16-18-ci əsrlərin əvvəllərindən bəri riyaziyyatçılar intensiv şəkildə funksiyaları öyrənməyə başladılar, bunun sayəsində həyatımızda çox şey dəyişdi. Kompüter texnologiyası bu bilik olmadan sadəcə mövcud olmazdı. Mürəkkəb məsələləri, xətti tənlikləri və funksiyaları həll etmək üçün müxtəlif anlayışlar, teoremlər və həll üsulları yaradılmışdır. Belə universal və rasional həll üsul və üsullarından biridir xətti tənliklər və onların sistemləri Qauss metoduna çevrildi. Matrislər, onların dərəcəsi, determinantı - hər şeyi mürəkkəb əməliyyatlardan istifadə etmədən hesablamaq olar.
SLAU nədir
Riyaziyyatda SLAE anlayışı var - xətti sistem cəbri tənliklər. O necədir? Bu, adətən x, y, z və ya x 1, x 2 ... x n və ya digər simvollarla işarələnən arzu olunan n naməlum kəmiyyətə malik m tənliklər toplusudur. Qauss üsulu ilə həll edin bu sistem- bütün bilinməyən bilinməyənləri tapmaq deməkdir. Əgər sistem eyni sayda naməlum və tənliklərə malikdirsə, ona n-ci sıra sistem deyilir.
SLAE-lərin həlli üçün ən populyar üsullar
IN təhsil müəssisələri Orta məktəb tələbələri bu cür sistemlərin həlli üçün müxtəlif üsulları öyrənirlər. Çox vaxt bu sadə tənliklər, iki naməlumdan ibarətdir, yəni hər hansı mövcud üsul Onlara cavab tapmaq çox vaxt aparmayacaq. Bu, bir tənlikdən başqa bir tənlik əldə edildikdə və orijinal ilə əvəz edildikdə, əvəzetmə üsulu kimi ola bilər. Yaxud termin üzrə çıxma və toplama üsulu. Ancaq Gauss metodu ən asan və ən universal hesab olunur. İstənilən sayda bilinməyən tənlikləri həll etməyə imkan verir. Niyə bu xüsusi texnika rasional hesab olunur? Bu sadədir. Matris üsulu Yaxşısı budur ki, lazımsız simvolları naməlumlar şəklində bir neçə dəfə yenidən yazmağa ehtiyac yoxdur, əmsallar üzərində arifmetik əməliyyatları yerinə yetirmək kifayətdir - və siz etibarlı nəticə əldə edəcəksiniz.
SLAE praktikada harada istifadə olunur?
SLAE-lərin həlli funksiyaların qrafiklərində xətlərin kəsişmə nöqtələridir. Yüksək texnologiyalı kompüter əsrimizdə oyunların və digər proqramların inkişafı ilə yaxından əlaqəli olan insanlar bu cür sistemləri necə həll etməyi, nəyi təmsil etdiklərini və əldə edilən nəticənin düzgünlüyünü necə yoxlamaq lazım olduğunu bilməlidirlər. Çox vaxt proqramçılar xətti tənliklər sistemini də əhatə edən xüsusi xətti cəbr kalkulyator proqramları hazırlayırlar. Gauss metodu bütün mövcud həlləri hesablamağa imkan verir. Digər sadələşdirilmiş düsturlar və texnikalar da istifadə olunur.
SLAU uyğunluq meyarı
Belə bir sistem yalnız uyğun olduqda həll edilə bilər. Aydınlıq üçün SLAE-ni Ax=b şəklində təqdim edək. Rəng(A) rəngə (A,b) bərabərdirsə, onun həlli var. Bu halda (A,b) A matrisini sərbəst şərtlərlə yenidən yazmaqla əldə edilə bilən genişləndirilmiş forma matrisidir. Belə çıxır ki, Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklərin həlli olduqca asandır.
Bəlkə də bəzi qeydlər tam aydın deyil, buna görə də hər şeyi bir nümunə ilə nəzərdən keçirmək lazımdır. Tutaq ki, sistem var: x+y=1; 2x-3y=6. 2 naməlum olan yalnız iki tənlikdən ibarətdir. Sistem yalnız onun matrisinin rütbəsi genişləndirilmiş matrisin dərəcəsinə bərabər olarsa, həll yolu olacaqdır. rütbə nədir? Bu sistemin müstəqil xətlərinin sayıdır. Bizim vəziyyətimizdə matrisin dərəcəsi 2-dir, A matrisi naməlumların yaxınlığında yerləşən əmsallardan ibarət olacaq və "=" işarəsinin arxasında yerləşən əmsallar da genişlənmiş matrisə uyğun gəlir.
Niyə SLAE-lər matris şəklində təmsil oluna bilər?
Sübut edilmiş Kronecker-Capelli teoreminə əsasən uyğunluq meyarına əsasən xətti cəbri tənliklər sistemi matris şəklində təqdim edilə bilər. Gauss kaskad metodundan istifadə edərək, matrisi həll edə və bütün sistem üçün vahid etibarlı cavab ala bilərsiniz. Əgər adi matrisin dərəcəsi onun genişləndirilmiş matrisinin dərəcəsinə bərabərdirsə, lakin naməlumların sayından azdırsa, sistemin sonsuz sayda cavabı var.
Matris çevrilmələri
Matrislərin həllinə keçməzdən əvvəl onların elementləri üzərində hansı hərəkətlərin edilə biləcəyini bilməlisiniz. Bir neçə elementar çevrilmə var:
- Sistemi matris şəklində yenidən yazaraq və həll etməklə, seriyanın bütün elementlərini eyni əmsala vura bilərsiniz.
- Matrisi kanonik formaya çevirmək üçün iki paralel cərgəni dəyişə bilərsiniz. Kanonik forma, əsas diaqonal boyunca yerləşən bütün matris elementlərinin birə, qalanlarının isə sıfıra çevrilməsini nəzərdə tutur.
- Matrisin paralel cərgələrinin müvafiq elementləri bir-birinə əlavə edilə bilər.
Jordan-Gauss metodu
Xətti bircinsli sistemlərin həllinin mahiyyəti və qeyri-homogen tənliklər Qauss metodu naməlumları tədricən aradan qaldırmaqdır. Tutaq ki, iki naməlum olan iki tənlik sistemimiz var. Onları tapmaq üçün sistemin uyğunluğunu yoxlamaq lazımdır. Tənlik Gauss üsulu ilə çox sadə şəkildə həll edilir. Hər bir naməlumun yaxınlığında yerləşən əmsalları matris şəklində yazmaq lazımdır. Sistemi həll etmək üçün genişləndirilmiş matrisi yazmalısınız. Tənliklərdən birində daha az sayda naməlum varsa, çatışmayan elementin yerinə “0” qoyulmalıdır. Matrisə bütün məlum çevrilmə üsulları tətbiq olunur: vurma, ədədə bölmə, sıranın müvafiq elementlərinin bir-birinə əlavə edilməsi və s. Belə çıxır ki, hər sətirdə “1” dəyəri ilə bir dəyişən buraxmaq lazımdır, qalanları sıfıra endirmək lazımdır. Daha dəqiq başa düşmək üçün Gauss metodunu misallarla nəzərdən keçirmək lazımdır.
2x2 sisteminin həllinin sadə nümunəsi
Başlamaq üçün sadə cəbri tənliklər sistemini götürək, burada 2 naməlum olacaq.
Gəlin onu genişləndirilmiş matrisə yenidən yazaq.
Bu xətti tənliklər sistemini həll etmək üçün yalnız iki əməliyyat tələb olunur. Biz matrisi kanonik formaya gətirməliyik ki, əsas diaqonal boyunca olanlar olsun. Beləliklə, matris formasından yenidən sistemə köçürərək, tənlikləri alırıq: 1x+0y=b1 və 0x+1y=b2, burada b1 və b2 həll prosesində nəticələnən cavablardır.
- Genişləndirilmiş matrisin həlli zamanı ilk hərəkət belə olacaq: ikinci tənlikdə bir naməlumdan xilas olmaq üçün birinci sıra -7 ilə vurulmalı və ikinci sıraya uyğun elementlər əlavə edilməlidir.
- Gauss metodundan istifadə edərək tənliklərin həlli matrisin kanonik formaya endirilməsini nəzərdə tutduğundan, birinci tənliklə eyni əməliyyatları yerinə yetirmək və ikinci dəyişəni çıxarmaq lazımdır. Bunun üçün birincidən ikinci sətri çıxarırıq və tələb olunan cavabı - SLAE həllini alırıq. Yaxud şəkildə göstərildiyi kimi ikinci cərgəni -1 əmsalı ilə vurub birinci sıraya ikinci sıranın elementlərini əlavə edirik. Eynidir.
Gördüyümüz kimi sistemimiz Jordan-Gauss üsulu ilə həll edilmişdir. Onu tələb olunan formada yenidən yazırıq: x=-5, y=7.
3x3 SLAE həllinə nümunə
Fərz edək ki, daha mürəkkəb xətti tənliklər sistemimiz var. Gauss metodu hətta ən qarışıq görünən sistem üçün cavabı hesablamağa imkan verir. Buna görə də, hesablama metodologiyasını daha dərindən öyrənmək üçün üç naməlum olan daha mürəkkəb bir nümunəyə keçə bilərsiniz.
Əvvəlki nümunədə olduğu kimi, sistemi genişləndirilmiş matris şəklində yenidən yazır və onu kanonik formaya gətirməyə başlayırıq.
Bu sistemi həll etmək üçün əvvəlki nümunədən daha çox hərəkət etməli olacaqsınız.
- Əvvəlcə birinci sütunu bir vahid element, qalanını isə sıfır etmək lazımdır. Bunun üçün birinci tənliyi -1-ə vurun və ona ikinci tənliyi əlavə edin. Yadda saxlamaq lazımdır ki, biz birinci sətri orijinal formada, ikincini isə dəyişdirilmiş formada yenidən yazırıq.
- Sonra, üçüncü tənlikdən eyni birinci naməlumu çıxarırıq. Bunun üçün birinci cərgənin elementlərini -2-yə vurub üçüncü sıraya əlavə edin. İndi birinci və ikinci sətirlər orijinal formada, üçüncüsü isə dəyişikliklərlə yenidən yazılır. Nəticədən göründüyü kimi matrisin əsas diaqonalının əvvəlində birincini və qalan sıfırları əldə etdik. Daha bir neçə addım və Qauss metodu ilə tənliklər sistemi etibarlı şəkildə həll ediləcək.
- İndi sətirlərin digər elementləri üzərində əməliyyatlar yerinə yetirmək lazımdır. Üçüncü və dördüncü hərəkətlər birinə birləşdirilə bilər. Diaqonalda mənfi olanlardan xilas olmaq üçün ikinci və üçüncü sətirləri -1-ə bölmək lazımdır. Artıq üçüncü sətri lazımi formaya gətirmişik.
- Sonra ikinci xətti kanonik formaya gətiririk. Bunu etmək üçün üçüncü cərgənin elementlərini -3-ə vurun və onları matrisin ikinci sırasına əlavə edin. Nəticədən aydın olur ki, ikinci sətir də bizə lazım olan formaya endirilir. Daha bir neçə əməliyyat yerinə yetirmək və bilinməyənlərin əmsallarını birinci sətirdən çıxarmaq qalır.
- Sətirin ikinci elementindən 0 etmək üçün üçüncü cərgəni -3-ə vurub birinci sıraya əlavə etmək lazımdır.
- Növbəti həlledici addım ikinci sıranın lazımi elementlərini birinci sıraya əlavə etmək olacaq. Bu yolla matrisin kanonik formasını və müvafiq olaraq cavabını alırıq.
Gördüyünüz kimi, Gauss metodundan istifadə edərək tənliklərin həlli olduqca sadədir.
4x4 tənliklər sisteminin həlli nümunəsi
Bəzi daha mürəkkəb tənlik sistemləri kompüter proqramlarından istifadə etməklə Qauss metodundan istifadə etməklə həll edilə bilər. Naməlumlar üçün əmsalları mövcud boş xanalara daxil etmək lazımdır və proqram özü addım-addım tələb olunan nəticəni hesablayacaq, hər bir hərəkəti ətraflı təsvir edəcəkdir.
Aşağıda təsvir edilmişdir addım-addım təlimat bu nümunə üçün həllər.
Birinci mərhələdə naməlumlar üçün sərbəst əmsallar və ədədlər boş xanalara daxil edilir. Beləliklə, əl ilə yazdığımız eyni genişləndirilmiş matrisi alırıq.
Və uzadılmış matrisi kanonik formaya gətirmək üçün bütün lazımi hesab əməliyyatları yerinə yetirilir. Anlamaq lazımdır ki, tənliklər sisteminin cavabı həmişə tam ədədlər deyil. Bəzən həll kəsr ədədlərindən ola bilər.
Həllin düzgünlüyünün yoxlanılması
Jordan-Gauss metodu nəticənin düzgünlüyünün yoxlanılmasını təmin edir. Əmsalların düzgün hesablandığını öyrənmək üçün sadəcə nəticəni orijinal tənliklər sisteminə əvəz etmək lazımdır. Sol tərəf tənliklər uyğun olmalıdır sağ tərəf, bərabər işarənin arxasında yerləşir. Cavablar uyğun gəlmirsə, onda siz sistemi yenidən hesablamalı və ya əvəzetmə və ya müddətli toplama və toplama kimi sizə məlum olan SLAE-lərin həllinin başqa üsulunu tətbiq etməyə çalışmalısınız. Axı riyaziyyat bir elmdir böyük məbləğ müxtəlif texnikalar həllər. Ancaq unutmayın: hansı həll metodundan istifadə etməyinizdən asılı olmayaraq, nəticə həmişə eyni olmalıdır.
Gauss metodu: SLAE-ləri həll edərkən ən çox yayılmış səhvlər
Xətti tənlik sistemlərinin həlli zamanı əmsalların matris formasına səhv köçürülməsi kimi xətalar ən çox baş verir. Tənliklərdən birində bəzi naməlumların çatışmadığı sistemlər var, sonra məlumatları genişləndirilmiş matrisə köçürərkən onlar itirilə bilər; Nəticədə, bu sistemi həll edərkən nəticə faktiki ilə uyğun gəlməyə bilər.
Başqa bir böyük səhv son nəticəni səhv yazmaq ola bilər. Aydın şəkildə başa düşmək lazımdır ki, birinci əmsal sistemdən bilinməyən birinciyə, ikincisi ikinciyə və s.
Qauss metodu xətti tənliklərin həllini ətraflı təsvir edir. Onun sayəsində istehsal etmək asandır zəruri əməliyyatlar və düzgün nəticəni tapın. Bundan əlavə, bu, hər hansı bir mürəkkəbliyin tənliklərinə etibarlı cavab tapmaq üçün universal bir vasitədir. Bəlkə də buna görə SLAE-ləri həll edərkən tez-tez istifadə olunur.
Burada xətti tənliklər sistemini pulsuz həll edə bilərsiniz Gauss metodu online böyük ölçülərçox ətraflı həlli ilə kompleks ədədlərdə. Kalkulyatorumuz sonsuz sayda həlli olan Qauss metodundan istifadə etməklə həm adi müəyyən, həm də qeyri-müəyyən xətti tənlik sistemlərini onlayn həll edə bilər. Bu halda, cavabda bəzi dəyişənlərin digər, sərbəst olanlar vasitəsilə asılılığını alacaqsınız. Siz həmçinin Gauss həllindən istifadə edərək onlayn tənliklər sistemini ardıcıllıq üçün yoxlaya bilərsiniz.
Metod haqqında
Xətti tənliklər sistemini həll edərkən onlayn üsul Gauss aşağıdakı addımlar yerinə yetirilir.
- Genişləndirilmiş matrisi yazırıq.
- Əslində, həll Gauss metodunun irəli və geri addımlarına bölünür. Qauss metodunun birbaşa addımı matrisin mərhələli formaya endirilməsidir. Qauss metodunun əksi matrisin xüsusi pilləli formaya endirilməsidir. Ancaq praktikada sözügedən elementin həm yuxarısında, həm də altında olanı dərhal sıfırlamaq daha rahatdır. Kalkulyatorumuz məhz bu yanaşmadan istifadə edir.
- Qeyd etmək lazımdır ki, Gauss metodundan istifadə edərək həll edərkən, matrisdə sıfır DEYİL olan ən azı bir sıfır sırasının olması sağ tərəf(sərbəst üzvlərin sütunu) sistemin uyğunsuzluğunu göstərir. Həll xətti sistem bu halda mövcud deyil.
Qauss alqoritminin onlayn necə işlədiyini yaxşı başa düşmək üçün istənilən nümunəni daxil edin, “çox ətraflı həll” seçin və onun həllinə onlayn baxın.
Karl Fridrix Qauss, ən böyük riyaziyyatçı uzun müddətə tərəddüd etdi, fəlsəfə ilə riyaziyyat arasında seçim etdi. Bəlkə də məhz bu təfəkkür ona dünya elmində belə nəzərəçarpacaq “miras” qoymağa imkan verdi. Xüsusilə, "Gauss Metodunu" yaratmaqla ...
Təxminən 4 ilə yaxındır ki, bu saytda məqalələr məktəb təhsilindən, əsasən fəlsəfə nöqteyi-nəzərindən, uşaqların şüuruna yeridilmiş (yanlış) dərketmə prinsiplərindən bəhs edirdi. Daha konkret, misal və metodların vaxtı yaxınlaşır... İnanıram ki, tanış, çaşdırıcı və vacibdir həyat sahələri daha yaxşı nəticələr verir.
Biz insanlar elə qurulmuşuq ki, nə qədər danışsaq da mücərrəd düşüncə, Amma anlayış Həmişə misallar vasitəsilə baş verir. Nümunələr yoxdursa, prinsipləri qavramaq mümkün deyil... Necə ki, dağın zirvəsinə ayaqdan bütün yamacı getmədən çıxmaq mümkün deyil.
Məktəblə də eyni: hələlik canlı hekayələr Biz bunu instinktiv olaraq uşaqların başa düşməyə öyrədildiyi bir yer kimi qəbul etməyə davam etməyimiz kifayət deyil.
Məsələn, Qauss metodunun öyrədilməsi...
5-ci sinif məktəbində Qauss metodu
İcazə verin, dərhal rezervasiya edim: Gauss metodunda daha çox şey var geniş tətbiq məsələn, həll edərkən xətti tənliklər sistemləri. Haqqında danışacağımız şey 5-ci sinifdə baş verir. Bu başladı, hansının olduğunu başa düşdükdən sonra daha "qabaqcıl variantları" başa düşmək daha asandır. Bu yazıda biz danışırıq Silsilənin cəmini tapmaq üçün Qauss üsulu (üsul).
Budur, məktəbdən gətirdiyim bir nümunə kiçik oğlu, Moskva gimnaziyasında 5-ci sinifdə oxuyur.
Gauss metodunun məktəb nümayişi
Riyaziyyat müəllimi istifadə edir interaktiv lövhə (müasir üsullar təlim) uşaqlara kiçik Qaussun "metodunun yaradılması" tarixinin təqdimatını göstərdi.
Məktəb müəllimi balaca Karlı (köhnəlmiş üsuldur, bu günlərdə məktəblərdə istifadə olunmur) ona görə döydü
1-dən 100-ə qədər rəqəmləri ardıcıl olaraq toplamaq əvəzinə onların cəmini tapın diqqət çəkdi arifmetik irəliləyişin kənarlarından bərabər məsafədə yerləşən ədəd cütlərinin toplanması eyni ədədə çatır. məsələn, 100 və 1, 99 və 2. Belə cütlərin sayını hesablayan balaca Qauss müəllimin təklif etdiyi məsələni demək olar ki, dərhal həll etdi. Bunun üçün o, heyrətlənmiş ictimaiyyət qarşısında edam edildi. Başqalarını düşünməkdən çəkindirmək üçün.
Kiçik Qauss nə etdi? inkişaf etmişdir rəqəm hissi? Diqqət edildi bəzi xüsusiyyət sabit addımlı ədəd seriyası (arifmetik irəliləyiş). VƏ tam olaraq bu sonra onu böyük alim edib fərqinə varmağı bilənlər, malik hiss, anlama instinkti.
Ona görə də riyaziyyat dəyərlidir, inkişaf edir görmə qabiliyyəti xüsusilə ümumi - mücərrəd düşüncə . Buna görə də, əksər valideynlər və işəgötürənlər instinktiv olaraq riyaziyyatı vacib bir fən hesab edir ...
“O zaman riyaziyyat öyrədilməlidir, çünki o, zehni nizama salır.
M.V.Lomonosov”.
Ancaq gələcək dahiləri çubuqlarla şallaqlayanların davamçıları Metodun əksinə çevrildi. 35 il əvvəl dostumun dediyi kimi elmi məsləhətçi: "Onlar sualı əzbərləyiblər." Və ya dünən kiçik oğlumun Qauss metodu haqqında dediyi kimi: "Bəlkə bundan böyük bir elm yaratmağa dəyməz, hə?"
“Alimlərin” yaradıcılığının nəticələri indiki məktəb riyaziyyatının səviyyəsində, onun tədrisi səviyyəsində və əksəriyyət tərəfindən “Elmlər kraliçası”nı dərk etməsində görünür.
Bununla belə, davam edək...
5-ci sinif məktəbində Qauss metodunun izahı üsulları
Moskva gimnaziyasının riyaziyyat müəllimi Vilenkinə görə Qauss metodunu izah edərək tapşırığı çətinləşdirdi.
Arifmetik irəliləyişin fərqi (addımı) bir deyil, başqa bir rəqəmdirsə necə? Məsələn, 20.
Beşinci sinif şagirdlərinə verdiyi problem:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Gimnaziya metodu ilə tanışlıqdan əvvəl internetə nəzər salaq: məktəb müəllimləri və riyaziyyat müəllimləri bunu necə edir?..
Qauss metodu: izahat №1
Tanınmış repetitor öz YOUTUBE kanalında aşağıdakı əsaslandırmaları söyləyir:
"1-dən 100-ə qədər rəqəmləri aşağıdakı kimi yazaq:
əvvəlcə 1-dən 50-yə qədər rəqəmlər seriyası və ciddi şəkildə aşağıda 50-dən 100-ə qədər olan başqa bir sıra sıra, lakin tərs qaydada"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Qeyd edin: yuxarı və aşağı cərgədəki hər bir cüt ədədin cəmi eynidir və 101-ə bərabərdir! Gəlin cütlərin sayını sayaq, 50-dir və bir cütün cəmini cütlərin sayına vuraq! Voila: The cavab hazırdır!"
“Başa düşə bilmirsənsə, üzülmə!” – deyə müəllim izahat zamanı üç dəfə təkrarladı. "Bu üsulu 9-cu sinifdə götürəcəksən!"
Qauss metodu: izahat No 2
Daha az tanınan başqa bir repetitor (baxışların sayına görə) daha elmi yanaşma ilə ardıcıl olaraq tamamlanmalı olan 5 ballıq həll alqoritmini təklif edir.
Təcrübəsizlər üçün 5 ənənəvi olaraq sehrli hesab edilən Fibonaççi rəqəmlərindən biridir. Məsələn, 5 addımlı metod 6 addımlı metoddan həmişə daha elmidir. ...Və bu, çətin ki, təsadüfi deyil, çox güman ki, Müəllif Fibonaççi nəzəriyyəsinin gizli tərəfdarıdır.
Dana arifmetik irəliləyiş: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Qauss metodundan istifadə edərək sıradakı ədədlərin cəmini tapmaq üçün alqoritm:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Eyni zamanda, xatırlamaq lazımdır üstəgəl bir qayda : nəticədə çıxan hissəyə bir əlavə etməliyik: əks halda cütlərin həqiqi sayından bir az olan nəticə əldə edəcəyik: 42 + 1 = 43.
Bu, 6 fərqlə 4-dən 256-ya qədər olan arifmetik irəliləyişin tələb olunan cəmidir!
Gauss metodu: Moskva gimnaziyasında 5-ci sinifdə izahat
Seriyanın cəmini tapmaq problemini necə həll etmək olar:
20+40+60+ ... +460+480+500
Moskva gimnaziyasının 5-ci sinfində Vilenkinin dərsliyi (oğlumun sözlərinə görə).
Təqdimatı göstərdikdən sonra riyaziyyat müəllimi Qauss metodundan istifadə edərək bir neçə misal göstərdi və sinfə 20-lik artımlarla silsilədə olan ədədlərin cəmini tapmaq tapşırığını verdi.
Bunun üçün aşağıdakılar tələb olunur:
Gördüyünüz kimi, bu daha yığcam və effektiv texnika: 3 nömrə də Fibonaççi ardıcıllığının üzvüdür
Gauss metodunun məktəb versiyası haqqında şərhlərim
Böyük riyaziyyatçı “metodunun” ardıcılları tərəfindən nəyə çevriləcəyini qabaqcadan görsəydi, mütləq fəlsəfəni seçərdi. alman müəllimi, Karlı çubuqlarla şallaqlayan. O, “müəllimlərin” simvolizmini, dialektik spiralını və ölməz axmaqlığını görərdi. canlı riyazi düşüncənin anlaşılmazlıq cəbri ilə harmoniyasını ölçməyə çalışır ....
Yeri gəlmişkən: bilirdinizmi. ki, bizim təhsil sistemimiz 18-19-cu əsrlərdəki alman məktəbinə söykənir?
Lakin Gauss riyaziyyatı seçdi.
Onun metodunun mahiyyəti nədir?
IN sadələşdirmə. IN müşahidə etmək və tutmaqədədlərin sadə nümunələri. IN quru məktəb arifmetikasına çevrilir maraqlı və həyəcanverici fəaliyyət , yüksək xərcli zehni fəaliyyəti bloklamaqdansa, beyində davam etmək istəyini aktivləşdirir.
Arifmetik irəliləyişin ədədlərinin cəmini demək olar ki, hesablamaq üçün verilmiş “Qauss metodunun modifikasiyalarından” birini istifadə etmək olarmı? dərhal? "Alqoritmlərə" görə, balaca Karla şillə atmaqdan, riyaziyyata qarşı ikrah hissini inkişaf etdirməkdən və qönçədə yaradıcı impulslarını boğmaqdan qaçınacağına zəmanət verilir.
Nə üçün repetitor beşinci sinif şagirdlərinə metodu “yanlış başa düşməkdən qorxmamağı” belə israrla tövsiyə edir, onları hələ 9-cu sinifdə “belə” məsələləri həll edəcəklərinə inandırırdı? Psixoloji cəhətdən savadsız hərəkət. Qeyd etmək yaxşı bir hərəkət idi: "Görürsən? Sən artıq 5-ci sinifdə olarsan yalnız 4 ilə bitirəcəyiniz problemləri həll edin! Sən nə gözəl insansan!”
Qauss metodundan istifadə etmək üçün 3-cü səviyyə kifayətdir, normal uşaqlar artıq 2-3 rəqəmli ədədləri necə toplamaq, vurmaq və bölmək lazım olduğunu bildikdə. Problemlər “əlaqəsiz” olan yetkin müəllimlərin ən sadə şeyi normal insan dilində izah edə bilməmələrindən yaranır, riyaziyyatı demirəm... İnsanları riyaziyyata həvəsləndirə bilmir, hətta “əlaqəsiz” olanları belə tamamilə ruhdan sala bilmirlər. qadirdir.”
Və ya oğlumun şərh etdiyi kimi: "bundan böyük bir elm çıxarmaq."
Gauss metodu, mənim izahatlarım
Həyat yoldaşımla mən övladımıza bu “üsul”u başa salmışdıq, deyəsən, hələ məktəbdən əvvəl...
Mürəkkəblik əvəzinə sadəlik və ya sual-cavab oyunu
"Bax, burada 1-dən 100-ə qədər rəqəmlər var. Nə görürsən?"
Məsələ uşağın tam olaraq nə gördüyü deyil. Hiylə ona baxmağa məcbur etməkdir.
"Onları necə bir araya gətirə bilərsiniz?" Oğul başa düşdü ki, belə suallar "belə" verilmir və suala "birtəhər fərqli, adətən etdiyindən fərqli" baxmaq lazımdır.
Uşağın dərhal həllini görüb-görməməsinin əhəmiyyəti yoxdur, bu mümkün deyil. Onun olması vacibdir baxmaqdan qorxmağı dayandırdı və ya dediyim kimi: "tapşırığı köçürdü". Bu, anlayışa gedən yolun başlanğıcıdır
"Hansı daha asandır: məsələn, 5 və 6 və ya 5 və 95 əlavə etmək?" Aparıcı sual... Ancaq hər hansı bir məşq insanı "cavab"a "yola gətirmək" üçün gəlir - istənilən şəkildə onun üçün məqbuldur.
Bu mərhələdə hesablamalara necə “qənaət etmək” barədə təxminlər artıq yarana bilər.
Etdiyimiz tək şey eyham idi: “frontal, xətti” sayma üsulu yeganə mümkün deyil. Uşaq bunu başa düşsə, sonradan daha çox belə üsullar ortaya çıxaracaq, çünki maraqlıdır!!! Və o, mütləq riyaziyyatı “yanlış başa düşməkdən” qaçacaq və ondan iyrənc hiss etməyəcək. Qələbə qazandı!
Əgər uşaq kəşf etdi yüzə çatan cüt ədədləri əlavə etmək bir parça tortdur, onda "1 fərqi olan arifmetik irəliləyiş"- uşaq üçün olduqca sönük və maraqsız bir şey - birdən onun üçün həyat tapdı . Sifariş xaosdan yaranıb və bu həmişə həvəs yaradır: biz belə yaradılmışıq!
Cavab verməli bir sual: nə üçün uşaq əldə etdiyi fikirdən sonra onu yenidən quru alqoritmlər çərçivəsində məcbur etmək lazımdır ki, bu halda da funksional olaraq faydasızdır?!
Niyə axmaq yenidən yazmağa məcbur etmək lazımdır? dəftərdəki ardıcıl nömrələr: belə ki, hətta qabiliyyətlilərin də bircə dərk etmə şansı olmasın? Statistik olaraq, əlbəttə, lakin kütləvi təhsil “statistikaya” yönəlib...
Sıfır hara getdi?
Yenə də, 100-ə qədər olan nömrələri əlavə etmək ağıl üçün 101-ə qədər olanlardan daha məqbuldur...
"Gauss məktəb metodu" məhz bunu tələb edir: ağılsızca qatlayın Proqresiyanın mərkəzindən bərabər məsafədə olan cüt ədədlər, Hər şeyə baxmayaraq.
baxsan ne olar?
Yenə də sıfır, 2000 ildən çox yaşı olan bəşəriyyətin ən böyük ixtirasıdır. Riyaziyyat müəllimləri isə ona məhəl qoymurlar.
1 ilə başlayan bir sıra ədədləri 0 ilə başlayan sıraya çevirmək daha asandır. Cəm dəyişməyəcək, elə deyilmi? "Dərsliklərdə düşünməyi" dayandırmalı və axtarmağa başlamalısınız... Və görün ki, cəmi 101 olan cütlər, cəmi 100 olan cütlərlə tamamilə əvəz edilə bilər!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
“Plastik 1 qaydası”nı necə ləğv etmək olar?
Düzünü desəm, belə bir qaydanı ilk dəfə o YouTube müəllimindən eşitmişdim...
Serialın üzvlərinin sayını müəyyən etmək lazım olanda hələ nə etməliyəm?
Mən ardıcıllığa baxıram:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
və tamamilə yorulduğunuz zaman daha sadə sıraya keçin:
1, 2, 3, 4, 5
və mən başa düşürəm: 5-dən birini çıxarsanız, 4 alacaqsınız, amma mən tamamilə aydınam görürəm 5 nömrə! Buna görə də birini əlavə etməlisiniz! Say hissi inkişaf etmişdir ibtidai məktəb, təklif edir: seriyanın bütün üzvlərindən (10-dan yüzüncü dərəcəyə qədər) bütün Google olsa belə, nümunə eyni qalacaq.
Qaydalar nədir?..
Beləliklə, bir-iki-üç ildən sonra alnınızla başınızın arxası arasındakı bütün boşluğu doldura və düşünməyi dayandıra bilərsiniz? Çörək və yağınızı necə qazanırsınız? Axı biz rəqəmsal iqtisadiyyat dövrünə bərabər pillələrlə gedirik!
Qaussun məktəb metodu haqqında daha çox məlumat: “niyə bundan elm çıxarmaq lazımdır?..”
Oğlumun dəftərindən skrinşot yerləşdirməyim əbəs yerə deyildi...
"Sinifdə nə olub?"
“Yaxşı, mən dərhal saydım, əlimi qaldırdım, amma o soruşmadı, ona görə də başqaları sayarkən mən də vaxt itirməmək üçün rus dilində ev tapşırığını etməyə başladım. ??), o, məni şuraya çağırdı, mən cavab verdim.
"Doğrudur, bunu necə həll etdiyini mənə göstər" dedi müəllim. göstərdim. O dedi: "Səhv, mənim göstərdiyim kimi saymalısan!"
"Yaxşı ki, o, mənə pis qiymət vermədi və məni öz dəftərimə "həll yolu" yazmağa məcbur etdi.
Riyaziyyat müəlliminin əsas cinayəti
Çox az sonra o hadisə Karl Qauss məktəb riyaziyyat müəlliminə yüksək hörmət hissi keçirirdi. Amma necə bilsəydi həmin müəllimin davamçıları metodun mahiyyətini təhrif edəcək... o, qəzəblə və Dünya Təşkilatının vasitəsilə guruldayardı əqli mülkiyyətÜƏMT məktəb dərsliklərində öz ədalətli adının istifadəsinə qadağa qoyub!..
Nədə əsas səhv məktəb yanaşması? Yoxsa mən dediyim kimi məktəb riyaziyyat müəllimlərinin uşaqlara qarşı cinayəti?
Anlaşılmazlıq alqoritmi
Böyük əksəriyyəti düşünməyi bilməyən məktəb metodistləri nə edir?
Metodlar və alqoritmlər yaradırlar (bax). Bu müəllimləri tənqiddən (“Hər şey ona uyğun edilir...”) və uşaqları anlamaqdan qoruyan müdafiə reaksiyası. Və beləliklə - müəllimləri tənqid etmək istəyindən!(Bürokratik “müdrikliyin” ikinci törəməsi, problemə elmi yanaşma). Mənasını dərk etməyən insan məktəb sisteminin axmaqlığını deyil, öz anlaşılmazlığını günahlandıracaq.
Belə olur: valideynlər uşaqlarını günahlandırır, müəllimlər isə... “riyaziyyatı başa düşməyən uşaqlar üçün də eyni şeyi edirlər!”
sən ağıllısan?
Balaca Karl nə etdi?
Formal tapşırığa tamamilə qeyri-ənənəvi yanaşma. Bu, Onun yanaşmasının mahiyyətidir. Bu məktəbdə öyrədilməli olan əsas şey dərsliklərlə deyil, başınızla düşünməkdir. Təbii ki, axtarışda istifadə oluna bilən instrumental komponent də var daha sadə və təsirli üsullar hesablar.
Vilenkinə görə Qauss üsulu
Məktəbdə öyrədirlər ki, Qauss metodu belədir
Nə, silsilənin elementlərinin sayı tək olarsa, oğluma tapşırılan problemdəki kimi?..
Bu vəziyyətdə "tutmaq" budur seriyada "əlavə" nömrə tapmalısınız və cütlərin cəminə əlavə edin. Bizim nümunəmizdə bu rəqəm 260-dır.
Necə aşkar etmək olar? Bütün nömrə cütlərini notebooka köçürmək!(Buna görə müəllim uşaqları Qauss metodundan istifadə edərək "yaradıcılıq" öyrətməyə çalışmaq kimi axmaq bir işə vadar etdi... Və buna görə də belə bir "metod" böyük verilənlər seriyası üçün praktiki olaraq tətbiq olunmur və buna görə də belədir. Qauss metodu deyil.)
Məktəb işində bir az yaradıcılıq...
Oğul fərqli hərəkət etdi.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Çətin deyil, elə deyilmi?
Ancaq praktikada daha da asanlaşır ki, bu da rus dilində uzaqdan zondlama üçün 2-3 dəqiqə vaxt ayırmağa imkan verir, qalanları isə "hesablanır". Bundan əlavə, metodun addımlarının sayını saxlayır: 5, bu, yanaşmanın qeyri-elmi olduğu üçün tənqid edilməsinə imkan vermir.
Aydındır ki, bu yanaşma Metod üslubunda daha sadə, daha sürətli və daha universaldır. Amma... müəllim nəinki tərifləmədi, həm də məni “düzgün şəkildə” yenidən yazmağa məcbur etdi (skrinşota bax). Yəni o, yaradıcı impuls və riyaziyyatı kökündə başa düşmək qabiliyyətini boğmaq üçün çıxılmaz cəhd etdi! Görünür, sonradan repetitor kimi işə götürülsün deyə... Yanlış adama hücum edib...
Bu qədər uzun və yorucu bir şəkildə təsvir etdiyim hər şeyi izah etmək olar normal uşağa maksimum yarım saat ərzində. Nümunələrlə yanaşı.
Və elə bir tərzdə ki, heç vaxt unutmayacaq.
Və olacaq anlayışa doğru addım atmaq...təkcə riyaziyyatçılar deyil.
Etiraf edin: Gauss metodundan istifadə edərək həyatınızda neçə dəfə əlavə etmisiniz? Və mən heç vaxt etmədim!
Amma anlama instinkti, öyrənmə prosesində inkişaf edən (və ya sönən). riyazi üsullar məktəbdə... Oh!.. Bu, doğrudan da, əvəzolunmaz bir şeydir!
Xüsusən də Partiya və Hökumətin ciddi rəhbərliyi altında sakitcə qədəm qoyduğumuz universal rəqəmsallaşma əsrində.
Müəllimlərin müdafiəsi üçün bir neçə kəlmə...
Bu tədris tərzinə görə bütün məsuliyyəti yalnız məktəb müəllimlərinin üzərinə yükləmək ədalətsizlik və yanlışdır. Sistem qüvvədədir.
Bəziləri müəllimlər baş verənlərin absurdluğunu başa düşürlər, amma nə etməli? Təhsil haqqında Qanun, Federal Dövlət Təhsil Standartları, metodları, texnoloji xəritələr dərslər... Hər şey “uyğun olaraq və əsasında” edilməli və hər şey sənədləşdirilməlidir. Kənara çəkil - işdən çıxarılmaq üçün növbəyə durdu. İkiüzlü olmayaq: Moskva müəllimlərinin maaşı çox yaxşıdır... Səni işdən çıxarsalar, hara getməlisən?..
Buna görə də bu sayt təhsil haqqında deyil. O, haqqında fərdi təhsil, yalnız mümkün yol izdihamdan çıxmaq nəsil Z ...
Qauss metodunun tərifi və təsviri
Qauss çevirmə metodu (həmçinin Qauss çevirmə metodu kimi tanınır) ardıcıl aradan qaldırılması bir tənlikdən və ya matrisdən naməlum dəyişənlər) xətti tənliklər sistemlərini həll etməkdir klassik üsul om cəbri tənliklər sisteminin (SLAE) həlli. Bu klassik üsuldan əldə etmək kimi problemləri həll etmək üçün də istifadə olunur tərs matrislər və matrisin dərəcəsinin müəyyən edilməsi.
Qauss metodundan istifadə edərək çevrilmə xətti cəbri tənliklər sisteminə kiçik (elementar) ardıcıl dəyişikliklərin edilməsindən ibarətdir ki, bu da orijinala ekvivalent olan yeni üçbucaqlı tənliklər sisteminin formalaşması ilə yuxarıdan aşağıya doğru dəyişənlərin aradan qaldırılmasına gətirib çıxarır. bir.
Tərif 1
Həllin bu hissəsi deyilir irəli vuruş Gauss həlləri, çünki bütün proses yuxarıdan aşağıya doğru aparılır.
Orijinal tənliklər sistemini üçbucaqlı sistemə endirdikdən sonra hamısını tapırıq sistem dəyişənləri aşağıdan yuxarıya (yəni tapılan ilk dəyişənlər sistemin və ya matrisin son sətirlərini tam olaraq tutur). Həllin bu hissəsi Qauss həllinin tərsi kimi də tanınır. Onun alqoritmi belədir: əvvəlcə tənliklər sisteminin və ya matrisin altına ən yaxın olan dəyişənlər hesablanır, sonra alınan qiymətlər daha yüksək əvəzlənir və beləliklə, başqa dəyişən tapılır və s.
Qauss metodu alqoritminin təsviri
Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sisteminin ümumi həlli üçün hərəkətlərin ardıcıllığı SLAE əsasında matrisə irəli və geri vuruşların növbə ilə tətbiqindən ibarətdir. İlkin tənliklər sistemi aşağıdakı formada olsun:
$\begin(hallar) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(hallar)$
SLAE-ləri Gauss metodundan istifadə edərək həll etmək üçün orijinal tənliklər sistemini matris şəklində yazmaq lazımdır:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$
$A$ matrisi əsas matris adlanır və ardıcıllıqla yazılmış dəyişənlərin əmsallarını, $b$ isə onun sərbəst şərtlərinin sütunu adlanır. Sərbəst şərtlər sütunu olan çubuq vasitəsilə yazılan $A$ matrisi uzadılmış matris adlanır:
$A = \begin(massiv)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(massiv)$
İndi tənliklər sistemində (və ya matrisdə, çünki bu daha rahatdır) elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu aşağıdakı formaya gətirmək lazımdır:
$\begin(hallar) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(hallar)$ (1)
Transformasiya edilmiş (1) tənlik sisteminin əmsallarından alınan matris addım matris adlanır, adətən addım matrisləri belə görünür:
$A = \begin(massiv)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(massiv)$
Bu matrislər aşağıdakı xüsusiyyətlər dəsti ilə xarakterizə olunur:
- Onun bütün sıfır xətləri sıfırdan fərqli xətlərdən sonra gəlir
- Əgər $k$ nömrəli matrisin bəzi cərgəsi sıfırdan fərqlidirsə, eyni matrisin əvvəlki cərgəsində $k$ nömrəli bu sətirdən daha az sıfır var.
Addım matrisini əldə etdikdən sonra yaranan dəyişənləri qalan tənliklərə (sondan başlayaraq) əvəz etmək və dəyişənlərin qalan dəyərlərini almaq lazımdır.
Gauss metodundan istifadə edərkən əsas qaydalar və icazə verilən çevrilmələr
Bu üsuldan istifadə edərək matrisi və ya tənliklər sistemini sadələşdirərkən yalnız elementar çevrilmələrdən istifadə etməlisiniz.
Bu cür çevrilmələr matrisə və ya tənliklər sisteminə mənasını dəyişdirmədən tətbiq edilə bilən əməliyyatlar hesab olunur:
- bir neçə xəttin yenidən təşkili,
- matrisin bir cərgəsindən başqa bir sətir əlavə etmək və ya çıxmaq;
- sətri sıfıra bərabər olmayan sabitə vurmaq və ya bölmək,
- sistemin hesablanması və sadələşdirilməsi prosesində əldə edilən yalnız sıfırlardan ibarət bir xətt silinməlidir,
- Əlavə hesablamalar üçün daha uyğun və rahat olan əmsalları olan sistem üçün yeganə olanı seçərək, lazımsız mütənasib xətləri də aradan qaldırmalısınız.
Bütün elementar çevrilmələr geri çevrilir.
Sadə Gauss çevrilmələri metodundan istifadə edərək xətti tənliklərin həlli zamanı yaranan üç əsas halın təhlili
Sistemləri həll etmək üçün Gauss metodundan istifadə edərkən yaranan üç hal var:
- Sistem uyğunsuz olduqda, yəni heç bir həll yolu yoxdur
- Tənliklər sisteminin bir həlli var və unikaldır və matrisdəki sıfırdan fərqli sətir və sütunların sayı bir-birinə bərabərdir.
- Sistemin müəyyən bir miqdarı və ya dəsti var mümkün həllər, və içindəki sətirlərin sayı sütunların sayından azdır.
Uyğun olmayan sistemlə həllin nəticəsi
Bu seçim üçün Gauss metodundan istifadə edərək matris tənliyini həll edərkən bərabərliyin yerinə yetirilməsinin qeyri-mümkün olduğu bir xətt əldə etmək tipikdir. Buna görə də, ən azı bir səhv bərabərlik baş verərsə, nəticədə yaranan və orijinal sistemlərin, ehtiva etdikləri digər tənliklərdən asılı olmayaraq həlləri yoxdur. Uyğun olmayan matrisin nümunəsi:
$\begin(massiv)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(massiv)$
Sonuncu sətirdə qeyri-mümkün bərabərlik yarandı: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.
Yalnız bir həlli olan tənliklər sistemi
Bu sistemlər pilləli matrisə çevrildikdən və sıfırları olan sətirləri sildikdən sonra əsas matrisdə eyni sayda sətir və sütuna malikdir. Burada ən sadə misal belə bir sistem:
$\begin(hallar) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(hallar)$
Onu matris şəklində yazaq:
$\begin(massiv)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(massiv)$
İkinci cərgənin birinci xanasını sıfıra çatdırmaq üçün yuxarı cərgəni $-2$-a vurub matrisin aşağı cərgəsindən çıxarırıq və yuxarı cərgəni öz orijinal formasında qoyuruq, nəticədə biz aşağıdakıları əldə edirik. :
$\begin(massiv)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(massiv)$
Bu nümunə bir sistem kimi yazıla bilər:
$\begin(hallar) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(hallar)$
Aşağı tənlik $x$ üçün aşağıdakı dəyəri verir: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Bu dəyəri yuxarı tənliyə əvəz edin: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, biz $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ alırıq.
Çoxlu mümkün həlləri olan sistem
Bu sistem içindəki sütunların sayından daha az əhəmiyyətli sətir sayı ilə xarakterizə olunur (əsas matrisin sətirləri nəzərə alınır).
Belə bir sistemdə dəyişənlər iki növə bölünür: əsas və sərbəst. Belə bir sistemi transformasiya edərkən onun tərkibində olan əsas dəyişənlər “=” işarəsinə qədər sol sahədə qalmalı, qalan dəyişənlər isə bərabərliyin sağ tərəfinə keçirilməlidir.
Belə bir sistemin yalnız müəyyən bir xüsusiyyəti var ümumi qərar.
Gəlin bunu həll edək aşağıdakı sistem tənliklər:
$\begin(hallar) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(hallar)$
Onu matris şəklində yazaq:
$\begin(massiv)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(massiv)$
Bizim vəzifəmiz sistemin ümumi həllini tapmaqdır. Bu matris üçün bazis dəyişənləri $y_1$ və $y_3$ olacaq ($y_1$ üçün - birinci gəldiyi üçün və $y_3$ vəziyyətində - sıfırlardan sonra yerləşir).
Baza dəyişənləri olaraq, biz məhz cərgədə birinci olan və sıfıra bərabər olmayanları seçirik.
Qalan dəyişənlər sərbəst adlanır, biz onların vasitəsilə əsasları ifadə etməliyik.
Sözdə tərs vuruşdan istifadə edərək, bunu etmək üçün sistemi aşağıdan yuxarıya doğru təhlil edirik, əvvəlcə sistemin aşağı sətirindən $y_3$ ifadə edirik:
$5y_3 – 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.
İndi biz $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) sistemin yuxarı tənliyində ifadə olunan $y_3$-ı əvəz edirik. + y_4 = 1$
Biz $y_1$-ı $y_2$ və $y_4$ sərbəst dəyişənləri ilə ifadə edirik:
$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$
$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$
Həll hazırdır.
Misal 1
Qauss metodundan istifadə edərək sökmə həll edin. Nümunələr. Qauss metodundan istifadə edərək 3-ə 3 matrislə verilmiş xətti tənliklər sisteminin həllinə nümunə
$\begin(hallar) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(hallar)$
Sistemimizi uzadılmış matris şəklində yazaq:
$\begin(massiv)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(massiv)$
İndi rahatlıq və praktiklik üçün matrisi elə çevirməlisiniz ki, $1$ ən kənar sütunun yuxarı küncündə olsun.
Bunu etmək üçün 1-ci sətirə ortadan $-1$-a vurulan xətti əlavə etməliyik və orta xəttin özünü olduğu kimi yazmalıyıq, belə çıxır:
$\begin(massiv)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(massiv)$
$\begin(massiv)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(massiv) $
Üst və son sətirləri $-1$-a vurun, həmçinin son və orta sətirləri dəyişdirin:
$\begin(massiv)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(massiv)$
$\begin(massiv)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(massiv)$
Və son sətri $3$-a bölün:
$\begin(massiv)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(massiv)$
Orijinala bərabər olan aşağıdakı tənliklər sistemini əldə edirik:
$\begin(hallar) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(hallar)$
Üst tənlikdən $x_1$ ifadə edirik:
$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.
Misal 2
Qauss metodundan istifadə edərək 4-ə 4 matrisi istifadə edərək müəyyən edilmiş sistemin həllinə nümunə
$\begin(massiv)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 və 37 \\ \end(massiv)$.
Başlanğıcda yuxarı sol küncdə $1$ əldə etmək üçün ondan sonrakı yuxarı sətirləri dəyişdiririk:
$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 və 37 \\ \end(massiv)$.
İndi yuxarı xətti $-2$-a vurun və 2-ci və 3-cüyə əlavə edin. 4-cü sətirə $-3$ ilə vurulan 1-ci sətri əlavə edirik:
$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(massiv)$
İndi 3-cü sətirə 2-ci sətri $4$-a, 4-cü sətirə isə $-1$-a vurulmuş 2-ci sətri əlavə edirik.
$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(massiv)$
2-ci sətri $-1$-a vururuq və 4-cü sətri $3$-a bölüb 3-cü sətri əvəz edirik.
$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 və 10 \\ \end(massiv)$
İndi son sətirə $-5$-a vurulan sondan əvvəlkini əlavə edirik.
$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 və 0 \\ \end(massiv)$
Yaranan tənliklər sistemini həll edirik:
$\begin(hallar) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(hallar)$
İki xətti tənlik sistemi, bütün həllər çoxluğu üst-üstə düşərsə, ekvivalent adlanır.
Tənliklər sisteminin elementar çevrilmələri aşağıdakılardır:
- Sistemdən mənasız tənliklərin silinməsi, yəni. bütün əmsalları sıfıra bərabər olanlar;
- İstənilən tənliyi sıfırdan başqa bir ədədə vurmaq;
- İstənilən i-ci tənliyə istənilən j-ci tənliyi istənilən ədədə əlavə etmək.
Bu dəyişənə icazə verilmirsə, lakin bütün tənliklər sisteminə icazə verilirsə, x i dəyişəni sərbəst adlanır.
Teorem. Elementar çevrilmələr tənliklər sistemini ekvivalentinə çevirir.
Qauss metodunun mənası orijinal tənliklər sistemini çevirmək və ekvivalent həll edilmiş və ya ekvivalent uyğunsuzluq sistemi əldə etməkdir.
Beləliklə, Qauss metodu aşağıdakı addımlardan ibarətdir:
- Birinci tənliyə baxaq. Birinci sıfırdan fərqli əmsalı seçək və bütün tənliyi ona bölək. Bəzi x i dəyişəninin 1 əmsalı ilə daxil olduğu bir tənlik alırıq;
- Gəlin bu tənliyi bütün digərlərindən çıxaraq, onu elə ədədlərə vuraq ki, qalan tənliklərdə x i dəyişəninin əmsalları sıfır olsun. Dəyişən x i ilə bağlı həll edilmiş və orijinal birinə ekvivalent bir sistem əldə edirik;
- Önəmsiz tənliklər yaranarsa (nadir hallarda, lakin belə olur; məsələn, 0 = 0), biz onları sistemdən çıxarırıq. Nəticədə, bir az tənlik var;
- Əvvəlki addımları n dəfədən çox olmayan təkrar edirik, burada n sistemdəki tənliklərin sayıdır. Hər dəfə “emal” üçün yeni dəyişən seçirik. Uyğun olmayan tənliklər yaranarsa (məsələn, 0 = 8), sistem uyğunsuzdur.
Nəticədə, bir neçə addımdan sonra ya həll edilmiş sistem (ehtimal ki, pulsuz dəyişənlərlə) və ya uyğunsuz bir sistem əldə edəcəyik. İcazə verilən sistemlər iki halda bölünür:
- Dəyişənlərin sayı tənliklərin sayına bərabərdir. Bu o deməkdir ki, sistem müəyyən edilmişdir;
- Dəyişənlərin sayı daha çox nömrə tənliklər. Sağdakı bütün pulsuz dəyişənləri toplayırıq - icazə verilən dəyişənlər üçün düsturlar alırıq. Bu düsturlar cavabda yazılıb.
Hamısı budur! Xətti tənliklər sistemi həll edildi! Bu kifayət qədər sadə bir alqoritmdir və onu mənimsəmək üçün ali riyaziyyat müəllimi ilə əlaqə saxlamağa ehtiyac yoxdur. Bir misala baxaq:
Tapşırıq. Tənliklər sistemini həll edin:
Addımların təsviri:
- Birinci tənliyi ikinci və üçüncüdən çıxarın - icazə verilən x 1 dəyişənini alırıq;
- İkinci tənliyi (−1) vururuq, üçüncü tənliyi (−3)-ə bölürük - x 2 dəyişəninin 1 əmsalı ilə daxil olduğu iki tənlik alırıq;
- Birinciyə ikinci tənliyi əlavə edirik, üçüncüdən isə çıxırıq. İcazə verilən x 2 dəyişənini alırıq;
- Nəhayət, birincidən üçüncü tənliyi çıxarırıq - icazə verilən x 3 dəyişənini alırıq;
- Təsdiqlənmiş sistem almışıq, cavabı yazın.
Sinxron xətti tənliklər sisteminin ümumi həlli belədir yeni sistem, bütün icazə verilən dəyişənlərin sərbəst olanlarla ifadə olunduğu orijinala bərabərdir.
Ümumi bir həll nə vaxt lazım ola bilər? Əgər k-dan daha az addım atmalısınızsa (k, neçə tənliyin olduğunu göstərir). Ancaq prosesin hansısa addımda bitməsinin səbəbləri l< k , может быть две:
- l-ci addımdan sonra tərkibində ədədi (l+1) olan tənliyi olmayan sistem əldə etdik. Əslində bu yaxşıdır, çünki... səlahiyyətli sistem hələ də əldə edilir - hətta bir neçə addım əvvəl.
- l-ci addımdan sonra dəyişənlərin bütün əmsallarının sıfıra bərabər olduğu, sərbəst əmsalının isə sıfırdan fərqli olduğu bir tənlik əldə etdik. Bu ziddiyyətli bir tənlikdir və buna görə də sistem uyğunsuzdur.
Qauss metodundan istifadə edərək uyğunsuz bir tənliyin meydana gəlməsinin uyğunsuzluq üçün kifayət qədər əsas olduğunu başa düşmək vacibdir. Eyni zamanda qeyd edirik ki, l-ci addım nəticəsində heç bir əhəmiyyətsiz tənliklər qala bilməz - onların hamısı prosesdə birbaşa xəttdən çıxarılır.
Addımların təsviri:
- 4-ə vurulan birinci tənliyi ikincidən çıxarın. Üçüncü tənliyi də birinci tənliyi əlavə edirik - icazə verilən x 1 dəyişənini alırıq;
- İkincidən 2-yə vurulan üçüncü tənliyi çıxarırıq - 0 = −5 ziddiyyətli tənliyini alırıq.
Beləliklə, sistem uyğunsuzdur, çünki uyğunsuz bir tənlik aşkar edilmişdir.
Tapşırıq. Uyğunluğu araşdırın və sistem üçün ümumi bir həll tapın:
Addımların təsviri:
- Birinci tənliyi ikincidən (ikiyə vurduqdan sonra) çıxarırıq və üçüncüsü - icazə verilən x 1 dəyişənini alırıq;
- İkinci tənliyi üçüncüdən çıxarın. Bu tənliklərdəki bütün əmsallar eyni olduğu üçün üçüncü tənlik əhəmiyyətsiz olacaq. Eyni zamanda, ikinci tənliyi (−1) ilə vurun;
- Birinci tənlikdən ikincini çıxarın - icazə verilən x 2 dəyişənini alırıq. İndi bütün tənliklər sistemi də həll olunub;
- x 3 və x 4 dəyişənləri sərbəst olduğundan, icazə verilən dəyişənləri ifadə etmək üçün onları sağa keçirik. Bu cavabdır.
Beləliklə, sistem ardıcıl və qeyri-müəyyəndir, çünki icazə verilən iki dəyişən (x 1 və x 2) və iki sərbəst dəyişən (x 3 və x 4) var.
