি রাস্তা ধরে ফিরে আসেন, যেটি প্রথম থেকে 5 কিমি ছোট ছিল। মোট, গাড়িটি 35 কিলোমিটার রাউন্ড ট্রিপ ভ্রমণ করেছে। প্রতিটি রাস্তার দৈর্ঘ্য কত কিলোমিটার?
সমাধান
দিন এক্স-প্রথম রাস্তার দৈর্ঘ্য, y- দ্বিতীয়টির দৈর্ঘ্য। যদি গাড়িটি 35 কিমি রাউন্ড ট্রিপ ভ্রমণ করে তবে প্রথম সমীকরণটি হিসাবে লেখা যেতে পারে এক্স+ y= 35. এই সমীকরণটি উভয় রাস্তার দৈর্ঘ্যের সমষ্টি বর্ণনা করে।
বলা হয় যে গাড়িটি একটি রাস্তা ধরে ফিরেছিল যা প্রথমটির চেয়ে 5 কিমি ছোট ছিল। তারপর দ্বিতীয় সমীকরণ হিসাবে লেখা যেতে পারে এক্স− y= 5. এই সমীকরণটি দেখায় যে রাস্তার দৈর্ঘ্যের মধ্যে পার্থক্য 5 কিমি।
অথবা দ্বিতীয় সমীকরণ হিসেবে লেখা যেতে পারে এক্স= y+ 5। আমরা এই সমীকরণটি ব্যবহার করব।
কারণ ভেরিয়েবল এক্সএবং yউভয় সমীকরণে একই সংখ্যা নির্দেশ করে, তারপর আমরা তাদের থেকে একটি সিস্টেম তৈরি করতে পারি:
পূর্বে অধ্যয়ন করা কিছু পদ্ধতি ব্যবহার করে এই সিস্টেমটি সমাধান করা যাক। এই ক্ষেত্রে, প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করা সুবিধাজনক, যেহেতু দ্বিতীয় সমীকরণে পরিবর্তনশীল এক্সইতিমধ্যে প্রকাশ করা হয়েছে।
দ্বিতীয় সমীকরণটিকে প্রথমটিতে প্রতিস্থাপন করুন এবং সন্ধান করুন y
এর পাওয়া মান প্রতিস্থাপন করা যাক yদ্বিতীয় সমীকরণে এক্স= y+ 5 এবং আমরা খুঁজে পাব এক্স
ভেরিয়েবলের মাধ্যমে প্রথম রাস্তার দৈর্ঘ্য নির্দেশ করা হয়েছিল এক্স. এখন আমরা এর অর্থ খুঁজে পেয়েছি। পরিবর্তনশীল এক্স 20 এর সমান। এর মানে হল প্রথম রাস্তার দৈর্ঘ্য 20 কিমি।
এবং দ্বিতীয় রাস্তার দৈর্ঘ্য দ্বারা নির্দেশিত হয়েছিল y. এই পরিবর্তনশীলটির মান হল 15। এর মানে হল দ্বিতীয় রাস্তার দৈর্ঘ্য 15 কিমি।
এর চেক করা যাক. প্রথমে, আসুন নিশ্চিত করি যে সিস্টেমটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছে:
এখন দেখা যাক সমাধানটি (20; 15) সমস্যার শর্ত পূরণ করে কিনা।
বলা হয়েছিল যে গাড়িটি মোট 35 কিলোমিটার রাউন্ড ট্রিপ ভ্রমণ করেছিল। আমরা উভয় রাস্তার দৈর্ঘ্য যোগ করি এবং নিশ্চিত করি যে সমাধান (20; 15) সন্তুষ্ট হয় এই অবস্থা: 20 কিমি + 15 কিমি = 35 কিমি
নিম্নলিখিত শর্ত: গাড়িটি অন্য রাস্তা ধরে ফিরে আসে, যেটি প্রথম রাস্তার চেয়ে 5 কিমি ছোট ছিল . আমরা দেখতে পাই যে সমাধান (20; 15) এই শর্তটিও সন্তুষ্ট করে, যেহেতু 15 কিমি 20 কিমি দ্বারা 5 কিমি ছোট: 20 কিমি − 15 কিমি = 5 কিমি
একটি সিস্টেম রচনা করার সময়, এটি গুরুত্বপূর্ণ যে ভেরিয়েবলগুলি এই সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত সমীকরণে একই সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে।
সুতরাং আমাদের সিস্টেমে দুটি সমীকরণ রয়েছে। এই সমীকরণগুলো পরিবর্তনশীল ধারণ করে এক্সএবং y, যা উভয় সমীকরণে একই সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে, যথা 20 কিমি এবং 15 কিমি রাস্তার দৈর্ঘ্য।
সমস্যা 2. ওক এবং পাইন স্লিপার প্ল্যাটফর্মে লোড করা হয়েছিল, মোট 300টি স্লিপার। এটা জানা যায় যে সমস্ত ওক স্লিপারের ওজন সমস্ত পাইন স্লিপারের চেয়ে 1 টন কম। পৃথকভাবে কতগুলি ওক এবং পাইন স্লিপার ছিল তা নির্ধারণ করুন, যদি প্রতিটি ওক স্লিপারের ওজন 46 কেজি হয় এবং প্রতিটি পাইন স্লিপার 28 কেজি হয়।
সমাধান
দিন এক্সওক এবং yপাইন স্লিপারগুলি প্ল্যাটফর্মে লোড করা হয়েছিল। যদি মোট 300টি স্লিপার থাকে, তবে প্রথম সমীকরণটি হিসাবে লেখা যেতে পারে x+y = 300 .
সমস্ত ওক স্লিপারের ওজন ছিল 46 এক্সকেজি, এবং পাইনের ওজন 28 yকেজি. যেহেতু ওক স্লিপারের ওজন পাইন স্লিপারের চেয়ে 1 টন কম, তাই দ্বিতীয় সমীকরণটি এভাবে লেখা যেতে পারে 28y − 46এক্স= 1000 . এই সমীকরণটি দেখায় যে ওক এবং পাইন স্লিপারের মধ্যে ভরের পার্থক্য 1000 কেজি।
ওক এবং পাইন স্লিপারের ভর কিলোগ্রামে পরিমাপ করার পর থেকে টনগুলি কিলোগ্রামে রূপান্তরিত হয়েছিল।
ফলস্বরূপ, আমরা দুটি সমীকরণ পাই যা সিস্টেম গঠন করে
এই সিস্টেমের সমাধান করা যাক. প্রথম সমীকরণে প্রকাশ করা যাক এক্স. তারপর সিস্টেম ফর্ম গ্রহণ করবে:
প্রথম সমীকরণটিকে দ্বিতীয়টিতে প্রতিস্থাপন করুন এবং সন্ধান করুন y
এর বিকল্প করা যাক yসমীকরণ মধ্যে এক্স= 300 − yএবং এটা কি খুঁজে বের করুন এক্স
এর মানে হল 100টি ওক এবং 200টি পাইন স্লিপার প্ল্যাটফর্মে লোড করা হয়েছিল।
আসুন পরীক্ষা করে দেখি যে সমাধানটি (100; 200) সমস্যার শর্ত পূরণ করে কিনা। প্রথমে, আসুন নিশ্চিত করি যে সিস্টেমটি সঠিকভাবে সমাধান করা হয়েছে:
সেখানে মোট ৩০০ স্লিপার ছিল বলে জানা গেছে। আমরা ওক এবং পাইন স্লিপারের সংখ্যা যোগ করি এবং নিশ্চিত করি যে সমাধান (100; 200) এই শর্তটি পূরণ করে: 100 + 200 = 300.
নিম্নলিখিত শর্ত: সমস্ত ওক স্লিপারের ওজন সমস্ত পাইন স্লিপারের চেয়ে 1 টন কম . আমরা দেখতে পাই যে সমাধান (100; 200) এই শর্তটিও সন্তুষ্ট করে, যেহেতু 46 × 100 কেজি ওক স্লিপারগুলি 28 × 200 কেজি পাইন স্লিপারের চেয়ে হালকা: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg।
সমস্যা 3. আমরা ওজন অনুসারে 2: 1, 3: 1 এবং 5: 1 অনুপাতে তামা-নিকেল খাদের তিনটি টুকরা নিয়েছি। 12 কেজি ওজনের একটি টুকরা তাদের কাছ থেকে 4: 1 এর অনুপাতের তামা এবং নিকেল সামগ্রীর সাথে মিশ্রিত করা হয়েছিল। প্রথমটির ভর দ্বিতীয়টির ভরের দ্বিগুণ হলে প্রতিটি আসল অংশের ভর খুঁজুন।
