Obecný člen posloupnosti je $u_n=n^2$. Dosazením $n=1$ dostaneme:

$$ u_1=1^2=1. $$

Toto je první člen sekvence. Dosazením $n=2$ do $u_n=n^2$ dostaneme druhý člen sekvence:

$$ u_2=2^2=4. $$

Pokud dosadíme $n=3$, dostaneme třetí člen posloupnosti:

$$ u_3=3^2=9. $$

Stejným způsobem najdeme čtvrtý, pátý, šestý a další členy posloupnosti. Takto získáme odpovídající čísla:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

Také stojí za to mít na paměti podmínky posloupnosti $u_n=n^3$. Zde jsou někteří z jeho prvních členů:

\begin(rovnice)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(rovnice)

Kromě toho se k vytvoření obecného členu řady často používá posloupnost $u_n=n!$, jejíž prvních několik členů je následujících:

\begin(rovnice)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end(rovnice)

Nahrávání "n!" (čti "en faktoriál") označuje součin všech přirozená čísla od 1 do n, tj.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

Podle definice se předpokládá, že $0!=1!=1$. Najdeme například 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Často se také používají aritmetické a geometrické posloupnosti. Pokud je první člen aritmetické posloupnosti roven $a_1$ a rozdíl je roven $d$, pak se obecný člen aritmetické posloupnosti zapíše pomocí následujícího vzorce:

\begin(rovnice)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(equation)

Co je to aritmetická progrese? zobrazit\skrýt

Aritmetická posloupnost je posloupnost čísel, ve které je rozdíl mezi dalším a předchozím členem konstantní. Tento konstantní rozdíl se nazývá rozdíl v postupu

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

Vezměte prosím na vědomí, že bez ohledu na to, jaký pár sousedních prvků vezmeme, rozdíl mezi následujícími a předchozími členy bude vždy konstantní a rovný 7:

\začátek(zarovnáno) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end (zarovnáno)

Toto číslo, tzn. 7 a je zde rozdíl v postupu. Obvykle se označuje písmenem $d$, tzn. $ d = 7 $. Prvním prvkem progrese je $a_1=3$. Obecný člen této posloupnosti zapíšeme pomocí vzorce. Když do něj dosadíme $a_1=3$ a $d=7$, získáme:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

Pro přehlednost použijeme vzorec $a_n=7n-4$ k nalezení prvních několika členů aritmetické posloupnosti:

\begin(zarovnáno) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end (zarovnáno)

Dosazením libovolné hodnoty čísla $n$ do vzorce $a_n=7n-4$ můžete získat libovolný člen aritmetické posloupnosti.

Za zmínku stojí i geometrická progrese. Pokud je první člen posloupnosti roven $b_1$ a jmenovatel se rovná $q$, pak je obecný člen geometrické posloupnosti dán následujícím vzorcem:

\begin(equation)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(equation)

Co se stalo geometrická progrese? zobrazit\skrýt

Geometrická posloupnost je posloupnost čísel, ve které je vztah mezi následujícími a předchozími členy konstantní. Tento stálý vztah se nazývá jmenovatel progrese. Zvažte například následující sekvenci:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

Vezměte prosím na vědomí, že bez ohledu na to, jaký pár sousedních prvků vezmeme, poměr následujícího k předchozímu bude vždy konstantní a rovný 3:

\begin(aligned) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end (zarovnáno)

Toto číslo, tzn. 3 je jmenovatelem progrese. Obvykle se označuje písmenem $q$, tzn. $q=3$. Prvním prvkem progrese je $b_1=6$. Obecný člen této posloupnosti zapíšeme pomocí vzorce. Když do něj nahradíme $b_1=6$ a $q=3$, získáme:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

Pro přehlednost použijeme vzorec $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ k nalezení prvních několika členů geometrické posloupnosti:

\begin(zarovnáno) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end (zarovnáno)

Dosazením libovolné hodnoty čísla $n$ do vzorce $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ můžete získat libovolný člen geometrické posloupnosti.

Ve všech níže uvedených příkladech budeme členy řady označovat písmeny $u_1$ (první člen řady), $u_2$ (druhý člen řady) a tak dále. Zápis $u_n$ bude označovat společný termín řady.

Příklad č. 1

Najděte společný člen řady $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$.

Podstatou takových úkolů je všímat si vzoru, který je vlastní prvním členům série. A na základě tohoto vzoru udělejte závěr o typu společného členu. Co znamená výraz „najít společný termín“? To znamená, že je nutné najít takový výraz, dosazením $n=1$, do kterého dostaneme první člen řady, tzn. $\frac(1)(7)$; Dosazením $n=2$ dostaneme druhý člen řady, tj. $\frac(2)(9)$; Dosazením $n=3$ dostaneme třetí člen řady, tj. $\frac(3)(11)$ a tak dále. Známe první čtyři termíny série:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Pojďme postupně. Všechny nám známé členy řady jsou zlomky, takže je rozumné předpokládat, že společný člen řady je také reprezentován zlomkem:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

Naším úkolem je zjistit, co se skrývá pod otazníky v čitateli a jmenovateli. Nejprve se podíváme na čitatel. Čitatele nám známých členů řady jsou čísla 1, 2, 3 a 4. Všimněte si, že číslo každého člena řady se rovná čitateli. První člen má čitatele jedna, druhý má dvojku, třetí trojku a čtvrtý čtyřku.

Je logické předpokládat, že n-tý člen bude mít v čitateli $n$:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

Mimochodem, k tomuto závěru můžeme dojít i jinak, spíše formálně. Jaká je sekvence 1, 2, 3, 4? Všimněte si, že každý následující člen této sekvence je o 1 větší než předchozí. Máme co do činění se čtyřmi členy aritmetické posloupnosti, z nichž první člen je $a_1=1$ a rozdíl je $d=1$. Pomocí vzorce získáme výraz pro obecný člen průběhu:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Takže hádání nebo formální kalkulace je věcí vkusu. Hlavní je, že jsme si zapsali čitatel společného termínu série. Přejděme ke jmenovateli.

Ve jmenovatelích máme posloupnost 7, 9, 11, 13. Jedná se o čtyři členy aritmetické posloupnosti, z nichž první člen je roven $b_1=7$ a rozdíl je $d=2$. Obecný termín progrese najdeme pomocí vzorce:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

Výsledný výraz, tzn. $2n+5$, a bude jmenovatelem společného termínu série. Tak:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Získá se obecný termín řady. Zkontrolujeme, zda vzorec, který jsme našli $u_n=\frac(n)(2n+5)$, je vhodný pro výpočet již známých členů řady. Pojďme najít výrazy $u_1$, $u_2$, $u_3$ a $u_4$ pomocí vzorce $u_n=\frac(n)(2n+5)$. Výsledky se přirozeně musí shodovat s prvními čtyřmi termíny řady, které nám byly dány podmínkou.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

Přesně tak, výsledky jsou stejné. Sérii zadanou v podmínce lze nyní zapsat v následujícím tvaru: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Obecný člen řady má tvar $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

Nemá taková série právo na existenci? Stále má. A pro tuto sérii to můžeme napsat

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

Můžete napsat další pokračování. Například toto:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

A takové pokračování ničemu neodporuje. V tomto případě to můžeme napsat

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

Pokud se vám první dvě možnosti zdály příliš formální, navrhnu třetí. Běžný termín zapišme takto:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

Vypočítejme první čtyři členy řady pomocí navrženého obecného vzorce:

\begin(zarovnáno) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \end (zarovnáno)

Jak vidíte, navrhovaný vzorec pro obecný termín je zcela správný. A takových variací můžete vymyslet nekonečné množství, jejich počet je neomezený. V standardní příklady, samozřejmě se používá standardní sada určitých známých sekvencí (progrese, stupně, faktoriály atd.). V takových úkolech je však vždy nejistota a je vhodné na to pamatovat.

Ve všech následujících příkladech nebude tato nejednoznačnost specifikována. Budeme řešit pomocí standardních metod, které jsou akceptovány ve většině problémových knih.

Odpovědět: společný termín řady: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Příklad č. 2

Zapište společný termín řady $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

Známe prvních pět termínů série:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

Všechny nám známé členy řady jsou zlomky, což znamená, že budeme hledat společný člen řady ve formě zlomku:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

Okamžitě věnujme pozornost čitateli. Všechny čitatele obsahují jednotky, proto i čitatel společného členu řady bude obsahovat jedničku, tzn.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

Nyní se podívejme na jmenovatele. Jmenovatelé prvních členů nám známé řady obsahují součiny čísel: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. První z těchto čísel jsou: 1, 3, 5, 7, 9. Tato posloupnost má první člen $a_1=1$ a každé další se získá z předchozího přidáním čísla $d=2$. Jinými slovy, toto je prvních pět členů aritmetické posloupnosti, jejichž obecný člen lze zapsat pomocí vzorce:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

V produktech $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ jsou druhá čísla: 5, 8, 11, 14, 17. prvky aritmetické posloupnosti, jejíž první člen je $b_1=5$ a jmenovatel je $d=3$. Obecný termín této posloupnosti zapíšeme pomocí stejného vzorce:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Výsledky dáme dohromady. Součin ve jmenovateli společného termínu řady je: $(2n-1)(3n+2)$. A obecný termín samotné série má následující podobu:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

Ke kontrole získaného výsledku použijeme vzorec $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ k nalezení prvních čtyř členů řady, které známe:

\begin(zarovnáno) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \end (zarovnáno)

Takže vzorec $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ umožňuje přesně vypočítat členy řady, známé z podmínky. Na přání lze danou řadu zapsat takto:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

Odpovědět: společný termín řady: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

V tomto tématu budeme pokračovat ve druhém a třetím díle.

Mnoho lidí slyšelo o aritmetické progresi, ale ne každý má dobrou představu o tom, co to je. V tomto článku uvedeme odpovídající definici a také zvážíme otázku, jak najít rozdíl aritmetické progrese, a uvedeme řadu příkladů.

Matematická definice

Pokud tedy mluvíme o aritmetické nebo algebraické posloupnosti (tyto pojmy definují totéž), pak to znamená, že existuje určitá číselná řada, která splňuje následující zákon: každé dvě sousední čísla v řadě se liší o stejnou hodnotu. Matematicky se to píše takto:

Zde n znamená číslo prvku a n v posloupnosti a číslo d je rozdíl průběhu (jeho název vyplývá z uvedeného vzorce).

Co znamená znát rozdíl d? O tom, jak „daleko“ jsou sousední čísla od sebe. Znalost d je však nutná, ale nikoli dostatečný stav určit (obnovit) celý průběh. Je nutné znát ještě jedno číslo, což může být absolutně jakýkoli prvek zvažované řady, například a 4, a10, ale zpravidla používají první číslo, tedy 1.

Vzorce pro stanovení prvků progrese

Obecně platí, že výše uvedené informace již stačí k přechodu k řešení konkrétních problémů. Nicméně, než bude uvedena aritmetická progrese a bude nutné najít její rozdíl, uvádíme pár užitečné vzorce, čímž se usnadní následný proces řešení problémů.

Je snadné ukázat, že jakýkoli prvek posloupnosti s číslem n lze nalézt takto:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Opravdu si každý může tento vzorec ověřit jednoduchým hledáním: pokud dosadíte n = 1, dostanete první prvek, pokud dosadíte n = 2, pak výraz udává součet prvního čísla a rozdílu atd.

Podmínky mnoha úloh jsou složeny tak, že při dané známé dvojici čísel, jejichž čísla jsou uvedena i v posloupnosti, je nutné rekonstruovat celou číselnou řadu (najít rozdíl a první prvek). Nyní tento problém vyřešíme v obecné podobě.

Nechť jsou tedy dány dva prvky s čísly n a m. Pomocí výše získaného vzorce můžete vytvořit systém dvou rovnic:

an = ai + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

K nalezení neznámých veličin používáme známé jednoduchý trikřešení takového systému: odečtěte levou a pravou stranu ve dvojicích, rovnost zůstane v platnosti. My máme:

an = ai + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Vyloučili jsme tedy jednu neznámou (a 1). Nyní můžeme napsat konečný výraz pro určení d:

d = (a n - a m) / (n - m), kde n > m

Dostali jsme velmi jednoduchý vzorec: pro výpočet rozdílu d v souladu s podmínkami úlohy stačí vzít poměr rozdílů mezi prvky samotnými a jejich sériová čísla. Je třeba věnovat pozornost jednomu důležitý bod pozor: rozdíly se berou mezi členy „senior“ a „junior“, tedy n > m („senior“ znamená stojící dále od začátku sekvence, její absolutní hodnota může být větší nebo menší než prvek „junior“).

Výraz pro průběh rozdílu d by měl být dosazen do kterékoli z rovnic na začátku řešení úlohy, abychom získali hodnotu prvního členu.

V naší době rozvoje počítačových technologií se mnoho školáků snaží najít řešení pro své úkoly na internetu, takže často vyvstávají otázky tohoto typu: najděte rozdíl aritmetického postupu online. Na takový požadavek vyhledávač vrátí řadu webových stránek, na které budete muset zadat údaje známé z podmínky (může to být buď dva termíny progrese nebo součet určitého počtu z nich ) a okamžitě obdržíte odpověď. Tento přístup k řešení problému je však neproduktivní z hlediska rozvoje studenta a pochopení podstaty úkolu, který mu byl přidělen.

Řešení bez použití vzorců

Vyřešme první problém bez použití některého z uvedených vzorců. Nechť jsou dány prvky řady: a6 = 3, a9 = 18. Najděte rozdíl aritmetické posloupnosti.

Známé prvky stojí blízko sebe v řadě. Kolikrát se musí přičíst rozdíl d k nejmenšímu, abychom dostali největší? Třikrát (poprvé přidáním d dostaneme 7. prvek, podruhé - osmý, nakonec potřetí - devátý). Jaké číslo je třeba třikrát přičíst ke třem, abyste dostali 18? Toto je číslo pět. Opravdu:

Neznámý rozdíl d = 5.

Řešení samozřejmě mohlo být provedeno pomocí příslušného vzorce, ale nebylo tak učiněno záměrně. Podrobné vysvětlenířešení problému by mělo být jasné a zářným příkladem Co je to aritmetická progrese?

Úkol podobný předchozímu

Nyní vyřešme podobný problém, ale změňme vstupní data. Měli byste tedy zjistit, zda a3 = 2, a9 = 19.

Samozřejmě se můžete opět uchýlit k metodě řešení „head-on“. Ale protože jsou dány prvky řady, které jsou od sebe poměrně vzdálené, nebude tento způsob úplně pohodlný. Ale použití výsledného vzorce nás rychle dovede k odpovědi:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Zde jsme zaokrouhlili konečné číslo. Do jaké míry toto zaokrouhlení vedlo k chybě, lze posoudit kontrolou výsledku:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Tento výsledek se liší pouze o 0,1 % od hodnoty uvedené v podmínce. Za úspěšnou volbu lze tedy považovat zaokrouhlení použité na nejbližší setiny.

Problémy s aplikací vzorce pro termín

Uvažujme klasický příklad úlohy k určení neznámé d: najděte rozdíl aritmetické posloupnosti, jestliže a1 = 12, a5 = 40.

Když jsou dána dvě čísla neznámé algebraické posloupnosti a jedno z nich je prvek a 1, pak nemusíte dlouho přemýšlet, ale měli byste okamžitě použít vzorec pro člen a n. V v tomto případě my máme:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Při dělení jsme dostali přesné číslo, takže nemá smysl kontrolovat správnost vypočteného výsledku, jak bylo provedeno v předchozím odstavci.

Vyřešíme další podobný problém: potřebujeme najít rozdíl aritmetické posloupnosti, jestliže a1 = 16, a8 = 37.

Použijeme přístup podobný předchozímu a dostaneme:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Co dalšího byste měli vědět o aritmetickém postupu?

Kromě problémů s hledáním neznámého rozdílu nebo jednotlivých prvků je často nutné řešit problémy součtu prvních členů posloupnosti. Zvažování těchto úkolů je nad rámec článku, pro úplnost informací však uvádíme obecný vzorec pro součet n čísel v řadě:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Instrukce

Aritmetická posloupnost je posloupnost tvaru a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Číslo d krok postup.Je zřejmé, že generál libovolného n-tého členu aritmetiky postup má tvar: An = A1+(n-1)d. Pak znám jednoho z členů postup, člen postup a krok postup, můžete, tedy číslo pokrokového člena. Je zřejmé, že bude určen vzorcem n = (An-A1+d)/d.

Nechť je nyní znám m-tý termín postup a další člen postup- n-tý, ale n , jako v předchozím případě, ale je známo, že n a m se neshodují. postup lze vypočítat pomocí vzorce: d = (An-Am)/(n-m). Potom n = (An-Am+md)/d.

Je-li znám součet několika prvků aritmetické rovnice postup, jakož i jeho první a poslední, pak lze určit i počet těchto prvků. postup se bude rovnat: S = ((A1+An)/2)n. Pak n = 2S/(A1+An) - chdenov postup. S využitím skutečnosti, že An = A1+(n-1)d, lze tento vzorec přepsat jako: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Z toho můžeme vyjádřit n řešením kvadratická rovnice.

Aritmetická posloupnost je uspořádaná množina čísel, jejíž každý člen, kromě prvního, se liší od předchozího o stejnou hodnotu. Tato konstantní hodnota se nazývá rozdíl progrese nebo její krok a lze ji vypočítat ze známých členů aritmetické progrese.

Instrukce

Pokud jsou hodnoty prvního a druhého nebo jakékoli jiné dvojice sousedních členů známé z podmínek problému, pro výpočet rozdílu (d) jednoduše odečtěte předchozí od následujícího členu. Výsledná hodnota může být buď kladná nebo záporné číslo- záleží na tom, zda se progrese zvyšuje. V obecná forma napište řešení pro libovolně vybranou dvojici (aᵢ a aᵢ₊₁) sousedních členů postupu takto: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pro dvojici členů takového průběhu, z nichž jeden je první (a₁) a druhý libovolný jiný libovolně zvolený, lze také vytvořit vzorec pro nalezení rozdílu (d). V tomto případě však musí být známé pořadové číslo (i) libovolného vybraného člena sekvence. Pro výpočet rozdílu sečtěte obě čísla a výsledný výsledek vydělte pořadovým číslem libovolného členu zmenšeným o jednu. Obecně zapište tento vzorec takto: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Pokud je znám kromě libovolného členu aritmetické posloupnosti s řadovým číslem i další člen s řadovým číslem u, změňte odpovídajícím způsobem vzorec z předchozího kroku. V tomto případě bude rozdíl (d) průběhu součtem těchto dvou členů děleným rozdílem jejich pořadových čísel: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Vzorec pro výpočet rozdílu (d) se poněkud zkomplikuje, jestliže problémové podmínky udávají hodnotu jeho prvního členu (a₁) a součet (Sᵢ) daného čísla (i) prvních členů aritmetické posloupnosti. Chcete-li získat požadovanou hodnotu, vydělte součet počtem členů, které jej tvoří, odečtěte hodnotu prvního čísla v posloupnosti a zdvojnásobte výsledek. Výslednou hodnotu vydělte počtem členů, které tvoří součet snížený o jeden. Obecně napište vzorec pro výpočet diskriminantu takto: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Cíle:

1. Zavést pojem aritmetické progrese.
2. Zvažte hlavní typy problémů pomocí vzorce pro n-tý člen aritmetické posloupnosti.
3. Využívejte prvky rozvojového učení v hodině.
4. Rozvíjet analytické myšlení studentů.

Během vyučování

Učitel. V předchozí lekci jsme si představili koncept nekonečné číselné posloupnosti jako funkce definované na množině přirozených čísel a zjistili jsme, že posloupnosti mohou být nekonečné a konečné, rostoucí a klesající, a také jsme se dozvěděli o způsobech, jak je definovat. Vyjmenujte je.

Studenti.

1. Analytické (pomocí vzorce).
2. Verbální (nastavení sekvence s popisem).
3. Rekurentní (když kterýkoli člen posloupnosti, počínaje nějakým, je vyjádřen prostřednictvím předchozích členů).

Cvičení 1. Uveďte, pokud je to možné, 7. člen každé sekvence.

(a n): 6; 10; 14; 18; 22; 26;…
(bn): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(cn): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(xn): -3,8; -2,6; -1,4; -0,2; 1; 2,2…
(y n): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

Učitel. Proč nelze odpovědět na otázku pro posloupnosti b n a y n?

Studenti. V těchto posloupnostech neexistuje žádný specifický vzor, ​​ačkoli (b n) se skládá ze čtverců přirozených čísel, ale jsou brány v libovolném pořadí a (y n) představuje libovolná řadačísla, takže sedmé místo může být libovolné číslo.

Učitel. Pro sekvence (a n); (cn); (x n) všichni jste dokázali správně najít 7. termín.

Úkol 2. Vymyslete si vlastní příklad takové sekvence. Uveďte jeho první 4 členy. Vyměňte si notebooky se svým sousedem a určete 5. termín této sekvence.

Učitel. Jakou společnou vlastnost mají takové posloupnosti?

Student. Každý následující výraz se od předchozího liší stejným číslem.

Učitel. Sekvence tohoto typu se nazývají aritmetické posloupnosti. Budou předmětem naší dnešní studie. Formulujte téma lekce.

(První část tématu student snadno formuluje. Druhou část si může učitel formulovat sám)

Učitel. Na základě tohoto tématu formulujte cíle lekce.

(Je důležité, aby studenti formulovali své učební cíle co nejúplněji a nejpřesněji, pak je přijali a snažili se jich dosáhnout)

Studenti.

1. Definujte aritmetický postup.
2. Odvoďte vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti.
3. Naučte se řešit problémy k tématu (uvažujte Různé typyúkoly).

Poté je užitečné promítnout studentům cíle učitele na obrazovku, aby bylo zajištěno, že mají společné cíle.

Učitel. Trocha historie. Termín „progrese“ pochází z latinského progrese, což znamená „pohyb vpřed“, a byl zaveden římským autorem Boethiusem v 6. století našeho letopočtu. a obdrželi další vývoj v dílech Fibonacciho, Chuqueta, Gausse a dalších vědců.

Definice. Aritmetická posloupnost je posloupnost, ve které se každý člen, počínaje druhým, rovná předchozímu členu přidanému ke stejnému číslu. Toto číslo se nazývá rozdíl aritmetické progrese a označuje se d.

(an): ai; a 2; a 3; ...a n ...aritmetický postup.
d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n+1 - a n

Úkol 3. Nechť a 1 = 7; d = 0.

Pojmenujte další 3 členy sekvence.

Studenti. 7; 7; 7

Učitel. Takové posloupnosti se nazývají konstantní nebo stacionární.

Nechť a 1 = -12; d = 3. Vyjmenujte 3 členy této posloupnosti.

Student. -9; -6; -3

Učitel. Budu mít pravdu, když vyjmenuji čísla: -15; -18; -21?

Většina studentů si zpravidla myslí, že je to správné. Pak byste je měli požádat, aby určili číslo každého člena. Vzhledem k tomu, že číslo člena posloupnosti musí být vyjádřeno jako přirozené číslo, pojmenovaná čísla se v této posloupnosti vyskytovat nemohou.

Úkol 4. V aritmetickém postupu a 1 ; a 2; 6; 4; a 5 najdi a 1 ; a 2; 5.

Úkol se plní ve dvojicích, na přání ho dokončí jeden žák opačná strana desky.

Řešení:

d = 4 – 6 = -2
a 5 = a 4 + d = 4 – 2 = 2
a 2 = a 3 – d = 6 – (-2) = 8
a 1 = a 2 – d = 8 – (-2) = 10

Zadejte pro tuto sekvenci a 8 a 126

Studenti. a 8 = -4 a 126 lze zadat, ale počítání trvá příliš dlouho.

Učitel. To znamená, že musíme najít způsob, který nám umožní rychle najít jakýkoli člen sekvence. Pokuste se odvodit vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti.

Můžete zavolat k tabuli silného studenta a pomocí jasně položených otázek a pomoci třídy odvodit vzorec.

Odvození vzorce:

a 2 = a 1 + d
a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d
a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d
atd.

A n = a 1 + (n – 1) d- vzorecn-tý člen aritmetické progrese.

Učitel. Co tedy potřebujete vědět, abyste určili kteréhokoli člena aritmetické posloupnosti?

Studenti. a 1 a d

Učitel. Pomocí tohoto vzorce najděte 126.

Studenti. a 126 = a 1 + 125d = 10 = 125 ∙ (- 2) = 10 – 250 = - 240

Úkol 5. Nechť (b n): aritmetická posloupnost, ve které b 1 je první člen a d je rozdíl. Najít chyby:

b 4 = b 1 + 3d		b 2k = b 1 + (2k – 1)∙d
b 9 = b 1 + 10d		b k-4 = b 1 + (k – 3)∙d
b-3 = b1-4d		b k+7 = b 1 + (k – 6)∙d

Úkol 6. Uvažujme vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti. Pojďme zjistit, jaké typy problémů lze vyřešit pomocí tohoto vzorce. Formulujte přímý problém.

Studenti. Vzhledem k hodnotám a 1 a d najděte a n.

Učitel. Jaké inverzní problémy lze nastavit?

Studenti.

1. Dáno 1 a n. Najít d.
2. Dané d a n. Najděte 1.
3. Dáno 1, da n. Najít n.

Úkol 7. Najděte rozdíl aritmetické posloupnosti, ve které y 1 = 10; y5 = 22

Řešení na desce:

y5 = yi + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
d=3

Úkol 8. Obsahuje aritmetický postup 2; 9; ...číslo 156?

Analýza: uvažováním dojdeme k závěru, že protože každé číslo v posloupnosti má své číslo, vyjádřené jako přirozené číslo, pak je potřeba najít číslo člena posloupnosti a zjistit, zda patří do množiny přirozených čísel. Pokud patří, pak posloupnost dané číslo obsahuje, jinak ne.

Řešení na desce:

a n = a 1 + (n – 1) d
156 = 2 + 7 (n – 1)
7 (n – 1) = 154
n – 1 = 22
n = 23

Odpověď: a 23 = 156

Úkol 9. Najděte první tři členy aritmetického postupu, ve kterém

ai + a5 = 24;
a 2 ∙a 3 = 60

Úkol rozebereme, vytvoříme soustavu rovnic, které navrhujeme řešit doma.

ai + ai + 4d = 24;
(a 1 + d)∙ (a 1 + 4d) = 60.

Shrnutí celkový lekce.

Co nového jste se dnes ve třídě naučili? Co ses naučil?

Domácí práce. Přečtěte si materiál v odstavci 25 učebnice. Naučte se definici aritmetické posloupnosti a vzorec pro n-tý člen. Umět vyjádřit ze vzorce všechny veličiny v něm obsažené. Vyřešte systém pro úlohu 9. Postupujte podle učebnice č. 575 (a, b); 576; 578(a); 579(a).

Zadání dodatečného hodnocení: nechť a 1 ; a 2; a 3; ...a n ...aritmetický postup. Dokažte, že a n+1 = (a n + a n+2): 2

První úroveň

Aritmetický postup. Podrobná teorie s příklady (2019)

Posloupnost čísel

Tak si sedneme a začneme psát nějaká čísla. Například:
Můžete napsat libovolná čísla a může jich být tolik, kolik chcete (v našem případě jich je). Bez ohledu na to, kolik čísel napíšeme, vždy můžeme říci, které je první, které druhé a tak dále až do posledního, to znamená, že je můžeme očíslovat. Toto je příklad číselné řady:

Posloupnost čísel
Například pro naši sekvenci:

Přiřazené číslo je specifické pouze pro jedno číslo v sekvenci. Jinými slovy, v pořadí nejsou žádná tři sekundová čísla. Druhé číslo (stejně jako th číslo) je vždy stejné.
Číslo s číslem se nazývá tý člen posloupnosti.

Obvykle nazýváme celou posloupnost nějakým písmenem (například) a každý člen této posloupnosti je stejné písmeno s indexem rovným číslu tohoto členu: .

V našem případě:

Řekněme, že máme číselnou řadu, ve které je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a stejný.
Například:

atd.
Tato posloupnost čísel se nazývá aritmetická posloupnost.
Termín „progrese“ zavedl římský autor Boethius již v 6. století a byl chápán v širším smyslu jako nekonečná číselná posloupnost. Název „aritmetika“ byl přenesen z teorie spojitých proporcí, kterou studovali staří Řekové.

Jedná se o číselnou řadu, jejíž každý člen je roven předchozímu přičtenému ke stejnému číslu. Toto číslo se nazývá rozdíl aritmetické posloupnosti a označuje se.

Pokuste se určit, které číselné řady jsou aritmetickým postupem a které ne:

A)
b)
C)
d)

Mám to? Porovnejme naše odpovědi:
Je aritmetický postup - b, c.
Není aritmetický postup - a, d.

Vraťme se k dané progresi () a zkusme najít hodnotu jejího tého členu. Existuje dva způsob, jak to najít.

1. Metoda

Číslo progrese můžeme přičítat k předchozí hodnotě, dokud nedosáhneme tého členu progrese. Je dobře, že nemáme moc co shrnout – pouze tři hodnoty:

Tedy, tý člen popsané aritmetické posloupnosti je roven.

2. Metoda

Co kdybychom potřebovali najít hodnotu tého členu progrese? Sčítání by nám zabralo více než jednu hodinu a není pravda, že bychom při sčítání čísel nedělali chyby.
Matematici samozřejmě přišli na způsob, kdy není nutné k předchozí hodnotě přičítat rozdíl aritmetické progrese. Podívejte se blíže na nakreslený obrázek... Jistě jste si již všimli určitého vzoru, a to:

Podívejme se například, z čeho se skládá hodnota druhého členu této aritmetické posloupnosti:


Jinými slovy:

Zkuste si sami takto zjistit hodnotu člena dané aritmetické posloupnosti.

Počítal jsi? Porovnejte své poznámky s odpovědí:

Vezměte prosím na vědomí, že jste dostali přesně stejné číslo jako v předchozí metodě, když jsme k předchozí hodnotě postupně přidali členy aritmetické posloupnosti.
Zkusme se "odosobnit" tento vzorec- přiveďme ji k obecná forma a dostaneme:

Aritmetická postupová rovnice.

Aritmetické posloupnosti se mohou zvyšovat nebo snižovat.

Vzrůstající- posloupnosti, ve kterých je každá následující hodnota členů větší než předchozí.
Například:

Klesající- posloupnosti, ve kterých je každá následující hodnota členů menší než předchozí.
Například:

Odvozený vzorec se používá při výpočtu členů v rostoucím i klesajícím členu aritmetické posloupnosti.
Pojďme si to ověřit v praxi.
Je nám dána aritmetická posloupnost skládající se z následujících čísel: Podívejme se, jaké bude th číslo této aritmetické posloupnosti, pokud k jejímu výpočtu použijeme náš vzorec:

Od té doby:

Jsme tedy přesvědčeni, že vzorec funguje v klesající i rostoucí aritmetické progresi.
Pokuste se sami najít tý a druhý člen této aritmetické posloupnosti.

Porovnejme výsledky:

Vlastnost aritmetického postupu

Pojďme si problém zkomplikovat – odvodíme vlastnost aritmetické progrese.
Řekněme, že máme následující podmínku:
- aritmetický postup, najít hodnotu.
Snadno, řeknete a začnete počítat podle vzorce, který už znáte:

Nechte, ah, pak:

Naprosto správně. Ukazuje se, že nejprve najdeme, pak jej přidáme k prvnímu číslu a získáme to, co hledáme. Pokud je progrese reprezentována malými hodnotami, tak na tom není nic složitého, ale co když nám jsou v podmínce dána čísla? Souhlasím, existuje možnost udělat chybu ve výpočtech.
Nyní se zamyslete nad tím, zda je možné tento problém vyřešit v jednom kroku pomocí libovolného vzorce? Samozřejmě ano, a to se nyní pokusíme ukázat.

Označme požadovaný člen aritmetické posloupnosti jako, vzorec pro jeho nalezení je nám znám - jedná se o stejný vzorec, který jsme odvodili na začátku:
, Pak:

• předchozí termín postupu je:
• další termín postupu je:

Shrňme si předchozí a následující podmínky postupu:

Ukazuje se, že součet předchozích a následujících členů progrese je dvojnásobkem hodnoty členu progrese umístěného mezi nimi. Jinými slovy, abyste našli hodnotu progresivního členu se známými předchozími a následnými hodnotami, musíte je sečíst a vydělit.

Přesně tak, máme stejné číslo. Zajistíme materiál. Spočítejte si hodnotu progrese sami, není to vůbec těžké.

Výborně! O progresi víte téměř vše! Zbývá zjistit pouze jeden vzorec, který podle legendy snadno odvodil jeden z největších matematiků všech dob, „král matematiků“ - Karl Gauss...

Když bylo Carlu Gaussovi 9 let, učitel, zaneprázdněný kontrolou práce studentů v jiných třídách, zadal ve třídě následující úkol: „Vypočítejte součet všech přirozených čísel od do (podle jiných zdrojů do) včetně.“ Představte si učitelovo překvapení, když jeden z jeho studentů (to byl Karl Gauss) o minutu později odpověděl na úkol správně, zatímco většina spolužáků odvážlivce po dlouhých výpočtech dostala špatný výsledek...

Mladý Carl Gauss si všiml určitého vzoru, kterého si můžete snadno všimnout i vy.
Řekněme, že máme aritmetickou posloupnost sestávající z -tých členů: Potřebujeme najít součet těchto členů aritmetické posloupnosti. Samozřejmě můžeme ručně sečíst všechny hodnoty, ale co když úloha vyžaduje najít součet jejích členů, jak to hledal Gauss?

Znázorněme pokrok, který nám byl dán. Pozorně si prohlédněte zvýrazněná čísla a zkuste s nimi provádět různé matematické operace.


Zkusil jsi to? čeho sis všiml? Že jo! Jejich součty jsou stejné

A teď mi řekni, kolik takových párů je celkem v postupu, který nám byl přidělen? Samozřejmě přesně polovina všech čísel, tzn.
Na základě skutečnosti, že součet dvou členů aritmetické posloupnosti je stejný a podobné dvojice jsou stejné, dostaneme, že Celková částka je rovný:
.
Vzorec pro součet prvních členů jakékoli aritmetické posloupnosti tedy bude:

V některých problémech neznáme tý člen, ale známe rozdíl v progresi. Pokuste se dosadit vzorec tého členu do součtového vzorce.
Co jsi dostal?

Výborně! Nyní se vraťme k problému, který byl položen Carlu Gaussovi: spočítejte si sami, čemu se rovná součet čísel začínajících od th a součtu čísel začínajících od th.

kolik jsi dostal?
Gauss zjistil, že součet členů se rovná a součet členů se rovná. Rozhodli jste se tak?

Ve skutečnosti vzorec pro součet členů aritmetické posloupnosti dokázal již ve 3. století starověký řecký vědec Diophantus a během této doby důvtipní lidé plně využívali vlastností aritmetické posloupnosti.
Představte si například Starověký Egypt a největší stavební projekt té doby - stavba pyramidy... Na obrázku je jedna její strana.

Kde je tady pokrok, říkáte? Podívejte se pozorně a najděte vzor v počtu pískových bloků v každé řadě stěny pyramidy.


Proč ne aritmetický postup? Vypočítejte, kolik bloků je potřeba k postavení jedné stěny, pokud jsou blokové cihly umístěny na základně. Doufám, že při pohybu prstem po monitoru nebudete počítat, pamatujete si poslední vzorec a vše, co jsme řekli o aritmetickém postupu?

V tomto případě vypadá průběh takto: .
Rozdíl aritmetického postupu.
Počet členů aritmetické posloupnosti.
Dosadíme naše data do posledních vzorců (spočítejte počet bloků 2 způsoby).

Metoda 1.

Metoda 2.

A nyní můžete vypočítat na monitoru: porovnejte získané hodnoty s počtem bloků, které jsou v naší pyramidě. Mám to? Výborně, zvládli jste součet n-tých členů aritmetického postupu.
Samozřejmě nemůžete postavit pyramidu z bloků na základně, ale z? Zkuste si spočítat, kolik pískových cihel je potřeba na stavbu zdi s tímto stavem.
Zvládli jste to?
Správná odpověď je bloky:

Výcvik

úkoly:

1. Máša se na léto dostává do formy. Každý den zvyšuje počet dřepů. Kolikrát za týden udělá Máša dřepy, když dělala dřepy na prvním tréninku?
2. Jaký je součet všech lichých čísel obsažených v.
3. Při ukládání kulatiny je dřevorubci skládají tak, že každý horní vrstva obsahuje o jeden log méně než předchozí. Kolik kmenů je v jednom zdivu, je-li základem zdiva polena?

Odpovědi:

1. Definujme parametry aritmetické progrese. V tomto případě
   (týdny = dny).

   Odpovědět: Za dva týdny by měla Máša dělat dřepy jednou denně.

2. První liché číslo, poslední číslo.
   Rozdíl aritmetického postupu.
   Počet lichých čísel v je poloviční, ale ověřte si tuto skutečnost pomocí vzorce pro nalezení tého členu aritmetické posloupnosti:

   Čísla obsahují lichá čísla.
   Dosadíme dostupná data do vzorce:

   Odpovědět: Součet všech lichých čísel obsažených v se rovná.

3. Připomeňme si problém s pyramidami. Pro náš případ a , protože každá vrchní vrstva je zmenšena o jeden log, pak celkem existuje hromada vrstev, tzn.
   Dosadíme data do vzorce:

   Odpovědět: Ve zdivu jsou klády.

Pojďme si to shrnout

1. - číselná řada, ve které je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a stejný. Může se zvyšovat nebo snižovat.
2. Hledání vzorce Tý člen aritmetické posloupnosti se zapisuje vzorcem - , kde je počet čísel v posloupnosti.
3. Vlastnost členů aritmetické posloupnosti- - kde je počet čísel v průběhu.
4. Součet členů aritmetické posloupnosti lze najít dvěma způsoby:
   
   , kde je počet hodnot.

ARITMETICKÝ PROGRESE. PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ

Posloupnost čísel

Sedneme si a začneme psát nějaká čísla. Například:

Můžete napsat libovolná čísla a může jich být tolik, kolik chcete. Ale vždy můžeme říct, který je první, který druhý a tak dále, to znamená, že je můžeme očíslovat. Toto je příklad číselné řady.

Posloupnost čísel je sada čísel, z nichž každému lze přiřadit jedinečné číslo.

Jinými slovy, každé číslo může být spojeno s určitým přirozeným číslem, a to jedinečným. A toto číslo nepřiřadíme žádnému jinému číslu z této sady.

Číslo s číslem se nazývá tý člen posloupnosti.

Obvykle nazýváme celou posloupnost nějakým písmenem (například) a každý člen této posloupnosti je stejné písmeno s indexem rovným číslu tohoto členu: .

Je velmi výhodné, pokud lze tý člen posloupnosti specifikovat nějakým vzorcem. Například vzorec

nastaví pořadí:

A vzorec je následující sekvence:

Například aritmetická progrese je posloupnost (první člen je zde stejný a rozdíl je). Nebo (, rozdíl).

vzorec n-tého členu

Vzorec nazýváme rekurentní, ve kterém, abyste zjistili tý termín, musíte znát předchozí nebo několik předchozích:

Abychom našli například tý člen progrese pomocí tohoto vzorce, budeme muset vypočítat předchozích devět. Například, nechte to. Pak:

No, je už jasné, jaký je vzorec?

V každém řádku sečteme, vynásobíme nějakým číslem. Který? Velmi jednoduché: toto je číslo aktuálního člena mínus:

Nyní mnohem pohodlnější, že? Kontrolujeme:

Rozhodněte se sami:

V aritmetickém postupu najděte vzorec pro n-tý člen a najděte stý člen.

Řešení:

První termín je rovný. Jaký je rozdíl? Zde je co:

(Proto se tomu říká rozdíl, protože se rovná rozdílu po sobě jdoucích členů progrese).

Takže vzorec:

Potom se stý člen rovná:

Jaký je součet všech přirozených čísel od do?

Podle legendy velký matematik Carl Gauss jako 9letý chlapec spočítal tuto částku za pár minut. Všiml si, že součet prvního a poslední datum se rovná, součet druhého a předposledního je stejný, součet třetího a třetího od konce je stejný a tak dále. Kolik takových dvojic je celkem? Přesně tak, přesně poloviční počet všech čísel, tzn. Tak,

Obecný vzorec pro součet prvních členů jakékoli aritmetické posloupnosti bude:

Příklad:
Najděte součet všech dvouciferná čísla, násobky.

Řešení:

První takové číslo je toto. Každé následující číslo se získá přičtením k předchozímu číslu. Čísla, která nás zajímají, tedy tvoří aritmetický postup s prvním členem a rozdílem.

Vzorec druhého členu pro tuto progresi:

Kolik výrazů je v průběhu, když všechny musí být dvoumístné?

Velmi snadné: .

Poslední termín postupu bude stejný. Pak součet:

Odpovědět: .

Nyní se rozhodněte sami:

1. Každý den uběhne sportovec více metrů než předchozí den. Kolik kilometrů celkem uběhne za týden, když první den uběhl km m?
2. Cyklista najede každý den více kilometrů než předchozí den. První den ujel km. Kolik dní potřebuje na cestu, aby urazil kilometr? Kolik kilometrů urazí za poslední den své cesty?
3. Cena lednice v obchodě se každým rokem snižuje o stejnou částku. Určete, o kolik se cena chladničky každý rok snížila, pokud byla prodána za rublů a o šest let později byla prodána za rubly.

Odpovědi:

1. Nejdůležitější je zde rozpoznat aritmetický průběh a určit jeho parametry. V tomto případě (týdny = dny). Musíte určit součet prvních členů této progrese:
   .
   Odpovědět:
2. Zde je uvedeno: , musí být nalezen.
   Je zřejmé, že musíte použít stejný součtový vzorec jako v předchozím problému:
   .
   Nahraďte hodnoty:

   Kořen evidentně nesedí, takže odpověď zní.
   Vypočítejme cestu ujetou za poslední den pomocí vzorce tého členu:
   (km).
   Odpovědět:

3. Vzhledem k tomu: . Najít: .
   Jednodušší už to být nemůže:
   (třít).
   Odpovědět:

ARITMETICKÝ PROGRESE. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH

Jedná se o číselnou řadu, ve které je rozdíl mezi sousedními čísly stejný a stejný.

Aritmetický postup může být rostoucí () a klesající ().

Například:

Vzorec pro nalezení n-tého členu aritmetické posloupnosti

se zapisuje vzorcem, kde je počet čísel v postupu.

Vlastnost členů aritmetické posloupnosti

Umožňuje vám snadno najít člen progrese, pokud jsou známy jeho sousední členy - kde je počet čísel v průběhu.

Součet členů aritmetické posloupnosti

Částku lze zjistit dvěma způsoby:

Kde je počet hodnot.

Kde je počet hodnot.